(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)
一、选择题
1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22
221(0,0)x y C a b a b
-=>>:相交于B 、D 两点，且
BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B C ．3 D 2．平面α内有一条直线m ，过平面α外一点P 作直线n 与m 所成角为6
π
，则直线n 与平面α交点的轨迹是（ ） A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线
3．平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．已知()5,0F 是双曲线()22
22:=10,0x y C a b a b
->>的右焦点，点(A .若对双曲
线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）
A B ．5
C ．
5
2
D ．6
5．过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB ，CD ，且
AB CD AB CD λ+=⋅，则λ的值为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
18
D ．
116
6．已知1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线
的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A ．
B
C ．
D ．
7．顶点在原点，经过点()
，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）
A ．2y =或2
12
=-x y B ．2y =-或2
12
=-x y
C ．2y =或212x y =
D ．2y =-或2
12
x y =
8．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，
若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．12,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．26,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．222,23⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．332,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
9．已知1F ，2F 是离心率为13的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象
限的点，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ） A ．1
2S S
B ．122S S =
C ．1232S S =
D ．1243S S =
10．已知过双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交
双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为
3
4
b ，则双曲线离心率为（ ）
A 227
+ B ．
27
3
+ C ．
53
D ．2
11．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则
129e e +的最小值（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
12．已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0A -作C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则过点A 、B 、D 的圆截y 轴所得弦长为（ ） A ．3B ．2
C ．43
D ．42二、填空题
13．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其中一个焦点坐标为()2,0F ，椭圆被直线:3l y x =+所截得的弦的中点横坐标为2-，则此椭圆的标准方程为______.
14．已知双曲线22
:143
x y C -=的左､右焦点分别12,F F ，P 为双曲线上异于顶点的点，以
1PF ，2PF 为直径的圆与直线l 分别相切于A ，B 两点，则12cos ,AB F F <>=___________.
15．已知ABC 中，()1,0B -、()1,0C ，1k 、2k 分别是直线AB 和AC 的斜率.关于点
A 有如下四个命题：
①若A 是双曲线2
2
12
y x -=上的点，则122k k ⋅=；
②若122k k ⋅=-，则A 是椭圆2
212
x y +=上的点；
③若12
1k k ，则A 是圆221x y +=上的点；
④若2AB AC =，则A 点的轨迹是圆. 其中所有真命题的序号是__________．
16．已知椭圆2
2:12
x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于
A 、
B 两点，过P 作椭圆
C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则
t =____________．
17．设P 是双曲线2
2
:13
y x Γ-=上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，1F 、2F 分别为双曲
线的左、右焦点，若有121PF PF ⋅≥，则1F P 与2F Q 夹角的取值范围是__________.
18．若实数x ，y 10=，则
+________．
19．已知双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>，直线x b =与C 的两条渐近线分别交于A ，
B 两点，过A 作圆222:(2)M x b y b ++=的切线，D 为其中一个切点若||||AD AB =，则
C 的离心率为__________．
20．设A 、B 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右顶点，F 是右焦点，M 是双曲线上异
于A 、B 的动点，过点B 作x 轴的垂线与直线MA 交于点P ，若直线OP 与BM 的斜率之积为4，则双曲线的离心率为_________．
三、解答题
21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4. （1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()1,0M -，()1,0N ，动点Q 到点M 的距离为
，线段NQ 的垂直平分线交线段MQ 于点K ，设点K 的轨迹为曲线E .
（1）求曲线E 的方程；
（2）已知点()2,0P ，设直线l ：10x my +-=与曲线E 交于A ，B 两点，求证：
OPA OPB ∠=∠.
23．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为22，
离心率为
22
． （1）求椭圆C 的方程．
（2）若过点1F 的两条弦，弦AB 、弦CD ，互相垂直，求四边形ACBD 的面积的最小值．
24．已知抛物线28y x =的焦点为F ，且A 是抛物线上一点. （1）若4AF =求点A 的坐标；
（2）直线l ：y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值. 25．荷兰数学家舒腾(F.van Shooten ，1615-1660)设计了一种画椭圆的工具，如图1所示，两根等长的带槽的直杆AC 和BF 的一端各用钉子固定在点A 和B 上(但分别可以绕钉子转动)，4AC BF ==，另一端用铰链与杆FC 连接，2FC AB ==，AC 和BF 的交点为E ，转动整个工具，交点E 形成的轨迹为椭圆Γ.以线段AB 中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2的平面直角坐标系.
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）经过B 点的直线l 交椭圆Γ于不同的两点M N 、，设点P 为椭圆的右顶点，当
PNM △的面积为
2
7
时，求直线l 的方程. 26．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为4，焦距为23P 为椭圆C 上一
动点，且直线,AP BP 的斜率之积为1
4
-
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，若点,M N 是C 上不同于,A B 的两点，且满
//,//AP OM BP ON ，求证：MON △的面积为定值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】
设()()1122,,B x y D x y 、,则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：2222
121222
0x x y y a b
---=， 整理得：()()
()()
2121221212y y y y b a x x x x +-=+-
BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611
262b a =⨯=
即222
1
2
c a a -=，解得6c
e a . 故选：D 【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．
2．D
解析：D 【分析】
过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设出坐标，分别表示出直线AB 与PM 的方向向量，利用夹角公式即可得出． 【详解】
解：过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设1OP =，30PBO ∠=︒，3OB ∴=． 则(0P ，0，1)，(0,3,0)B ．
设点(Q x ，y ，0)，则(,,1)PQ x y =-，取直线m 的方向向量为(0,1,0)u =． 直线AB 与PQ 所成的角为30， 22||
3cos30||||
1
PQ u PQ u x y ∴︒=
=
=++， 化为2
213
y x -=，即为点Q 的轨迹．
故选：D ．
【点睛】
熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系利用异面直线的夹角公式求得轨迹的方法是解题的关键．
3．B
解析：B 【分析】
根据题意画出图形，抛物线的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点
(2,0)P -，过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，根据抛物线的定义和已知条件
可得点B 为AP 的中点，进而可得点B 的横坐标为1，则26AM BN ==从 而可求出答
案 【详解】
解：设抛物线2
:8C y x =的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点
(2,0)P -，
如图过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ， 因为2FA FB =，所以2AM BN =， 所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1
2
OB AF =， 所以OB BF =，所以点B 的横坐标为1， 所以26AM BN ==， 所以点A 到y 轴的距离为4， 故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画出图形，灵活运用抛物线的定义，考查计算能力，属于中档题
4．C
解析：C 【分析】
设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】
设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，
22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．
则222(5)(11)210EA a a +=-+≥，2a ≥，所以552
c e a a ==≤． 故选：C ．
【点睛】
思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．
5．B
解析：B 【分析】
首先设直线AB 的方程为1x ty =+， 与抛物线方程联立分别求AB 和CD ，分别计算
AB CD +和AB CD ，再求λ的值.
【详解】
24y x =的焦点为()1,0，设AB 的直线方程为1x ty =+，CD 的直线方程为
1
1x y t
=-+，
由214x ty y x
=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124y y t +=，124y y =-，则()
()2
2212121441AB t y y y y t =++-=+，
同理2141CD t ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，22142AB CD t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 221162AB CD t t ⎛⎫
⋅=++ ⎪⎝⎭
， 故14λ=
. 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求AB ，并且利用AB CD ⊥，将t 换成1t
-求
CD . 6．C
【分析】
利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得
c
a
的值，利用公式2
1⎛⎫=- ⎪⎝⎭
b c a a 可求得该双曲线的渐近线的斜率. 【详解】
2ABF 为等边三角形，
22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，
由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，
212AF AF a -=，
24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，
由余弦定理可得22
12121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==
+-⋅︒=，
即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭
． 因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±． 故选：C.
【点睛】
思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：
（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线b
y x a
=±，焦点在y 轴时渐近线a
y x b
=±
； （2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建c
a
的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.
7．D
【分析】
设出抛物线方程为2
2y mx =或2
2x ny =，代入点的坐标求出参数值可得．
【详解】
设抛物线方程为2
2y mx =，则262(3)m =⋅-，63m =-，方程为2123y x =-， 或设方程为2
2x ny =，则2(3)26n -=⨯，14n =，方程为2
12
x y =． 所以抛物线方程为2123y x =-或2
12
x y =． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在x 轴和y 轴两种情况，焦点在x 轴上时可以直接设方程为2
y mx =，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在x
轴正半轴还是在负半轴，焦点在y 轴也类似求解．
8．B
解析：B 【分析】
由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】
由题意椭圆22
221x y a b
+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦
点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．
根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c αα+＝，
利用
211
2sin cos 4c e a παα
α=
==+⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭， ∵,124ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴342πππα<+<
14πα<<
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭e 的
取值范围是⎝⎭
，
故选B . 【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
9．D
解析：D 【分析】
设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则可得4S
r c
=
，从而可得1121122244S S
F F r c S c ==⋅⋅=，再由
G 是12MF F △的重心，可得1
12
22213
32
3
MOF MF F S
S S S =
=⨯=
，进而可得结果 【详解】
解：由于椭圆的离心率为
13
，所以1
3c a =，即3a c =，
设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则
121211
()(22)422
S MF MF F F r a c r cr =++=+=，
所以4S
r c
=
， 所以1121122244
S S F F r c S c =
=⋅⋅=， 因为G 是12MF F △的重心， 所以1
12
22213
32
3
MOF MF F S S S S =
=⨯=
， 所以
123
4
S S =，即1243S S =， 故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，解题的关键是设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，然后求出4S
r c
=
，进而可表示出1S ，2S ，从而可得结果，属于中档题 10．A
解析：A 【分析】
由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率． 【详解】
如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为
3
4b ，即34
P y b =，代入双曲线方程得2
2
9116
P x a -=，解得54P x a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为3
4()5
4
b y x
c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=， 又直线FP 与圆2
2
2
x y a +=相切，
a =，345bc a a c
=+人，变形为4293440160e e e ---=，
22(342)(348)0e e e e ++--=，
因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=
，e =
去）． 故选：A ． 【点睛】
思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为
3
4
b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．
11．D
解析：D 【分析】
设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别
求出1PF ，即可得1
22a a c +=，计算12112e e +=，()1212121
11992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
展开
后利用基本不等式即可求最值. 【详解】
设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222
111c a b =-，
设双曲线2C 的方程为222222
1x y a b -=，则222
222c a b =+，
因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，
所以2212c c =，设12c c c ==即2222
1122a b a b -=+，
因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，
因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，
所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =
，22c e a =，所以1212121122a a a a c
e e c c c c
++
=+===， 所以()211212121291
111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=
++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
()11101023822⎛
≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21
12
9e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得
12
11
2e e +=， 再利用基本不等式可求最值.
12．A
解析：A 【分析】
设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B 、D 两点的坐标，进而得出过点A 、B 、D 的圆的方程，求出弦长即可． 【详解】
设过点()1,0A -的直线方程为1x my =-，
联立214x my y x
=-⎧⎨=⎩，可得2
440y my -+=，由216160m ∆=-=，解得1m =±
即2440y y ±+=，2y =±，
不妨设()()1,2,1,2B D -，则BD 的中垂线方程为0y =，即圆心在x 轴上
又()1,0A -，且点()1,0到点A 、B 、D 的距离都相等，则圆心坐标为()1,0，半径为2 圆的方程为()2
214x y -+=，令0x =
，解得y =即圆被y
轴所截得的弦长为故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】设椭圆方程为代入直线方程整理就后应用韦达定理结合弦中点横坐标求得关系再由可得得椭圆方程【详解】设椭圆方程为由得所以由题意又所以椭圆方程为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程解
解析：22
184
x y +=
【分析】
设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，代入直线方程整理就后应用韦达定理结合弦中点横
坐标求得,a b 关系，再由2c =可得,a b 得椭圆方程．
【详解】
设椭圆方程为2
2
221(0)x y
a b a b +=>>，由22
2213
x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得
2222222()690a b x a x a a b +++-=，
所以212226a x x a b +=-+，由题意2
22
622a a b
-=-⨯+，222a b =， 又2c =，所以22224a b b c -===，28a =，
椭圆方程为22
184x y +=．
故答案为：22
184
x y +=．
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程．解题方法是韦达定理．由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理可得出弦中点坐标，从而得出,a b 的关系．然后结论半焦距c 可求解．
14．【分析】求得双曲线的设运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得由相切的性质判断四边形为直角梯形过作垂足为运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义计算可得所求值【详解】解
【分析】
求得双曲线的a ， c ，设1PF m =，2PF n =，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得MN ，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ AM ⊥，垂足为
Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计
算可得所求值． 【详解】
解：因为双曲线22
:143
x y C -
=，所以2a =，c ==依题意画出如下图形，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，过点N 作NQ AM ⊥交
AM 于点Q ，连接MN ，所以121
2
MN F F =
=，设1PF m =，2PF n =，则24m n a -==所以11122AM PF m ==，211
22BN PF n ==，所以
()1
22
MQ AM BN m n =-=-=，在Rt MNQ 中NQ =，
因为//NQ BA ，所以MNQ ∠为12,AB F F 的夹角，所以
12cos ,7QN AB F F MN <>=
==
故答案为：
7
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的性质，考查直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义、向量的夹角的概念，考查方程思想和化简运算能力和推理能力．
15．①③【分析】设点可得出结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点的轨迹方程可判断②的正误；根据求出点的轨迹方程可判断③的正误；由求出点的轨迹方程可判断④的正误【详解】设动点的坐标为对于①由于点是双曲线
解析：①③ 【分析】
设点(),A x y ，可得出2
2
12
y x =+，结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点A 的轨
迹方程，可判断②的正误；根据121k k ，求出点A 的轨迹方程，可判断③的正误；
由2AB AC =求出点A 的轨迹方程，可判断④的正误. 【详解】
设动点A 的坐标为(),A x y .
对于①，由于点A 是双曲线22
12y x -=上的点，则22
12
y x =+，
所以，22
122221112
y y y y k k y x x x =⋅===+--，①正确；
对于②，21222111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得22
12
y x +=，②错误；
对于③，2
1221111
y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得221x y +=，③正确；
对于④，由2AB AC ==
化简可得2
251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭， 当点A 为圆2
251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭与x 轴的交点时，A 、B 、C 三点无法构成三角形，④错误.
故答案为：①③. 【点睛】
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
16．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解
【分析】
设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用
t 表示，
从而求得2
PE ，代入已知等式后求得t 值． 【详解】
由题意(1,0)F -，直线AB 方程为0
0(1)
t y x t tx t -=
+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，
由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122
412t x x t +=-+，2122
22
12t x x t
-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--
222
1122122
2(1)(1)
(,)(,)(1)21
t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+， 设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，
1t >，切点E 在x
轴上方，由y =
2x
y y '=
=-
，∴11
2PE x
k y =-，
切线方程为1
111
()2x y y x x y -=-
-，化简得1122x x y y +=， 直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得2
1222x t
=-
， 2
22211221()2()PE x y t t t t
=+-=-
+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，
∴22222
218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦
，化简得2
23t =，∵1t >，
∴t =
故答案为：2
． 【点睛】 关键点点睛：
本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点
1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，
然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2
PE ，再结合已知条件求出结果．
17．【分析】设由求出的取值范围再由平面向量的数量积计算出与夹角的余弦的取值范围从而得夹角的范围【详解】设则又双曲线中即∴又即代入上式得设与夹角为则∵∴∴∵∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查依托双曲
解析：25,arccos 3
7π
π⎛⎤
⎥⎝⎦- 【分析】
设00(,)P x y ，由121
PF PF ⋅≥求出2
0x 的取值范围，再由平面向量的数量积计算出1F P 与2F Q 夹角的余弦的取值范围，从而得夹角的范围．
【详解】
设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，
又双曲线22
:13
y x Γ-=
中2c ==，即12(2,0),(2,0)F F -，
∴22
12000000(2,)(2,)41
PF PF x y x y x y ⋅=---⋅--=-+≥， 又2
200
13
y x -=，即220033=-y x ，代入上式得204341x --≥，2
02x ≥．
100(2,)F P x y =+，200(2,)F Q x y =--，22
1200
4F P F Q x y ⋅=--， 设1F P 与2F Q 夹角为θ，则
22
22221212cos (F P F Q F P F Q
θ⋅=
=
=
=
∵20
2x ≥，∴cos θ2
02021
41x x +=--，
2
2
002220
00132211322414122(41)
x x x x x -+
+==+---， 20417x -≥，203302(41)14x <
≤-，2
01135
222(41)7
x <+≤-， ∴5
1cos 72θ
-
≤<-，∵[0,]θπ∈，∴25
arccos 37
πθπ<≤-． 故答案为：25,arccos 3
7π
π⎛⎤ ⎥⎝⎦-．
【点睛】
关键点点睛：本题考查依托双曲线求平面向量夹角的取值范围．解题方法是设00(,)P x y ，利用P 点满足的条件求出0x 的范围，然后求出向量夹角的余弦值，余弦值的范围，从而得出角的范围．
18．【分析】由已知条件得出点P 在以为焦点以为长轴长的椭圆上再由两点的距离公式得出表示点到点的距离之和再根据椭圆的定义将问题转化为求的范围根据两点的距离公式可求得范围【详解】设点则由椭圆的定义得点P 在以为 解析：[10-+
【分析】
由已知条件得出点P 在以()()120
303F F -，，，为焦点，以10为长轴长的椭圆上，再由两
+
(),P x y 到点()()
11,00,3A F ，的距离之和，再根据椭圆的定义将问题转化为求210+d PA PF =-的范围，根据两点的距离公式可求得范围． 【详解】
设点(),P x y ，则由椭圆的定义得点P 在以()()120
303F F -，，，为焦点，以10为长轴长的椭圆上，所在椭圆的方程为：22
+11625
x y =，
(),P x y 到点()()11,00,3A F ，的距离之和，即
1+d PA PF =，
由椭圆的定义得12+210PF PF a ==，所以1210PF
PF =-，所以()122++1010+d PA PF PA PF PA PF ==-=-，
而222AF PA PF AF -≤-≤，又2AF ==，所以
21010+d PA PF ≤=-≤，
[10-+，
故答案为：[10-+． 【点睛】
关键点点睛：本题考查根式的最值和范围求解问题，解决的关键在于利用椭圆的定义得出动点的轨迹，将问题转化为求两线段的距离之差的范围．
19．【分析】将代入C 的渐近线方程可得点坐标利用两点间的距离根式可求导根据勾股定理可得再由可得代入即可【详解】将代入C 的渐近线方程得则不妨假设半径为因为是圆的切线所以即则因为所以即故故答案为：【点睛】本题
解析：
4
【分析】
将x b =代入C 的渐近线方程可得A 点坐标，利用两点间的距离根式可求导||AM ．
根据勾股定理可得||AD ，再由||||AD AB =可得2238b a =，代入e =即可． 【详解】
将x b =代入C 的渐近线方程a
y x b
=±
，得y a =±，则||2AB a =． 不妨假设(),A b a ， (2,0)M b -，半径为b DM =， 222
||(2)AM b b a =++，
因为AD 是圆的切线，所以2
2
2||AD DM
AM +=，即
高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!
高二数学圆锥曲线综合测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( ) A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定 3．已知双曲线x 24－y 2 12 ＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.14 D.1 16 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值 为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( ) A.255 B.32 C.233 D ．2 6．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 2 9＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 2 9 ＝1(x ＞4) 7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e 5 x (e 为双曲线离心率)，则有( ) A ．b ＝2a B ．b ＝5a C ．a ＝2b D ．a ＝5b 8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A.1716 B.1516 C ．－1516 D ．－1716 9．已知点A 、B 是双曲线x 2 －y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．22 10．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 2 3 ＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．6
选修1-1圆锥曲线测试卷(含答案)
第二章测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 解析 由条件可知p 2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x . 答案 B 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 2 4＝1 B.x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 2＝1 D.x 24＋y 2 3＝1 解析 依题意知c ＝1，e ＝c a ＝1 2，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3＝1. 答案 D 3．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m >12 B ．m ≥1
C ．m >1 D ．m >2 解析 由e 2 ＝? ?? ??c a 2＝1＋m 1＝1＋m >2，m >1. 答案 C 4．椭圆x 225＋y 2 9＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( ) A ．(5,0)或(－5,0) B ．(52，332)或(52，－332) C ．(0,3)或(0，－3) D ．(532，32)或(－532，32) 解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2 )2 ＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2 108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 2 36＝1 D.x 227－y 2 9＝1 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题 1．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经 Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1 F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ） A ．3:4 B ．2:3 C ．1:2 D ．22．已知椭圆22 :13620 x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两 点，则2 2 2AF BF +的最小值是（ ） A ．36 B ．48 C ．72 D ．96 3．过抛物线()2 :20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若3AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒ B ．30 C ．45︒ D ．60︒ 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面 11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ） A ．一条线段 B ．圆的一部分 C ．椭圆的一部分 D ．抛物线的一部分 5．设1F 、2F 是双曲线()222 2:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且122 3PF F S b =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题含详细答案
数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1曲线 与曲线 (0 精心整理 圆锥曲线一.选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分。请将答案写在括号里。 1、已知方程 11 22 2=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） Ａ．k ＜１ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２ 2、已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和），它们所表示的曲线可能是（） Ａ 3Ａ可能 4 56212x x =Ａ．Ｃ．27、双曲线2a -2b =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为() A.2 B.3 C. 2 D. 2 3 8、过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9、设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程 是。 10、直线1y x =-与椭圆22 142 x y + =相交于,A B 两点，则AB =． 11、已知F P ),1,4(-为抛物线x y 82=的焦点，M 为此抛物线上的点，且使MF MP +的值最小，则M 点的坐标为． 12、过原点的直线l ，如果它与双曲线14 32 2=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是． 13 14、0)>的焦点,三.15、（14. 16、（12（117、（14 到直线 l 18、（14(I)14 22 =+y x 19、（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?的最 大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且 ∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围 20、（12分）如题（21）图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元测试 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 以112y 4x 2 2-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 A. 14y 16x 22=+ B. 116y 4x 22=+ C. 112 y 16x 2 2=+ D. 116 y 12x 2 2=+ 2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点 A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，-2） 3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为 A. 5 B. 2 11 C. 2 9 D. 10 4. 方程2 sin y 3sin 2x 2 2-θ+ +θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在x 轴上的双曲线 D. 焦点在y 轴上的双曲线 5. 设P 为椭圆1b y a x 22 22=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°， ∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为 A. 22 B. 23 C. 32 D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116 y 9x 2 2=-的渐近线相切的圆的方 程为 A. 09x 10y x 22=+-+ B. 09x 10y x 22=--+ C. 09x 10y x 22=-++ D. 09x 10y x 22=+++ 7. 椭圆11 a 4y a 5x 22 2=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是 A. ?? ? ??51,0 B. ?? ????1,51 C. ??? ? ??55,0 D. ??? ? ????1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1b y a x 22 22=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、 一、选择题 1．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -+=与椭圆 C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为 1 2 -，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22132 x y += B ．22 143x y += C ．22152x y += D ．22 163 x y += 2．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴 分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -= B ．221k e += C ． 221 1e k -= D ． 221 1e k += 3．已知椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭 圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． 1 3 B C ． 12 D ． 2 4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线被圆()2 223x y -+=截得的弦长为 2，则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．2 C D 5．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且 (1)AF mFB m =>，25 ||4 AB = ，则m =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若 3AF =，则AOB 的面积为（ ） 圆锥曲线《选修1-1》、选修《1-2》试题 一、选择题（每题5分，共10小题，共计50分） 1. 复数 3 2 (1)i i +=（ ） A ．2 B ．－2 C ． 2i D ． 2i - 2．命题p ：存在实数m ，使方程012 =++mx x 有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A.存在实数m ，使得方程012 =++mx x 无实根 B.不存在实数m ，使得方程012 =++mx x 有实根 C.对任意的实数m ，使得方程012=++mx x 有实根 D.至多有一个实数m ，使得方程012 =++mx x 有实根 3． 若点()2,3是椭圆122 22=+b y a x (0>> b a )上的一点，则下列说法错误的是（ ） A ．点()2,3-在该椭圆上 B ．点()2,3-在该椭圆上 C ．点()2,3--在该椭圆上 D ．点()2,3--不在该椭圆上 4．双曲线虚半轴长为5，焦距为6，则双曲线离心率是（ ） A ．35 B ．53 C ．23 D ．32 5．短轴长为5，离心率2 3e = 的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点， 则 2ABF ∆的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24 6．已知双曲线22 a x －22 b y =1和椭圆2 2 m x +22b y =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、 b 、m 为边长的三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形 7．已知F 是抛物线 2 41x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（ ） 第二章圆锥曲线与方程检测试题 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( D ) (A)x2+y2+2x=0 (B)x2+y2+x=0 (C)x2+y2-x=0 (D)x2+y2-2x=0 解析:已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即为所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2 =0,故选D. 2.已知椭圆与双曲线-=1有共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为( B ) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:由题意,c=,=, 所以a=5,b=2, 所以椭圆的标准方程为+=1,故选B. 3.方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆,则实数k的取值范围是( D ) (A)(4,+∞) (B){4} (C)(-∞,4) (D)(0,4) 解析:方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,即方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,可得4>k>0.故选D. 4.与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=的双曲线的方程为( B ) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:因为椭圆+=1的焦点为(±5,0),所以与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=的双曲线方程中,c=5,a=4,b2=25-16=9, 所以所求的双曲线方程为-=1.故选B. 5.在Rt△ABC中, AB=AC=1,若一个椭圆经过A,B两点,它的一个焦点为点C,另一个焦点在边AB上,则这个椭圆的离心率为( C ) (A) (B)- (C)- (D)-1 解析:设另一焦点为D,因为Rt△ABC中, AB=AC=1, 所以BC=. 因为AC+AD=2a, 所以AC+AB+BC=1+1+=4a, 所以a=,又AC=1,所以AD=. 在Rt△ACD中焦距CD==, 则c=,所以e====-, 故选C. 6.已知P为抛物线y2=4x上一个动点, P到其准线的距离为d, Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是( C ) (A)2-1 (B)2-2 (C)-1 (D)-2 解析:因为点P是抛物线y2=4x上的点,点P到抛物线的准线的距离为d,P到圆B: x2+(y-4)2=1 圆锥曲线与方程综合练习 一、选择题： 1.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)1 2 =，则=+BC AC （ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．不能确定 2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为 （1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ） A ．7 B ．53 C ．6 D ．5 3.双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为 （ ） A ． )22(2 1- B ．12- C ．12+ D ． )22(2 1+ 4.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22 1(,0)x y m n m n -=>有相同的焦点F 1、F 2， P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） A ．n b - B ． m a - C ． n b - D ． 2a m - 5.已知F 是抛物线24 1 x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹 方程是（ ） A ．122－＝y x B ．16 1 22－ ＝y x C ． 2 1 2－＝y x D ．222－＝y x 6. 给出下列结论,其中正确的是 （ ） A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b y 的双曲线的标准方程一定是122 22=-b y a x B ．抛物线221x y -=的准线方程是2 1 =x C ．等轴双曲线的离心率是2 D ． 椭 圆 ()0,0122 22>>=+n m n y m x 的焦点坐标是 ()() ,,0,22 2 221n m F n m F --- 第二章能力检测 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分) 1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2 C ．y ＝2 D ．y ＝－2 【答案】B 【解析】抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－4 2 ＝－2.故选B ． 2.(2020年山东潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为 3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( ) A.2 B.1 C.2 3 D. 3 【答案】A 【解析】由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2 ＝b ＝3，即 c 2－a 2＝3.又e ＝c a ＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2. 3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 22－y 2 2 ＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 【答案】D 【解析】双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2,0)，即抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，∴p 2＝2，p ＝4.故选D ． 4．(2019年山东济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与点F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 【答案】B 【解析】由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |>|OF |.∴点P 的轨迹是以点O ，F 为焦点的椭圆． 5.(2020年辽宁沈阳模拟)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是( ) A.x －2y ＋1＝0 B.x －2y －1＝0 C.2x －y ＋1＝0 D.2x －y －1＝0 【答案】D 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2.又点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上， 所以⎩ ⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率k ＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 6.(2020年河南郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2， 离心率为2 3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程 为( ) A.x 29＋y 25＝1 B.x 29＋y 2 4＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 23＋y 2 2＝1 【答案】A 【解析】由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，故△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝2 3，所以c ＝2.所以b 2＝a 2 －c 2＝5.所以椭圆 C 的方程为x 29＋y 2 5 ＝1.故选A. 7．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，令双曲线两条渐近线构成的角 中，以实轴为角平分线的角为θ，则此角的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤π6，π2 B ．⎣⎡⎦⎤ π3，π2 C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 【答案】C 一、选择题 1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22 221(0,0)x y C a b a b -=>>:相交于B 、D 两点，且 BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ． 5 C ．3 D ． 6 2．已知12,F F 分别是双曲线2 214 x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任 意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆2 2 (1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（ ） A ．2 B ．51- C ．1 D ．52- 3．如图，已知曲线2y x 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ， M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．()3 10y x x a a = ≤≤ B ．()31022a y x x x a a = +≤≤ C ．()2 20y x ax x a =-≤≤ D ．()2022 a a y x x x a =+≤≤ 4．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ） A ．20, 3 π⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ B ．20, 3π⎛⎤ ⎥⎝ ⎦ C ．2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．2,33ππ⎡⎤ ⎢ ⎥⎣⎦ 5．已知椭圆22 2:14x y C b +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足 ||||OF FP =，则b =（ ） A ．3 B C D 6．已知双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且 1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．2 y x =± B ．y = C ．y x = D ．y = 7．已知圆2 2 2 1:(3)(7)C x y a a ++=>和22 2:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2 C 均相切，P 是12MC C 的内心，且1 2 12 3PMC PMC PC C S S S +=，则a 的值为（ ） A ．9 B ．11 C ．17 D ．19 8．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存 在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．1e << B ．e C ．e > D ．1e << 9．在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为22 21(0)4x y t t t -=>+，则双曲线的离心 率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．3y x =± C ．12 y x =± D ．1 3 y x =± 10．已知双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =， 3k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值 范围是（ ） A ．()1,2 B ．) 2 C ．1⎤⎦ D ．( 1⎤⎦ 11．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且 1223 F PF π∠= ，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则22 2127e e +的最小值为（ ） 一、填空题 1．已知椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（P 在x 轴上方），点1(4,3),M F M 平分12PF F ∠，则1222PF F PMF S S +=______． 2．过椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________. 3．已知双曲线M ：()22 2210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()2 2x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________． 4．与双曲线22 142 x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________. 5．如图，过椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O 为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________． 6．已知点A ，B 分别是椭圆22 13620 x y +=长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的3M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为______． 7．设1F ､2F 分别是椭圆2214 x y +=的左､右焦点，若椭圆上存在一点P ，使2()OP OF +⋅20PF =(O 为坐标原点)，则△12F PF 的面积是___________ 一、选择题 1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线 C 的焦点.若4FA FB =，则k =（ ） A ． 45 B ． 15 C ． 23 D ． 22 2．已知双曲线22 221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 3．直线34y kx k =-+与双曲线22 1169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知椭圆22 :13620 x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两 点，则2 2 2AF BF +的最小值是（ ） A ．36 B ．48 C ．72 D ．96 5．已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为 2的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 3 5 B ． 12 C ． 22 D ． 3 6．已知双曲线E ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的 垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（ ） A 3 B ．2 C 5 D 2 7．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两 点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ） A B ． 2 C D 8．已知圆2 2 2 1:(3)(7)C x y a a ++=>和22 2:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2 C 均相切，P 是12MC C 的内心，且1 2 12 3PMC PMC PC C S S S +=，则a 的值为（ ） A ．9 B ．11 C ．17 D ．19 9．已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点， 若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2⎛ ⎝⎭ C ．2 3⎛ ⎝⎭ D ．32,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 10．已知双曲线C ：22 221x y a b -=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线 交双曲线左支于P ，交渐近线b y x a = 于点Q ，点Q 在第一象限，且1 2FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ． 12 + B ． 12 + C 1 D 1 11．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2 a x c =上一 点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ） A ． 1 2 B ． 2 C ． 34 D ． 45 12．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在 y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大 小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ） 其次章 圆锥曲线与方程(A) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 2．设椭圆x 2 m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为1 2 ，则此椭圆的方程为 ( ) A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 2 12＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 2 48 ＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线 上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2 9 ＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则 |PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差肯定是( ) A ．1 B ．a 2 C ．b 2 D ．c 2 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 2 4＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 2 4 ＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 (a ＋1)2 ＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5) C ．(2,5) D ．(2，5) 7. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB | ＋|FC |等于( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 9．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且 只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(1,2) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2) 11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，54 B ．(1,1) C.⎝⎛⎭⎫32，94 D ．(2,4) 12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫34π，π B.⎝⎛⎭⎫π4，34π C.⎝⎛⎫π2，π D.⎝⎛⎭ ⎫π2，34π 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________． 14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________． 15．设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________． 16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2 k －1 ＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不行能表示椭圆； ②当1 章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69) 解析：选D.由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2 －b 2 ＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12＝1 B. x 212－y 2 4 ＝1 C. x 210－y 2 6 ＝1 D.x 26－y 2 10 ＝1 解析：选A.依题意得c ＝4，e ＝c a ＝4a ＝2，a ＝2，b 2＝c 2－a 2 ＝12，因此所求的双曲线的 标准方程为x 24－y 2 12 ＝1，故选A. 3．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：选D.点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线． 4．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( ) A.15 B.25 C.45 D. 215 解析：选B.根据椭圆定义可得4＋2a ＝14，解得a ＝5，故其离心率e ＝c a ＝2 5 ，故选B. 5．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是( ) A ．2或23 3 B ．2 一、选择题 1．过双曲线22 115 y x -=的右支上一点P 分别向圆22 1:(4)4C x y ++=和 222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 2．直线3y x 与曲线2|| 194 y x x -=的公共点的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知()5,0F 是双曲线()22 22:=10,0x y C a b a b ->>的右焦点，点(A .若对双曲 线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ） A B ．5 C ． 5 2 D ．6 4．已知点()P m n ,是抛物线2 14 y x =- 上一动点，则 A ．4 B ．5 C D ．6 5．设双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，直线20x y -=过点F 且与双 曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2 D 6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点，若4AF =，1BF =，则p =（ ） A ． 16 5 B ．2 C ． 85 D ．1 7．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的 左支于,A B 两点，若113AF F B =，23 cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ） A B ． 52 C D ． 53 8．设1F 、2F 是双曲线()222 2:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上 一点.若126PF PF a +=，且12 2 PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线》测试题
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