圆锥曲线与方程知识点复习及例题
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1椭圆:知识梳理
1、椭圆及其标准方程
（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .
（2）.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）
（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2
x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 2、椭圆的简单几何性质（a ＞b ＞0）.
（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12
2
22=+b
y a x , 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长
轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，
(2).离心率： a c e =2
21b a
=- 0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0
时，椭圆就越接近于圆.
(3)椭圆的焦半径： ex a MF +=1，ex a MF -=2.2
a =2
b +2
c
典例剖析
(4).椭圆的的外部点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的部2200221x y a b
?+<
(5).焦点三角形21F PF ?经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ?等关系．
§2.1.1椭圆及其标准方程:典例剖析
题型一 椭圆的定义应用
例1
题型二 椭圆标准方程的求法
例2 已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22
-，求椭圆的标准方程
§2.1.2椭圆的简单的几何性质 典例剖析
题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等． 例 1 已知椭圆2
2
(3)(0)x m y m m ++=>的离心率3
2
e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
例2 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A ．
2
2
B ．212-
C ．22-
D ．21-
例3 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．
§2.2双曲线:知识梳理
1、双曲线及其标准方程
（1）双曲线的定义：平面与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）
的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若
1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为
“差的绝对值”.
（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2
x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2
y
项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质
（1）.双曲线12222=-b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e ==e 越
大，开口越大.
（2）.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a
b
y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线
的渐近线方程是x n
m
y ±
=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.
双曲线焦半径应用举例
双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x 0，y 0)在双曲线
22a x －22
b
y = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a) ，| PF 2| =－(e x 0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。
一、求双曲线的标准方程
例1、 设F 1、F 2是双曲线22a x －22
b
y = 1 (a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，l 为左准
线，离心率e=
23，P(－3
28
,m)是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，| PF 1|，| PF 2|成等差数列，求此双曲线方程。
分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.
解：由双曲线的第二定义知：d =
3
2
| PF 1|，又| PF 1| =－(e x 0+ a) = 14－a, | PF 2| =－(e x 0－a) = 14＋a,由已知得：d ＋| PF 2| = 2| PF 1|，即3
2
(14－a)＋(14
＋a)=28－2a 得：a = 2， c =3， b =5，故双曲线的方程为42x －5
2
y =1。
评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。 二、求值
例2 双曲线92x －16
2
y =1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若P F 1⊥P F 2，
则点P 到x 轴的距离为_____________.
分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P 点纵坐标即可。 解：不妨设P 在双曲线上右支上，设P(x 0，y 0)，
则| PF 1| =e x 0+ a = 3＋35x 0，| PF 2| =e x 0－a =3
5
x 0－3， 则| PF 1|2＋| PF 2|2= |F 1F 2|2，即：(3＋35x 0)2＋(3
5x 0－3) 2
=100，
所以2
0x
=
25369，又920x －1620y =1，所以2
0y =25256，所以点P 到x 轴的距离为5
16。
评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。 三、求围
例3 如图，已知梯形ABCD 中，|AB| = 2|CD|，点E 分有向线段?→
?AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当3
2
≤λ≤
4
3
时，求双曲线离心率e 的取值围． 解：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为
y 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥y 轴，因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性可知，C 、D 关于y 轴对称．设双曲线的焦距为2c ，则A 、B 、C 三点的横坐标分别为－c 、c 、
2
c
，则点E 的横坐标为x E =λ
λ
++
-12c
c ．根据双曲线焦半径公式，有：|AE| =－(e x E ＋a ) =λ+1ec －)1(2λλ+ec －a ，|BC| =e x c －a =2
ec
－a ，
而AC 与AE 同号，从而
||||AE AC =AE AC =λλ
+1． ∴|AC| =
λ
λ
+1·|AE| =
λ
λ
+1·[
λ+1ec －)1(2λλ+ec －a] =λec －2ec －λ
λ
+1a ， 由双曲线的定义有|AC|－|BC| = 2a ，即(
λ
ec
－
2ec －λ
λ
+1a)－(2ec －a) = 2a ， 两边同除以a ，并化简整理，得(
λ1－1) e 2= 2＋λ
1，∴e 2=λλ-+112=－2＋λ-13
．
由
32≤λ≤4
3，得3≤λ-11≤4，解得7≤e 2
≤10．
∴7≤e ≤10，故所求双曲线离心率e 的取值围是[7，10]．
评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式． 四、其他问题
例4 在双曲线12
2y －132
x =1的上支上有三点A(x 1，y 1),B(26,6),C(x 3,y 3)与F(0，
5)的距离成等差数列。求证：AC 的垂直平分线经过某一定点。
分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。
证明：|AF| =ey 1－a ，|BF|=6e －a ，|CF|= ey 3－a ，由已知得：2|BF|=|AF|＋|CF|，
得：y 1＋ y 3=2×6 = 12。设AC 的中点M(x 0，6)，其中x 0=
2
3
1x x +，又A ，C 在双曲线上，于是??????=-?=-13
121213*********
3232
121x y x y ，
两式相减得：13(y 3－y 1)(y 3＋y 1)－12(x 3－x 1)(x 3＋x 1)= 0，得：13(y 3＋y 1)·
1
31
3x x y y --－12（x 3＋x 1）=0，
得：
AC k =13
20x ，所以AC 的垂直平分线方程为：y －6=－0213
x (x －x 0)，即13x ＋x 0(2y －25)=0，
故经过定点(0，
2
25
)。
评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。
例5 已知双曲线252x －144
2
y = 1的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ．能否在双
曲线的左支上找到一点P ，使| PF 1|是P 到l 的距离与| PF 2|的等比中项？若能，试求出P 点坐标；若不能，请说明理由．
分析；此题为探索题目，一般可设存在点P ，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。
解：由a = 5，c =13，知 e =5
13，c a 2=1325
．
设P(x 0，y 0)，P 到l 的距离为d ，则| PF 1| =－a －e x 0=－5－
5
13
x 0，| PF 2|= a －e x 0= 5－5
13x 0，d =－c a 2－x 0=－1325
－x 0．
令| PF 1|2
= d ·| PF 2|，即(－5－513x 0)2
= (－1325－x 0)(5－5
13x 0)，
解得：x 0=－
1325或x 0=－32
225
．① 另一方面，因为P 在左支上，所以x 0≤－5．② ① 与②矛盾．故符合条件的P 点不存在．
评注： 一般的，211+≤ y = 1左支上存在P 点，使| PF 1|2 = d ·| PF 2|成立的充要条件。本题中双曲线离心率 e = 5 13 21+>，故符合条件的P 点不存在． 例如双曲线202x －252y = 1的离心率212 3 +<=e ，则这样的P 点一定存在。 类似的可得：32+≥e 是双曲线22a x －22 b y = 1左支上存在P 点，使2| PF 1|= d +| PF 2| 成立的充要条件。 通过以上几例，不难看到，适当的利用焦半径公式，以及双曲线的第二定义解答双曲线类问题确能起到事半功倍之效果。 高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 曲线与方程 命题人：褚晓清 审核人：王焕功 一、选择题 1、方程(x 2＋y 2－4) x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( ) 2、已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 3、已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是 A ．满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 B ．方程(,)0f x y =是曲线 C 的方程 C ．方程(,)0f x y =所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确 4、方程2(326)[log (2)3]0x y x y --+-=表示的图形经过点(0,1)A -，(2,3)B ，(2,0)C ，57(,)34 D -中的 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 52(2)0y +=表示的图形是 A ．圆 B ．两条直线 C ．一个点 D ．两个点 6、方程y =- A B C D 7、一条线段的长等于10，两端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上 且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 A ．221664x y += B ． 221664x y += C ．22168x y += D ．22168x y += 8、“点M 在曲线||y x =上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 9、已知(2,0)M -，(2,0)N ，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是 A ． 222x y += B ．224x y += C ．222(2)x y x +=≠± D ．224(2)x y x +=≠± 10、一动点C 在曲线221x y +=上移动时，它和定点B (3，0)连线的中点P 的轨迹方程是 A ．22(3)4x y ++= B ．22(3)1x y -+= C ．22(23)41x y -+= D ．223()12 x y ++= 11、已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23 ＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29 ＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) 12、设圆C 与圆x 2＋(y －3)2 ＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 二、填空题 13、已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________． 14、曲线y =||0()y ax a +=∈R 的交点有______个． 15、已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的 轨迹所包围的图形的面积为__________． 圆锥 曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为： 22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或 122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位 置，只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原 点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴ 01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。 注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支； 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线； ③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。 （2）双曲线的性质 2013-20１4学年度第二学期3月月考 高二数学试卷 满分：1５0分，时间:12０分钟 一、选择题：(本大题共1２小题，每小题５分,共６０分) 1、抛物线ｙ２=－２ｐx (p ＞0)的焦点为F ,准线为l ，则ｐ表示 （ ) A 、F 到准线l 的距离 Ｂ、Ｆ到y 轴的距离 C 、Ｆ点的横坐标 D 、Ｆ到准线l 的距离的一半 2.抛物线 2 2x y =的焦点坐标是 ( ） A ．)0,1( B.)0,4 1(?Ｃ.)8 1,0( D ．)4 1,0( 3.离心率为 3 2,长轴长为6的椭圆的标准方程是 ( ）Ａ.22195x y + = B ．22195x y +=或22 159 x y += Ｃ.2213620x y += Ｄ.2213620x y +=或22 12036 x y += 4、焦点在x 轴上，且6,8==b a 的双曲线的渐近线方程是 （ ） A.043=+y x B ．043=-y x C ．043=±y x D ． 034=±y x 5、以椭圆15 82 2=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程为 （ ） A.15322=-y x Ｂ．13522=-y x Ｃ．181322=-y x D ．15 132 2=-y x 6．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点（-2,3),则它的方程是 （ ） A ．y x 292-=或x y 342= B ．x y 2 9 2-=或y x 3 42= C ．y x 3 4 2 = Ｄ.x y 2 92 - = 7.抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y + =的右焦点重合,则p = ( ) A.4 Ｂ.4-?C ．2 Ｄ． 2- 《圆锥曲线与方程》单元测试 姓名_____________ 学号__________ 成绩____________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点，如果x 1 + x 2 = 6，那么AB 等于 ( ) A.10 B.8 C.7 D.6 2.已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x 43 y =，则双曲线的离心率为 ( ) A.35 B.34 C.45 D.23 3.以（-6，0），（6，0）为焦点，且经过点（-5，2）的双曲线的标准方程是（ ） A. 1201622=-y x B.1201622=-x y C.1162022=-y x D.116 2022=-x y 4.方程 22 125-16x y m m +=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) A.1625m -<< B.9162m -<< C.9252m << D.92 m > 5.过双曲线22149 x y -=的右焦点F 且斜率是32的直线与双曲线的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ） A.35 B.553 C.552 D.105 3 7.抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（ ） A. 15 B.152 C. 2 15 D.15 8.设12,F F 是椭圆164942 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则 21F PF ?的面积为（ ） A.4 B.6 C.22 D.24 9.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 曲线和方程练习题 一、选择题 1、（2014·安徽高考文科·Ｔ3）抛物线2 14 y x = 的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。 【解析】选A 。22 144 y x x y = ?，所以抛物线的准线方程是y=-1. 2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则 AB = ( ) A. B.6 C.12 D. 【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F 3,04?? ??? .则由抛物线的定义和直角三角形知识可得, 2m=2· 34·34n,解得m=32 ),n=3 2 所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C. 3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A. 4 B. 8 C. 6332 D. 9 4 【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积. 【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可 得,2m=2· 34+m,2n=2·34-n,解得m=32 (2+),n=3 2 (2-),所以m+n=6.所以S △OAB =1324?·(m+n)=94 .故选D. 4. （2014·四川高考理科·Ｔ10）已知F 为抛物线x y =2 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两 侧，2OA OB ?=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A. 2 B.3 C. 8 【解题提示】 圆锥曲线与方程 测试(1) 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.) 1.椭圆12 2 =+my x 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为( ) A. 41 B.2 1 C.2 D.4 2．双曲线 22 1412 x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ） A 3. 已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 34 =，则双曲线的离心率为（ ） A. 35 B. 34 C. 45 D. 2 3 4．已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为( ) A.9 B.7 C.5 D.3 5．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 6．中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于 5 3 ,则椭圆的方程是( ) A. 13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.19252 2=+y x 7．焦点为(06)， 且与双曲线2 212 x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是( ) A. 22 11224 y x -= B. 2212412y x -= C.22 12412 x y -= D. 22 11224 x y -= 8．若椭圆的短轴为AB ,它的一个焦点为1F ,则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A. 14 B. 2 C. 2 D. 12 9.以双曲线2 2 312x y -+=的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是( ) A. 22 11612 x y += B. 221164x y += C.22 11216x y += D. 22 1416 x y += 10.双曲线的虚轴长为4,离心率2 6 = e ,1F .2F 分别是它的左.右焦点,若过1F 的直线与双曲线的左支交于A .B 两点,且||AB 是||2AF 与||2BF 的等差中项,则||AB 等于( ) A.28 B.24 C.22 D.8. 11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为3 2 - ,则此双曲线的方程是( ) A 14322=-y x B 13422=-y x C 12522=-y x D 15 22 2=-y x 12.若直线4=+ny mx 和⊙O ∶42 2 =+y x 没有交点,则过),(n m 的直线与椭圆 14 922=+y x 的交点个数( ) A.至多一个 B.2个 C.1个 D.0个 圆锥曲线 一、椭圆 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-< 二、双曲线 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于 12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>，e 越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线 圆锥曲线与方程单元测试 卷答案 Newly compiled on November 23, 2020 《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1.方程132-=y x 所表示的曲线是 （ ） （A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2.平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的 轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） （A ）甲是乙成立的充分不必要条件 （B ）甲是乙成立的必要不充分条件 （C ）甲是乙成立的充要条件 （D ）甲是乙成立的非充分非必要条件 3.椭圆14222=+a y x 与双曲线12 2 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 4.若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为 （ ） （A ）x 2=–28y （B ）y 2=28x （C ）y 2=–28x （D ）x 2＝28y 5．已知椭圆19 252 2=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于 （A ）2 （B ） 4 （C ） 8 （D ） 23 （ ） 6.顶点在原点，以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6，此点到焦点的距离等于10，则抛物线焦点到准线的距离等于 （ ） （A ） 4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 7.21F F 为双曲线2214 x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则21PF F ?的面积是 （A ） 2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 （ ） 圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 圆锥曲线与方程测试题4 一、选择题 1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）. A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线21y x m =的焦点坐标为（ ） . A ．?? ? ??0,41m B ． 10,4m ?? ??? C ． ,04m ?? ??? D ．0,4m ?? ??? 3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）. A ．14- B ．4- C ．4 D ．14 4、AB 为过椭圆22a x +22 b y =1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（ ） A.b 2 B.ab C.ac D.bc 5、设11229(,),(4,),(,)5 A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（ ）. A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要 6、过原点的直线l 与双曲线42x －3 2 y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(2 3,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［2 3,+∞) 7、过双曲线2212 y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（ ）. A. 1 B.2 C.3 D.4 8、设直线=1:2l y x ，直线2l 经过点(2,1)，抛物线C:=24y x ，已知1l 、2l 与C 共有三个交点，则满足条件的直线2l 的条数为（ ）. A. 1 B.2 C.3 D.4 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上： )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θππ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率：)10(ππe a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆： 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α) 学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________ 数学试题 圆锥曲线与方程 ． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟， 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ． 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项 ． 设12F F 、 为定点，126F F =，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 ． 若抛物线焦点在x 轴上，准线方程是3x =-，则抛物线的标准方程是 A ．2 12y x = B ．2 12y x =- C ．2 6y x = D ．2 6y x =- ． 已知椭圆方程为 22 1916 x y +=，那么它的焦距是 A ．10 B ．5 C ．7 D ．27 ． 抛物线2 6y x =-的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 ． 若椭圆满足4a =，焦点为()()0303-，，， ，则椭圆方程为 A ． 22 1167 x y += B ． 22 1169x y += C ． 22 1167y x += D ． 22 1169 y x += ． 抛物线2 40y x +=上一点到准线的距离为8，则该点的横坐标为 A ．7 B ．6 C ．7- D ．6- ． 一椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为 A ．34 B ． 32 C ． 22 D ．12 8． 椭圆的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，则该椭圆的离心率是 A ． 12 B ． 32 C ． 2 D ． 14 9． 椭圆 22 1164 x y +=在y 轴上的顶点坐标是 A ．()20±， B ．()40±， C ．()04±， D ．()02±， 10． 若双曲线的焦点在x 轴上，且它的渐近线方程为3 4 y x =± ，则双曲线的离心率为 A ． 54 B ． 53 C ． 7 D ． 7 11． 椭圆 22 1169 x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，则AB 等于 A ．5 B ．7 C ． 5 D ．4 12． 如果椭圆22 221x y a b +=经过两点()()4003A B ，、，，则椭圆的标准方程是 A ． 221259 x y += B ． 22 1163x y += C ． 22 1169x y += D ． 22 1916 x y += 13． 双曲线2 2 44x y -=的顶点坐标是 A ．()()2020-，、， B ．()()0202-，、， C ．()()1010-，、， D ．()()0101-，、， 14． 若双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．32 15． 双曲线 22 1169 x y -=的焦点坐标为 A ．()40±， B ．()30±， C ．()50±， D ．() 圆锥曲线与方程 单元测试 时间：90分钟 分数：120分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆12 2 =+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ． 41 B ．2 1 C ．2 D ．4 2．过抛物线x y 42 =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线62 2 =-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．315(- ，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．3 15 (-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42 =上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若 p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)4 5,4(),45 ,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2=+y x ;③ 122 2=+y x ;④12 22=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图 象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1 tan 21= ∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322 =-y x D ．112 5322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．04 1 22 2 =- --+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．04 122 2=+--+y x y x 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ?，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题 班级 姓名 座号 分数 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为 3 1 ，则椭圆的方程是( ) A.1442x +1282y =1 B.362x +20 2y =1 C.322x +36 2y =1 D.362x +32 2y =1 2.双曲线22a x -22 b y =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A. 2 B.3 C. 2 D. 2 3 3．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．椭圆4 x 2+y 2 =k 两点间最大距离是8，那么k =（ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 5．已知方程 11 22 2=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） Ａ．k ＜１ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２ 6．过抛物线y x 42 =的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的 值为 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 7．圆心在抛物线x y 22 =（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．2 2 1 204 x y x y +--- = B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．04 122 2=+--+y x y x 8．已知方程0,,0(02 2>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ） 圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 圆锥曲线知识点全归纳（精华版） 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到 定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)- (y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)- (x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程： x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3）抛物线 标准方程： 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标?圆锥曲线知识点整理
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