(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题

1．已知离心率2

e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原

点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1，则实数a 的值为（ ）

A ．1

B C ．2 D ．4

2．已知抛物线E ：()2

20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于

A ，

B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为

C ，

D 两点，直线AB 交l 于G

点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF

DF

②直线AB 的倾斜角为π4

或3π4 ③F 是AG 的中点

④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④

B ．②③

C ．①②③

D ．①③④

3．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、

B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A ．(

B ．(1,1

C ．

)

+∞

D ．()

1++∞

4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若

1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A ．

2

B ．

3

C ．

2

D ．

3

5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ）

A ．4

B C ．D ．2

6．已知圆2

2

2

1:(0)C x y b b +=>与双曲线22

222:1(0,0)-=>>x y C a b a b

，若在双曲线2C 上

存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．⎛ ⎝⎦

B ．,2⎫

+∞⎪⎪⎣⎭

C ．(

D ．)

+∞

7．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且

12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12

11

e e +的值为（ ） A ．2

B ．3

C ．

32

D ．

52

8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A

．9

B

．9C

．

71

12

+D

．

83

12

9．椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在

椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|

，

11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A

．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

B

．2]

C

．12⎛⎤

⎥ ⎝⎦

D

．1]

10．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，抛物线2

8y x

=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（ ） A

B

C

．

3

D ．2

11．已知椭圆r ：()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形

ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，

且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线

OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则

123

111

k k k ++=（ ） A ．43

-

B ．-3

C ．1813

-

D ．32

-

12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F

，离心率2

，过点F 的直线l 交椭圆

于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）

A ．2

B ．2-

C ．12

-

D ．

12

二、填空题

13．已知椭圆2

214

x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点

A 关于原点的对称点为

B ，则

PAB S

的最大值为________．

14．12F F 、分别为椭圆2

214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且

1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________

15．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________

16．已知双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为

a

b

的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．

17．已知椭圆22

221(0)x y a b c a b

+=>>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以2F 为圆心，

b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于

3

()2

a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为

1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率

()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.

19．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.

20．已知抛物线2

1:8

C y x =

的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23

MN MF →

→

=时，NOF 的面积是______

三、解答题

21．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1

，离心率e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点 （1）求椭圆的标准方程 （2）当直线l 的斜率为

1

2

时，求弦长AB 的值. 22．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；

（2）过点3(,0)2

作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线

2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定

点，并求出该定点的坐标.

23．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>经过点(0

，离心率为12，左、右焦点分别为

F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；

（2）若直线l ：y ＝－1

2

x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两

点，且满足

||||AB CD =

，求直线l 的方程. 24．已知抛物线()2

20y px p =>的焦点F 恰是椭圆2

212

x y +=的一个焦点，过点F 的直

线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.

（2）若45AFx ∠=，求AB .

25．已知椭圆方程为22

163

x y +=．

（1）设椭圆的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、

OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB 、COD △的面积分别为1S 、2S ，

求

1

2

S S 的取值范围． 26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数； （2

）若||AB =AFB △的周长.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

双曲线22

22:1x y C a b

-=的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径圆与双曲线C 的一条

渐近线相交于O ，A 两点，所以FA OA ⊥，则FA b =，OA a =，AOF ∆的面积为1， 可得1 12ab =

，双曲线的离心率e =22222

5 4c a b a a +==， 即1

2

b a

=，解得1b =，2a =，故选C. 点睛：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查了计算能力；利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形中直径所对的圆周角为直角，可求得直角三角形AOF ∆的面积1 12

ab =，结合离心率以及恒等式222c a b =+即可得到关于

,,a b c 方程组求出a 即可；

2．D

解析：D 【分析】

由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得

AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．

【详解】

解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =， 则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠， 则2

AFC BFD CFO DFO CFD π

∠+∠=∠+∠=∠=

，

CF DF ∴⊥，故①正确；

设AB 所在直线方程为()2

p y k x =-

， 联立2()22p y k x y px

⎧

=-⎪⎨⎪=⎩，得22222

(2)04k p k x k p p x -++=．

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

则2

124

p x x =，

又3AF FB =，∴123()22

p p

x x +

=+，即123x x p =+， 联立2

121

243p x x x x p

⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12p

x =-（舍)或1

32x p =， 则13y p =，即3

(,3)2

A p p ，

则

33

31

22

FA P

k p p =

=-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确 由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为

23

π

，故②错误． 由3

(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2

p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；

故选：D ． 【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．

3．D

解析：D 【分析】

由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得2

2b

c a

<，即可由此求出离心率.

【详解】

由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2b

y a

=±，

∴以AB 为直径的圆的半径为2

b AF a

=，

双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，

2

2b c a

∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，

两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >

故双曲线离心率的取值范围是()

1+∞. 故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出

2

2b c a <.

4．D

解析：D 【分析】

利用1F PQ 为等边三角形可得2

1222b PF PF a

==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消

去b 后可得()

222

32a c a -=，从而可得离心率.

【详解】

不妨设椭圆的标准方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .

令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故2

2b

PF a

=，

1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即2

1222b PF PF a

==，

由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a

⨯

=，即()222

32a c a -=，

故2

13e =

，解得e =

故选：D. 【点睛】

圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．

5．A

解析：A 【分析】

由已知求得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，设1122(,),(,),A x y B x y 得出根与系数的关

系1212 4.y y y y +==-再表示三角形的面积

121

1||2

OAB

OAF

OFB

S

S

S

y y =+=

⨯⨯-，代入计算可得选项． 【详解】

由2:4C y x =得(1,0)F ，所以直线l

的方程为1)y

x =

-，即1x =+，联立得2

4

1

y x

x ⎧=⎪⎨

=+⎪⎩，化简得240.y --=，设11

22(,),(,),A x y B x y 则1212

4.y y y y +==-

， 所以

1211

1||422

OAB

OAF

OFB

S

S

S

y y =+=

⨯⨯-=

==，

故选：A ． 【点睛】

方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，将所求的目标转化到交点的坐标上去.

6．B

解析：B

【分析】

根据题意，若过点P 所作的圆1

C

的两条切线互相垂直，则OP =，则只需在双曲线

，设点(),P x y ，则利用

OP ===有解求出离心率e 的取值范围.

【详解】 如图所示，

设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆222

1:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b =

=，

设点(),P x y ，则22

2

2

2

212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭

有解，整理得22

2

23c x b a =有解，即222

2

3a b x c

=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222

b c a =-，故22233c a c -≥，解得6

2c e a =

≥

. 故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.

7．A

解析：A

【分析】

设双曲线2C 的方程为22

221x y a b

-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定

义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】

设双曲线2C 的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，焦点()2,0F c ，

因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==， 又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=， 所以122PF c a =-， 设椭圆的长轴长为2a '，

根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，

所以121122a a c a a

e e c c c c

'-+

=+=+=. 故选：A. 【点睛】

求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；

2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

8．B

解析：B 【分析】

根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】

如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

又因为()1,0F ，所以

()10

:01114

AB l y x --=

--，即()4:13AB l y x =--，

又()2413

4y x y x

⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244

B

B y x ==，所以()4,4B -，

又因为1254244

A B AB AF BF x x p =+=++=

++=，111

344

M A AM x x =-=-

=，()()

22

434126BM =-+--=，

所以ABM 的周长为：2511

2692644

AB AM BM ++=++=+， 故选：B.

【点睛】

结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）

（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+

； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02

p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+

； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02

p PF y =-+

. 9．C

解析：C 【分析】

根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PF

n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析

18m t n m

=+的取值范围，

进而求得(

)

2224232c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【详解】

设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，

因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；

由

11

QF PF ≥

1m

n

≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得(

)22

2mn a c

=-②；

由①②得

()

2222242c m n m n

mn n m a c +==+-； 令=+m n

t n m

，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭

，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即(

)222

422c a c <≤-

，所以，()

222223

a c c a c -<≤-，

所以，()

2

2

2

11e e e

-<≤-

，所以，2142e <≤-

1e <≤ 故选：C 【点睛】

关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得(

)22

2mn a c

=-②；

由①②得()

22222

42c m n m n

mn n m a c +==+-，

然后利用换元法得出()

22211e e e -<≤

-，进而求解 属于中档题

10．B

解析：B 【分析】

求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后

求解双曲线的离心率即可 【详解】

由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，

因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，2

2

2

212

124PF PF F F c +==，

点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故2

2212

1224PF PF PF PF a +-⋅=， 则22444c a -=

，所以a =

故选：B. 【点睛】

本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..

11．A

解析：A 【分析】

根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为1

2

，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】

因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12

， 所以1

1,

2

c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22

143

x y +=，

设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，

则2222

12121,14343

y x y x +=+=， 两式相减得：()()

1212

121243+-=--+y y x x y y x x ， 即

14

3

OD AB k k =-， 同理1414

,33

OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，

所以()1231114433

OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A

【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12．C

解析：C 【分析】

先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】

由题得

222222242,4()2,22

c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，

所以222222

11222222

2

2b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得22

12121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以22

12122()2a ()0b x x y y -+-=，

所以22

1212()

240()

y y b b

x x -+=-，

所以1120,2

k k +=∴=-. 故选：C 【点睛】

本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

二、填空题

13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由

解析：2 【分析】

由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，

PAB

S

1

||||2

A B OP x x =

-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】

由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+， 代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=，

所以2

814k

x k -=

+，

所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，2

2

14)14k k -+， 由题意得B 28(14k k +，22

41

)14k k -+，

所以三角形PAB 的面积2

1116||||||2214A B k S OP x x k =

-=+因为0k ≠， 所以

118|

|8

2

124

4PAB

S

k k

==+

.

故答案为：2. 【点睛】

关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.

14．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简

1 【分析】

由题意知12124,

F P PF F F +==124

3

F P

PF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.

【详解】

因为12F F 、分别为椭圆2

2

14

x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，

所以12124,F P PF F F +==

则由余弦定理得，2

22

12

12122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，

()

2

121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，

即1212163F P

PF =-‖， 所以1243

F P

PF =‖， 故12PF F ∆的面积

121sin 602

S F P PF ︒=

⋅‖=

设12F PF ∆的内切圆半径为r ，

则12121|)(4122(3

F P PF F F r r S +⋅=+⋅=

=

+|，

解得13

r =

-

1 【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.

15．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦

解析：22

1259

x y +=(0)y ≠

【分析】

根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点 【详解】

ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，

、()40B ，，周长为18 810AB BC AC ∴=+=，

108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，

∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆 210283a c b ==∴=，，

∴椭圆的标准方程是221259x y += ()0y ≠

故答案为22

1259

x y += ()0y ≠

【点睛】

本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．

16．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解

解析：4

3

y x =±

【分析】

根据题意求出点M 的坐标，再根据1

3PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲

线方程即可求出b

a

，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】

设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()a

y x c b

=

+， 由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，

可知()a y x c b b y x a ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c ab

y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，即2,a ab M c c ⎛⎫-

⎪⎝⎭， 过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B 因为1

3PM MF =，

所以1114AF BF =

，1

4

AM BP =， 不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-

=，解得2

043a x c c

=-， 所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭

代入()222210,0x y a b a b -=>>， 即()

2

2

222

44310,0a ab c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>，

整理可得22925c a =，即()

222

925a b a +=，

解得2216

9

b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.

故答案为：43

y x =± 【点睛】

本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.

17．【分析】利用切线的性质和勾股定理可得利用椭圆的性质可得的最小值为由题意可得最小值为即可得出离心率满足的不等式再利用得联立两个不等式即

可解出的取值范围【详解】因为所以当且仅当取得最小值时取得最小值而的

解析：3,52⎡⎢⎣⎭

【分析】

利用切线的性质和勾股定理可得||)PT b c =

>，利用椭圆的性质可得

2PF 的最小值为a c -，由题意可得PT )a c -，即可得出离心率e 满足的

不等式，再利用b c >，得222a c c ->，联立两个不等式即可解出e 的取值范围.

【详解】

因为||)PT b c =

>，

所以当且仅当2PF 取得最小值时，PT 取得最小值.而2PF 的最小值为a c -，

所以PT 23

()2

a c -， 所以22()4()a c

b

c --，

所以2()a c b c --，所以2a c b +， 所以()2

22()

4a c a c +-，所以225302c ac a +-≥，

所以25230e e +-.①又b c >，所以22b c >，所以222a c c ->，所以221e <.② 联立①②，得

32

52

e <

.

故答案为：35⎡⎢⎣⎭

【点睛】

本题主要考查了椭圆的性质，离心率的计算公式，圆的切线的性质，勾股定理，一元二次不等式的解法，属于基础题

18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三

解析：32,53⎛⎫

⎪⎝⎭

【分析】

由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求

得答案. 【详解】

设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()22

2210,0x y m n m n

-=>>，

因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，

即在椭圆中有1221

122222PF PF a

PF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨

==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，

由①②可知，2a c m =-，

因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫

=∈∈ ⎪⎝⎭

，且

12

11

1222c c e m a c m c e ====---， 由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

. 故答案为：32,53⎛⎫

⎪⎝⎭

【点睛】

本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.

19．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以

解析：22

13616

x y +=

【分析】

由已知可得

c =

||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点

P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.

【详解】

解：由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

因为(F -为椭圆C

的左焦点，所以c =， 因为||||OP OF =

，所以||||OP OF ==， 设点P 的坐标为(,)P m n

，则

11

422

OF n ⋅=⨯

解得

n =m =， 所以点P 的坐标为

⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以

22

3664

155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，

所以椭圆的标准方程为22

13616

x y +=，

故答案为：22

13616

x y +=

【点睛】

此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.

20．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线

【分析】

由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23

MN MF →

→

=，可得N 在M ，F 之

间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得

tan FMN '∠=

，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．

【详解】

由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-， 设NN '垂直于准线交于N '，如图，