§ 离散时间系统的频率响应特性
离散系统的频率响应及DFT
实验二 离散系统的频率响应及DFT实验目的：1. 运用MATLAB 计算离散时间系统的频率响应。
2. 运用MATLAB 计算有限长序列的离散傅立叶变换。
3. 运用MATLAB 熟悉离散傅立叶变换的圆周移位和对称性质。
实验内容：一、计算离散时间系统的DTFT已知一个离散时间系统∑∑==−=−Mk k N k k k n x b k n y a 00)()(，可以用MATLAB 函数frequz 非常方便地在给定的L 个离散频率点l ωω=处进行计算。
由于)(ωj e H 是ω的连续函数，需要尽可能大地选取L 的值（因为严格说，在MATLAB 中不使用symbolic 工具箱是不能分析模拟信号的，但是当采样时间间隔充分小的时候，可产生平滑的图形），以使得命令plot 产生的图形和真实离散时间傅立叶变换的图形尽可能一致。
在MATLAB 中，freqz 计算出序列{M b b b ,,,10L }和{N a a a ,,,10L }的L 点离散傅立叶变换，然后对其离散傅立叶变换值相除得到L l e H l j ,,2,1),(L =ω。
为了更加方便快速地运算，应将L 的值选为2的幂，如256或者512。
实验程序2.1：运用MATLAB 画出以下系统的频率响应。
y(n)-0.6y(n-1)=2x(n)+x(n-1)程序：clf;w=-4*pi:8*pi/511:4*pi;num=[2 1];den=[1 -0.6];h=freqz(num,den,w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle(‘H(e^{j\omega}的实部’))xlabel(‘\omega/ \pi’);ylabel(‘振幅’)；subplot(2,1,1)plot(w/pi,imag(h));gridtitle(‘H(e^{j\omega}的虚部’))xlabel(‘\omega/ \pi’);ylabel(‘振幅’)；运行程序2.1 ,并显示图形。
课件：离散时间系统的频率响应
则系统的幅频特性为
M
ej z j
H (e j )
k
j 1 N
ej pi
H (e j ) e j
i 1
ej pi Bieji 相频特性为
M
Aj
H (ej )
k
j1 N
Bi
i 1
M
N
() j i
j 1
i 1
信号与系统
§7.9 离散时间系统的频率响应
北京航空航天大学电子信息学院 2021/7/20
一、离散时间系统频响的定义
离散时间系统的频率响应： h(n) 的傅里叶变换 条件：稳定系统
H ej F h n H z zej
从系统激励与相应的零状态响应的傅里叶变换关系来看，
H
e j
Y
z
Y zej
e j
X z zej
X ej
H ej H ej ej
幅频特性： H ej ~
相频特性： ~
二、离散时间系统频响的物理意义
观察复指数序列 xn e u j0n n
X
z
z
z e j0
则系统响应的z变换为
Y
z
z z e j0
H z
由于系统为因果稳定系统， 极点均位于单位圆内，不会
与X(z) 的极点 ej0相重合。
Y
z
az z ej0
M
Am z
m1 z zm
其中常数 a H e j0 ，则稳态响应为
二、离散时间系统频响的物理意义
y n H ej0 ej0nu n
序列 e u j0n n经过一离散时间系统H(ejω) ，所得稳态响
应依然是 e u j0n n，但受到该系统频率响应 H e j0的加
离散系统的系统函数和频率响应-PPT课件
离散系统的系统函数和频率响应
Y ( z ) 系统函数： H ( z ) FT [ h ( n )] X ( z )
频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数)
零点矢量
H (e ) Ae
j
j(N M)
(e (e
r 1 r 1 N
M
相量相减的 矢量几何表 示法:从Cr 单位圆上的 e^jw
j
c r) dr )
极点矢量
j
位于原点的零极点不影响 | H(e ) | 只影响 ( )
j
H (e ) A
j
cB
r r 1 N r
j
H ( e) H ( z ) | j z e
j
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性：
n
|h(n) |
n
n
| h ( n ) z
| , z 1
（稳定的系统收敛域包括单位圆）
离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆)
block-diagram realization sample processing
e
filter design specifications
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
p 1 R e
z-plane
j 0
p 2 R e
实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述
实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。
2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。
3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。
2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。
三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。
2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。
3、写出实验心得。
附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。
调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。
例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。
调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。
确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。
离散系统的系统函数,系统的频率响应.ppt
k 1
令 cm e j cm me jm
dk e j dk lke jk
则频率响应的
M
m
幅度：
H (e j ) K
m1 N
lk
幅角：
k 1
M
N
arg[H (e j )] arg[K ] m k (N M )
m1
k 1
• 零点位置影响凹谷点的位置与深度
• 零点在单位圆上，谷点为零 • 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
零点：zi
ae
j
2 M
i，i
1, 2,..., M
1
极点：z 0， (M 1)阶，z a处零极点相消
当输入为 (n)，则输出为h(n)
an 0 n M 1
h(n)
0
其它n
5、IIR系统和FIR系统
无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列
有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列
M 1
aM 1x(n M 1) ak x(n k )
k 0
这就是M 1个单元延时及M 个抽头加权后
相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，
求其频率响应。
解：令x(n) (n)，两边取z变换
M 1
H(z) akzk
k 0
1
aM zM 1 az1
zM aM zM 1(z a)
z 0
H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
例：一系统的极点有：
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j /6 , 2e j /6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统，
第10章--离散系统的频率响应
H(e jω ) = K
∏ Cm ∏ Dn
n =1 m =1 N
M
系统的相位频响特性为
ϕ ( ω )＝∑ α m－∑ β n＋ ω(N － 源自)m =1 n =1N
N
12 由公式可见，系统函数与频率响应有着密切的联系。适 当地控制系统函数极点、零点的分布，可以改变离散系统的 频率响应特性： (1)在原点(z＝0)处的零点或极点至单位圆的距离始终保 持不变，其值|ejω|＝1，所以对幅度响应不起作用。 (2)单位圆附近的零点对系统幅度响应的凹谷的位置及 深度有明显的影响。 (3)单位圆内且靠近单位圆附近的极点对系统幅度响应 的凸峰的位置及峰度有明显的影响。
21 subplot(2，2，2)，plot(w/pi，angle(h))；grid %作系统 的相位频响图 axis(［0，1，1.1*min(angle(h))，1.1*max(angle(h))］)； title(′相频特性′)； subplot(2，2，3)，plot(w/pi，db)；grid %作系统的相 对幅度频响图 axis(［0，1，－100，5］)； title(′幅频特性( dB)′)； subplot(2，2，4)，zplane(b，a)；%作零极点分布图 title(′零极点分布′)； 执行结果如图10-3所示。
3
二、实验涉及的MATLAB子函数 实验涉及的 子函数 1.freqz 功能： 功能：用于求解离散时间系统的频率响应函数H(ejω)。 调用格式： 调用格式：
［h，w］＝freqz(b，a，n)；可得到数字滤波器的n点复 频响应值，这n个点均匀地分布在［0，π］上，并将这n个频 π 点的频率记录在w中，相应的频响值记录在h中。缺省时n＝ 512。
13
信 号 与 线 性 系 统-第8章 7-9
东南大学 信息科学与工程学院
例 2：全通离散系统：系统函数的所有极点均与相应的零点关于 单位圆成镜像对称（即相角相同，幅值互为倒数） 结论：1）m=n
2）
如：
| H (e
jωT
) |= 常数 =| H ( z )
|， z=1
y(k + 2) + a1 y(k + 1) + a0 y(k ) = K[a0 e(k + 2) + a1e(k + 1) + e(k )]
a − 4a0
2 1
2a0
2 1
= r1 e
a − 4a0 ± = r2 e 2
1 r1 = = r2 1 a0
jθ 2
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
易得 θ1 = θ 2 故 可判定为
互为镜像
全通
东南大学 信息科学与工程学院
则：
| H (e
jωT
) |≡| K || H ( z ) |z =1|=| K |
k →∞
y zs (k ) 有界，
2． h(k ) 绝对可和；或 lim h( k ) → 0 ； 3．H(z)极点均在单位圆内；
4．R-H 判据：
s +1 先作双线性变换 z = ， （线性变换 s −1
即对
单值映射）
N (z) H (z) = D (z)
有
B (s) = = 0 ， D (z) s + 1 A(s) z = s − 1
∏
m
Bi Ar
∏
r =1
东南大学 信息科学与工程学院
1 z 例 1：上例中 a = ，则 H ( z ) = 2 z−a 1 z1 = 0 p1 = bm = 1 2
§8.10 离散时间系统的频率响应特性
a1 sinω ϕ(ω) = −arctan 1− a cosω 1
说明：1.为了保证该系统稳定 要求| |<1； 为了保证该系统稳定， 说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 2.若0<a <1,则系统呈“低通”特性； 则系统呈 则系统呈“ 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 3.若 1<a <0,则系统呈 高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性； 4.若 则系统呈“全通”特性； 教材例8 22中的图 19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 中的图8 0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ejω)|, ϕ (ω) <1时的系统零 极点图与h ),|H 时的系统零、 的波形图。 的波形图。
例8-10-1 10-
已知离散时间系统的框图如图所示， 已知离散时间系统的框图如图所示，求系 统频率响应特性。 统频率响应特性。 z−1 1 解：系统的差分方程 1 2 x(n) y(n) y(n) = 0.5x(n) + 0.5x(n−1) 2
∑
设系统为零状态的，方程两边取z变换 设系统为零状态的，方程两边取z
H ejω ~ ω ：幅频特性
H ejω = H( z)
( )
( )
= H ej ω ejϕ(ω) z = ejω
(
)
ϕ(ω) ~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
• H(ejω)即h(n)的DTFT
输出与输入序列的幅度之比
为周期函数，所以H 为周期函数， • ejω为周期函数，所以H(ejω)为周期函数， 其周期为2 其周期为2π 。 例8-10-1
离散系统的频率响应分析和零、极点分布
实验2 离散系统的频率响应分析和零、极点分布一、实验目的通过MATLAB仿真简单的离散时间系统，研究其时域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零、极点分布的概念的理解。
二、基本原理离散系统的时域方程为其变换域分析方法如下：频域)()()(][][][][][ωωωjjjmeHeXeYmnhmxnhnxny=⇔-=*=∑∞-∞=系统的频率响应为ωωωωωωωjNNjjMMjjjjededdepeppeDepeH----++++++==......)()()(11Z域)()()(][][][][][zHzXzYmnhmxnhnxnym=⇔-=*=∑∞-∞=系统的转移函数为NNMMzdzddzpzppzDzpzH----++++++==......)()()(1111分解因式∏-∏-=∑∑==-=-=-=-NiiMiiNiikMiikzzKzdzpzH1111)1()1()(λξ，其中iξ和iλ称为零、极点。
在MATLAB中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。
另外，在MATLAB中，可以用函数 [r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
三、实验内容及要求一个LTI离散时间系统的输入输出差分方程为y(n)-1.6y(n-1)+1.28y(n-2) =0.5x(n)+0.1x(n-1)（1）编程求出此系统的单位冲激响应序列，并画出其波形。
（2）若输入序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4),编程求此系统输出序列y(n),并画出其波形。
（3）编程得到系统频响的幅度响应和相位响应，并画图。
系统的频率响应特性判断
问题：
请问怎么通过H(z)或H(s)判断是低通高通什么的？
怎样通过H （s ）区分几种滤波器？
解答：
1. 连续系统
系统函数()H s ，对于稳定系统，频率特性表示为
()()j j =s H H s ωω=
判断系统的滤波特性，可以采用解析的方法，先得到幅频特性。
例如
()1=1
H s s +，频率响应特性为()1j =1+j H ωω，幅频特性为(
)j H ω，幅频特性曲线如下
可以看出，随着ω的增大，()j H ω越来越小，系统具有低通滤波特性。
2. 离散系统
系统函数()H z ，对于稳定系统，频率特性表示为
()()j j e e =z H H z ωω=
分析方法类似。
注意，π对应数字角频率的高频。
另外还可以根据零极点分布通过结合几何确定法分析系统的频率特性。
可参考课件5.11节，5.13例9，6.11节，6.12例10。
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通过几何方法可以大致估计
出频率响应的形状，如图(d)
所示。
o
此例给出的二阶离散
π
ωs 2 (d)
系统与RLC二阶模拟电路
有“相仿”的特性。
2π
ωs ω
返回
• H(ej)即h(n)的DTFT • ej为周期函数，所以H(ej)为周期函数， 其周期为2p 。
例8-10-1
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x(n)=ejn 为本征函数
xn hn yn
h(n)为稳定的因果系统
ynh nxn hmejω nm ej n
h m ejωm
m
m
Hz h(m)zm单位圆上 m
hnArnejnθrnejnθun
2jAnsrin n θunb1rn1sin n θun （c)
siθn
如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。
系统的频率响应为 Hejω 1a1eb1jω ejω a2e2jω
根据H(z)的零极点分布， H ejω
H ejωH zz ejω
H(ej) 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 H(ej) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。
ynej n Hejω
离散系统（数字滤波器）的分类
H e j ω
低通
O ωc
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
解：系统的差分方程
z1
1
y n 0 . 5 x n 0 . 5 x n 1 xn
1 2
2 yn
设系统为零状态的，方程两边取z变换
Y z 0 .5 X z 0 .5 z 1 X z 系统函数 H zY X zz0.50.5z1
B2 O
p2 2
ω
A2 2
z2
C
1 Re z
M
幅 频 响 应 He jω r N1Ar
Bk
k1
M
N
相 位 响 应 r k
r1
k1
令ejω zr Ar ejr ejω pk Bk ejk
几点说明
• 位于z=0处的零点或极点对幅度响应不产生作用， 因而在z=0处加入或去除零极点，不会使幅度响 应发生变化，但会影响相位响应。
（教材例8-22）
xn
yn
解：差分方程
y(n )a 1y(n 1 )x (n )
a1
z1
系统函数 H(z) z
za1
z a1
为了保证该系统稳定，要求|a1|<1
频响特性
H ej
ej ej a1
幅频特性
Hej
1 1a122a1c
1
os1a1cosja1sin
相频特性 arct1a a1n as1cin os
高通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带阻
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
全通
O
ωs 2
ωs
ω
返回
二．频响特性的几何确定法 j Im z
H z
M
z
r 1
N
z
zr pk
k 1
B1
p1
1
D e jω
A1 1
z1
M
E
Hej r N 1ejωzr Hejω ejω
k 1ejωpk
系统的频率响应特性
Hej Hz zej 0.51ej
0.5ej 2ej2ej2 2cosej 2
2
2
频率响应特性曲线 幅频特性
Hejω
1
H ej cos 2
2π
O π 2π
图 (1) 幅频特性曲线
相频特性
2
jω
π 2
2π
O π 2π
图 (2) 相频曲线
ω
ω
返回
例8-10-2 求下图所示一阶离散系统的频率响应。
Hz1rejθzb 11z11 rejθz1
r
p1
O
1 Re z
p2
可见H(z)除一对共轭极点外，
（b)
还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。
若把H(z)展成部分分式，得
H zA 1re 1jθz 11re 1 jθz 1
hn
其中
A b1 2jr sinθ
o
n
对H(z)进行逆变换，单位样值响应为
Hej ~ω：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比
ω~ω ：相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上随 而动
态变化的情况，影响输出的幅度与相位。
3.因ej是周期为2p的周期函数，所以系统的频响
特性H(ej)也为周期为2p的周期函数。
4. |H(ej)|是关于的偶函数，( 是关于的奇函数。
的波形图。
返回
例8-10-3 求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。
（教材例8-23）
xn z1 b1
yn
该系统的差分方程为
a1
a2
z 1
y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 b 1数写作 Hz
b1z1
1a1z1a2z2
若a1, a2为实系数，且a12+4a2<0, 则H(z)含有
n ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，
这就是系统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换， 即系统的频率响应特性:
Hej HzzejωHejωejω
Hejω ~ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
一对共轭极点，令它们是
p1,2 rejθ
对此因果系统， H(z)的收敛域应为|z| r
容易求得r,与系数a1, a2的关系为
1 r e j z 1 1 r e j θ z 1 1 a 1 z 1 a 2 z 2jImz
得到:
r 2 a2
2r cos θ a1
于是H(z)可写成
•当ej点旋转到某个极点(pi)附近时，如果矢量的长 度Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。
•若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响 应在峰值附近愈尖锐；
•若极点pi落在单位圆上，Bi=0，则频率响应 的峰值趋于无穷大。 •零点的作用与极点相反。
小结 1. 系统的频响特性 H ejHzzejωH ejωejω
说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性；
教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了
0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ej)|,
§8.10 离散时间系统的频率 响应特性
一．一、离散系统频响特性的定义 二．二、频响特性的几何确定法
返回
一．离散系统频响特性的定义
正弦序列作用下系统的稳态响应
xn
Hz
yzs n
x n
A
O θ1 ω
稳定的因果
ω
A sin nω θ 1
离 散 系 统 yzs n
B
O
n
θ2
ω
B sinnω θ 2