湖北省武汉二中广雅中学2019-2020学年九(下)数学质量评估(一) 解析版
2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学九年级(上)质量评估数学试卷(三)(附答案详解)
2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（上）质量评估数学试卷（三）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程x2−2x+1=0的二次项是x2，则一次项和常数项分别是()A. 2x和1B. 2x和−1C. −2x和−1D. −2x和12.抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是()A. (2,−3)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−2,−3)3.下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是()A. B.C. D.4.已知方程x2−5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1x2的值为()A. 5B. −5C. 2D. −25.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是()A. 300(1+x)=507B. 300(1+x)2=507C. 300(1+x)+300(1+x)2=507D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=5076.已知点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在函数y=−x2−2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为()A. y1<y3<y2B. y3<y1<y2C. y3<y2<y1D. y2<y1<y37.将二次函数y=x2+x的图象沿x轴翻折后，所得图象的函数解析式是()A. y=x2+xB. y=x2−xC. y=−x2+xD. y=−x2−x8.抛物线y=x2+2kx−4k的顶点在x轴上，则k的值为()A. 4B. −4C. 0或4D. 0或−49.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得，71+72+⋯+72020+72021的结果的个位数是()A. 0B. 1C. 7D. 810.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②若M(n2+1,y1)，N(n2+2,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b；④若c=2，则有b2>4ac−8a；⑤若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有整数根，则p的值有2个，其中正确的有()个．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.一元二次方程x2−x=0的根是______．12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为1和3，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线______．13.如图所示，将一个顶角∠B=30°的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)，得到等腰三角形AB′C′，使得点B′，A，C在同一条直线上，则旋转角α=______度．14.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−16x2+43x+32，则他将铅球推出的距离是______m.15.已知，△ABC为等腰三角形，其面积为30，腰长为10，则底边长是______．16.已知二次函数y=x2+bx+b2，当b≤x≤b+3时，函数的最小值为21，则b的值是______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.按要求解下列方程：用配方法解：(1)x2+10x+16=0；用公式法解：(2)2x2−3x−1=0．18.已知二次函数C2：y=ax2+2x+c图象经过点A(2,3)和点C(0,3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)填空：抛物线C1：y=ax2的顶点坐标为(______，______)，而抛物线C2：y=ax2+2x+c的顶点坐标为(______，______).将抛物线C1经过适当平移，得到抛物线C2：应该先向______(填：左或右)平移______个单位长度，再向______(填：上或下)平移______个单位长度．19.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？20.如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都为格点，且点A(1,2)，请分别仅用一把无刻度的直尺在所给的网格中画图，保留画图过程的痕迹．(1)过点C画一条线段AB的平行线段CD，直接写出格点D的坐标：______．(2)过点C画一条线段AB的垂线CE，直接写出格点E的坐标：______．(3)作∠DCE的角平分线CF，直接写出格点F的坐标：______．21.关于x的一元二次方程x2+(2m−3)x+m2=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若x1、x2是方程的两根，且1x1+1x2=1，求m的值．22.某零食铺子销售某种的精品坚果，每斤进价为50元，市场调研表明：当售价为66元/斤时，每月能售300斤，而当售价每涨价1元时，每月能少售10斤．设每斤坚果涨价x元(x≥0)，每月的利润为W元．(1)求W与x之间的函数关系式以及自变量x的取值范围；(2)每斤坚果的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？(3)由于运输费用降低，坚果进价每斤降低了m元(m>0)，现规定售价不得低于每斤75元，该商铺在今后的销售中，若可获得的月最大利润为5460元，求m的值．23.如图，在平面直角坐标系中，点A，C，E在x轴上，点B是y轴正半轴上一动点，AD，BE是△ABC的两条角平分线，且AD，BE交于点F．(1)当C点坐标为(1,0)，∠BCA=60°，且点A，E在x轴的非正半轴上时．①如图1，若∠BAC=∠BCA，请直接写出BC，OA，AF的长度：BC=______，OA=______，AF=______；②如图2，若3∠BAC=2∠BCA，求AF的长；(2)如图3，已知点A(m−2,0)，点B(0,c)，点C(m+2,0)，点M(−3,−2)，点N(3,1)，现过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=−x2+bx+c，当该抛物线与线段MN 有且仅有一个交点时，请直接写出符合题意m的取值范围是______．24.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2x−3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OC=OB=3，点P为抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P运动过程中，使得锐角∠PCO>∠ACO，设点P的横坐标为x，求x的取值范围；(3)如图2，当点P运动到第四象限时，连AP、BP，直线BP交y轴于点R，过点B作直线l//AP交y轴于点Q，求证：线段QR的长度为定值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为项包括前面的符号，所以方程x2−2x+1=0的一次项和常数项分别是：−2x和1．故选：D．根据一元二次方程的二次项、一次项及常数项的定义，判断得结论．本题考查了一元二次方程的项，一般先把方程化为一般形式，再确定其二次项、一次项及常数项．2.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=(x−2)2−3，∴该抛物线的顶点坐标是(2,−3)，故选：A．根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【答案】C【解析】解：根据旋转的性质，分析图可知C不是旋转，它是轴对称的关系．故选：C．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．本题考查旋转的性质和轴对称的定义：(1)旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．(2)轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．4.【答案】C【解析】解：∵方程x2−5x+2=0中的a=1，c=2，∴x1x2=ca=2．故选：C．利用根与系数的关系求出两根之积即可．此题主要考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300(1+x)2=507．故选：B．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．根据二次函数图象具有对称性和二次函数的增减性，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=−x2−2x+b，∴函数y=−x2−2x+b的对称轴为直线x=−1，开口向下，当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，∵−1−(−3)=2，−1−(−1)=0，2−(−1)=3，∴y3<y1<y2，故选B．7.【答案】D【解析】解：二次函数y=x2+x的图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为−y=x2+ x，即y=−x2−x．故选：D．直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案．本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，明确关于x轴翻折得到的图象与原图象关于x轴对称是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=x2+2kx−4k的顶点在x轴上，=0，∴4×1×(−4k)−(2k)24×1解得，k1=0，k2=−4，故选：D．根据抛物线y=x2+2kx−4k的顶点在x轴上，可知该抛物线顶点的纵坐标为0，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】C【解析】解：由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，可得：个位数4个数一循环，且4个数一循环的个位数字之和为7+9+3+1=20，∵2021÷4=505…1，∴71+72+⋯+72021=505×0+7=7，故选：C．由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，得出规律：个位数4个数一循环，由1+7+9+3=20可得每循环的个位数字和的个位数均为0，进而可求解．本题主要考查尾数特征及有理数的乘方，找到等式中的规律是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，a<0；=1>0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b>0；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，故①正确；∵M(n2+1,y1)，N(n2+2,y2)在对称轴右侧，n2+1<n2+2，∴y1>y2，故②错误；∴当x=1时，y最大，即对于任意实数t有a+b+c≥at2+bt+c，∴at2+bt≤a+b，故③正确；∵b>0，∴b2>0，若c=2，则4ac−8a=8a−8a=0，∴b2>4ac−8a，故④正确；∵抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是(3,0)，∴抛物线与x轴的另个交点是(−1,0)，把(3,0)代入y=ax2+bx+c得，0=9a+3b+c，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴9a−6a+c=0，解得，c=−3a．∴y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a(a<0)，∴顶点坐标为(1,−4a)，由图象得当0<y≤−4a时，−1<x<3，其中x为整数时，x=0，1，2，又∵x=0与x=2时，关于直线x=1轴对称当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．所以p值可以有2个．故⑤正确；故选：C．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．11.【答案】x1=0，x2=1【解析】解：方程变形得：x(x−1)=0，可得x=0或x−1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．12.【答案】x=2【解析】解：∵ax2+bx+c=0的两根分别是1和3，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为1和3，=2．∴对称轴为直线x=3+12故答案是：x=2．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是−3和1，所以抛物线与x轴交=2．点的横坐标为3和1，所以对称轴为直线x=3+12本题考查抛物线与x轴的交点与对称轴的关系，若抛物线与x轴交点的坐标为x1和x2，．则抛物线的对称轴为直线x=x1+x2213.【答案】105【解析】解：∵BC=BA，∠B=30°，(180°−30°)=75°，∴∠C=∠BAC=12∴旋转角α=180°−∠BAC=105°，故答案为：105．利用等腰三角形的性质求出∠BAC，可得结论．本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解旋转角的定义，属于中考常考题型．14.【答案】9【解析】解：当y=0时，−16x2+43x+32=0，解得：x1=−1(舍)，x2=9，∴他将铅球推出的距离是9m．故答案为：9．铅球落地时，y=0，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．15.【答案】2√10或6√10【解析】解：作△ABC的高AD⊥BC于D点．∵AB=AC，∴BD=12BC∴AD=√AB2−BD2=√102−14BC2．∴12×BC×√102−14BC2=30，解得BC=2√10或6√10．故答案为：2√10或6√10．作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式列方程求解即可．本题考查等腰三角形的性质，底边上的三线合一，以及勾股定理的运用．16.【答案】√7或−4【解析】解：y =x 2+bx +b 2的图象开口向上，对称轴为直线x =−b 2，①当−b 2<b ，即b >0时，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，y 随x 的增大而增大，∴当x =b 时，y =b 2+b ⋅b +b 2=3b 2为最小值，∴3b 2=21，解得，b 1=−√7(舍去)，b 2=√7；②当b ≤−b 2≤b +3时，即−2≤b ≤0，∴x =−b 2，y =34b 2为最小值，∴34b 2=21，解得，b 1=−2√7(舍去)，b 2=2√7(舍去)；③当−b 2>b +3，即b <−2，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，y 随x 的增大而减小，故当x =b +3时，y =(b +3)2+b(b +3)+b 2=3b 2+9b +9为最小值，∴3b 2+9b +9=21.解得，b 1=1(舍去)，b 2=−4；∴b =√7或b =−4．故答案为：√7或−4．分三种情况进行讨论即可；本题考查了二次函数的最值：当a >0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值． 17.【答案】解：(1)x 2+10x =−16，配方得：x 2+10x +25=−16+25，即(x +5)2=9，x +5=±3，所以x 1=−2，x 2=−8；(2)∵a =2，b =−3，c −1，∴△=(−3)2−4×2×(−1)=17，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=3±√172×2， 所以x 1=3+√174，x 2=3−√174．【解析】(1)利用配方法得到(x +5)2=9，然后利用直接开平方法解方程；(2)先计算出判别式的值，然后根据求根公式求方程的解．本题考查了解一元二次方程−公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解一元二次方程．18.【答案】0 0 1 4 右 1 上 4【解析】解：(1)将点A 和点C 的坐标代入函数解析式，得{4a +4+c =3c =3， 解得{a =−1c =3， 二次函数的解析式为y =−x 2+2x +3；(2)∵抛物线C 2：y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴抛物线C 1：y =−x 2的顶点坐标为(0,0)，而抛物线C 2：y =ax 2+2x +c 的顶点坐标为(1,4).将抛物线C 1经过适当平移，得到抛物线C 2：应该先向右(填：左或右)平移1个单位长度，再向上(填：上或下)平移4个单位长度．故答案为：0、0，1、4，右，1，上，4．(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)直接利用二次函数的性质以及二次函数平移规律得出答案．此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的平移，正确记忆平移规律是解题关键．19.【答案】解：设AC =x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD =12−x ，则：S =12AC ⋅BD =12x(12−x)=−12(x −6)2+18，当x =6时，S 最大=18；所以AC =BD =6时，四边形ABCD 的面积最大．【解析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S =12AC ⋅BD ，再利用配方法求出二次函数最值．此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．20.【答案】(6,2) (3,−3) (7,−2)【解析】解：(1)如图，CD为所作，D点坐标为(6,2)；(2)如图，CE为所作，E点坐标为(3,−3)；(3)如图，CF为所作，F点的坐标为(7,−2)．(1)把线段AB先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则B点的对应点为D点；(2)把CD绕C点顺时针旋转90°，则点D的对应点为E点，此时EC⊥AB；(3)把DC绕点D逆时针旋转90°，则C点的对应点为F点．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．21.【答案】解：(1)根据题意，知(2m−3)2−4m2>0，解得m<34；(2)由题意知x1+x2=−(2m−3)=3−2m，x1⋅x2=m2，由1x1+1x2=1，即x1+x2x1⋅x2=1可得3−2mm2=1，解得：m=1(舍去)或m=−3，所以m的值是−3．【解析】(1)根据根的判别式求出m的取值范围；(2)利用根与系数的关系可以求得方程的两根的和与积，将1x1+1x2=1转化为关于m的方程，求出m的值并检验．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，此题难度不大．22.【答案】解：(1)根据题意知，W=(66+x−50)(300−10x)=−10x2+140x+4800；∵−10x+300≥0，∴x≤30，∴0≤x≤30；故W=−10x2+140x+4800(0≤x≤30)；(2)∵W=−10x2+140x+4800=−10(x−7)2+5290，∴当x=7时，W取得最大值，最大值为5290，答：每斤坚果的售价定为73元时，每个月可获得最大利润，最大利润是5290元；(3)售价不得低于每斤75元，即x≥75−66=9，根据题意知，W=(66+x−50+m)(300−10x)=−10x2+(140−10m)x+(300m+4800)，函数的对称轴为x=140−10m20=7−12m<7，∴−10<0，故当x>7−12m时，W随x的增大而减小，故当x=9时，W取得最大值，即x=9时，W=(66+x−50+m)(300−10x)=(66+9−50+m)(300−10×9)= 5460，解得m=1．【解析】(1)根据题意知，W=(66+x−50)(300−10x)，而−10x+300≥0，即可求解；(2)由W=−10x2+140x+4800=−10(x−7)2+5290，即可求解；(3)根据题意知，W=(66+x−50+m)(300−10x)，利用函数的增减性即可求解．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．23.【答案】2 1 2√33−3−√6≤m≤−3+√6或3−√3≤m≤3+√3【解析】解：(1)∵点C(1,0)，∠BCA=60°，∴OC=1，∠CBO=30°，∴BC=2，①∵∠BAC=∠BCA，∠BCA=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∴OA=1，∵AF和BE是△ABC的角平分线，∴∠FAO=30°，∴AF=AOcos∠FAO =1cos30∘=2√33，故答案为：2，1，2√33．②∵∠BCA=60°，3∠BAC=2∠BCA，∴∠BAC=40°，∴∠ABC=180°−∠BAC−∠BCA=180°−40°−60°=80°，∵AF和BE是△ABC的角平分线，∴∠FAE=20°，∠EBC=∠EBA=40°，∴∠EBA=∠EAB，∠EBO=∠EBC−∠OBC=40°−30°=10°，∴AE=BE，如图1，作点E和点G关于y轴对称，连接BG，则：BE=BG，∠BEO=∠BGO，∠EBO=∠GBO=10°，∴AE=BG，∠AEF=∠BGC，∠CBG=∠CBO−∠GBO=30°−10°=20°，∴∠CBG=∠FAE，∴△AEF≌△BGC(ASA)，∴AF=BC=2．(2)∵点A(m−2,0)，点C(m+2,0)在抛物线y=−x2+bx+c的图象上，∴y=−(x−m+2)(x−m−2)=−x2+2mx+(4−m2)，设直线MN的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点M(−3,−2)，点N(3,1)，代入解析式得：{−3k +b =−23k +b =1，解得：{k =12b =−12， ∴直线MN 的解析式为y =12x −12， ①如图2，当抛物线与直线MN 只有一个交点时， 由{y =12x −12y =−x 2+2mx +(4−m 2)，得：x 2+(12−2m)x +(m 2−92)=0， ∴Δ=(12−2m)2−4(m 2−92)=0， 解得：m =738， 此时，x 2+(12−2m)x +(m 2−92)=0的解为：x =−(12−2m)2=718， ∵3<718，∴抛物线与直线MN 的交点不在线段MN 上，∴m =738不符合题意，②如图3，当抛物线与直线MN 有两个交点时，m <738，∵抛物线与线段MN 只有一个交点，∴{−m 2−6m −5≥−2−m 2+6m −5≤1或{−m 2−6m −5≤−2−m 2+6m −5≥1， 解得：−3−√6≤m ≤−3+√6或3−√3≤m ≤3+√3，∵m <738，∴−3−√6≤m ≤−3+√6或3−√3≤m ≤3+√3，综上所述：m 的取值范围为：−3−√6≤m ≤−3+√6或3−√3≤m ≤3+√3． 故答案为：−3−√6≤m ≤−3+√6或3−√3≤m ≤3+√3．(1)由C 点坐标为(1,0)，∠BCA =60°，求出OB 和BC 的长度；①由∠BAC =∠BCA 求得△ABC 是等边三角形，从而利用等边三角形的性质求出BC 、OA 、AF ；②由3∠BAC =2∠BCA 求出∠BAC 和∠ABC ，结合角平分线求出∠EBC 和∠FAE ，作点E 和点G 关于y 轴对称，连接BG ，可得BE =BG ，由∠BCA =60°得到∠CBG =∠FAE ，证明△FAE≌△CBG ，求AF ；(2)由点A 和点C 是抛物线与x 轴的交点可得抛物线的解析式，再由抛物线与线段MN 只有一个交点列出不等式，求得m 的取值范围．本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、角平分线的定义、三角形全等的判定和性质、二次函数与一次函数的交点和待定系数法求一次函数解析式，是一个代数几何综合题．第2问解题的关键是做点E 关于y 轴的对称点，构造全等三角形，第3问可以结合函数图象进行分类讨论．24.【答案】(1)解：∵OC =OB =3，∴C(0,−3)，B(3,0)，把点B(3,0)代入解析式得：9a −6−3a =0，∴a =1，∴抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3．(2)解：作点A 关于y 轴的对称点D ，连接CD 并延长交抛物线于点P ，则∠PCO =∠ACO ，当y =0时，x 2−2x −3=0，∴x =−1或x =3，∴A(−1,0)，∴D(1,0)，设直线CD 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，则{k +b =0b =−3，解得：{k =3b =−3，∴直线CD 的解析式为：y =3x −3，由{y =3x −3y =x 2−2x −3，解得：{x1=0y 1=−3，{x2=5y 2=12，∴点P(5,12)，∵∠PCO >∠ACO ，∴−1<x <5．(3)证明：设P(m,n)，则m 2−2m −3=n ，设直线BP 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，则{mk +b =n 3k +b =0，得：{k =n m−3b =−3n m−3，∴直线BP 的解析式为：y =n m−3x −3nm−3，∴R(0,−3nm−3)同理可得：直线AP 的解析式为：y =n m+1x +nm+1，∵直线l//AP，∴l的解析式为：y=nm+1x+b，把点B(3,0)代入得：nm+1×3+b=0，∴b=−3nm+1，∴直线l的解析式为：y=nm+1x−3nm+1，∴点Q(0,−3nm+1)，∴QR=−3nm+1−(−3nm−3)=3nm−3−3nm+1=12nm2−2m−3，∵m2−2m−3=n，∴QR=12nn=12，∴线段QR的长度为定值12．【解析】(1)由OB=OC=3求出点C和点D的坐标，将其中一个代入解析式，求出a，得到抛物线的解析式；(2)作点A关于y轴的对称点D，连接CD并延长交抛物线于点P，求出点P的坐标，从而得到x的取值范围；(3)设P(m,n)，表达出直线BP和直线l的解析式，求出线段QR的长度，结合点P在抛物线上得证QR的长度为定值．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点，是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质，会求直线与抛物线的交点是解题的关键．第21页，共21页。
武汉二中广雅中学2020-2021学年度九上数学质量评估(一)
武汉市第二初级中学&武汉二中广雅中学九年级(上)数学质量评估(一)（试卷满分：120分 考试时间：120分钟 命题人：金鑫 刘颖丹)一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．式子2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0≥x B ．2≤x C ．2x ≥- D ．2≥x2．将一元二次方程x x 58142=+化为一般形式后，常数项为81，二 次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．4，5B ．4，－5C ．4，81D ．x x 542-，3．若3=x 是关于x 的一元二次方程230x mx --=的一个解，则m 的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－2 4．如果函数72)2(22-+-=-x xm y m 是二次函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2±=m B ． 2=m C ．2-=m D ．m 为全体实数5．一元二次方程0522=+-x x 的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定6．用配方法解方程0182=+-x x ，下列变形正确的是 （ ）A ．(x －4)2＝15B ．1742=+）（x C ．6382=-）（x D ．5682=+）（x 7．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m 人，则m 的值为（ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．278．关于x 的一元 次方程0242=+-n x x 无实数根，则一次函数n x n y +=）（-2的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，点G 在CD 上，AB ＝5，CE ＝2，T 为AF 的中点，则CT 的长是（ ） A ．27 B ． 4 C ． 29D ．25810．设,21111221++=a ,31211222++=a ,41311223++=a ……,1n 11122n ）（+++=n a 其中n 为正整数，则2020321...a a a a ++++的值是（ ）A ．202020192020B ． 202120202020 C ．202120202021D ．202220212021二、填空题（共6小箱，每小题3分，共18分） 11．计算=4 ，=-31 ，=22-）（ ．12．为锻炼身体，增强抵抗力．某学习小组6名同学一周锻炼身体的时间（单位：小时），分别为4，3，2，5，5，6这组数据的众数是________13．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2016年底有国口12万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至2万人，设2016至2018年底该地区贫困人口的年平均的下降率为x ．根据题意可列方程为_________14．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 在BD 上，DC ＝DE ＝AE ，∠1＝25°，则∠C 的大小是______________第14题图 第16题图15．已知一元二次方程）（002≠=++a c bx ax ．下列说法：①若0=+c a ，则方程一定有两个不相等的实数根；：②若0=++c b a ，则1一定是这个方程的实数根；③若062>-ac b ，则方程一定有两个不相等的实数根；④若）（002≠=++a c bx ax 的两个根为2和3，则31,2121==x x 是方）（002≠=++a a bx cx 的根，其中正确的是______________（填序号）16．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝26，AC ＝8，BC ＞6，点E ，F 分别在BC ，AC 边上，且AF＝CE ，则AE ＋BF 的最小值为_____________ 三、解答题(共8题，共72分) 17．(8分)按要求解下列方程：用配方法解：（1）0142=+-x x 用公式法解：（2）04122=--x x18．(8分）用适当方法解下列方程：（1）x x x 510)42+=+（ （2）ab a ax b x 876222++=-19．(8分)如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．20．(8分)在11⨯11的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，6），B （4，1），C （1，1）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图．(1）在第一象限内画出点D ，使得AD ⊥AB ，且AD ＝A B ．并写出点D 的坐标_______(2）在线段BD 上画点E ，使∠DAE ＝45°(保留画图过程的痕迹)； （3）画出AB 的中点F ，在BC 的延长线上找到一点P ，使得∠BPF ＝∠BA C ．则点P 的坐标为__________21．（8分）已知关于x 的方程.03)1()22=--++x k x k （ （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根21x x 和，且102221=+x x ，求k 的值．22．（10分）某公司组织30辆汽车装运A 、B 、C 三种产品共125吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种产品，且必须装满；装运每种产品的汽车不少于4辆；同时装运的B 种产品的重量不超过装运的A 、C 两种产品重量和．（1）设用x 辆汽车装运A 种产品，用y 辆汽车装运B 种产品 ，根据下表提供的信息，求y 与x 之间的函数关产品品种 A B C 每辆汽车装运量（吨） 5 4 3 每吨产品获利(万元） 0.6 0.7 0.8（2 （3)由于市场行情的变化，将A 、C 两种产品每吨售价提高a 万元）（03.00.01≤≤a ，其他条件不变，求销售这批产品获得最大利润的方案．23．(10分)等腰Rt △ABC ，CA ＝C B ．D 在AB 上，CD ＝CE ，CD ⊥CE ． （1）如图1，连接BE ，探究线段AD 与线段BE 的关系并证明；（2）如图2，连接AE ，CF ⊥AE 交AB 于F ，T 为垂足，①求证：FD ＝FB ；②如图3，若AE 交BC 于N ，O 为AB 的中点，连接OC ，交AN 于M ，连FM ，FN ．当25=∆FMN S ，则OF 2＋BF 2的最小值为_____________图1图2图324．(12分)如图，已知点A （3，0），C （－1，0），点B 为y 轴正半轴上的一点，且6=∆ABC S ．（1）求直线AB 的解析式；（2）在y 轴上是否存在点T ，将直线CB 沿直线CT 翻折后，点B 的对称点H 恰好落在x 轴上． 若存在，求出T 点的坐标； 若不存在，说明理由．（3）若P 、Q 两点在直线AB 上，且Q P x x 、是方程02222=-++--m m mx x x 的两个根，当∠POQ ＝90°时，求m 的值．。
2024年湖北省武汉二中广雅中学九年级中考数学模拟试题(一)
九年级(下)数学中考模拟(一)一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1.-2024的绝对值是( )A.2024B.-2024C.-12024D.120242.下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形是( )3.“三次投掷一枚硬币，三次都正朝上”这一事件是( )A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.确定性事件4.如图所示几何体的左视图是( )5.下列运算正确的是( )A.(−3aa)3=−9aa3B.(aa3)2=aa5C.(aaaa)5=aa5aa5D.aa6÷aa3=aa26.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=152°,∠3=50°,则∠2的度数为( )A.18°B.22°C.28°D.32°7.将分别标有“大”“美”“武”“汉”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别，随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“武汉”的概率是( )A.18B.16C.14D.128.某学习小组在网上获取了声音空气中的传播速度和空气温度之间的关系的一些数据如表，下列说法中错误的是( )温度(℃)-20 -10 0 10 20 30声速(m/s) 318 324 330 336 342 348A.温度每降低10℃,声减少6m/sB.若想让声速为355m/s,则温度应为40℃C.当温度升高到33摄氏度时，声速为349.8m/sD.在这个变化过程中，自变量是温度，声速是温度的函数9.如图，在边长为12的等边△ABC中，点E在边AC上自A向C运动，点F在边CB上自C向B运动，且运动速度相同，连接BE，AF交于点P，连接CP，在运动过程，点P的运动路径长为( )A.92ππB.4√3−34ππC.8√3−32ππD.8√33ππ9题图 10题图10.利用几何画板探究函数y=a(x−b)|x−c|图象，输入一组a，b,c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验:可以判断，小雨输入的参数值满足( )A.a>0,b>0,c=0B.a<0,b>0,c=0C.a>0,b=0,c=0D.a<0,b=0,c>0二、填空题(共6小题)11.五一假期，武汉东湖风景区人气指数登上全国第八位，据统计约有161万名游客畅游东湖，其中数据161万用科学记数法表示为名.12.在每一个象限内，反比例函数y=k x(k≠0)随x的增大而增大，则k的值可以是 (填写一个即可)13.计算:2mm mm2−4−1mm−214.图1是一种折叠式晾衣架。
湖北省武汉二中广雅中学2019-2020学年中考数学模拟试卷
湖北省武汉二中广雅中学2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．若2是一元二次方程x 2+mx ﹣4m ＝0的一个根，则另一个根是（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．62．已知△ABC ∽△DEF ，其中AB ＝6，BC ＝8，AC ＝12，DE ＝3，那么△DEF 的周长为（ ） A.394B.263C.13D.263．据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为( ) A.542.110⨯B.54.2110⨯C.64.2110⨯D.74.2110⨯4．下列说法中正确的是（ ） A ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形．若DE=2cm ，则AC 的长为 ( )A.cmB.4cmC.cmD.cm6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，则△DOF 的面积与△BOA 的面积之比为（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：8D ．1：167．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知抛物线()()y x a x a 1=+--(a 为常数，a 0≠).有下列结论：①抛物线的对称轴为1x 2=；②方程()()x a x a 11+--=有两个不相等的实数根；③抛物线上有两点P(x 0，m)，Q(1，n)，若m n <，则00x 1<<；其中，正确结论的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，菱形ABCD 的边长为1，点M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，则MP PN +的最小值是（ ）A ．12B ．1CD ．210．如图，菱形OABC 的一条边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OA ＝2，∠C ＝120°，则点B′的坐标为（ ）A.）B.）C.（3D.（311．移动通信公司建设的钢架信号塔（如图1），它的一个侧面的示意图（如图2）．CD 是等腰三角形ABC 底边上的高，分别过点A 、点B 作两腰的垂线段，垂足分别为B 1，A 1，再过A 1，B 1分别作两腰的垂线段所得的垂足为B 2，A 2，用同样的作法依次得到垂足B 3，A 3，…．若AB 为3米，sin α＝45，则水平钢条A 2B 2的长度为（ ）A ．95米 B ．2米 C ．4825米 D ．125米 12．已知点A （5，﹣2）与点B （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且B 到y 轴的距离等于4，那么点B 是坐标是（ ） A ．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） B ．（4，2）或（﹣4，2） C ．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D ．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）二、填空题 13．使代数式3xx +有意义的x 的取值范围是_______ . 14．在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为______15．已知m ，n 是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1＝0（其中a ＜b ）的两根，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____．16．若（x+2）（x ﹣1）＝x 2+mx ﹣2，则m ＝_____．1718．若x+3＝5﹣y ，a ，b 互为倒数，则代数式12(x+y)+5ab ＝_____． 三、解答题19．为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元． （1）求文具袋和圆规的单价．（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干．文具店给出两种优惠方案： 方案一；购买一个文具袋送1个圆规．方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由．20．（问题）探究一次函数y ＝kx+k+1（k≠0）图象特点． （探究）可做如下尝试：y ＝kx+k+1＝k （x+1）+1，当x ＝﹣1时，可以消去k ，求出y ＝1．（发现）结合一次函数图象，发现无论k 取何值，一次函数y ＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ；（应用）一次函数y ＝（k+2）x+k 的图象经过定点P ． ①点P 的坐标是 ；②已知一次函数y ＝（k+2）x+k 的图象与y 轴相交于点A ，若△OAP 的面积为3，求k 的值．21．如图,在平面直角坐标系中,已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()()()2,2,4,0,4,4A B C -.(1)请在图中,画出ABC ∆绕着点O 逆时针旋转90后得到的111A B C ∆,则111ACB ∠的正切值为 . (2)以点O 为位似中心,将ABC ∆缩小为原来的12,得到222A B C ∆,请在图中y 轴左侧,画出222A B C ∆,若点()P m n ,是ABC ∆上的任意一点,则变换后的对应点'P 的坐标是 .22．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m ，EF=0.2m ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=8m ，求树高。
2019-2020学年湖北省武汉二中广雅中学九年级上期中数学试卷
2019-2020学年湖北省武汉二中广雅中学九年级上期中数学试卷
解析版
一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．（3分）方程x2＝2x的根是（）
A．0B．2C．0或2D．无解
【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：C．
3．（3分）下列方程中，没有实根的是（）
A．2x2﹣3x﹣1＝0B．2x2﹣3x＝0C．3x2﹣4x+1＝0D．2x2﹣3x+4＝0【解答】解：A、△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△＝（﹣3）2﹣4×2×0＝9＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；
D、△＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选：D．
4．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB′C′，直角顶点C恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′的度数为（）
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武汉二中广雅中学九年级数学下册第一单元《反比例函数》检测题(答案解析)
一、选择题1．如图，A 、B 是函数1y x=的图像上关于原点对称的任意两点，BC //x 轴，AC //y 轴，ABC 的面积记为S ，则（ ）A ．1S =B ．2S =C ．24S <<D ．4S =2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为()1,1-，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线8y x=上，过点C 作//CE x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．85B ．235C ．2.3D ．53．将函数 6y x=的图象沿x 轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（ ） A ．61y x =+ B ．61y x =- C ．61y x=+ D ．61y x=- 4．如图，ABO 中，∠ABO ＝45°，顶点A 在反比例函数y ＝3x（x ＞0）的图象上，则OB 2﹣OA 2的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论 ①方程x 2+2x ﹣8＝0是倍根方程；②若关于x 的方程x 2+ax+2＝0是倍根方程，则a ＝±3； ③若（x ﹣3）（mx ﹣n ）＝0是倍根方程，则n ＝6m 或3n ＝2m ； ④若点（m ，n ）在反比例函数y ＝2x的图象上，则关于x 的方程mx 2﹣3x+n ＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ） A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④6．在同一直角坐标系中，反比例函数y ＝abx与一次函数y ＝ax+b 的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．7．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-8．已知0k >，函数y kx k =+和函数ky x=在同一坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意一点，AB x 轴交反比例函数3y x =-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCDS为（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4D ．510．当0x <时，反比例函数2y x=-的图象（ ） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大 C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小 D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小11．如图，点A 、C 为反比例函数y=(0)kx x<图象上的点，过点A 、C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B 、D ，连接OA 、AC 、OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，k 的值为( )A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣612．已知点A(x1，y1)，B (x2，y2)是反比例函数k yx =(k＜0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是()A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0二、填空题13．如图,平行四边形OABC的顶点A C、的坐标分别为()()3,4,6,0--函数()0ky xx=<的图象经过点B,则k的值为__________．14．若一次函数32y x=-与反比例函数kyx=的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是________．15．在直角坐标系中，已知A(0，4)、B(2，4)，C为x轴正半轴上一点，且OB平分∠ABC，过B的反比例函数y＝kx交线段BC于点D，E为OC的中点，BE与OD交于点F，若记△BDF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则12SS＝_____．16．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与2y x=-的图像交于A 、B 两点，过点A 作y 轴的垂线，交函数1y x=的图像于点C ，连接BC ，则ABC ∆的面积为 _________．17．已知反比例函数3y x=-，当1x >时，y 的取值范围是____ 18．已知点(1,),(3,)A a B b 都在反比例函数4y x=的图像上，则,a b 的大小关系为____．（用“<”连接）19．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为20，点B 在y 轴上，点C 在反比函数ky x=的图像上，则k 的值为________．20．如图，反比例函数(0)ky x x=>经过,A B 两点，过点A 作AC y ⊥轴于点C ，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，过点B 作轴BE x ⊥于点E ，连接AD ，已知 =2,=2AC BE ，=16BEOD S 矩形，则 ACD S =_____．三、解答题21．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口//OAB D，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，B、C之间的水平距离DE的长度为多少米？22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数kyx=（k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．（1）求反比例函数kyx=（k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积．23．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于M（-3，1），N（1，n）两点．（1）求这两个函数的表达式；（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6x的图象相交于点A （m ，3）、B （–6，n ），与x 轴交于点C ． （1）求一次函数y =kx +b 的关系式； （2）结合图象，直接写出满足kx +b >6x的x 的取值范围； （3）若点P 在x 轴上，且S △ACP =32BOC S △，求点P 的坐标．25．小芳从家骑自行车去学校，所需时间y (min )与骑车速度x (/m min )之间的反比例函数关系如图．(1)小芳家与学校之间的距离是多少？ (2)写出y 与x 的函数表达式；(3)若小芳7点20分从家出发，预计到校时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？ 26．阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”； （3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设A 点的坐标是（a ，b ），则根据函数的对称性得出B 点的坐标是（﹣a ，﹣b ），求出AC ＝2b ，BC ＝2a ，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出ab ＝1，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：设A 点的坐标是（a ，b ），则根据函数的对称性得出B 点的坐标是（﹣a ，﹣b ）， 则AC ＝2b ，BC ＝2a ， ∵A 点在y ＝1x的图象上， ∴ab ＝1， ∴ABC 的面积S ＝12BC AC ⨯⨯ ＝1222a b ⨯⨯ ＝2ab ＝2×1 ＝2， 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义等知识点，能求出ab ＝1是解此题的关键．2．B解析：B 【分析】证明()△△DHA CGDAAS ≅，()△△ANB DGC AAS ≅得到：1AN DG AH===，而11AH m =--=，解得2m =-，即可求解；【详解】设点8,D m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图所示，过点D 作x 轴的垂线交CE 于点G ，过点A 作x 轴的平行线DG 于点H ，过点A 作AN x ⊥轴于点N ，∵90GDC DCG ∠+∠=︒，90GDC HDA ∠=∠=︒， ∴HDA GCD ∠=∠，又AD CD =，90DHA CGD ∠=∠=︒， ∴()△△DHA CGD AAS ≅，∴HA DG =，DH CG =，同理可得：()△△ANB DGC AAS ≅，∴1AN DG AH===，则点8,1G m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，CG DH =， 11AH m =--=， 解得：2m =-，故点()2,5G --，()2,4D --，()2,1H -，则点8,55E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，25GE =，∴223555CE CG GE DH GE =-=-=-=． 故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．3．B解析：B 【分析】由于把双曲线平移，k 值不变，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求解． 【详解】 解：将函数6y x=的图象沿x 轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是61 yx=-，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，注意：平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．4．D解析：D【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特点得出答案．【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥OB于点D，∵∠ABO＝45°，∠ADB＝90°，∴∠DAB＝45°，∴设AD＝x，则BD＝x，∵顶点A在反比例函数y＝3x（x＞0）的图象上，∴DO•AD＝3，则DO＝3x，故BO＝x+ 3x，OB2﹣OA2＝（OD+BO）2﹣（OD2+AD2）＝（x+ 3x）2﹣x2﹣29x＝6.故答案为：D.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键．5．D解析：D【分析】】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x 2=2x 1，得到x 1•x 2=2x 12=2，得到当x 1=1时，x 2=2，当x 1=-1时，x 2=-2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m ，n ）在反比例函数y ＝2x 的图象上，得到mn=2，然后解方程mx 2-3x+n=0即可得到正确的结论；【详解】解：①∵方程x 2+2x-8=0的两个根是x 1=-4，x 2=2，则2×2≠-4，∴方程x 2+2x-8=0不是倍根方程，故①错误；②若关于x 的方程x 2+ax+2=0是倍根方程，则2x 1=x 2，∵x 1+x 2=-a ，x 1•x 2=2，∴2x 12=2，解得x 1=±1，∴x 2=±2，∴a=±3，故②正确；③解方程（x-3）（mx-n ）=0得，123,n x x m ==， 若（x-3）（mx-n ）=0是倍根方程，则6n m =或23n m ⨯=， ∴n=6m 或3m=2n ，故③错误；④∵点（m ，n ）在反比例函数y ＝2x 的图象上， ∴mn=2，即2n m=， ∴关于x 的方程为2230mx x m -+=， 解方程得1212,x x m m==， ∴x 2=2x 1， ∴关于x 的方程mx 2-3x+n=0是倍根方程，故④正确；故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．6．D解析：D【分析】先根据一次函数图象经过的象限得出a 、b 的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴反比例函数的图象经过二、四象限，故A选项错误，∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴反比例函数的图象经过二、四象限，故B选项错误；∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴反比例函数的图象经过一、三象限，故C选项错误；∵一次函数图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴反比例函数的图象经经过一、三象限，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．C解析：C【详解】∵A（﹣3，4），∴，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入kyx=得，4=8k-，解得：k=﹣32．故选C．考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．8．D解析：D【解析】根据题意，在函数y=kx+k和函数kyx=中，有k＞0，则函数y=kx+k过一二三象限．且函数kyx=在一、三象限，则D选项中的函数图象符合题意；故选D．9．D解析：D【分析】过点B作BH⊥x轴于H，根据坐标特征可得点A和点B的纵坐标相同，由题意可设点A的坐标为（2a，a），点B的坐标为（3a-，a），即可求出BH和AB，最后根据平行四边形的面积公式即可求出结论．【详解】解：过点B作BH⊥x轴于H∵四边形ABCD为平行四边形∴//AB x轴，CD=AB∴点A和点B的纵坐标相同由题意可设点A的坐标为（2a，a），点B的坐标为（3a-，a）∴BH=a，CD=AB=2a －（3a-）=5a∴ABCDS=BH·CD=5故选D．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键．10．B解析：B【分析】反比例函数2yx=-中的20k=-<，图像分布在第二、四象限；利用0x<判断即可．【详解】解：反比例函数2yx=-中的20k=-<，∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；又0x <，∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．故选：B ．【点睛】 本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k y k x=≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内． 11．C解析：C【分析】设点C 的坐标为,k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点E 1,22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 12,2k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式求出k 即可.【详解】解：设点C 的坐标为,k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点E 1,22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 12,2k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵S △AEC =111233222282k k BD AE m m k m m ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：k=-4，故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C 的坐标，利用点C 的横坐标表示出A 、E 点的坐标．12．B解析：B【分析】首先根据系数判定函数的图象在二、四象限，再根据x 1＜0＜x 2，可比较出y 1、y 2的大小，进而得到答案．【详解】 解：由反比例函数k y x=(k ＜0)，可知函数的图象在二、四象限， ∵x 1＜0＜x 2，∴A （x 1，y 1）在第二象限，y 1＞0，B （x 2，y 2）在第四象限，y 2＜0，∴y 2＜0＜y 1，故选：B ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键.二、填空题13．-36【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CO 再根据AC 点坐标可以算出B 点坐标再把B 点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k 的值【详解】解：∵四边形为平行四边形∴AB=COAB//CO ∵∴AB=CO解析：-36【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CO ，再根据A 、C 点坐标可以算出B 点坐标，再把B 点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k 的值．【详解】解：∵四边形OABC 为平行四边形，∴AB=CO,AB//CO ，∵()6,0C -,∴AB=CO=6,∴B （-9,4）∵反比例函数()0k y x x=<的图象经过点B ， ∴k=-9×4=-36，故答案为：-36．【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，平行四边形的性质．关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式． 14．且【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式可得一个关于x 的一元二次方程再利用一元二次方程根的判别式求解即可得【详解】由题意联立整理得：两个函数的图象有两个不同交点有两个不相等的实数根且解得且故答案为 解析：13k >-且0k ≠【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式可得一个关于x 的一元二次方程，再利用一元二次方程根的判别式求解即可得．【详解】 由题意，联立32y x k y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 整理得：2320x x k --=，两个函数的图象有两个不同交点，2320x x k ∴--=有两个不相等的实数根，且0x ≠，2(2)43()00k k ⎧∆=--⨯->∴⎨≠⎩， 解得13k >-且0k ≠， 故答案为：13k >-且0k ≠．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 15．【分析】过点B 作BH ⊥OC 于H 构造出矩形利用矩形的性质进而求解出CDEF 的坐标最终分别计算出S1S2即可求出结果【详解】如图过点B 作BH ⊥OC 于H ∵A （04）B （24）∴OA ＝4AB ＝2AB ∥OC ∴ 解析：2360【分析】过点B 作BH ⊥OC 于H ，构造出矩形，利用矩形的性质，进而求解出C 、D 、E 、F 的坐标，最终分别计算出S 1，S 2，即可求出结果．【详解】如图，过点B 作BH ⊥OC 于H ．∵A （0，4）、B （2，4），∴OA ＝4，AB ＝2，AB ∥OC ，∴∠ABO ＝∠BOC ，∵OB 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠OBC ，∴∠BOC ＝∠OBC ，∴CB ＝OC ，设BC ＝OC ＝m ，∵BH ⊥OC ，AB ∥OC ，∴∠AOH ＝∠OHB ＝∠ABH ＝90°，∴四边形ABHO 是矩形，∴BH ＝OA ＝4，AB ＝OH ＝2，在Rt △BCH 中，则有m 2＝42+（m ﹣2）2，∴m ＝5，∴C （5，0），∴直线B C 的解析式为42033=-+y x ， ∵反比例函数k y x=经过点B （2，4）， ∴k ＝8，由842033yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得24xy=⎧⎨=⎩或383xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴D（3，83），∴直线OD的解析式为89y x=，∵OE＝EC，∴E（52，0），∴直线BE的解析式为y＝﹣8x+20，由82089y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得942xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴F（94，2），∴S1＝2×1﹣12×1×43﹣12×1×14﹣12×34×23＝2324，S2＝12×52×2＝52，∴122323245602SS==，故答案为：2360．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，能够熟练的做出辅助线，通过矩形的性质进行分析，是解决问题的关键．16．3【分析】连接OC设AC交y轴于E根据反比例函数k的几何意义求出△AOC的面积再利用反比例函数关于原点对称的性质推出OA=OB即可解决问题【详解】解：如图连接OC设AC交y轴于E∵AC⊥y轴于E∴S解析：3【分析】连接OC，设AC交y轴于E．根据反比例函数k的几何意义求出△AOC的面积，再利用反比例函数关于原点对称的性质，推出OA=OB即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC设AC交y轴于E．∵AC⊥y轴于E，∴S△AOE=12×2=1，S△OEC=12×1=12，∴S△AOC=32，∵A，B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△ABC=2S△AOC=3，故答案为：3．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．17．-3<y<0【分析】根据反比例函数的增减性求解【详解】在反比例函数∴函数图象在第二四象限且在每个象限内y随x的增大而增大当x＞1时函数图象在第四象限且当x=1时y=－3∴当x＞1时-3<y<0；故答解析：-3<y<0【分析】根据反比例函数的增减性求解．【详解】在反比例函数3yx=-，30k=-<，∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，当x＞1时，函数图象在第四象限且当x=1时，y=－3，∴当x＞1时-3<y<0；故答案为：-3<y<0．【点睛】考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=kx（k≠0）中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．18．【分析】根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出a与b的值比较大小即可【详解】解：点A（1a）在反比例函数的图像上则有点B （3b）在反比例函数的图像上则有所以故答案为：【点睛】本题主要考解析：b a<【分析】根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出a与b的值，比较大小即可．【详解】解：点A（1，a）在反比例函数4yx=的图像上，则有441a==，点B（3，b）在反比例函数4yx=的图像上，则有43b=，所以b a<.故答案为：b a<.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．19．-10【分析】连接AC交OB于点D根据菱形的性质可得出SOCD＝×20＝5再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k值由点C在第二象限即可确定k 的值【详解】连接AC交OB于点D如图所示∵四边形OAB解析：-10【分析】连接AC交OB于点D，根据菱形的性质可得出S OCD＝14×20＝5，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k值，由点C在第二象限，即可确定k的值．【详解】连接AC交OB于点D，如图所示．∵四边形OABC为菱形，∴AC⊥OB，∵菱形OABC的面积为20，∴S OCD＝14×20＝5．∵点C 在反比例函数k y x =的图象上，CD ⊥y 轴， ∴S OCD ＝12|k|＝5， 解得：k ＝±10． ∵点C 在第二象限，∴k ＝−10．故答案为：-10．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何以及菱形的性质，根据菱形的性质找出S OCD ＝14×20＝5是解题的关键． 20．【分析】过点A 作AH ⊥x 轴于点H 交BD 于点F 则四边形ACOH 和四边形ACDF 均为矩形根据S 矩形BEOD=16可得k 的值即可得到矩形ACOH 和矩形ACDF 的面积进而求出S △ACD 【详解】解：过点A 作A解析：6【分析】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，交BD 于点F ，则四边形ACOH 和四边形ACDF 均为矩形，根据S 矩形BEOD =16，可得k 的值，即可得到矩形ACOH 和矩形ACDF 的面积，进而求出S △ACD ．【详解】解：过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，交BD 于点F ，则四边形ACOH 和四边形ACDF 均为矩形∵S 矩形BEOD =16，反比例函数()0k y x x=>经过点B ∴k=16 ∵反比例函数() 0k y x x =>经过点A∴S矩形ACOH=16∵AC=2∴OC=16÷2=8∴CD=OC-OD=OC-BE=8-2=6∴S矩形ACDF=2×6=12∴S△ACD=12S矩形ACDF=12×12=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义和性质．通过矩形的面积求出k的值是解本题的关键．三、解答题21．8【分析】根据矩形的性质得到BE=OA=5，AB=2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=kx，代入B点坐标，得到k=10，然后求出D点横坐标，最后用OD-OE即可求解．【详解】∵四边形AOEB是矩形∴BE=OA=5，AB=2∴B(2，5)设双曲线的解析式为y=kx，将点B的坐标代入，5=k2∴k=10∴y=10x∵CD为1∴当y=1时，x=10∴OD=10∴DE的长=OD-OE=10−2=8∴B、C之间的水平距离DE的长度为8米．【点睛】本题考查反比例函数的应用，矩形的性质，解题突破口是设双曲线BC的解析式为y=kx．22．（1）5yx=，6y x=-+；（2）12【分析】（1）将点A （1，5）代入k y x=（k≠0，x ＞0）,得到k 的值及反比例函数解析式；再将将点B （m ，1）代入反比例函数，得点B 坐标；将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b ，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；（2）结合一次函数6y x =-+，得点D 坐标；再由△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积，经计算即可得到答案．【详解】（1）将点A （1，5）代入k y x=（k≠0，x ＞0） 得：51k =解得：k ＝5 ∴反比例函数的表达式为：5y x =将点B （m ，1）代入5y x =得：m ＝5∴点B （5，1）将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b得551a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：16a b =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数表达式为：6y x =-+；（2）由一次函数6y x =-+可知：D （0，6）∴△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积1165611222=⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．23．（1）y=3x-；2y x =--；（2）m ＞1或-3＜m ＜0 【分析】（1）把M 代入反比例函数的解析式即可求得k 的值，然后求得n 的值，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）先画出两函数的图象，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵点M （-3，1）和N （1，n ）在反比例函数k y x =的图象上， ∴3k =-，3n =-．∴反比例函数表达式为3x=-， 点N 的坐标为N （1，3-），∵点M （-3，1）和N （1，3-）在一次函数y ax b =+的图象上，∴313a b a b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数表达式为2y x =--；（2）一次函数2y x =--的图象与反比例函数3y x=-的图象相交于点M （-3，1）和N （1，3-），观察函数图象可知：若过动点C （m ，0）且垂直于x 轴的直线分别与反比例函数图象和一次函数图象交于E 、D 两点，当点E 位于点D 上方时，则m 的取值范围是：m ＞1或-3＜m ＜0．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（1）122y x =+；（2）-6＜x ＜0或2＜x ；（3）（-2,0）或（-6,0） 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）根据函数图像判断即可；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，设点P 的坐标为（x ，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP=32S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．【详解】（1）∵点A（m，3），B（-6，n）在双曲线y=6x上，∴m=2，n=-1，∴A（2，3），B（-6，-1）．将（2，3），B（-6，-1）带入y=kx+b，得：3216k bk b+⎧⎨--+⎩＝＝，解得，122kb＝＝⎧⎪⎨⎪⎩．∴直线的解析式为y=12x+2．（2）由函数图像可知，当kx+b>6x时，-6＜x＜0或2＜x；（3）当y=12x+2=0时，x=-4，∴点C（-4，0）．设点P的坐标为（x，0），如图，∵S△ACP=32S△BOC，A（2，3），B（-6，-1），∴12×3|x-（-4）|=32×12×|0-（-4）|×|-1|，即|x+4|=2，解得：x1=-6，x2=-2．∴点P的坐标为（-6，0）或（-2，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据函数图像判断不等式取值范围；（3）根据三角形的面积公式以及S△ACP=32S△BOC，得出|x+4|=2．25．(1)1400m；(2)1400yx=；(3)小芳的骑车速度至少为175/m min．【分析】（1）直接利用反比例函数图象上点的坐标得出小芳家与学校之间的距离；（2）利用待定系数法求出反比例函数解析式；（3）利用y=8进而得出骑车的速度．【详解】(1)小芳家与学校之间的距离是：101401400⨯=(m )；(2)设k y x=，当140x =时，10y =， 解得：1400k =， 故y 与x 的函数表达式为：1400y x=； (3)当8y =时，175x =， 0k >，∴在第一象限内y 随x 的增大而减小，∴小芳的骑车速度至少为175/m min ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．26．（1）65，2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m =﹣4或﹣2或2． 【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出1211+x x ，然后再求出31x ，只要满足1211+x x =31x 即可； （3）先求出三点的纵坐标y 1，y 2，y 3，然后由“和谐三数组”可得y 1，y 2，y 3之间的关系，进而可得关于m 的方程，解方程即得结果．【详解】解：（1）∵115236+=， ∴65，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：65，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根， ∴12b x x a +=-，12c x x a⋅=，∴12121211bx x b a c x x x x ca -++===-⋅， ∵3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解， ∴3c x b=-，∴31b x c =-， ∴1211+x x =31x ， ∴x 1 ，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；（3）∵A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x =的图象上， ∴14y m =，241y m =+，343y m =+， ∵三点的纵坐标y 1，y 2，y 3恰好构成“和谐三数组”， ∴123111y y y =+或213111y y y =+或312111y y y =+， 即13444m m m ++=+或13444m m m ++=+或31444m m m ++=+， 解得：m =﹣4或﹣2或2．【点睛】 本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．。
2019-2020学年武汉市名校九年级(下)阶段性质量检测数学试卷及答案
2019-2020学年武汉市名校九年级（下）阶段性质量检测数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数+1的值在（）之间．A．0～1 B．1～2 C．2～3 D．3～42．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣23．（3分）运用乘法公式计算（2+a）（a﹣2）的结果是（）A．a2﹣4a﹣4 B．a2﹣2a﹣4 C．4﹣a2D．a2﹣44．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形B．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根C．掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14[来源: D．李老师购买了1张彩票，正好中奖5．（3分）下列计算正确的是（）A．x6÷x2=x3B．2x•x=2x2C．3x2﹣2x3=x2D．x2+x2=2x4 6．（3分）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣10，1）、C（2，6），则点A的坐标为（）A．（﹣10，12）B．（﹣10，13）C．（﹣10，14）D．（2，12）7．（3分）如图，几何体上半部分为正方体，下半部分为圆柱，其左视图为（）A．B．C．D．8．（3分）二中广雅管乐队队员的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图．根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为（）A．8和6 B．15和14C．8和14 D．15和13.59．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2， A2的伴随点为A3…，这样依次得到点A1、A2、A3、A n 、…．若点A1（2，2），则点A2016的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，3） C．（1，﹣1） D．（2，2）10．（3分）如图，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，过C、D的⊙O交AC、BC分别于E、F．若⊙O的半径为，AC=2+2，则△CEF的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：﹣10﹣6的结果为．12．（3分）2016年湖北武汉中考报名人数为6.3万人，普通高中招生计划约为3.48万人，数34800用科学记数法表示为．13．（3分）武汉二中广雅中学开展“广学雅行”活动，从学生会“监察部”的三名学生干部（2男1女）中随机选两名进行活动督查，恰好选中两名男学生的概率是．14．（3分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么∠APB= ．15．（3分）如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为．16．（3分）已知函数y=，将此函数的图象记为P．若直线y=x+b与图形P恰有两个公共点，则b的值为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：（1）C组的人数是人，并补全条形统计图．（2）本次调查的众数是等，中位数落在等．（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有人．20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k 的值．（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．21．（8分）如图，⊙O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，点P 在优弧CAD 上（不包含点C 和点D ），连PC 、PD 、CB ，tan ∠BCD=（1）求证：AE=CD ；（2）求sin ∠CPD ．22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2，100元/米2，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是：直线，直线PQ与x 轴所夹锐角的度数是度；（2）若S△POQ ：S△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．故选：C．2．故选：D．3．故选：D．4．故选：D．5．故选：B．6．故选：C．7．故选：D．8．故选：B．9．故选：C．10．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．故答案为：﹣16．12．故答案为：3.48×104．13．故答案为．14．故答案为：32°．15．故答案为．16．故答案为：0或．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）【解答】解：去括号得：3x﹣1=2x﹣4，解得：x=﹣3．18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAP=∠DAP，∵AB=AD，∴AC⊥BD．19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m ＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：（1）C组的人数是50 人，并补全条形统计图．（2）本次调查的众数是100 等，中位数落在 C 等．（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有2975 人．【解答】解：（1）调查的总人数40÷20%=200人，C组的人数=200﹣40﹣100﹣10=50，补充如图；（2）本次调查的众数是 100，即B 等，中位数是=75，落在C 等；（3）3500×=2975人， 答：该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有2975人．20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k 的值．（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．【解答】解：（1） 把①代入②得： =kx+4，kx 2+4x ﹣6=0，∵直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，∴方程kx 2+4x ﹣6=0有唯一一个解，即△=42﹣4k•（﹣6）=0，解得：k=﹣；（2）当x1＞x2＞0时，y1＜y2；当x2＜x1＜0时，y1＜y2；当x2＜0＜x1时，y1＞y2．21．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P 在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan ∠BCD=（1）求证：AE=CD；（2）求sin∠CPD．【解答】（1）证明：连接AD，∴∠BAD=∠BCD，∵tan∠BCD=，∴tan∠BAD=，∴=，∴DE=AE，∵⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，∴CE=DE=CD，∴AE=CD；（2）解：作直径CE，连接ED，∴∠CDE=90°，∵tan∠BCD=，AB⊥弦CD，∴CE=2BE，∵AE=CD，∴AB=CD，∴=，∵CE=AB，∴=，∴sin∠CED=，∵∠CED=∠CPD，∴sin∠CPD=．22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2，100元/米2，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．【解答】解：（1）连接AC、BD，∵花坛为轴对称图形，∴EH∥BD，EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．同理，得到△BEF是等边三角形，∵AB==2，∴EF=BE=AB﹣AE=（2﹣x）m，在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，则EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x，故可得S=x（2﹣x）=﹣x2+6x；（2）∵菱形ABCD的面积为2×3=6，矩形EFGH的面积为﹣x2+6x，∴四个三角形的面积为6+x2﹣6x，设总费用为W，则W=200（﹣x2+6x）+100（6+x2﹣6x）=﹣100x2+600x+600=﹣100（x﹣）2+900，∵1≤x≤2，∴当x=时，W取得最大值，最大值为900，答：当x=时，购买花卉所需的总费用最低，最低总费用900．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？【解答】解：（1）当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．在△BMF和△ECF中，，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC=DC，∴BM=EC=DC=AB，∴AM=BM=EC；（2）如图2所示：设MB=a，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，∴△ECF∽△BMF，∴==2，∴EC=2a，∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．∵=2，∴BC=AD=2a．∵MN⊥MC，∴∠CMN=90°，∴∠AMN+∠BMC=90°．∵∠A=90°，∴∠ANM+∠AMN=90°，∴∠BMC=∠ANM，∴△AMN∽△BCM，∴=，∴=，∴AN=a，ND=AD﹣AN=2a﹣a=a，∴==3；（3）当==n时，如图3：设MB=a．∵△MFB∽△CFE，∴=，即，解得EC=an．∴AB=2an．又∵=n，∴，∴BC=2a．∵MN∥BE，MN⊥MC，∴∠EFC=∠HMC=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°．∵∠MBC=90°，∴∠BMC+∠FCB=90°，∴∠BMC=∠FBC．∵∠MBC=∠BCE=90°，∴△MBC∽△BCE，∴=，∴=，∴n=4．24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是：直线x=3 ，直线PQ与x 轴所夹锐角的度数是45 度；（2）若S△POQ ：S△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+6x的对称轴x=﹣=3，∵直线PQ：y=x+m与直线y=x平行，直线y=x是一、三象限的平分线，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=3，45．（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．∵S△POQ ：S△PAQ=1：2，∴AM=2ON，∴ON=MH=AH，∵点A（6，0），H（3，3），∴点M（0，6），∴直线PQ的解析式为y=x+6，由解得或，∴点P坐标（2，4）或（3，3）．（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．∵∠EMF=90°，∴∠EMG+∠FMH=90°，∵∠FMH+∠MFH=90°∴∠EMG=∠MFH，∵∠G=∠H=90°，∴△EMG∽△MFH，∴=，设E（x1，y1）、F（x2，y2），直线EF的解析式为y=mx+n，∴=，∵y1=﹣x12+6x1，y2=﹣x22+6x2代入上式整理得到x1x2﹣5（x1+x2）+26=0由消去y得到x2+（m﹣6）x+n=0，∴x1+x2=6﹣m，x1x2=n，∴n﹣5（6﹣m）+26=0，∴n=4﹣5m，∴直线EF解析式为y=mx+4﹣5m=（x﹣5）m+4，当x=5时，y=4，∴直线EF过定点N（5，4）．。
湖北省武汉二中广雅中学 2020-2021学年九年级上学期质量评估数学试卷(一)解析版
2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（上）质量评估数学试卷（一）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≤2C．x≥﹣2D．x≥22．将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（）A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4x2，﹣5x3．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（）A．2B．1C．0D．﹣24．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（）A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m为全体实数5．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1＝0时，下列变形正确的为（）A．（x﹣4）2＝17B．（x+4）2＝17C．（x﹣4）2＝15D．（x+4）2＝15 7．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）A．24B．25C．26D．278．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（）A．B．4C．D．10．设，，，……，，其中n为正整数，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小箱，每小题3分，共18分）11．计算＝，＝，＝．12．为锻炼身体，增强抵抗力．某学习小组6名同学一周锻炼身体的时间（单位：小时），分别为4，3，2，5，5，6这组数据的众数是．13．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2016年底有人口12万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至2万人，设2016至2018年底该地区贫困人口的年平均的下降率为x．根据题意可列方程为．14．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图BD是平行四边形ABCD的对角线，点E在BD上，DC＝DE＝AE，∠1＝25°，则∠C的大小是．15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a+b+c＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b2﹣6ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和3，则是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，其中正确的是（填序号）．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．三、解答题（共8题，共72分）17．按要求解下列方程：用配方法解：（1）x2﹣4x+1＝0．用公式法解：（2）．18．用适当方法解下列方程：（1）x（2x+4）＝10+5x．（2）x2﹣b2＝6ax+7a2+8ab．19．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．20．在11×11的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（1，6），B（4，1），C（1，1）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图．（1）在第一象限内画出点D，使得AD⊥AB，且AD＝AB．并写出点D的坐标．（2）在线段BD上画点E，使∠DAE＝45°（保留画图过程的痕迹）；（3）画出AB的中点F，在BC的延长线上找到一点P，使得∠BPF＝∠BAC．则点P的坐标为．21．已知关于x的方程（k+2）x2+（k﹣1）x﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根x1和x2，且，求k的值．22．某公司组织30辆汽车装运A、B、C三种产品共125吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种产品，且必须装满；装运每种产品的汽车不少于4辆；同时装运的B种产品的重量不超过装运的A、C两种产品重量和．（1）设用x辆汽车装运A种产品，用y辆汽车装运B种产品，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的x取值范围．产品品种A B C每辆汽车装运量（吨）543每吨产品获利（万元）0.60.70.8（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润．（3）由于市场行情的变化，将A、C两种产品每吨售价提高a万元（0.01≤a≤0.03），其他条件不变，求销售这批产品获得最大利润的方案．23．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明；（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，①求证：FD＝FB；②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当S＝5，则OF2+BF2的最小值为．△FMN24．如图，已知点A（3，0），C（﹣1，0），点B为y轴正半轴上的一点，且S△ABC＝6．（1）求直线AB的解析式；（2）在y轴上是否存在点T，将直线CB沿直线CT翻折后，点B的对称点H恰好落在x轴上．若存在，求出T点的坐标；若不存在，说明理由．（3）若P、Q两点在直线AB上，且x P、x Q是方程x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0的两个根，当∠POQ＝90°时，求m的值．2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（上）质量评估数学试卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≤2C．x≥﹣2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：D．2．将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（）A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4x2，﹣5x【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣5x+81＝0，则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5．故选：B．3．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（）A．2B．1C．0D．﹣2【分析】根据x＝3是已知方程的解，将x＝3代入方程即可求出m的值．【解答】解：将x＝3代入方程得：9﹣3m﹣3＝0，解得：m＝2．故选：A．4．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（）A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m为全体实数【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可．【解答】解：由题意得：m﹣2≠0，m2﹣2＝2，解得m≠2，且m＝±2，∴m＝﹣2．故选：C．5．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据一元二次方程的根的判别式△与0的大小关系来判断根的情况．【解答】解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0，∴方程没有实数根．故选：D．6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1＝0时，下列变形正确的为（）A．（x﹣4）2＝17B．（x+4）2＝17C．（x﹣4）2＝15D．（x+4）2＝15【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2﹣8x+1＝0，移项得：x2﹣8x＝﹣1，配方得：x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15．故选：C．7．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）A．24B．25C．26D．27【分析】由1个人患了新冠且经过两轮传染后共有625个人患新冠，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）．故选：A．8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出n的取值范围，再根据n的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．【解答】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，解得：n＞2，∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（）A．B．4C．D．【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得到AC＝AB＝5，CF＝CE ＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，则利用勾股定理得到AF＝，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．【解答】解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴AC＝AB＝5，CF＝CE＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，AF＝＝，∵T为AF的中点，∴CT＝AF＝．故选：D．10．设，，，……，，其中n为正整数，则的值是（）A．B．C．D．【分析】计算通项公式，将n＝1，2，3，…，2020代入可得结论．【解答】解：∵n为正整数，∴＝＝＝＝＝＝1+，∴＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）＝2020+1﹣+＝2020+1﹣＝2020．故选：B．二．填空题（共6小题）11．计算＝2，＝﹣，＝2．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：＝2，＝，＝2，故答案为：2；﹣；2．12．为锻炼身体，增强抵抗力．某学习小组6名同学一周锻炼身体的时间（单位：小时），分别为4，3，2，5，5，6这组数据的众数是5．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义就可以求解．【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5．故答案为：5．13．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2016年底有人口12万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至2万人，设2016至2018年底该地区贫困人口的年平均的下降率为x．根据题意可列方程为12（1﹣x）2＝2．【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设2016至2018年底该地区贫困人口的年平均的下降率为x，根据题意得：12（1﹣x）2＝2，故答案是：12（1﹣x）2＝2．14．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图BD是平行四边形ABCD的对角线，点E在BD上，DC＝DE＝AE，∠1＝25°，则∠C的大小是105°．【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BAE的度数，进而得出∠BAD的度数，再根据平行四边形的性质，即可得到∠C的度数．【解答】解：∵DE＝AE，∠1＝25°，∴∠ADE＝∠1＝25°，∴∠AEB＝∠1+∠ADE＝50°，又∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝50°，∴∠BAE＝80°，∠BAD＝80°+25°＝105°，又∵∠BAD＝∠C，∴∠C＝105°，故答案为：105°．15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a+b+c＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b2﹣6ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和3，则是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，其中正确的是①②③④（填序号）．【分析】①根据根的判别式即可作出判断；②若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的一个根，代入即可作出判断；③根据b2﹣6ac＞0，不一定得到b2﹣4ac＞0，从而不能证得方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④根据一元二次方程根与系数的关系得出方程的两根和与积，即可作出判断．【解答】解：①因为a+c＝0，a≠0，所以a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵ax2+bx+c＝0一定有一个根是1，∴a+b+c＝0，故②正确；③根据b2﹣6ac＞0，不能得到b2﹣4ac＞0，从而不能证得方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；④∵2和3是ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，∴，，∴，，而，，∴是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，故④正确，∴正确的结论是①②④，故答案为：①②④，16．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，MG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF 的最小值即为BG的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，MG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝，∴BR＝AR＝6，∵AC＝8，∴AG＝AC＝8，∴RG＝AR+AG＝6+8＝14，∴BG＝，即AE+BF的最小值为．三．解答题17．按要求解下列方程：用配方法解：（1）x2﹣4x+1＝0．用公式法解：（2）．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝﹣1，∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，则x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，∴△＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝3＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．18．用适当方法解下列方程：（1）x（2x+4）＝10+5x．（2）x2﹣b2＝6ax+7a2+8ab．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x（x+2）﹣5（x+2）＝0，分解因式得：（x+2）（2x﹣5）＝0，可得x+2＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2.5；（2）方程整理得：x2﹣6ax＝b2+7a2+8ab，配方得：x2﹣6ax+9a2＝b2+16a2+8ab，即（x﹣3a）2＝（4a+b）2，开方得：x﹣3a＝±（4a+b），解得：x1＝7a+b，x2＝﹣a﹣b．19．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．【分析】设横彩条的宽度是xcm，竖彩条的宽度是3xcm，根据“如果要使彩条所占面积是图案面积的19%”，可列方程求解．【解答】解：设横彩条的宽度是xcm，竖彩条的宽度是3xcm，则（30﹣3x）（20﹣2x）＝20×30×（1﹣19%），解得x1＝1，x2＝19（舍去）．所以3x＝3．答：竖彩条的宽度是3cm．20．在11×11的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（1，6），B（4，1），C（1，1）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图．（1）在第一象限内画出点D，使得AD⊥AB，且AD＝AB．并写出点D的坐标（6，9）．（2）在线段BD上画点E，使∠DAE＝45°（保留画图过程的痕迹）；（3）画出AB的中点F，在BC的延长线上找到一点P，使得∠BPF＝∠BAC．则点P的坐标为（﹣，1）．【分析】（1）根据要求画出点D即可．（2）作∠DAB的角平分线即可．（3）过点F作FP⊥AB交BC的延长线于点P．【解答】解：（1）如图，点D即为所求．D（6，9）．故答案为（6，9）．（2）如图，∠DAE即为所求．（3）如图点P即为所求．P（﹣，1），故答案为（﹣，1）．21．已知关于x的方程（k+2）x2+（k﹣1）x﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根x1和x2，且，求k的值．【分析】（1）分两种情况，根据根的判别式即可求解；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，根据，得到关于k的方程，解方程即可求解．【解答】（1）证明：①当k+2≠0时，∵△＝（k﹣1）2﹣4（k+2）×（﹣3）＝k2﹣2k+1+12k+24＝k2+10k+25＝（k+5）2≥0，∴方程总有实数根；②当k+2＝0时，原方程化为﹣3x﹣3＝0，方程的解为x＝﹣1．∴无论k为何实数，方程总有实数根；（2）依题意有x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵，∴（﹣）2﹣2×（﹣）＝10，解得k1＝﹣1，k1＝﹣3，经检验，k1＝﹣1，k1＝﹣3都是原方程的解．故k的值是﹣1或﹣3．22．某公司组织30辆汽车装运A、B、C三种产品共125吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种产品，且必须装满；装运每种产品的汽车不少于4辆；同时装运的B种产品的重量不超过装运的A、C两种产品重量和．（1）设用x辆汽车装运A种产品，用y辆汽车装运B种产品，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的x取值范围．产品品种A B C每辆汽车装运量（吨）543每吨产品获利（万元）0.60.70.8（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润．（3）由于市场行情的变化，将A、C两种产品每吨售价提高a万元（0.01≤a≤0.03），其他条件不变，求销售这批产品获得最大利润的方案．【分析】（1）由题意得，化简得，即可求解；（2）由题意得：Q＝5×0.5x+4•0.7y+3×0.8（30﹣x﹣y）＝86﹣0.2x，进而求解；（3）由题意得：Q′＝5x（0.6+a）+4×0.7y+3×（30﹣x﹣y）（0.8+a）＝86﹣0.2x+8ax ﹣15a，进而求解．【解答】解：（1）由题意得，化简得，即y与x之间的函数关系式为y＝35﹣2x（15≥x≥10）；（2）由题意得：Q＝5×0.6x+4•0.7y+3×0.8（30﹣x﹣y）＝86﹣0.2x，当x＝10（台）时，Q最大，此时Q的最大值为84（万元）；即装运A、B、C货物的车辆分别为10台、15台、5台时，可以获得最大利润84万元；（3）设此时外销活动的利润为Q′（万元），由题意得：Q′＝5x（0.6+a）+4×0.7y+3×（30﹣x﹣y）（0.8+a）＝86﹣0.2x+8ax﹣15a ＝（﹣0.2+8a）x+86﹣15a（15≥x≥10），当﹣0.2+8a＝0时，最大利润＝86﹣15×0.01＝85.85（万元）．当﹣0.2+8a＞0时，最大利润＝（﹣0.2+8a）15+86﹣15a＝（83+105a）万元当﹣0.2+8a＜0时，最大利润＝（﹣0.2+8a）10+86﹣15a＝（84+65a）万元．23．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明；（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，①求证：FD＝FB；②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当S＝5，则OF2+BF2的最小值为20．△FMN【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，可证AD⊥BE；（2）①过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACT≌△BCG，△DCH≌△ECT，可得CT＝BG，CT＝DH，由“AAS”可证△DHF ≌△BGF，可得DF＝BF；②过点F作FK⊥BC于K，由“ASA”可证△AOM≌△COF，可得OF＝OM，由等腰直角三角形的性质可得MF＝OF，FK＝BF，由三角形的面积公式可求OF×BF＝10，即可求解．【解答】证明：（1）AD⊥BE，AD＝BE，理由如下：∵CD⊥CE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，∴∠CBE+∠ABC＝90°＝∠ABE，∴AD⊥BE；（2）①如图2，过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，∵CF⊥AE，∴∠ACT+∠CAT＝90°，又∵∠ACT+∠BCG＝90°，∴∠CAT＝∠BCG，在△ACT和△BCG中，，∴△ACT≌△BCG（ASA），∴CT＝BG，同理可证△DCH≌△ECT，∴CT＝DH，∴DH＝BG，在△DHF和△BGF中，，∴△DHF≌△BGF（AAS），∴DF＝BF；②如图3，过点F作FK⊥BC于K，∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，点O是AB的中点，∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠OCF+∠OFC＝90°，∵AT⊥CF，∴∠OFC+∠F AT＝90°，∴∠F AT＝∠OCF，在△AOM和△COF中，，∴△AOM≌△COF（ASA），∴OM＝OF，又∵CO⊥AO，∴MF＝OF，∠OFM＝∠OMF＝45°，∴∠OFM＝∠ABC，∴MF∥BC，∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，∴∠ABC＝∠BFK＝45°，∴FK＝BK，∴FK＝BF，∵S△FMN＝5，∴×MF×FK＝5，∴OF×BF＝10，∴OF×BF＝10，∵（BF﹣OF）2≥0，∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，∴BF2+OF2≥2×10＝20，∴BF2+OF2的最小值为20，故答案为：20．24．如图，已知点A（3，0），C（﹣1，0），点B为y轴正半轴上的一点，且S△ABC＝6．（1）求直线AB的解析式；（2）在y轴上是否存在点T，将直线CB沿直线CT翻折后，点B的对称点H恰好落在x轴上．若存在，求出T点的坐标；若不存在，说明理由．（3）若P、Q两点在直线AB上，且x P、x Q是方程x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0的两个根，当∠POQ＝90°时，求m的值．【分析】（1）利用S△ABC＝×AC×y B＝×4×y B＝6，求出点B的坐标，进而求解；（2）由对称的性质知，求出点H（﹣1，0），利用中点公式求出点N（，），进而求解；（3）求出点Q（m﹣1，4﹣m）、（m+2，﹣m+1），证明tan∠OPM＝tan∠QON，则，即，即可求解．【解答】解：（1）S△ABC＝×AC×y B＝×4×y B＝6，解得y B＝3，故点B（0，3），设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AB的表达式为y＝﹣x+3；（2）存在，理由：设直线CT交BH于点N，如图1，由对称的性质知，CH＝CB＝＝，则点H（﹣1，0），由对称的性质知，点N是BH的中点，则点N（，），由点C、N的坐标得，直线CN的表达式为y＝x+，令x＝0，则y＝，故点T（0，）；（3）x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0，解得x＝m+2或m﹣1，设点P在点Q的下方，而点P、Q在直线AB上，则点Q（m﹣1，4﹣m）、（m+2，﹣m+1），如图2，过点P、Q分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，∵∠POQ＝90°，∴∠QON+∠POM＝90°，∵∠POM+∠OPM＝90°，∴∠OPM＝∠QON，∴tan∠OPM＝tan∠QON，即，即，解得m＝1．。
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武汉二中广雅中学2019-2020学年九（下）数学质量评估（一）一．选择题（共6小题）1．在反比例函数y＝图象上的点是（）A．（﹣2，6）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（6，2）2．将抛物线y＝3x2向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为（）A．y＝3x2﹣3B．y＝3（x﹣3）2C．y＝3x2+3D．y＝3（x+3）2 3．在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为（）A．4B．6C．8D．104．如图，向容器甲中匀速的注水，下面哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系（）A．B．C．D．5．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y16．等宽曲线是这样一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称为宽度）都是相等的．图①是三边等宽曲线，它是由3段相等的弧围成的封闭图形，也称为莱洛三角形；图②是七边等宽曲线，它是由7段相等的弧围成的封闭图形，一般地，（2n+1）边等宽曲线的作法如下：1．先构造正2n+1边形A1A2A3…A2n+1；2．分别以正2n+1边形的顶点A1，A2，A3…A2n+1为圆心，以线段A1A n+1的长为半径作2n+1个圆，这些圆的公共部分，就是（2n+1）边等宽曲线．若线段A1A n+1的长为a，则（2n+1）边等宽曲线的周长为（）A．aπB．aπC．2aπD．aπ二．填空题（共5小题）7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝．8．反比例函数y＝的图象在其象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，2AC＝3BC，点D、E、F分别在线段AB、AC、BC上，且BD＝2AD，DE⊥DF，则＝．10．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，则关于x的不等式a （x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为．11．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+PB的最小值是．三．解答题（共4小题）12．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；14．某汽车销售公司计划销售A、B两种型号的汽车共80辆，该公司所筹资金不少于660万元，但不超过672万元，且所筹资金全部用于购进新车，设A型汽车购进x辆，该公司销售A、B两种汽车获得利润y（万元），两种汽车的成本和售价如表：A B成本（万元/辆）612售价（万元/辆）916（1）该公司对这两种汽车进货有哪几种方案？（2）列出y关于x的函数关系式，并通过函数的性质判断如何进货该公司获得利润最大？（3）根据市场调查，每辆B型汽车售价不会改变，每辆A型汽车的售价将会提高a万元（a＞0），且所进的两种汽车可全部售出，该公司又将如何进货获得利润最大？（注：利润＝售价﹣成本）15．抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．在反比例函数y＝图象上的点是（）A．（﹣2，6）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（6，2）【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．【解答】解：A、﹣2×6＝﹣12≠﹣8；B、4×（﹣2）＝﹣8；C、4×2＝8≠﹣8；D、6×2＝12≠﹣8，故B在反比例函数y＝图象上．故选：B．2．将抛物线y＝3x2向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为（）A．y＝3x2﹣3B．y＝3（x﹣3）2C．y＝3x2+3D．y＝3（x+3）2【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣3，0）．可设新抛物线的解析式为y＝3（x﹣h）2+k，代入得：y＝3（x+3）2．故选：D．3．在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】先利用比例的性质得到S△ADE：S△ABC＝4：25，再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得＝（）2＝，从而可求出AC，然后计算AC﹣AD即可．【解答】解：∵S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，∴S△ADE：S△ABC＝4：25，∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，∴AC＝×4＝10，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣4＝6．故选：B．4．如图，向容器甲中匀速的注水，下面哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系（）A．B．C．D．【分析】由容器的形状可知，注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始陡峭，后来趋于平缓，考查选项可得答案．【解答】解：由容器的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始陡峭，后来趋于平缓，故选：C．5．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，根据各点到对称轴的距离，即可得出答案．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2（a＞0），∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（，y2）到对称轴的距离最小，∴y1＞y3＞y2，故选：B．6．等宽曲线是这样一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称为宽度）都是相等的．图①是三边等宽曲线，它是由3段相等的弧围成的封闭图形，也称为莱洛三角形；图②是七边等宽曲线，它是由7段相等的弧围成的封闭图形，一般地，（2n+1）边等宽曲线的作法如下：1．先构造正2n+1边形A1A2A3…A2n+1；2．分别以正2n+1边形的顶点A1，A2，A3…A2n+1为圆心，以线段A1A n+1的长为半径作2n+1个圆，这些圆的公共部分，就是（2n+1）边等宽曲线．若线段A1A n+1的长为a，则（2n+1）边等宽曲线的周长为（）A．aπB．aπC．2aπD．aπ【分析】由题意得到△A1A2A3是等边三角形，求得∠A3＝60°＝，于是得到三边等宽曲线的周长＝3×＝aπ，由题意得到七边形A1A2A3A4A5A6A7是正七边形，求得每个内角＝，连接A1A4，A7A4，得到∠A1A4A7＝，于是得到七边等宽曲线的周长＝7×＝aπ，于是得到结论．【解答】解：∵图①是三边等宽曲线，∴△A1A2A3是等边三角形，∴∠A3＝60°＝，∴三边等宽曲线的周长＝3×＝aπ，∵图②是七边等宽曲线，∴七边形A1A2A3A4A5A6A7是正七边形，∴每个内角＝，连接A1A4，A7A4，∴∠A1A4A7＝，∴七边等宽曲线的周长＝7×＝aπ，…，∴（2n+1）边等宽曲线的周长为aπ，故选：A．二．填空题（共5小题）7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝2．【分析】把x＝1代入方程计算即可求出m的值．【解答】解：把x＝1代入方程得：1﹣（m+2）+3＝0，去括号得：1﹣m﹣2+3＝0，解得：m＝2，故答案为：28．反比例函数y＝的图象在其象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3．【分析】根据反比例函数的性质可知，图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数小于0，据此列出不等式解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴k﹣3＜0，k＜3．故答案为k＜39．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，2AC＝3BC，点D、E、F分别在线段AB、AC、BC上，且BD＝2AD，DE⊥DF，则＝．【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，可证四边形DGCH是矩形，DH∥CG，DG∥CH，∠HDG＝90°，设AC＝3a，BC＝2a，由平行线分线段成比例可得DH＝a，DG＝2a，通过证明△DEH∽△DFG，可得，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，∵2AC＝3BC，∴设AC＝3a，BC＝2a，∵DH⊥AC，DG⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DGCH是矩形，∴DH∥CG，DG∥CH，∠HDG＝90°，∴，，且BD＝2AD，∴，，∴DH＝a，DG＝2a，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠HDG＝90°，∴∠HDE＝∠GDF，且∠DHE＝∠DGF＝90°，∴△DEH∽△DFG，∴，∴＝，故答案为：．10．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，则关于x的不等式a （x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为0≤x≤6．【分析】直接利用二次函数大致图象结合不等式与函数关系得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，∴大致图象如图所示：∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，2），（6，2）两点则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为：0≤x≤6．故答案为：0≤x≤6．11．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+PB的最小值是4+2．【分析】可以设半圆与AC、BC的切点为Q，P′，连接OQ，OP′，得正方形CQOP′，以P′为圆心，P′D为半径画弧交P′B于点E，当点P运动到点P′时，PC+PB ＝P′C+P′D＝P′C+P′E＝CE，最小，进而求解．【解答】解：如图，设半圆与AC、BC的切点为Q、P′，连接OQ、OP′，得正方形CQOP′，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，CP′＝OP′＝P′B＝4，作P′D⊥OB于点D，∴P′D＝P′B＝×4＝2，以P′为圆心，P′D为半径画弧交P′B于点E，当点P运动到点P′时，PC+PB＝P′C+P′D＝P′C+P′E＝CE，最小，∴PC+PB的最小值为4+2．故答案为4+2．三．解答题（共4小题）12．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝1，经检验：x＝1是原分式方程的解；∴口袋中黄球的个数为1个；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，∴两次摸出都是红球的概率为：＝；（3）∵摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，∴乙同学已经得了7分，∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为：．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，证明DF＝OD＝r，则DE＝DF+EF＝r+2，BD ＝CD＝DE＝r+2，证明△BFD∽△EF A，列比例式为：，则列方程可求出r的值．【解答】解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EF A＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EF A＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EF A＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EF A，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EF A，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．14．某汽车销售公司计划销售A、B两种型号的汽车共80辆，该公司所筹资金不少于660万元，但不超过672万元，且所筹资金全部用于购进新车，设A型汽车购进x辆，该公司销售A、B两种汽车获得利润y（万元），两种汽车的成本和售价如表：A B成本（万元/辆）612售价（万元/辆）916（1）该公司对这两种汽车进货有哪几种方案？（2）列出y关于x的函数关系式，并通过函数的性质判断如何进货该公司获得利润最大？（3）根据市场调查，每辆B型汽车售价不会改变，每辆A型汽车的售价将会提高a万元（a＞0），且所进的两种汽车可全部售出，该公司又将如何进货获得利润最大？（注：利润＝售价﹣成本）【分析】（1）设购A种汽车x件，则B种汽车为80﹣x件，根据题意，可得，660≤6x+12（80﹣x）≤672，解出x的值，即可得到进货方案；（2）根据题意，可得到，利润与购A种汽车的一次函数，即可解答哪种利润最大；（3）根据题意，可得到，利润与购A种汽车的一次函数，根据a的取值，分类讨论解答；【解答】解：（1）设购A种汽车x件，则B种汽车为80﹣x件，根据题意得，660≤6x+12（80﹣x）≤672，解得48≤x≤50；有3种方案：①购A种汽车48件、B种汽车为32件；②购A种汽车49件、B种汽车为31件；③购A种汽车50件、B种汽车为30件．（2）由题意得，利润y＝3x+4（80﹣x）＝﹣x+320，因为，函数y随x的增大而减小，所以，当x＝48时，即，当购A种汽车48件、B种汽车为32件时，最大利润y＝﹣1×48+320＝272（万元）；（3）由题意得，利润y＝（3+a）x+4（80﹣x）＝（a﹣1）x+320，∴当a＞1时，购A种汽车50件、B种汽车为30件时，利润最大；当a＝1时，均可采用；当0＜a＜1时，购A种汽车48件、B种汽车为32件时，利润最大．15．抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．【分析】（1）解方程（x﹣3）（x+1）＝0，求出x＝3或﹣1，根据抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y＝（x﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点D的坐标；（2）①根据抛物线y＝（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD＝，CB＝3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则＝＝，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BD的解析式为y＝2x﹣6，解方程组，即可求出点P的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN＝2CN．设CN＝a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点M，都有∠MCN＜45°，所以点M不存在．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y＝0时，（x﹣3）（x+1）＝0，解得x＝3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x＝1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH＝DH＝1，∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45°，∴CD＝，CB＝3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR，∠CDB＝∠CDE+∠BDE＝45°+∠DCP，∠QCO＝∠RCO+∠QCR＝45°+∠DCP，∴∠CDB＝∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴＝＝，∴OQ＝3OC＝9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BD的解析式为y＝2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90°，∴△MCN∽△DBE，∴＝＝，∴MN＝2CN．设CN＝a，则MN＝2a．∵∠CDE＝∠DCF＝45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF＝CN＝a，CF＝a，∴MF＝MN+NF＝3a，∴MG＝FG＝a，∴CG＝FG﹣FC＝a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），解得a＝，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90°，∴△MCN∽△DBE，∴＝＝，∴MN＝2CN．设CN＝a，则MN＝2a．∵∠CDE＝45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF＝CN＝a，CF＝a，∴MF＝MN﹣NF＝a，∴MG＝FG＝a，∴CG＝FG+FC＝a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），解得a＝5，∴M（5，12）；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．∵∠CMN＝∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点M，都有∠MCN＜45°，∴点M不存在．综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．。