高考第一轮 椭圆综合应用
2
2
别为 F，F ，A 是椭圆上的一点，
AF2 F1F2 ，原点 O 到直线 AF1 的距离为 1 OF ． 1 3
（1）证明 a 设圆 x2
2
（2）求 t (0，b) 使得下述命题成立：
2b ；
y t
2 上任意点
2
M ( x0，y0 ) 处的
． OQ 1 2
切线交椭圆于 Q1 ， Q 两点，则 OQ
2
x 2 y 1 F F 4、 设 1 、 2 分别是椭圆 4 的左、
2
右焦点. （1）若 P 是该椭圆上的一个 动点， 求 PF 1 ·PF2 的最大值和最小值; （2）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交 于不同的两点 A 、 B ，且∠ AOB 为锐角 （其中 O 为坐标原点） ， 求直线 l 的斜率
k 的取值范围.
5、如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点 为 F（3，0） ，右准线 l 的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ， 使 P 1 FP 2 P 2 FP 3 P 3 FP 1 ，证明：
1 1 1 为定值，并求此定值。 | FP | | FP | | FP | 1 2 3
6、 已知椭圆
x2 y2 C: a 2 b 2
=1(a＞b＞0)的离
心率为
6 3
, 短轴一个端点到右焦点的
距离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，
3 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 ，求
△AOB 面积.
7、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦
x 2 2 y 1 由 4 ，解得 x1,2 2 1 b
1 2 2 2 所以 S 2 b | x1 x2 | 2b 1 b b 1 b 1
2
2 b 当且仅当 2
时，S 取到最大值 1．
y kx b 2 x 2 1、解： （1）由 y 1得 4
x 2 y 1 1、如图，直线 y＝kx＋b 与椭圆 4
交于 A、B 两点，记△AOB 的面积为 S． （1）求在 k＝0，0＜b＜1 的条件下，S 的最大值； （2）当｜AB｜＝2，S＝1 时，求直线 AB 的方程．
y
2
A
O B
x
1、解： （1）设点 A 的坐标为 ( x1 , b) ， 点 B 的坐标为 ( x2 , b) ，
（2）求四边形 ABCD 的面积的最小 值．
9 、 在平面直角坐标系 xOy 中，经过
点 (0，2) 且斜率为交点 P 2
和Q ．
（1）求 k 的取值范围； （2）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正 半轴的交点分别为 A，B ，是否存在 常数 k ， 使得向量 OP OQ 与 AB 共线？ 如果存在，求 k 值；如果不存在，请 说明理由．
x 2 y 1 F F 6、 设 1 、2 分别是椭圆 4 的左、
2
右焦点. （1）若 P 是该椭圆上的一个动点， 求 PF1 · PF2 的最大值和最小值; （2）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭 圆交于不同的两点 A 、B ， 且∠ AOB 为锐角 （其中 O 为坐标原点） ， 求直 线 l 的斜率 k 的取值范围.
|b|
所以 b
2
k 1③
2
4
③代入②并整理，得 4k
2
4k 1 0
2
1 2 3 k , b 解得， 2 2 ，代入①式检验，
△＞0 故直线 AB 的方程是
2 6 y x 2 2
2 6 y x 或 2 2
2、设椭圆 x
1
y 的左、右焦点分 2 1(a b 0) 2 a b
点在 x 轴上， 椭圆 C 上的点到焦点距离 的最大值为 3 ，最小值为 1 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A，B 不是左右顶点） ，且 以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点， 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的 坐标．
8、已知椭圆
x y 1 的左、右焦点 3 2
2
2
分别为 F1 ，F2 ． 过 F1 的直线交椭圆于 B，D 两点，过 F2 的直线交椭圆于 A，C 两点，且 AC BD ，垂足为 P ． （ 1） 设 P 点的坐标为 ( x0，y0 ) ， 证明：
2 2 x0 y0 1； 3 2
(4k 1) x 8kbx 4b 4 0
2 2 2
16(4k b 1)
2 2
①
|AB|＝ 1 k | x1 x2 |
2
1 k
2
16(4k b 1) 2 2 4k 1
2 2
②
2S 1 又因为 O 到 AB 的距离 d 2 | AB | 1 k
x y 10、设椭圆 25 16 1 上一点 P
2
2
到左准线
的距离为 10， F 是该椭圆的左焦点，
1 若点 M 满足 OM 2 (OP DF ) ，
则 | OM | =
．
11 、 设椭圆
x2 y 2 2 1(a b 0) 的离心率 2 a b
为
2
1 e 2
0) ， 方 程 ， 右 焦 点 为 F (c，
ax bx c 0 的两个实根分别为
x1 和
） 2 2 Ａ．必在圆 x y 2 内Ｂ．必在圆 2 2 2 2 x y 2 上Ｃ．必在圆 x y 2 外 Ｄ．以上三种情形都有可能
x2 ，则点 P( x1，x2 ) （
12、在平面直角坐标系 xoy 中，已知 圆心在第二象限、 半径为 2 2 的圆 C
x 2 y 1 3、求 F1、F2 分别是椭圆 4 的左、
右焦点.（1）若 r 是第一象限内该数轴上 2 2 5 的一点， PF1 PF2 4 ，求点 P 的作标； （2）设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆 交于同的两点 A、B，且∠ADB 为锐角（其中 O 为作标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
2020高中数学一轮复习课件 第8章 椭圆双曲线圆锥曲线的综合应用
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(2)定值、定点问题的处理方式一般有两种:一是从特殊点入手,求出 定点(值),再证明这个点(值)与变量无关;二是直接推理计算,并在计 算过程中消去变量,从而得到定点(值). 2.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化 解题过程的目的. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把 直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,会减 少解题运算量.
②几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征,则利用 图形性质来解决最值与取值范围问题.
2.对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
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它涉及线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点 、定值问题的判断方法.
3.实际应用题
涉及与圆锥曲线有关的应用问题,解决的关键是建立坐标系,合理选 择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判 断,解题的一般思想是:
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(2)巧用函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相 互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数 思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练.
(4)对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件相对集中,减少 一些变量和未知量,简化计算,提高解题速度,使问题更快解决.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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锥曲线中有关的几何元素的最值问题.曲线遵循某种条件时,参数有 相应的允许取值范围,即我们指的参变数取值范围问题.求解时有以 下两种方法:
①代数法:引入参变量,通过圆锥曲线的性质,及曲线与曲线的交点理 论、韦达定理、方程思想等,用变量表示(计算)最值、范围问题,再 用函数思想、不等式方法得到最值、范围;
2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第3讲椭圆双曲线抛物线
第3讲 椭圆、双曲线、抛物线[考情分析] 高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 D解析 椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16，椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C 的方程为＋＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A.B．3C.D．2答案 B解析 方法一 由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1 (1)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案 C解析 方法一 因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以点M在第一象限．由|MF|＝x M＋＝5，得x M＝5－，即M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y轴相切于点(0,2)，从而2＝，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.方法二 由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则AF＝，AM＝.由已知，得AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5.又因为p>0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.(2)已知椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2,2)为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m的取值范围是( )A．(6＋2，25] B．[9,25]C．(6＋2，20] D．[3,5]答案 A解析 椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0)．设左焦点为F′，则F′(－2,0)．由椭圆的定义可得2＝|PF|＋|PF′|，即|PF′|＝2－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2＝8－2.由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.①又点A在椭圆内，所以＋<1(m>4)，所以8m－16<m(m－4)(m>4)，解得m<6－2(舍)或m>6＋2.②由①②得6＋2<m≤25，故选A.考点二 圆锥曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝.(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．例2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1·AF2＝0，AF2＝2F2B，则椭圆E的离心率为( )A.B.C.D.答案 C解析 ∵AF2＝2F2B，设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，∵AF1·AF2＝0，∴AF1⊥AF2，在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，解得x＝，∴|AF2|＝，|AF1|＝，在Rt△AF1F2中，有2＋2＝(2c)2，整理得＝，∴e＝＝.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为( )A.B．4C．7D．8答案 B解析 由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，由图象可知|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，∴|MM′|＝|AB|，联立得x2－6x＋1＝0，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴|MM′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)＋＝.跟踪演练2 (1)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e等于( )A.B.C.D.答案 D解析 抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得解得y＝±，可得|AB|＝，由△ABF为等边三角形，可得p＝·，即有＝，则e＝＝＝＝.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，若＝2，则|AF|等于( )A.B．1C．2D．3答案 B解析 如图所示，由题意知，|MF|＝x0＋.∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2.∵＝2，∴|MF|＝|MA|，∴x0＝p.又∵点M(x0,2)在抛物线上，∴2p2＝8，又∵p>0，∴p＝2.∴|MA|＝2＝2，∴|AF|＝1.考点三 直线与圆锥曲线的位置关系核心提炼解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．例3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．解 (1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为＋＝1.(2)设P(x P，y P)，Q(6，y Q)，根据对称性可设y Q>0，由题意知y P>0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，所以|BP|＝y P，|BQ|＝.因为|BP|＝|BQ|，所以y P＝1.将y P＝1代入C的方程，解得x P＝3或－3.由直线BP的方程得y Q＝2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为××＝；|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为××＝.综上，△APQ的面积为.规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．跟踪演练3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C 交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，| BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.(2)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为( )A.B．1C.D.答案 D解析 假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝＝＝2m，则tan∠ABC＝＝＝，即直线AB的斜率k＝.专题强化练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为( )A. B.C. D.答案 C解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝.2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )A．2B．3C．6D．9答案 C解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1答案 C解析 由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，则M，N(，0)．设点A(x0，y0)(x0≠±)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)，①又＋＝1，所以y＝b2，②由①②解得b2＝2.所以C的方程为＋＝1.4．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.B.C．2D.答案 A解析 如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的公共弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.5．(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.答案 C解析 如图，取PF1的中点M，连接MF2.由条件可知|HF1|＝|PF1|＝|MF1|，∵O是F1F2的中点，∴OH∥MF2，又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF1|＝2a＋2c，∴|HF1|＝，直线PF1的方程是y＝(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原点到直线PF1的距离|OH|＝＝a，∴在△OHF1中，a2＋2＝c2，整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线答案 ACD解析 对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b ＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．7．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )A．C的方程为－y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x－2－1经过C的一个焦点D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点答案 AC解析 因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝e x－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )A．p＝4 B.DF＝FAC．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4答案 ABC解析 如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF ＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；∵|AE|＝| EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则DF＝FA，故B正确；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴| BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案 (3，)解析 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B 为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．答案 2解析 如图，A(a,0)．由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则k AB＝＝3，即b2＝3ac－3a2.又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.11．设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．答案 解析 ∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，∴mx2＋ny2＝1的一个焦点为(0,2)，∴焦点在y轴上，∴a2＝，b2＝－，c＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a2＋b2＝－，又离心率为2，即＝4，解得n＝1，m＝－，∴此双曲线的方程为y2－＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d＝＝.12.如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，D，B，C四点，则AB·CD的值为________．答案 解析 易知AB·CD＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，所以A，B，C，D，|AB|＝|CD|＝，所以AB·CD＝·＝；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝k，由可得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，则AB·CD＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝.综上，AB·CD＝.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解 (1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.①由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.14．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．(1)解 由题意可得解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨取A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)，联立得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.所以直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，易知直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，从而r＝＝.因为点F到直线GB的距离d＝＝＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
浙江新高考数学理科一轮复习创新方案主干知识8.5椭圆(含答案详析)
第五节 椭 圆【考纲下载 】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．认识圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形联合的思想．1． 椭圆的定义(1)知足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内；②与两个定点 F 1， F 2 的距离的和等于常数； ③常数大于 |F 1 F 2 |.(2)焦点：两定点． (3)焦距：两焦点间的距离．2． 椭圆的标准方程和几何性质x 2y 2标准方程 x 2 y 2学科王a 2＋ b2＝ 1(a ＞ b ＞0)b 2 ＋ a 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)图形－ a ≤x ≤ a ，－ b ≤ x ≤ b ， 范围学科王－ b ≤ y ≤ b－ a ≤ y ≤ a学科王对称性对称轴：坐标轴，对称中心： (0,0)性极点A 1(－ a,0)， A 2 (a,0)， A 1(0，－ a) ，A 2(0， a)，B 1(0，－ b)， B 2(0 ， b) B 1(－ b,0)， B 2(b,0)轴长轴 A 1 A 2 的长为 2a ，短轴 B 1B 2 的长为 2b学科王质焦距 |F 1F 2|＝ 2c离心率e ＝ c， e ∈ (0,1)aa ，b ，c c 2＝ a 2－ b 2的关系1．在椭圆的定义中，若 2a ＝ |F 1 F 2 |或 2a<|F 1F 2|，则动点的轨迹如何？提示：当 2a ＝ |F 1 F 2 |时动点的轨迹是线段 F 1F 2；当 2a<|F 1F 2|时，动点的轨迹是不存在的． 2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有如何的关系？提示：离心率 e ＝a c越靠近 1，a 与 c 就越靠近， 进而 b ＝ a 2 －c 2就越小， 椭圆就越扁平；同理离心率越靠近 0，椭圆就越靠近于圆．1．已知 F 1，F 2 是椭圆x 2 ＋ y2＝ 1 的两焦点，过点 F 2 的直线交椭圆于 A ， B 两点，在△16 9 AF 1B 中，如有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3分析：选A依据椭圆定义，知△ AF 1B 的周长为 4a ＝ 16，故所求的第三边的长度为 16－ 10＝ 6.222．椭圆 x＋ y＝ 1 的离心率为 ()16 81 132A. 3B.2C. 3D. 2分析：选 D在椭圆 x 2 y 2222222，＋＝ 1 中， a ＝ 16， b ＝ 8，所以 c＝a － b ＝ 8，即 c ＝ 216 8所以，椭圆的离心率e ＝ c ＝22＝ 2x2y2a 42.3．椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 的右焦点到直线 y ＝ 3x 的距离是 ()1 3 C ．1 D. 3 A.2 B. 2分析：选 B在椭圆 x2＋ y 2＝ 1 中， a 2＝ 4，b 2 ＝3，所以 c 2＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝ 1，所以，其4 3右焦点为 (1,0)．该点到直线y ＝ 3x 的距离 d ＝| 3－0|＝ 332＋ －122 .4．已知椭圆的方程为2x2＋3y 2 ＝m(m>0) ，则此椭圆的离心率为 ________．m2 226 ＝分析： 椭圆 2x 2＋3y 2＝ m(m>0)可化为 x ＋y＝1，所以 c 2＝ m －m＝ m，所以 e 2＝c2＝mm236am2 321，即 e ＝ 333 .答案：335．椭圆 x 2＋ my 2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的2 倍，则 m ＝ ________.2 2 2 y 221 2分析： 椭圆 x＋ my ＝1 可化为 x ＋＝ 1，由于其焦点在y 轴上，∴ a ＝， b ＝ 1，1mm依题意知11＝ 2，解得 m ＝ .m4答案：14压轴大题巧打破 (一 )与椭圆相关的综合问题求解x 2y 23[典例 ](2013 天·津高考 )(13 分 )设椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左焦点为 F ，离心率为 3，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1) 求椭圆的方程；(2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右极点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C ，D 两点．若AC ·DB ＋ AD ·CB ＝ 8，求 k 的值．[ 化整为零破难题 ](1)基础问题 1：如何获得 a 与 c 的关系？ 利用椭圆的离心率．基础问题 2：如何求过 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长？直线 x ＝－ c 与椭圆订交，两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长． (2)基础问题 1：如何求 A ，B 两点的坐标？ A ，B 分别为左右极点即为 (－ a,0)， (a,0) ．基础问题 2：设 C(x 1， y 1)， D (x 2， y 2)，如何找寻 x 1＋ x 2， x 1x 2 呢？将直线方程与椭圆方程联立， 消去 y 获得对于 x 的一元二次方程． 利用根与系数关系即可获得．基础问题 3：如何表示 AC ·DB ＋ AD ·CB ？ 利用向量的坐标运算即可．[规范解答不失分](1) 设 F ( － c, 0) ，由 c＝ 3 ，知 a ＝3c ，a 3过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x ＝－ c ，代入椭圆方程有解得 y ＝ ± 6b ， ①32 6b 4 32于是 3 ＝ 3 ，解得 b ＝ 2，则 b ＝2. 又由于 a 2－ c 2＝ b 2，进而 a 2＝ 3， c 2＝ 1，x 2 y 2 所以所求椭圆的方程为 3 ＋2＝1.4(2)设点 C x 1，y 1 ， D x 2， y 2，②由 F ( － 1,0) 得直线 CD 的方程为 y ＝k(x ＋1)，由方程组－ c 22 y＝ 1，a 2＋ b 22 分分y ＝ k x ＋ 1 ，2 2 x ＋ y ＝ 1，3 2消去 y 得2＋ 3k 2x 2＋6k 2 x ＋3k 2－ 6＝ 0.③63k 2－ 6分依据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－ 6k 2 8分2， x 1x 2＝2.2＋ 3k2＋ 3k由于 A ( － 3，0) ，B (3，0)，所以 AC ·DB ＋AD ·CB= x 13, y 13 x 2 , y 2 x 23, y 2 3 x 1, y 1④＝ 6－2x 1x 2 － 2y 1y 2＝ 6－2x 1x 2－ 2k 2( x 1＋ 1)(x 2＋ 1)＝ 6－(2＋ 2k 2 2 22k 2＋ 12 .11 分)x 1x 2－ 2k (x 1＋ x 2)－ 2k ＝6＋ 2 2k 2＋12 2＋ 3k由已知得 6＋13分2 ＝ 8，解得 k ＝ ± 2. 2＋ 3k[易错警告要切记 ]易错点一①处易用 a，b，c 三个量来表示 y，造成运算大而出现错误，原由是忽视a，b，c 三者的关系易错点二②处易忽视设点，尔后边直接用根与系数的关系，造成不谨慎，出现错误易错点三③方程整理错误易错点四④处公式记忆禁止，向量坐标运算错误。
椭圆高考题赏析带解析
椭圆高考题赏析1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 45352515答案:B 解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c.又222b a c =-,所以222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35c e a ==.2.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =,则椭圆的离心率是 A.32B.22C.13D.12答案:D解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =,∴a=2c.∴12e =.3.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为.答案:(211)-,解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221sin PFF sin PF F PF PF ||||=,∠∠则由已知,得1211a c PF PF =,||||即a|1PF |=c|2PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |22a c a =,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >. 又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.4.椭圆22192y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |=;12F PF ∠的大小为.答案:2120解析:∵2292a b =,=,∴22927c a b =-=-=∴|12F F |7=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6,∴|2PF |=2.又由余弦定理,得cos 2221224(27)12242F PF +-∠==-,⨯⨯∴12120F PF ∠=,故应填2,120.5.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0的离心率32e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.1求椭圆的方程;2设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为-a,0. 若|AB|425=求直线l 的倾斜角;解:1由32c e a ==得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b.由题意可知12242a b ⨯⨯=,即ab=2.解方程组22a b ab =,⎧⎨=,⎩得a=2,b=1.所以椭圆的方程为2214x y +=. 2由1可知点A 的坐标是-2,0.设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=kx+2.于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+,⎧⎪⎨+=.⎪⎩消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.由212164214k x k --=,+得2122814k x k -=+.从而12414k y k =+. 所以|AB|222222241284(2)()141414k k k k k k +-=--+=+++. 由|AB|425=224142514k k+=+.整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34π.巩固提升题组一椭圆的离心率问题1.椭圆22221(y x a b a b+=>>0的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 A.2(0]2, B.1(0]2,C.[211)-,D.1[1)2,答案:D解析:|AF|22a b c c c =-=,而|AF|=|PF|a c ≤+,所以2b a c c+≥, 即2210e e +-≥,解得112e ≤<.2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是322221- D.2答案:C解析:根据题意:2145AF F ∠=2222b c e e a,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-. 3.设椭圆22221(0y x m m n+=>,n>0的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A.2211216y x +=B.2211612y x +=C.2214864y x +=D.2216448y x += 答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故选B.题组二椭圆的定义4.设P 是椭圆2212516y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于 答案:D解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2214y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13的点P 的个数为答案:D解析:联立方程组2222014x y y x +-=,⎧⎪⎨+=,⎪⎩消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩或10x y =,⎧⎨=,⎩|AB|=结合图象知P 的个数为4.题组三椭圆的综合应用6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,且G 上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为.答案:221369y x += 解析:212e a a ==,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369y x +=. 7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b+=>>0的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为9,则b=.答案:3解析:依题意,有1212222122184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪||⋅||=,⎨⎪||+||=,⎩可得2436c +24a =,即229a c -=,∴b=3.8.如图,已知椭圆22221y x a b+=a>b>0过点(1,左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l:x+y=2上且不在x 轴上的任意一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B ,和C , 1求椭圆的标准方程.2设直线1PF ,PF 2的斜率分别为1k ,k 2.证明:12312k k -=.解:1因为椭圆过点(1e ,=所以221112c a a b+=,=.又222a b c =+,所以1a b c ==,=1. 故所求椭圆的标准方程为2212x y +=. 2设00()P x y ,,则00120011y yk k x x =,=+-.因为点P 不在x 轴上,所以0y ≠. 又002x y +=,所以000012000013(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.。
苏教版高中数学选修高考一轮理椭圆一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案
椭 圆分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e ＝________. 解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝22. 答案222．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________．解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案x 281＋y 272＝1 3．(2012·西安模拟)以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，则椭圆C 的方程为________．解析 由题意得，c ＝1,2a ＝PF 1＋PF 2＝ 12＋4＋ 12＋0＝2 2.故a ＝2，b ＝1.则椭圆的标准方程为x 2＋y 22＝1.答案 x 2＋y 22＝14．(2012·常州调研一)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率的值为________． 解析 由∠MOA ＝30°，结合图形可有b ＝12a 2＋b 2，则a ＝3b ，从而离心率e ＝c a ＝63.答案635．(2012·惠州调研二)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12， ∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32.∴a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32.解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 29＝1.答案x 236＋y 29＝1 6．(2012·盐城模拟)已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为________． 解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案263二、解答题(每小题15分，共30分)7. 如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|.若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.8．(2011·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个．解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 62．(2013·镇江调研一)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝3c 2－a 2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 3．(2013·扬州调研)点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 由条件MF ⊥x 轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R ＝b 2a，圆心到y 轴距离为c ，若∠PMQ 为钝角，则其一半应超过π4，从而c b 2a<22，则2ac <2b 2，即2ac <2(a 2－c 2)，两边同时除以a 2，则2e 2＋2e －2<0，又0<e <1， ∴0<e <6－22. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，6－22 4. (2012·苏北四市调研)如图，已知椭圆x 24＋y 22＝1，A 、B 是其左右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连接AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为________．解析 法一 设M (2，t )，P (x 0，y 0)，则由A ，P ，M三点共线，得y 0x 0＋2＝t 4，代入x 204＋y 202＝1，解得x 0＝－2t 2－8t 2＋8，y 0＝8t t 2＋8，k PB ＝y 0x 0－2＝8tt 2＋8－2t 2－8t 2＋8－2＝－2t .设Q (q,0)，则k MQ ＝t 2－q ＝－1k BP ＝t2，解得q ＝0，即得Q (0,0)． 法二 设M (2,2)，∵A (－2,0)，B (2,0)， ∴MA 的方程为：x －2y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，2x 2＋4y 2＝8，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43.从而可知直线PB 的斜率k PB ＝－1，由直径上的圆周角是直角可知PB ⊥MQ ，∴k MQ ＝1， 于是可求得直线MQ 的方程为x －y ＝0.又Q 点是直线MQ 与x 轴的交点，故Q 点的坐标为(0,0)．答案 (0,0)5. (2011·辽宁卷)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求BC 与AD 的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解 (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎪⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2. 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知BC ∶AD ＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 6．(2012·宿迁联考)已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点M (2，t )(t ＞0)在椭圆的准线上． (1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解 (1)由2b ＝2，得b ＝1.又由点M 在准线上，得a 2c＝2.故1＋c2c＝2.所以c ＝1.从而a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t24＋1.其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，t 2，半径r ＝ t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2， 所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t2.所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)法一 由平面几何知ON 2＝OH ·OM .直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 2x ，y ＝－2tx －1，得x H ＝4t 2＋4. 所以ON 2＝1＋t 24·|x H |·1＋t 24·|x M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2.所以线段ON 的长为定值 2.法二 设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )， MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)．因为FN →⊥OM →，所以2(x 0－1)＋ty 0＝0.所以2x 0＋ty 0＝2. 又MN →⊥ON →，所以x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0. 所以x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2.所以|ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值.。
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
椭圆的综合问题及应用2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
由
-1 = (-2),
2
2
+
16
4
= 1,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,
解得k∈R.设A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)直线与椭圆的位置关系;
(2)椭圆中的中点弦、最值与范围、定点与定值问题.
2.方法归纳:分类讨论法、点差法.
3.常见误区:容易忽略直线中斜率不存在的情况.
学以致用·随堂检测促达标
2
1.(例1对点题)已知直线l:y=mx-2与椭圆C: 4
+
2
=1 相交于不同两点,求实
3
数m的取值范围.
解 联立
0 0 -0 -20 +2
规律方法
定点、定值问题的求法
定点、定值是在变化过程中不变的量,解决这类问题的基本思想是函数思
想.具体处理方法有以下两种:
(1)从特殊关系入手,求出定点(定值),再证明这个定点(定值)与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量.
本节要点归纳
1.知识清单:
1+5
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=
2
1+5
2
2,
1+5
1 2 3 4
,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
52 2 -252 -102 2 +2 +52 2
高考江苏数学大一轮精准复习课件椭圆
典型例题解析
例题2
已知椭圆的一个焦点坐标为$(3,0)$，且过点$(5,4)$，求椭圆的标准方程。
解析
设椭圆的标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）。由题意知，焦点坐标为$(3,0)$ ，则焦距$c = 3$。又因为椭圆过点$(5,4)$，则有$frac{25}{a^2} + frac{16}{b^2} = 1$。结合焦距公式$c^2 = a^2 - b^2$，解得$a = 5, b = 4$。因此，椭圆的标准方程为$frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} = 1$。
高考江苏数学大一轮精准复习 课件椭圆
汇报人:XX
20XX-01-13
目
CONTENCT
录
• 椭圆基本概念与性质 • 直线与椭圆位置关系 • 圆锥曲线中椭圆问题探讨 • 复杂背景下椭圆问题求解策略 • 总结归纳与提高训练
01
椭圆基本概念与性质
椭圆定义及标准方程
椭圆定义
平面内与两定点$F_1, F_2$的距离之和等于常数$2a$（$2a > |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。
高频考点分析和应对策略
椭圆与直线的位置关系
01
分析椭圆与直线位置关系的高频考点，掌握判断方法，能够熟
练求解相关问题。
椭圆的综合应用
02
探讨椭圆在综合问题中的应用，如最值问题、轨迹问题等，提
高综合运用能力。
应对策略
03
针对高频考点，制定相应的应对策略，如熟练掌握基本方法、
多做典型例题、注重思维训练等。
典型例题解析
例题1
高考数学(文)一轮复习 8-5a椭圆模拟演练·提能增分
的面积为( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
解析 ∵a＝2，△FAB的周长为8＝4a，∴由椭圆的定 义得直线x＝t经过椭圆的左焦点，把x＝－ 3 代入椭圆方 程，得34＋y2＝1，|y|＝12，∴△FAB的面积为12·2|y（文）
6．M是椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝ 252－23m－x1，
同理|PB|＝ 252－23m－x2.
26
高考一轮总复习 ·数学（文）
所以|PA|·|PB| ＝542－23m－x12－23m－x2 ＝542－23m2－2－23mx1＋x2＋x1x2 ＝542－23m2－2－23m－43m＋4m23－12 ＝190m2. 故存在常数λ＝45，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
＋y2＝x2＋x＋31－x42
＝
1 4
x2＋x＋3＝
14(x＋2)2＋2，当且仅当x
＝2时，O→P·F→P取得最大值6.
20
高考一轮总复习 ·数学（文）
13．已知椭圆C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB
的距离为
66|F1F2|，则椭圆C
2
中点，则椭圆C的离心率等于___2_____．
9
高考一轮总复习 ·数学（文）
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax212＋by212＝1①， xa222＋yb222＝1②.
①、②两式相减并整理，得yx11－ －yx22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22. 把已知条件代入上式，得－12＝－ba22×22，
B设.3 直C线.4x＝D32.5a与x轴交于点Q，由题意得∠PF2Q
2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第8章第5节椭圆含答案
第五节椭圆[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质与椭圆定义有关的结论以椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．(5)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)． ( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆． ( ) (4)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.]3．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)C[由方程表示椭圆知⎩⎨⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1.]4．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m >0，故m ＝3.]5．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．x 24＋y 23＝1 [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2c ＝2，b 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]椭圆的定义与标准方程1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12C [由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.]2．(2019·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.]3．(2019·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．y 210＋x 26＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.]椭圆的几何性质►考法1 【例1】 (1)(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23D.59(2)若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 (1)B (2)D [(1)∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1， ∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53. 故选B.(2)设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13.又∵0<e <1，∴13≤e <1.]►考法2 根据椭圆的性质求参数的取值范围问题【例2】 (1)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．(1)A (2)4[(1)∵椭圆x 2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎨⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6＜m ＜10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(2)由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.](1) 已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 (2)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．(1)C (2)32[(1)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c ，∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.(2)因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝± 1－c 2a 2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32(负值舍去)．]【例3】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 4＋y 2＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．直线y ＝kx －1与椭圆x 4＋y a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0,1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0,1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12C ．a ∈(0,1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．a ∈(0,1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12B [∵直线y ＝kx －1是椭圆的切线，且过点(0，－1)， ∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部， ∴a ∈(0,1]． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 2a＝1消去x ，得(a ＋4k 2)y 2＋2ay ＋a －4ak 2＝0. ∵直线和椭圆相切，∴Δ＝(2a )2－4(a ＋4k 2)(a －4ak 2) ＝16ak 2(a －1＋4k 2)＝0， ∴k ＝0或a ＝1－4k 2.∵0＜a ≤1，∴0＜1－4k 2≤1， ∴k 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223C [不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－3 C.3－12D.3－1D [由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1.故选D.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.]4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故t a n ∠AMB ＝t a n(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又t a n ∠AMB ＝t a n 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y 2＝－ 3.解得|y |＝2m3－m.又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m<3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥t a n 60°＝3，即3m≥3，解得0<m≤1.当m>3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥t a n 60°＝3，即m3≥3，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。