第31讲 平面向量的数量积(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第31讲：平面向量的数量积一、课程标准1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影． (2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 4．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b ＝b·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )．(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a·b |≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a |＝x 21＋y 21； (2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.三、自主热身、归纳总结1、已知直角坐标平面内，OA →＝(－1，8)，OB →＝(－4，1)，OC →＝(1，3)，则△ABC 是________．( )A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形2、已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A.2B.－1C.－6D.－183、已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73 B ．⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－734、(2019·贵州省适应性考试)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB ―→·(AC ―→＋AE ―→)＝( )A ．8B ．12C ．16D ．206、在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →等于( )A . 48B . 36C . 24D . 127、已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝3|b |，则a 与b 的夹角为________． 8、已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．四、例题选讲考点一 平面向量的数量积的运算例1、(1)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．32C ．2 2D ．3(2)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C.34D.32变式1、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b 满足3a =，2b = ，4a b +=，则a b -=___________.变式2、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝___.变式3、 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 考点二、 平面向量的夹角问题例2、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()313a b a b -⋅+=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 变式1、(2019·湖北恩施2月质检)已知平面向量a ，b 满足(a －2b )⊥(3a ＋b )，且|a |＝12|b |，则向量a 与b 的夹角为( )A.π3 B ．π2C.2π3D.3π4变式2、(1)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a|＝1，|2a －b|＝1，则|b|＝____ .(2)[2017·山东高考]已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是____.变式3、（2019春•泉州期末）ABC ∆中，AB c =，BC a =，CA b =，在下列命题中，是真命题的有( ) A ．若0a b >，则ABC ∆为锐角三角形 B ．若0a b =．则ABC ∆为直角三角形C ．若a b c b =，则ABC ∆为等腰三角形D ．若()()0a c b a b c +-+-=，则ABC ∆为直角三角形变式4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,327,a b a b ==-=且则向量a 与向量b夹角的大小是_______.变式5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a 、b ,满足a b =,()2a b b +⊥,则a 与b 的夹角为___________.方法总结：求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a·b 及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝a ·b |a ||b |求得．(2)公式法：若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22，〈a ，b 〉∈[0，π]．考点三、平面向量中的垂直例1、(1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．变式1、（2019秋•南通期末）在ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，若ABC ∆是直角三角形，则k 的值可以是()A ．1-B ．113C D 变式2、(2019·黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟)已知向量|OA ―→|＝3，|OB ―→|＝2，OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，若OA ―→与OB ―→的夹角为60°，且OC ―→⊥AB ―→，则实数m n的值为( )A.16B.14 C ．6D ．4变式3、[2018·连云港期中]已知向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(sin(θ＋π3)，1)，θ∈R.(1)若a ⊥b ，求tan θ的值；(2)若a ∥b ，且θ∈ (0，π2)，求θ的值方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。

(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。

五、优化提升与真题演练1、【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62、【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．−3B ．−2C ．2D ．33、【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2D ．04、【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1 BC ．2D ．25、【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．36、（2019春•济南期末）对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法错误的是( ) A ．若//a b 且//b c ，则//a c B ．()a b c a c b c +=+ C ．若a b a c =，且0a ≠，则b c =D ．()(a b c a b =．)c。