(七年级讲义)相交线与角度计算
七年级讲义：相交线与角度计算（1）
【知识提要】 1．相交线 解读：（1）两直线相交，只有一个交点；
（2）两条直线相交，产生4个小于平角的角。
2．对顶角 解读：（1）对顶角是两个角； （2）对顶角相等；
（3）对顶角是一种数量关系，也是一种位置关系。
3．邻补角 解读：（1）邻补角是两个角； （2）邻补角互补；
（3）邻补角是一种数量关系，也是一种位置关系。
4．垂直：两条直线相交所得的角中，有一个是直角，称这两条直线垂直。
解读：（1）垂直是一种特殊的相交；
（2）垂直的两条直线，产生的4个角均为直角。
（3）表示方法（如图）：BC AD ⊥于点D ，点D 称为垂足。
训练：
1．两条直线相交，产生_____个交点，_____对对顶角，_____对邻补角；
2．如图，三条直线AB 、CD 、EF 两两相交于点O 、M 、N ，则图中对顶角有_____对，邻补角有_____对；
【基础训练】
1．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，︒=∠100COB ，则
_____=∠AOE ，_____=∠EOC ；
2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，CD OE ⊥，︒=∠-∠50AOE DOB ，求：∠AOE 和∠AOC 的度数；
例 1.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OF 平分AOD ∠，1:4:=∠∠BOE DOE ，︒-∠=∠15AOF AOC ，求FOE ∠的度数。
训练：
A
A
A
A B C
D E 1．如图，点O 在直线AC 上，OD 平分AOB ∠，BOE EOC ∠=∠2，
︒=∠72DOE ，求EOC ∠的度数。
2．如图，BD 平分ABC ∠，BE 分ABC ∠的二部分之比为4:3，若︒=∠8DBE ，求ABC ∠的度数。
例2：长方形如图折叠，D 点折叠到'D 的位置，已知︒=∠88'FC D ，则_____=∠FED ；
训练：
1．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°如图，把这枚指 针按逆时针方向旋转90°，则指针的指向为 （ ）
A 、南偏东50°
B 、西偏北50°
C 、南偏东40°
D 、东南方向
2．已知O 为直线AB 上的一点，∠COE 是直角， OF 平分∠AOE. （1）如图1，若︒=∠34COF ，则_______=∠BOE ；
若︒=∠m COF ，则_______=∠BOE ；BOE ∠与COF ∠的数量关系为__________；
（2）当射线OE 绕点O 逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中BOE ∠与COF ∠的数量关系是否仍然成立？请说明理由。
（3）在图3中，若∠COF ＝65°，在∠BOE 的内部是否存在一条射线OD ，使
得2∠BOD 与∠AOF 的和等于
A
D C
B
F D'
A B C
H D E
F G ∠BOE 与∠BOD 的差的一半？若存在，请求出∠BOD 的度数；若不存在，请说明理由.
3．如图，在线段AB 之间加入5个点，可得多少条线段？
（1）若C 是直线外一点，将C 与直线上的点连结，则以C 为顶点有多少个角？
（2）当直线AB 上共有n 个点时，每个点与C 连结，则图中共有多少个角？多少条线段？
【课堂练习】
1、如图，O 为直线AB 上一点，OC 平分AOE ∠，DOE ∠=90º，则以下结论正确的是 （ ） ①AOD ∠与BOE ∠互为余角 ②COE AOD ∠=
∠2
1
③COD BOE ∠=∠2 ④若BOE ∠=57º50′,则COE ∠=61º5′ A 、①④ B 、①③④ C 、③④ D 、①②③④
2、如图，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起， ①若︒=∠35DCE ，求ACB ∠的度数； ②若︒=∠140ACB ，求DCE ∠∠DCE 的度数； ③猜想ACB ∠与DCE ∠的数量关系，并说明理由，
3、如图，OB 、OC 是∠AOD 内部的两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠AOD=84°，∠MON=68°，求∠BOC 的度数。
A
B
C D E O
A
E
D
4、已知，︒=∠90AOB ，︒=∠30BOC ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠。
（1）求MON ∠；
（2）如图，若︒=∠m BOC ，其他的条件不变，则MON ∠的度数是多少？
（3）如图，若OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，且︒=∠45MON ，试判断OA 、OB 有何位置关系？
5．已知： ∠AOD ＝160°，OB 、OC 、OM 、ON 是 ∠AOD 内的射线。
（1）如图，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD 。
当OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小；
（2）如图，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD. 当∠BOC 绕点O 在∠AOD 内旋转时求∠MON 的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB = 10°，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点O 以2°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM ︰∠DON=2︰3，求t 的值.
A。
初一第1讲相交线.docx
相交线1、邻补角：两个角有一个公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的的两个角互为邻补角。
Z1和Z2有一条公共边0A,它们的另一边互为反向延长线（Z1和Z2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.Z1 + Z2二1802、对顶角：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
Z1和Z3有一个公共顶点0,并且Z1的两边互为对顶角。
Z1=Z33、垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，AB丄CD,垂足为0；记作：AB丄CD于点0。
人符号语言：因为AB丄CD,所以ZA0C=90°。
厂_______ 匚 ________ 门反Z,因为ZA00900 ,所以ABICD。
B性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
4、同位角：如图，像Z1和Z5,两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同位角。
5、内错角：如图，像Z3和Z5,两个角都在直线AB、CD 之间，并且分别在直线EF两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角。
6、同旁内角：如图，像Z3和Z6,两个角都在直线AB、CD之间，并且都在直线EF的同一旁.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
五、练习1.已知：如图，AB1CD,垂足为0, EF为过点0的一条直线，则Z1与Z2的关系一定成立的是（）2.如图，CA丄BE于A, AD丄BF于D,下列说法正确的是（A・Q的余角只有ZBB・a的邻补角是ZDACC・ZACF是a的余角D・a与ZACF互补6.______________________________ 如上图，ZA的同位角是___________________________Z1的内错角是___________ ,Z2的同旁内角是_____________7.在直线AB上任取一点0,过点0作射线0C, 0D,使0C丄0D,当ZA0C二30°时，ZB0D的度数是BDA.相等B.互余C.互补D.互为对顶角3. 如图，在AABC中, AC丄BC, CD丄AB,则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有条条条条2345••••B4.如图，属于内错角的是（A. Z1 和Z2B. Z2 和Z3 C・ Z1 和Z4 D. Z3 和Z45•下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（B D CF8•如图，CD丄AB,垂足为C, Zl=130°,则Z2二_________________________________________________D^7^F D 9•如图，直线肋、〃相交于点0,创平分AE0C.(1)若ZF0070。
人教版七年级数学下册期末复习第一讲 相交线与平行线中的角度计算(PPT课件ppt)
∴∠DOE=∠EOA+∠AOD=90°+55°=145°．
2.如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°， ∠BDC＝82°，DE∥BC. 求：(1)∠EDC的度数；(2)∠B的度数．
解：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°， ∴∠BCD＝ 1 ∠ACB＝24°.
识
（一）选择题 1.如图,直线相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于( C ) A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 2.如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（A ） A. 140° B. 120° C. 60° D. 50°
3.如图,直线AB与直线CD相交于点O,已OE⊥AB,∠BOD=45°, 则∠COE的度数是（ D） A. 125° B. 155° C. 145° D. 135° 4．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度 数为( D)． A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150°
4
故∠4=36°.
例7 两个角的两边分别平行，若其中一个角比另一个角的 2倍少30°，则这两个角的度数分别为_______． 解：如图1，AB//DE，BC//EF, 假设∠B为x°，则∠E=2x°-30°， ∵AB//DE， ∴∠1=∠B=x°，又∠1=∠2，∴∠1=∠2=x°， 又∵BC//EF， ∴∠2+∠E=180°， ∴ x+2x-30=180，解得x=70， ∴∠B=70°，∠E=2×70°-30°=110°.
例4 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点 G是AB上一点，GO⊥EF于点O，∠1=60°，求∠2的度数．
解析：∵OG⊥EF， ∴∠EOG=90°， ∴∠2+∠GEO=90°． 又∵AB∥CD， ∴∠GEF=∠1=60°． ∴∠2=90°-60°=30°．
七年级数学人教版下册第五章5.3相交线、平行线中角的计算的四种常见题型课件(共25张PPT)
解：∵在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°，
题型 2 利用垂线求角 ∴∠BOC＝
×180°＝35°，
(4)由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋90°＝180°－∠BOC.
再见
∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
(4)由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°，
(3)∠AOD与∠BOC互补．理由如下：
(3)根据(1)(2)的结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系，并 根据图①说明理由；
(4) 如 图 ② ， 若 ∠ BOC ∶ ∠ AOD ＝ 7 ∶ 29 ， 求 ∠ BOC 和 ∠AOD的度数.
人教版数学七年级下册
第五章
5.3.4 相交线、平行线中角的四种常见题型
合作探究 题型 1 利用余角、平角、对顶角转换求角
1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE ＝2∠BOD，∠COF比∠AOE大30°，求∠AOC的度数.
解：设∠AOC＝x°，则∠BOD＝∠AOC＝x°. ∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°， ∠COF＝∠AOE＋30°＝2x°＋30°. ∵∠AOE＋∠AOC＋∠COF＝180°， ∴2x＋x＋2x＋30＝180，解得x＝30. ∴∠AOC＝30°.
解：∠AOD 与∠BOC 互补．理由如下： ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°. ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC. ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°. ∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋ 90°＝180°－∠BOC. ∴∠AOD＋∠BOC＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补．
湘教版七年级数学下册第四章《4.1.2 相交直线所成的角》优课件
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2 （1）
1
（2）
2
1
2
（3）
1 2 （5）
12
（4）
1
2
（6）
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和 ∠BOD这两个角的大小保持怎样的关系？
开动你的脑筋 吧！你一定行！
1、你能举出生活中包含对顶角的例子吗?
2、如图所示，有一个破损的
扇形零件，怎样用量角器量
4 13
2
5
6
4 13
2
5
6
4 13
2
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4 13
2
5
6
4 13
2
5
6
4 13
2
5
6
4 13
2
5
6
你会找朋友了吗？你能找出图
中所有的同位角、内错角、同
旁内角吗？
A
B
23 6 7
14
58
C
本课小结： 1、自由交流本节课的收获及体会； 2、你认为本节课的重点是什么？ 3、你还有什么困惑或问题吗？
剪刀剪东西的过程中，∠AOC和 ∠BOD这两个角的位置保持怎样的 关系？
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且 ∠AOC的两边分别是∠BOD两边 的反向延长线.
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1 和∠3有公共顶点O，并且它们的两 边互为反向延长线，这样的两个角 叫做对顶角.
图中还有其他角能构成对顶角吗？ ∠2和∠4也是一对对顶角.
出这个扇形零件的圆心角的
度数。
C
O
A D
B
三条直线AB、CD、EF相交于点O，问图中 有哪几对对顶角？
人教版七年级下册数学第5章《相交线》图文讲解课件
知2－讲
∠1=∠3 （或 ∠2=∠4）
解：直线AB与CD相交于O点 由邻补角的定义，可得 ∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180 所以：∠1=∠3 同样的道理 ∠2=∠4
C 2O
B
1 （ （ ）3 ）
4 A
D
例2 如图，∠1与∠2是对顶角的是( C )
知2－讲
导引：判断两个角是不是对顶角，要紧扣对顶角的定义， A图中∠1和∠2的顶点不同；B图中∠1和∠2的两 边都不是互为反向延长线；C图中的∠1和∠2符合 定义；D图中∠1和∠2有一条公共边．
总结
知2－讲
判断两个角是否互为对顶角的方法： 一看它们有没有公共顶点； 二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就 是看这两个角是否是两条直线相交所成的没有公共 边的两个角．
知2－讲
例3 如图，直线a, b相交，∠1 = 40°， 求∠2, ∠3, ∠4的度数.
解：由邻补角的定义，得 ∠2 = 180°-∠1 = 180°-40°=140°； 由对顶角相等，得 ∠3= ∠1=40° ， ∠4= ∠2 = 140°.
角
个公共顶点③有 一条公共边
互补 成对出现.
两个.
2 易错小结
如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过点O 的三条射线，若∠AOD＝∠COE＝90°，则下列说法：①与 ∠AOC互为邻补角的角只有一个；②与∠AOC互为补角的角 只有一个；③与∠AOC互为邻补角的角有两个；④与∠AOC 互为补角的角有两个．其中正确的是( D )
（来自《典中点》）
知识点 2 对顶角的定义及性质
知2－讲
对顶角：有一个公共顶点一 个角的两边是另一个角的 两边的反向延长线，那么 这两个角互为对顶角.
七年级下册数学精品课件4.1.2 相交直线所成的角
∵ ∠1与∠3, ∠2与∠4分别是对顶角，（已知）
∴ ∠3=∠1=30°， (对顶角相等)
∠4=∠2=150°. (对顶角相等)
2019/5/10
10
三 同位角、内错角、同旁内角
如图，直线AB、CD与EF相交，我们就称为直线AB、CD被
直线EF所截.三条直线相交构成如图的8个角.其中AB、CD叫
做被截线，EF叫做截线.
1
1
2
2
12
12
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
17
2019/5/10
总结归纳
截线 被截线
同位角 同旁 内错角 两旁 同旁内角 同旁
同侧 之间 之间
结构 特征
F Z U
18
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典例精析
例2 如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有的同位
角,内错角,同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，
2
1
12
1
12
2
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
13
2019/5/10
活动2 观察∠3与∠5的位置关系：
①在直线EF的两侧
②在直线AB、CD的之间
E
1
B
2
A
34
65
C
78 D
F
图中的内错角还有哪些？
14
内错角 3
∠4和∠6
5
2019/5/10
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
1
1
①对顶角相等
B
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个
湘教版七年级下册4.相交直线所成的角(第1课时)课件
第1课时
1．创设情境，导入新知 从下面这几幅图片中，你发现了直线与直线 有哪几种位置关系？
相交、平行
A
C
D
B
如果把剪子的构造抽象成一个几何图形，会是 什么样的图形？
2．细心视察，归纳定义
仔细视察你所画的图形，当 A 2 C
两条直线相交时，所形成的 四个角中，∠1与∠2，∠3 与∠4有怎样的位置关系？
你是怎样得到的？
C
相等
23
A
1 4O
B
D
你能说出∠1=∠3的道理吗？
请你用数学的语言写出这个过程．
C
因为 ∠1与∠2 互补， A ∠3与∠2 互补
23
1 4O
B
（邻补角的定义），
D
所以 ∠1=∠3（同角的补角相等），
同理 ∠2=∠4 ．
4．动脑思考，例题解析
例1 如图，直线a，b相交于点O，∠1=40°， 求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
解：由邻补角定义，可得
2=180 1 180 40 1 4 0 ；
b
1 O2
a
43
由对顶角相等，可得
3 = 1 4 0 ， 4 = 2 1 4 0 ．
5．动脑思考，变式训练
Hale Waihona Puke 例2 如图，直线a，b相交于点O，∠1 =4 0 ， 求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
变式1 若∠1+∠3= 80º，
C
图中还有哪些邻补角？ A
23
1 4O
B
D
1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（D ）
1
2
A
1
2
B
1 2
新七年级数学PPT 相交线中的角课件
同位角
被截线
21
a
4 3
5 6
b
77 8
l 截线
达标练习
1、如图：找出图中的同位角。
C
E
A
12
34
B
D
56
F
∠1与 ∠3， ∠2与 ∠4
内错角
被截线
21
a
4 3
5 6
78
l
b 截线
达标练习
2、如图：找出图中的内错角。
C
E
12
34
A
D
56
B
∠2与 ∠5F
同旁内角
被截线
21
a
4 3
5 6
b
78
AA 11 BB 2
D 33 444 DD
CCC ∠∠21和和∠∠344是是内同内错 旁错角 内角， 角，是 ，是由 是由直 由直直 线线ABADCB，，BDCCDC与
DE被直线FC所截的同位角，（ ∠1 ）
与（∠3 ）是直线AB与FC被直线DE
所截得的内错角，∠c与∠B是直
线AB与FC被直线（ BC ）所截得
的同旁内角。
A F
D1
2E
3
思考题
B
C
把握今天 成就未来
谢谢
作业布置
1、P165练习题1
2、思考题。如图：三直线
两两相交，共有多少对同
a
位角、内错角及同旁内角？
b
a
c
∠1与 ∠6 是同位角；
∠5与 ∠3，∠5与∠4 是同旁内角；
∠2与
是内错角。 ∠1
a
c
d 27
13
b
45
6
七年级数学上册 5.1 相交线—相交线中的角教学课件 (
内错角
位置相同 在两被截直线的内部 在截线的两侧 内部交错
在两被截直线的内部 同旁内角 截线的同侧(内部同侧）
F
同位角模型
Z
内错角模型
U
同旁内角模 型
注意：要成功寻找出以上三种特殊角的前 提是必须准确判断出被截直线与所截直线。
作业:教材p 156
试一试
练习第1、2题
P166 习题4.7 第2、3题
a b
a b
c
(1) c d 是
(2) 不是
∠4与∠5，∠3与∠6有何特征？
m
12
a b
内部4 5 3 8
6 7
m
12
a
43
b
56 87
如图：∠1与∠2是同旁内角吗？
a
b
a
c
b c
是（1）
d 不是（2）
E
B
A
23 5
17 C4
F
66 D
1、填空。
(1) ∠2与∠5是 同位 角， ∠4与∠6是 内错 角
直线AD、BC被直线BD所截而成的内错角是 ∠3与∠6 。 ∠A与∠ CDA是直线CD、AE被直线AD所截而成的 同旁内角
1
（1）
3、如图（1）：
与∠1是内错角关系的角有 2 个。
E
A
B
G 4、如图（2）：图中同位角有 4 对
C
D
F （2）
民 主 路
东
街
位置关系
基本模型
在两被截直线的同一方
如图中∠1与∠5的位置有什么关系呢？
m
∠1与∠5都处于截线m的 左. 侧（同侧）
12
∠1与∠5都处于被截线a与b的 上.方（同方）
人教版初中数学同步讲义七年级下册第01讲 相交线(解析版)
第01讲相交线（2知识点+5类热点题型练习）课程标准学习目标①邻补角及其性质②对顶角及其性质 1.掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。
2.掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。
知识点01邻补角及其性质1.邻补角的概念：如图：像∠AOC 与∠AOD 这样，有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角是邻补角。
2.邻角的性子：互为邻补角的两个角之和等于180°，即邻补角互补。
【即学即练1】1．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A ．B ．C．D．【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；故选：B．【即学即练2】2．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解．【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．故选：A．知识点02对顶角及其性质1.对顶角的概念：如图：像∠AOC与∠BOD这样，有公共顶点，且一个角的两边两边均与另一个角的两边互为反向延长线，具有这样关系的两个角是对顶角。
2.对顶角的性质：互为对顶角的两个角相等。
即对顶角相等。
【即学即练1】3．（2023春•阿荣旗期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】根据对顶角的概念判断即可．【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；B、∠1与∠2是对顶角；C、∠1与∠2不是对顶角；D、∠1与∠2不是对顶角；故选：B．【即学即练2】4．（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．145°【分析】根据对顶角相等求解即可．【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝35°．故选：A．题型01邻补角的认识【典例1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A．B．C．D．【分析】根据邻补角的定义作答即可．【解答】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角，故选：C．【变式1】（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A．B．C．D．【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，故A不符合题意；B、∠1和∠2是邻补角，故B符合题意；C、∠1和∠2没有公共顶点，故C不符合题意；D、∠1和∠2是同旁内角，故D不符合题意．故选：B．【变式2】（2023春•晋江市校级期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A．B．C．D．题型02利用邻补角的性质计算【典例1】（2023春•夏邑县期中）已知∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，则∠2＝120°．【分析】根据邻补角的定义求解即可．【解答】解：∵∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，∴∠2＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【变式1】9．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．50°C．60°D．80°【分析】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故选：B．【变式2】10．（2023春•云浮期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝3∠AOC，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】由题意求得∠AOC的度数，继而求得∠BOD的度数．【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∠AOC+∠AOD＝180°，∴4∠AOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°，故选：D．题型03对顶角的认识【典例1】11．（2023春•莲池区期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故A不符合题意；B、∠1与∠2是对顶角，故B符合题意；C、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故C不符合题意；D、∠1与∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故D不符合题意；故选：B．【变式1】12．（2023春•谷城县期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】根据对顶角的定义，结合各个选项中的图形中的∠1、∠2，进行判断即可．【解答】解：由对顶角的定义可知，选项B图形中的∠1与∠2是对顶角，故选：B．【变式2】13．（2022秋•社旗县期末）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合，故选：D．题型04利用对顶角的性质计算【典例1】14．（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝30度．【分析】根据对顶角相等结合题意计算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠2＝60°，∴∠2＝30°，故答案为：30．【变式1】15．（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】根据邻补角的性质以及角平分线的定义即可解决问题；【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝40°，故选：C．【变式2】16．（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（）A．减少12°27′B．增大167°33′C．不变D．增大12°27′【分析】根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，∴∠BOD的大小变化是12°27′，故选：D．题型05利用邻补角与对顶角的性质综合计算【典例1】17．（2022秋•秀英区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（）A．66°B．76°C．90°D．144°【分析】根据条件∠AOE＝2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案．【解答】解：如图，∠1＝∠AOC＝38°．∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝76°．∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．故选：A．【变式1】18．（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（）A．55°B．70°C．125°D．145°【分析】由角平分线定义得到∠AOE＝∠AOD，由对顶角的性质得到∠AOD＝∠BOC＝110°，因此∠AOE＝55°，由邻补角的性质得到∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．【解答】解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD，∵∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠AOE＝55°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．故选：C．【变式2】19．（2023秋•香坊区校级期中）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．【分析】根据∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD ＝80°，即可求出∠EOB的度数．【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，∴∠EOC＝×90°＝30°，∵∠AOD＝80°，∴∠BOC＝∠AOD＝80°，∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．【变式3】20．（2022秋•金凤区校级期末）已知：∠EOC是直角，直线AE、BF、DG交于点O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度数．【分析】利用角平分线的定义可得∠DOE＝∠EOC＝45°，从而利用对顶角相等可得∠1＝∠DOE＝45°，然后再利用平角定义求出∠BOD和∠EOG的度数，即可解答．【解答】解：∵∠EOC＝90°，OD平分∠EOC，∴∠DOE＝∠EOC＝45°，∴∠1＝∠DOE＝45°，∴∠EOG＝180°﹣∠1＝135°，∵∠AOB＝40°，∴∠BOD＝180°﹣∠DOE﹣∠AOB＝95°，∴∠1的度数为45°，∠BOD的度数为95°，∠EOG的度数为135°．1．（2023秋•道里区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．故选：B．2．（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（）A．145°B．150°C．155°D．160°【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．故选：D．3．（2023春•招远市期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（）A．同角的余角相等B．同角的补角相等C．等角的余角相等D．等角的补角相等【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．故选：B．4．（2023春•茶陵县期末）如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2+∠3＝（）A．50°B．100°C．130°D．180°【分析】根据图形及∠1＝130°可求出∠2和∠3的值，进而能得出∠2+∠3的值．【解答】解：由图形可得：∠2＝∠3＝180°﹣∠1＝50°，∴∠2+∠3＝100°．故选：B．5．（2023春•威县校级期末）如图，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（）A．20°B．40°C．45°D．60°【分析】根据∠1+∠2＝180°，∠1：∠2＝2：7，即可求出∠1的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．【解答】解：∵∠1：∠2＝2：7，∴设∠1＝2x，∠2＝7x，∵∠1+∠2＝180°，∴2x+7x＝180°，∴x＝20°，∴∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°，故选：B．6．（2023春•泾阳县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（）A．72°B．90°C．108°D．144°【分析】根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．【解答】解：∵∠1＝36°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOD＝72°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，故选：C．7．（2023•江油市开学）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（）A．∠BCD B．∠FDB C．∠BDN D．∠CDB【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．【解答】解：观察图形可知，∠PDM的对顶角是∠BDN．故选：C．8．（2023春•和平区校级月考）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝180°B．∠1﹣∠3＝90°C．∠2＝∠3D．∠3+∠1＝180°【分析】根据邻补角的定义和对顶角的性质分别判断即可．【解答】解：由图可知：∠1和∠2为邻补角，∠1和∠3为邻补角，∠2和∠3为对顶角，∴∠1+∠2＝180°，∠3+∠1＝180°，∠2＝∠3，∴选项A，C，D成立，选项B不一定成立．故选：B．9．（2023春•川汇区期中）如图，直线BD，CE相交于点O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，则∠DOE ＝（）A．34°B．35°C．36°D．39°【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，然后根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据对顶角相等求出∠DOE即可．【解答】解：∵∠AOE＝112°，∴∠AOC＝68°，∵OE平分∠AOC，∴∠BOC＝34°，∴∠DOE＝∠BOC＝34°．故选：A．10．（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表：方案一方案二甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数．乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数．下列判断正确的是（）A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能C．甲、乙都能得到∠AOB的度数D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行判断作答即可．【解答】解：由题意知，方案一，由对顶角相等可得∠AOB＝∠COD，甲能得到∠AOB的度数；方案二，由邻补角互补可得，∠AOB＝180°﹣∠AOD，乙能得到∠AOB的度数；故选：C．11．（2023•高台县开学）两直线相交，若∠1和∠2是一对对顶角，且∠1+∠2＝280°，则∠2＝140度．【分析】根据对顶角相等进行计算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是一对对顶角，∴∠1＝∠2，又∵∠1+∠2＝280°，∴∠2＝，故答案为：140．12．（2023春•鄄城县期中）如图是一把剪刀示意图，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝140°．【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝80°，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＝40°，∵∠AOC+∠AOB＝180°，∴∠AOC＝140°，故答案为：140°．13．（2023•南岗区校级开学）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，则∠EOD的度数为120°．【分析】根据已知∠COE：∠BOE＝2：5，从而根据∠COE和∠DOE为邻补角即可求出两角的度数；要求∠BOD的度数，结合对顶角相等可知直线求出∠AOC的度数，则此时结合上述所求，根据角平分线的定义即可解答．【解答】解：∵∠COE：∠BOE＝2：5，∴设∠COE＝2x，∠BOE＝5x，∵OA平分∠COE，∴∠AOE＝∠AOC＝x，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴x+5x＝180°，∴x＝30°，∴∠BOE＝5x＝150°，∵∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝120°，故答案为：120°．14．（2023春•泗水县期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是135°．【分析】设∠1＝∠2＝x，根据得出∠BOC＝3x，根据∠1+∠BOC＝180°列出关于x 的方程，解方程即可．【解答】解：设∠1＝∠2＝x，∵，∴，∴∠BOC＝3x，∵∠1+∠BOC＝180°，∴x+3x＝180°，解得：x＝45°，则∠BOC＝3x＝135°．故答案为：135°．15．（2023春•遵义期末）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角；如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角；如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角；则n条直线相交于一点，有2n（n﹣1）组不重复的邻补角．【分析】结合已知条件及图形总结规律即可．【解答】解：由①得4＝2×1×2，由②可得12＝3×2×2，由③可得24＝4×3×2，那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有2n（n﹣1）组，故答案为：2n（n﹣1）．16．（2023春•榆林期末）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE 的度数．【分析】根据∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2（对顶角相等）得出∠1＝∠2＝40°，进而求出∠AOD＝140°，再利用角平分线的定义求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOD，∴．17．（2023春•渭南期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE ＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°，∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠BOE＝×70°＝28°，∴∠AOE＝180°﹣28°＝152°．18．（2023春•南丹县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据补角的定义可以求出∠EOD，再根据角平分线的性质即可求解；（2）根据平角的定义和题中角的比可求出∠BOD，再根据对顶角相等即可求解．【解答】解：（1）∵∠EOC＝110°，∴∠EOD＝180°﹣∠EOC＝70°，∵OB平分∠EOD，∴；（2）∵OB平分∠EOD，∴，∵∠BOE：∠EOC＝1：3，∴∠EOC＝3∠BOE＝3∠BOD，∵∠EOC+∠DOE＝180°，∴3∠BOD+2∠BOD＝180°，解得：∠BOD＝36°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°．19．（2022秋•宁波期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）求∠DOF的度数；（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【分析】（1）由角平分线定义得到∠DOF＝∠AOB，即可得到答案；（2）由平角定义得到∠AOC＝30°，由对顶角的性质得到∠BOD＝30°，而∠DOF＝90°，即可求出∠EOF的度数．【解答】解：（1）∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOD＝∠BOE，∠EOF＝∠AOE，∴∠EOD+∠EOF＝（∠BOE+∠AOE），∴∠DOF＝∠AOB＝×180°＝90°；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠EOD＝∠BOD＝30°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°．20．（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）图中∠BOD的邻补角为∠AOD，∠AOE的邻补角为∠BOE；（2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝65°，如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝30°；（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案；（2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可；（3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案．【解答】解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD，∠AOE的邻补角为：∠BOE；故答案为：∠AOD，∠BOE；（2）∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝130°，∴∠BOE＝×130°＝65°，∵∠COD＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠BOE＝∠BOC＝30°，故答案为：65°，30°；（3）由题意可得：∠COD+∠BOE＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝90°．。