华中科技大学《应用光学》课程——第三章理想光学系统全解
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应用光学第3章 理想光学系统
nytgU nytgU (10)
此式即为理想光学系统 的拉赫不变量公式。
3.5 理想光学系统的放大率
一、垂轴放大率
1.定义：共轭面像高与物高之比
y
y
2.表达式：
根据牛顿公式,得以焦点为原点的放大率公式
y f x (1)
y x f
根据高斯公式,得以主点为原点的放大率公式
fl (2)
f l
根据两焦距的关系，可得 nl (3)
nl
结论：此式与单个折射球面和共轴球面系统的放 大率公式一致。
④当系统处于同一种介质中时
l (4)
l
结论：垂轴放大率随物体位置不同而不同，在不同 共轭面上，垂轴放大率不同；在同一共轭面上， 放大率是一个常数。
二、轴向放大率
1.定义：轴上像点移动微小距离与物点移动的微小 距离之比。 dl dx dl dx
三、由已知共轭面和共轭点确定一切物点的像点 a.已知两对共轭面的位置和垂轴放大率
b.已知一对共轭面的位置和垂轴放大率以及两对共轭 点的位置
3.2理想光学系统的基点和基面
1.物像方焦点、焦平面 2.物像方主点、主平面， 3.物象方焦距 4.单个折射球面的主平面 5.单个折射球面的焦距 6.单个球面反射镜的主平面和焦距
像距：以像方焦点F为原点,到像点的距离(F'A')为像 距,用x’表示。
牛顿公式：
用f和f ' 表示理想光学系统物、象方焦距，用
x和x'表示物体和像位置。
三角形ABF和三角形MHF相似，得：
y f
yx
三角形A’B’F’和三角形H’N’F’相似，得：
y x
y f xx ff
————此式即为牛顿公式。
工程光学-03理想光学系统
B A'
P
P' A
2013-7-25
B'
第三章 理想光学系统
6
这里的一一对应关系，我们称之为共轭关系，由以上的这 些对应关系，还可以作出如下推论： 1.如果物空间的一点位于入射光线上，则在像空间中的共 轭点必位于该直线的共轭直线上； 2.如果物方的平面垂直于光轴，则像方对应的共轭平面也 垂直于光轴；
B A'
P
P' A
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B'
第三章 理想光学系统
8
例3-1 如图所示，已知Q、Q'为某理想光学系统的一对共轭面， 并且已知该共轭面的垂轴放大率ß ，同时已知该系统的另外两对 共轭物像点C、C'和D、D'，试求图中任一物点P的像点P'。
P
Q B A
Q'
2
D
D' A' C' 2' P' B'
C
1
1'
2013-7-25
第三章 理想光学系统
9
由例题3-1可知，一个理想光学系统可以用一对已知放大率 的共轭面和任意两对已知的共轭点的位置来描述其成像特性。
从方便分析问题出发，人们规定了描述理想光学系统的两对特
殊的共轭点和一对特殊的共轭面，这些点和面被称为理想光学
系统的基点和基面，用来表示一个光学系统，并利用他们来讨
O1
Ok
F'
B'
A'
2013-7-25
第三章 理想光学系统
13
E1
Ek G F'
O1
Ok
E1
Ek B'
P
P' A
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B'
第三章 理想光学系统
6
这里的一一对应关系，我们称之为共轭关系，由以上的这 些对应关系，还可以作出如下推论： 1.如果物空间的一点位于入射光线上，则在像空间中的共 轭点必位于该直线的共轭直线上； 2.如果物方的平面垂直于光轴，则像方对应的共轭平面也 垂直于光轴；
B A'
P
P' A
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B'
第三章 理想光学系统
8
例3-1 如图所示，已知Q、Q'为某理想光学系统的一对共轭面， 并且已知该共轭面的垂轴放大率ß ，同时已知该系统的另外两对 共轭物像点C、C'和D、D'，试求图中任一物点P的像点P'。
P
Q B A
Q'
2
D
D' A' C' 2' P' B'
C
1
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第三章 理想光学系统
9
由例题3-1可知，一个理想光学系统可以用一对已知放大率 的共轭面和任意两对已知的共轭点的位置来描述其成像特性。
从方便分析问题出发，人们规定了描述理想光学系统的两对特
殊的共轭点和一对特殊的共轭面，这些点和面被称为理想光学
系统的基点和基面，用来表示一个光学系统，并利用他们来讨
O1
Ok
F'
B'
A'
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第三章 理想光学系统
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E1
Ek G F'
O1
Ok
E1
Ek B'
03 理想光学系统(1)
f1’= -f1 =50mm, l1 = -100mm
f2’= -f2 = 20mm
物距相同，
l2 = -100mm,
求上述两种情况下的像距 用高斯公式
1 1 1 l l f'
l2’=25mm
解得： l1’=100mm
结论：物距相同而焦距不同时，焦距短的光组对光束会聚的能 力强些。
三、系统的焦距关系及光焦度
200度的近视镜，光焦度为－2D，其焦距为
f ’ =－500mm
三、系统的焦距关系及光焦度
理想光组的拉赫公式 近轴光学的拉赫公式：
nyu nyu
理想光组对宽光束也能成完善像，因此不用将tgu 和 tgu’ 换成 u 和 u’。
即：
nytgu nytgu
因此，近轴光学中的拉赫公式是理想光组拉赫公式在 u 和 u’ 很小时的情况。
（3）平行平板，f ’为＋∞， Φ＝０，对光束不起会聚或发散作 用。
三、系统的焦距关系及光焦度
光焦度的单位 用 m 1 来表示，它是在空气中焦距为1m 的光学系统的光 焦度。
m 1
也叫屈光度，D。 Φ ＝1/ f ’=0.5D Φ ＝1/ f ’ =－5D
例：f ’=2米，
f ’ =－200mm,
y x f y
B y A
Q M -u F h H R R' M'
Q' F' H' -y' B' u' A'
-x -l
-f
f' l'
x'
y y ( f f )tgu ( f f )tgu y y
通分整理后得：
y f tgu y f tgu
应用光学第三章理想光学系统
对横向放大率的讨论：
像方焦距与物方焦距之比等于相应介质折射率之比。 相应介质折射率之比。 像方焦距与物方焦距之比 根据β的定义和公式，可以确定物体的成像特性： 正立像； （1）若β>0, 即 y 与 y’ 同号，表示成正立像 反之y 与 y′ 异号，成倒立像 倒立像。 （2）若β>0, 即 l 与 l’ 同号，表示物像同侧， 物像虚实相反； 物像虚实相反 反之l 与 l’ 异号，物像虚实相同 虚实相同。
图3-12 作图法求像
(2)图解法求轴上点的像
(3)轴上点经两个光组的图解法求像
图3-13 作图法求光线
图3-14 轴上点经两个光组成的像
一定要看清楚主点和焦点的位置 注意实物、虚物
一定要看清楚主点和焦点的位置
§3.3.2 解析法求像 知道主平面这一对共轭面、以及无限远物点与像 方焦点和物方焦点与无限远像点这两对共轭点, 则 其它一切物点的像点都可以根据这些已知的共轭 面和共轭点来表示。这就是解析法求像的理论依 据。 (1)牛顿公式 (2)高斯公式
(1)牛顿公式
图3-15 牛顿公式中的符号意义
物和像的位置相对于光学系统的焦点来确定
物距： − x 像距：x'
(2)高斯公式
−l ：物距、l'：像距
物和像的位置相对于光学系统的主点来确定
x=l− f x ' = l '− f '
ΔABF ~ ΔHMF ΔA ' B ' F ' ~ ΔH ' N ' F '
(2) 垂直于光轴的平面物所成的共轭平面像的几何形 状完全与物相似，在整个垂轴物平面上无论那一部 分, 物和像的大小比例等于常数(横向放大率)。
《应用光学》第3章 理想像和理想光学系统
n' n n'n
l' l
上式两边同乘以l l'，得
r n'l nl' n'n ll' r
13
上式左边为0，对主点来说，将l'＝n'l / n代入右边得
n'n n' l 2 0 rn
由此得到l＝0，代入nl'＝n'l，又得l'＝0。所以球面
的两个主点H、H'与球面顶点重合。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、球面焦距公式 按照球面定义像方焦点为无限远
•n1'= n2= 1.5163; •求: lF, lF', lH, lH', f, f'
采用计算机编程（MATLAB 程序）
22
• 已知条件
• r1=10;r2=-50;d1=5;h1=10;n1=1; • 同理可得：
• n1'=1.5163;n2=n1';
• r2=-10;r2=50;d1=5;h1=10;n1=1;
• 焦距是以相应的主点为原点来确定正负的，如果 由主点到相应焦点的方向与规定光线的正方向相同 为正，反之为负。在图3-1中，f<0 , f '>0. 以后将会 知道 f '>0为正系统，f '<0 为负系统。在图3-1中物 像方平行于光轴的光线高度均为 h，其共轭光线与 光轴的夹角为u和u'，则有：
学系统的物方焦点。显然，根据光路可逆原理，
物方焦点 F 经系统以后必成像于像方无限远的轴 上点。或者说，物方焦点与像方无限远的轴上点 是一对共轭点。
7
过物方焦点 F 的垂轴平面称为物方焦平面。显然，
华中科技大学 《应用光学》课程PPT——应用光学复习PPT A
A
可以解释光的直线传播、反射、折射定律。
6. 马吕斯定律（波面与光束、波面与光程的关系） 垂直于波面的光线经过任意次折射、反射，出射波面 仍与出射光束垂直，且入射波面与出射波面对应点之间 光程相同。
入射球面波上三点 A、B、C，出射球面波对应三点 A ' 、B ' 、 C ' ，则根据马吕斯定律有： 费马原理 马吕斯定律 光的直线传播定律 光的反、折射定律
r
不要中间变量，物方参数与像方参数是否有简单的数值关系？
n
I
E I′ φ
n′
h
五、 常用推导公式
A
-U O
U′ C A′
lu h l u 物象方的截距与孔径角之积不变 -L h / r u i u 'i' ni n' i'
r L′
n(h / r h / l ) n' (h / r h / l ' )
4. 物和像都是相对某一系统而言的，前一系统的像则是后一系 统的物。物空间和像空间不仅一一对应，而且根据光的可逆性， 若将物点移到像点位置，使光沿反方向入射光学系统，则像在原 来物点上。这样一对相应的点称为“共轭点”。
思考：下图中各物（像）点位于哪个空间？是实的还是虚的？
n
I
E I′ φ
n′
h
第二章 球面与共轴球面系统
说明：α ≠β ，轴向和垂轴不具放大相似性 α > 0，物象沿轴向同向移动。
l1 n l1 l 2 n l2 1 2 l 2 l1 n l1l 2 n
推导P22
3. 角放大率：共轭光线与光轴的夹角u′和u的比值
u l n 1 u l n n 2 n 1 a 4. 三者关系： n n
可以解释光的直线传播、反射、折射定律。
6. 马吕斯定律（波面与光束、波面与光程的关系） 垂直于波面的光线经过任意次折射、反射，出射波面 仍与出射光束垂直，且入射波面与出射波面对应点之间 光程相同。
入射球面波上三点 A、B、C，出射球面波对应三点 A ' 、B ' 、 C ' ，则根据马吕斯定律有： 费马原理 马吕斯定律 光的直线传播定律 光的反、折射定律
r
不要中间变量，物方参数与像方参数是否有简单的数值关系？
n
I
E I′ φ
n′
h
五、 常用推导公式
A
-U O
U′ C A′
lu h l u 物象方的截距与孔径角之积不变 -L h / r u i u 'i' ni n' i'
r L′
n(h / r h / l ) n' (h / r h / l ' )
4. 物和像都是相对某一系统而言的，前一系统的像则是后一系 统的物。物空间和像空间不仅一一对应，而且根据光的可逆性， 若将物点移到像点位置，使光沿反方向入射光学系统，则像在原 来物点上。这样一对相应的点称为“共轭点”。
思考：下图中各物（像）点位于哪个空间？是实的还是虚的？
n
I
E I′ φ
n′
h
第二章 球面与共轴球面系统
说明：α ≠β ，轴向和垂轴不具放大相似性 α > 0，物象沿轴向同向移动。
l1 n l1 l 2 n l2 1 2 l 2 l1 n l1l 2 n
推导P22
3. 角放大率：共轭光线与光轴的夹角u′和u的比值
u l n 1 u l n n 2 n 1 a 4. 三者关系： n n
应用光学第3章 理想光学系统 ppt课件
2
结论：反射球面的焦点位于球心和顶点的中间
球面反射镜的主平面：
nlH nlH
1 nlH
nlH
n n
结论：球面反射镜的物像方主平面重合，
lH
11 l l
lH
2 r
与球面顶点相切。
lH lH 0
ppt课件
21
3.3 理想光学系统的物像关系式
4.两种放大率之间的关系
fl
f l
fl′2 α = - f ′ l2
α = n′β2 ( 9 ) n
结论：理想光学系统的沿轴放大率恒为正值，物、 像移动方向相同。
ppt课件
35
三、角放大率
1.定义：共轭面的轴上点发出的入射光线通过 光学系统后，出射光线的像方孔径角的正切 值与入射光线的物方孔径角的正切值之比。
Q’
A1
Ek
Ak
F O1
H H’
Ok F’
主平面：垂轴放大率为β=+1的共轭面称为光学系统 的主平面，QH为物方主平面，Q’H’为像方主平 面。
注：除望远系统外，所有系统都有一对主平面。
光学系统总是包含一对主点（主平面），一对焦点
（焦平面），前者是一对共轭点（面），后者不是。
ppt课件
16
主要内容： 1.两焦距关系：讨论在同一介质中、光学系
统包括反射面情况； 2.物象关系公式拓展 3.拉赫不变量
ppt课件
26
一、两焦距之间的关系
1.两焦距关系
直角三角形AQH和A'Q'H'
(x f )tgU h (x f )tgU (1)
三角形ABF和三角形HMF相似，三角形A’B’F’和
结论：反射球面的焦点位于球心和顶点的中间
球面反射镜的主平面：
nlH nlH
1 nlH
nlH
n n
结论：球面反射镜的物像方主平面重合，
lH
11 l l
lH
2 r
与球面顶点相切。
lH lH 0
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3.3 理想光学系统的物像关系式
4.两种放大率之间的关系
fl
f l
fl′2 α = - f ′ l2
α = n′β2 ( 9 ) n
结论：理想光学系统的沿轴放大率恒为正值，物、 像移动方向相同。
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35
三、角放大率
1.定义：共轭面的轴上点发出的入射光线通过 光学系统后，出射光线的像方孔径角的正切 值与入射光线的物方孔径角的正切值之比。
Q’
A1
Ek
Ak
F O1
H H’
Ok F’
主平面：垂轴放大率为β=+1的共轭面称为光学系统 的主平面，QH为物方主平面，Q’H’为像方主平 面。
注：除望远系统外，所有系统都有一对主平面。
光学系统总是包含一对主点（主平面），一对焦点
（焦平面），前者是一对共轭点（面），后者不是。
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主要内容： 1.两焦距关系：讨论在同一介质中、光学系
统包括反射面情况； 2.物象关系公式拓展 3.拉赫不变量
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一、两焦距之间的关系
1.两焦距关系
直角三角形AQH和A'Q'H'
(x f )tgU h (x f )tgU (1)
三角形ABF和三角形HMF相似，三角形A’B’F’和
《应用光学》第3章 理想光学模型(第4节)的放大率(有程序)
第五节 理想光学模型的放大率
一、垂轴放大率
上节 已给出与牛顿公式相对应的垂轴放大率公式：
y' x' f （3-2）
y f' x 由 上节 式（3-5）及角放大率公式
u' l 有 fl' nu nl'
u l'
f 'l n'u' n'l
（3-6）
当n=n' 时有 l' u
n
当物像方介质相等时 2
上式表明，若物体在沿轴方向有一定的长度时，例如 一个正方体，则由于垂轴和沿轴方向有不等的放大率， 其像不再是一个正方体。
应指出，上述各式只对沿轴微小线段适用，若沿轴方
向为一有限线段，此时轴向放大率以下式表示：
x' x2 'x1' , l' l2 'l1'
x x2 x1
11
理想光学模型图解求像的要点：要寻求一物点经理
想光学模型所成的像点的位置，只要设法寻找由物 点发出的任意两条光线经光学以后的出射共轭光线， 这两条共轭光线的交点便是像点。而要寻找物方某 一条光线的像方共轭出射光线，只要找出它在像方 必定要通过的两点或者是它在像方必定要通过的一 点和它的出射方向。
21
• 例3.1. 用作图法求下图中各薄透镜的焦点 F,F＇位置。
22
5
• 3.节点处的放大率 根据定义，xF'节点处的角放大
率 J ＝1，则由垂轴放大率和沿轴放大率公式有：
J
x' f'
f x
f f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
一、垂轴放大率
上节 已给出与牛顿公式相对应的垂轴放大率公式：
y' x' f （3-2）
y f' x 由 上节 式（3-5）及角放大率公式
u' l 有 fl' nu nl'
u l'
f 'l n'u' n'l
（3-6）
当n=n' 时有 l' u
n
当物像方介质相等时 2
上式表明，若物体在沿轴方向有一定的长度时，例如 一个正方体，则由于垂轴和沿轴方向有不等的放大率， 其像不再是一个正方体。
应指出，上述各式只对沿轴微小线段适用，若沿轴方
向为一有限线段，此时轴向放大率以下式表示：
x' x2 'x1' , l' l2 'l1'
x x2 x1
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理想光学模型图解求像的要点：要寻求一物点经理
想光学模型所成的像点的位置，只要设法寻找由物 点发出的任意两条光线经光学以后的出射共轭光线， 这两条共轭光线的交点便是像点。而要寻找物方某 一条光线的像方共轭出射光线，只要找出它在像方 必定要通过的两点或者是它在像方必定要通过的一 点和它的出射方向。
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• 例3.1. 用作图法求下图中各薄透镜的焦点 F,F＇位置。
22
5
• 3.节点处的放大率 根据定义，xF'节点处的角放大
率 J ＝1，则由垂轴放大率和沿轴放大率公式有：
J
x' f'
f x
f f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
第三章 理想光学系统
f、f’之间的关系： 但若系统所在的物像介质空间不一致，例如：一方位 于水中，一方位于空气中，则有n≠n’， 故有：f’≠−f 。
此外，焦距不仅与介质有关也与反射面的个数有关。 若设系统中有K个反射面，则：
f' K 1 n ' 1 f n
当n n '时，有：f ' (1)
k 1
符号法则 依然适用！
3.3.2 解析法求像（重点）
如图所示：我们首先利用作 图求出像的大致形状和位置。
2）牛顿形式的放大倍率公式：
3.3.2 解析法求像（重点）
2、高斯公式
1）高斯形式的物像位置关系式：
其物像位置的确定是以主点为原点来加以描述的。 式中，l为物距；l '为像距；
3.3.2 解析法求像（重点）
若光学系统所在物像空间位于同一介质中（n=n’)，则主点与节 点重合（即：H、H’与J、J’重合）。
3.3 理想光学系统的物像关系
3.3.1 图解法求像（重点） 3.3.2 解析法求像（重点） 3.3.3 多个光组组成的理想光学系统的成像 3.3.4 光学系统的光焦度、折射度和光束的 汇聚度
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主点 与主平面、焦距、节点
问题：
F与F’是不是一对共 轭点？为什么？
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主 点与主平面、焦距、节点
三、 主点及主面 1、作图说明
例如有一光学系统，这是光轴，现有一 条平行于光轴的光射入，高度为h，根 据共线成像理论，它一定有一个唯一的 共轭光线，该共轭光线与光轴相交于一 点，就是F '（像方焦点）。现将这一对 共轭光线延长，交于一点Q′ ，过Q′作垂 直于光轴的平面，交光轴上于一点H '， 则称该点为像方主点，该平面为像方主 面。
第三章 理想光学系统
f = h tgU
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？