数学期望习题
数学期望练习题
数学期望练习题数学期望是概率论中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
下面，我将为大家提供一些关于数学期望的练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
一、离散型随机变量的数学期望1.问题描述：某餐厅每天的顾客量服从泊松分布，已知平均值为20。
每个顾客消费的金额是一个服从均值为6的离散型随机变量。
求每天餐厅的总收入的数学期望。
解答：设每天的顾客数为X，每个顾客的消费金额为Y。
餐厅总收益为Z，有Z = X * Y。
已知X符合泊松分布，平均值为20，即E(X) = 20。
Y为均值为6的离散型随机变量，即E(Y) = 6。
因为Z = X * Y，根据离散型随机变量的数学期望的性质，有E(Z) = E(X * Y) = E(X) * E(Y) = 20 * 6 = 120。
所以餐厅的总收益的数学期望为120。
2.问题描述：某电商平台上，某商品的销售量服从泊松分布，平均每天销售50件。
已知每件商品的利润为30元，求每天该商品的总利润的数学期望。
解答：设每天的销售量为X，每件商品的利润为Y。
该商品的总利润为Z，有Z = X * Y。
已知X符合泊松分布，平均值为50，即E(X) = 50。
Y的值为固定的30元，即E(Y) = 30。
因为Z = X * Y，根据离散型随机变量的数学期望的性质，有E(Z) = E(X * Y) = E(X) * E(Y) = 50 * 30 = 1500。
所以该商品的总利润的数学期望为1500元。
二、连续型随机变量的数学期望1.问题描述：某公司的年度利润服从正态分布，已知平均利润为100万美元，标准差为20万美元。
求该公司的年度利润的数学期望。
解答：设该公司的年度利润为X。
已知X符合正态分布，平均值为100万美元，标准差为20万美元。
根据连续型随机变量的数学期望的性质，有E(X) = 平均值 = 100万美元。
所以该公司的年度利润的数学期望为100万美元。
2.问题描述：某品牌的汽车寿命服从指数分布，已知平均寿命为10年。
数学期望习题
9、设（X，Y）的分布律为
Y X1
2
-1 0.2
0.1
0 0.1
0
1 0.1
0.1
3 0 0.3 0.1
（1）求 E（X），E（Y）； （2）设 Z Y ，求 E（Z）；
X （3）设 Z ( X Y )2，求 E（Z）.
10、设（X，Y）的概率密度为
12 y2 , 0 y x 1
f (Байду номын сангаас, y) 0,
其他
求 E（X），E（Y），E（XY）， E( X 2 Y 2 )
11、一工厂生产的某种设备的寿命 X（以年计）服从
指数分布，概率密度为
f
(
x
)
1 4
e
x 4
,
x
0
，
0, x 0
工厂规定，出售的设备若在售出的一年之内损坏则可
以调换，若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台
设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净盈
数学期望习题
5、设随机变量的概率密度为 f ( x) 1 e x ， 2
x ，求 E（X）， E( X 2 )。
6、设在某时间间隔内，某电气设备用于最大负荷的
时间 X（以分计）是一个随机变量，其概率密度为
1 (1500)2
x,
0 x 1500
f
(x)
1
(1500)2
(x
3000),1500
1 4
200
12、 (a2 ab b2 )
12
13、（1）3 , 5 48
（2） 1 8
14、n[1 (1 1 )r ] n
15、3500
谢谢
习 1、B 题 2、np 答 3、-0.2 2.8 13.4 案 5、0 2
数学期望练习题
数学期望练习题数学期望练习题数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。
在实际问题中，我们经常需要计算数学期望来帮助我们解决一些实际问题。
下面，我将给大家提供一些数学期望的练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用数学期望。
1. 一枚均匀硬币抛掷10次，求正面朝上的期望次数。
解析：设随机变量X表示正面朝上的次数，每次抛掷硬币正面朝上的概率为1/2，因此X服从二项分布B(10, 1/2)。
根据数学期望的定义，正面朝上的期望次数为E(X) = np = 10 * 1/2 = 5。
2. 一副标准扑克牌中，从中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的期望数量。
解析：设随机变量X表示抽到红心牌的数量，共有52张牌中有13张红心牌，因此X服从超几何分布H(13, 52, 1)。
根据数学期望的定义，抽到红心牌的期望数量为E(X) = n * K/N = 1 * 13/52 = 13/52 = 1/4。
3. 一家餐厅每天接待的顾客数服从泊松分布，平均每天接待10位顾客，求连续5天接待的总顾客数的期望。
解析：设随机变量X表示连续5天接待的总顾客数，每天接待的顾客数服从泊松分布P(10)，根据泊松分布的性质，连续5天接待的总顾客数服从泊松分布P(10 * 5)。
根据数学期望的定义，连续5天接待的总顾客数的期望为E(X) = λ = 10 * 5 = 50。
4. 一辆公交车每天运行100公里，设每公里的油耗服从正态分布N(0.2, 0.02)，求该公交车每天的总油耗的期望。
解析：设随机变量X表示每天的总油耗，每公里的油耗服从正态分布N(0.2,0.02)，因此X服从正态分布N(100 * 0.2, 100 * 0.02)。
根据数学期望的定义，每天的总油耗的期望为E(X) = μ = 100 * 0.2 = 20。
5. 一批产品的质量服从正态分布N(80, 16)，每个产品的售价为100元，求销售100个产品的总收入的期望。
数学期望练习题及答案
数学期望练习题及答案数学期望练习题及答案数学期望是概率论中的一个重要概念，用来描述随机变量的平均值。
在实际应用中，数学期望有着广泛的应用，涉及到各个领域，如金融、经济、工程等。
本文将介绍一些数学期望的练习题，并提供详细的解答。
练习题一：某公司有三个部门，分别是销售部门、人力资源部门和研发部门。
销售部门的年度利润为100万元，人力资源部门的年度利润为50万元，研发部门的年度利润为80万元。
假设每个部门的年度利润变化服从正态分布，且销售部门、人力资源部门和研发部门的年度利润变化的标准差分别为20万元、10万元和15万元。
求该公司的年度利润的数学期望。
解答：设销售部门的年度利润变量为X1，人力资源部门的年度利润变量为X2，研发部门的年度利润变量为X3。
根据数学期望的定义，公司的年度利润的数学期望E(X)等于各个部门年度利润的数学期望之和。
E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3)由于X1、X2、X3分别服从正态分布，且均值分别为100万元、50万元和80万元，所以各个部门年度利润的数学期望分别为100万元、50万元和80万元。
因此，公司的年度利润的数学期望为：E(X) = 100万元 + 50万元 + 80万元 = 230万元练习题二：某电商平台上有三个商家A、B、C，分别销售商品a、b、c。
商家A销售商品a的销售额为1000元，商家B销售商品b的销售额为2000元，商家C销售商品c的销售额为3000元。
假设每个商家的销售额变化服从正态分布，且商家A、B、C的销售额变化的标准差分别为500元、700元和900元。
求该电商平台的总销售额的数学期望。
解答：设商家A的销售额变量为X1，商家B的销售额变量为X2，商家C的销售额变量为X3。
根据数学期望的定义，电商平台的总销售额的数学期望E(X)等于各个商家销售额的数学期望之和。
E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3)由于X1、X2、X3分别服从正态分布，且均值分别为1000元、2000元和3000元，所以各个商家销售额的数学期望分别为1000元、2000元和3000元。
数学期望练习题及答案
数学期望练习题及答案一、基础题1. 某射手射击10次，命中率为0.6，求射手命中的次数的数学期望。
2. 投掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的次数的数学期望。
3. 一批产品的合格率为0.85，从这批产品中随机抽取10件，求合格产品数量的数学期望。
4. 某人打出租车，每次等车时间服从参数为2的指数分布，求此人等车时间的数学期望。
二、进阶题1. 设随机变量X的分布列为：X=1，2，3，P(X=x)=1/4，1/2，1/4，求X的数学期望。
2. 一批电子元件的寿命X（单位：小时）服从正态分布N(100, 25)，求这批电子元件的平均寿命。
3. 某商店每天销售某种商品的数量X服从泊松分布P(5)，求该商店每天销售这种商品的平均数量。
4. 两个独立随机变量X和Y，X的数学期望为2，方差为3，Y的数学期望为4，方差为5，求随机变量Z=X+Y的数学期望和方差。
三、综合题1. 甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的数学期望。
2. 一位学生参加数学、语文、英语三门考试，数学成绩的数学期望为80分，语文成绩的数学期望为85分，英语成绩的数学期望为90分，求该学生三门课程总成绩的数学期望。
3. 某地区一天的气温X（单位：℃）服从正态分布N(20, 5)，求该地区一天气温超过25℃的概率。
4. 一批产品的重量X（单位：kg）服从正态分布N(50, 2)，求这批产品中重量超过52kg的概率。
四、应用题1. 某通信公司推出一款手机套餐，每月固定费用为50元，通话费用每分钟0.2元，假设用户每月通话时长X服从正态分布N(300, 100)，求用户每月平均通话费用的数学期望。
2. 一家保险公司推出一款车险，每年固定保费为2000元，如果发生事故，保险公司赔偿金额Y服从指数分布λ=0.01，求保险公司从这款车险中获得的平均利润。
3. 某电商平台的日销售额X（单位：万元）服从对数正态分布，其均值μ=5，标准差σ=2，求该电商平台日销售额的数学期望。
高中数学组卷数学期望
数学组卷数学期望一．解答题（共30小题）1．已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E（ξ）；（Ⅱ）记“不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．2．某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．3．一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．4．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：男性用户（Ⅰ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联的把握认为性别和对手机的“认可”有关；表，并回答是否有95%X2=（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．5．某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．6．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．7．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．8．秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，其P（ξ＞0）=．（Ⅰ）求选该艺术课程的学生人数；（Ⅱ）写出ξ的概率分布列并计算Eξ．9．某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．10．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．11．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．12．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．13．据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．14．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．15．为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．16．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张卡片标有数字1，三张卡片标有数学2，二张卡片标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字这和为ξ．（Ⅰ）ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ．17．某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率？（Ⅱ）设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．18．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？19．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．20．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（以（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．直方图中的频率作为概率）21．2016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为，赔钱的概率是；乙股票赚钱的概率为，赔钱的概率为．对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元．（Ⅰ）求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；（Ⅱ）试求袁先生2016年上半年同事投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望．22．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ﹣N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．23．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．24．某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．25．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0；若为小于1的分数，则ξ=﹣1；若为大于1的分数，则ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．27．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮．该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是．甲、乙、丙猜对互不影响． （1）求该小组未能进入第二轮的概率；（2）记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．29．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R （单词充电后能行驶的最大里程，R ∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；（2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．28．某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足，恰好参加两次测试通过的概率为．（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．30．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求ξ2的分布列；（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•本溪模拟）已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E（ξ）；（Ⅱ）记“不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．【解答】解：（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，相应地，实验失败的次数可能为4，3，2，1，0，所以ξ的可能取值为4，2，0．，，．所以ξ的分别列为：期望．…（6分）（2）ξ的可能取值为0，2，4．当ξ=0时，不等式为1＞0对x∈R恒成立，解集为R；当ξ=2时，不等式为2x2﹣2x+1＞0，解集为R；ξ=4时，不等式为4x2﹣4x+1＞0，解集为，不为R，所以．…（12分）2．（2017•潍城区校级二模）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为A，B，C，D．由题意知A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得：P（F）=1﹣P（CD）…（3分）=…（4分）（II）X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…（5分），，，，．所以，X的分布列是：…（12分）X的数学期望…（13分）3．（2017•河东区一模）一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=．B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）==．A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=．进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望EX==．4．（2017•清城区校级一模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：男性用户（Ⅰ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；X 2=（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表如下图：…（3分），所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．…（6分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X ，则X 取值为1，2，3，；；．…（9分）所以X 的分布列为或．…（12分）5．（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．6．（2017•安徽模拟）美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，。
概率习题解答4-1 数学期望
班级姓名座号成绩第四章练习一(数学期望的定义、性质)一、填空题：1、随机变量X 的概率分布为)20,18,,4,2(101}{ ===k k X P ，则=)(X E .2、设随机变量X 的概率密度为x e x f -=21)(，其中-∞<x<+∞，则=)(X E .3、设随机变量X 服从参数为10指数分布,Y 服从参数为2的泊松分布，且X,Y 相互独立，则=+-)132(Y X E ，=+)]1(2[Y X E .二、解答题：1、设随机变量X 的分布律为：X-201P0.20.30.2求2(46)E X +.2、射击比赛,每人射4次,每次射一发,约定全都不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得30分,中三弹得55分,中四弹得100分.甲每次射击命中率为0.6,问他期望得多少分?3、设随机变量X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他,求其数学期望.4、设X 服从参数1λ=的指数分布，求()2X E X e -+.5、X ，Y 为相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤= , 010 , 2)(其它x x x f ；⎩⎨⎧>=-- , 05, )()5(其它y e y f y 求E （XY ）.第四章练习一答案一、1、112、03、15，60二、1、3221(46)(46) 220.360.4100.312i i i E X x p =+=+=⨯+⨯+⨯=∑注:计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点2种所列的公式。
通常用后一种方法较简便.2、设X 表示射击所得的分数，因X 0153055100k p 4)4.0(3114)4.0()6.0(C 2224)4.0()6.0(C )4.0()6.0(334C 4)6.0(所以E(X)=44.64.3、⎰⎰⎰+∞∞-=-+==1)2()()(212102dx x x dx x dx x xf X E .4、由题设知，X 的密度函数为(), 0,0, 0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩且1)(=X E ，又因为,31)()(0222===-+∞-+∞∞---⎰⎰dx e e dx x f e e E x x x X 从而34311)()()(22=+=+=+--X X e E X E e X E .5、⎩⎨⎧>≤≤=--其它05,102),()5(y x xe y x f y ，所以⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞--+∞∞-=⋅==42),()()(5)5(10dy xe xy dx dxdy y x f xy XY E y .。
数学期望练习题及答案
数学期望练习题及答案一、选择题1. 某工厂生产零件，每个零件合格的概率为0.8，求生产5个零件中恰好有3个合格的概率是多少？A. 0.0512B. 0.4096C. 0.5120D. 0.20482. 某公司员工的月工资服从正态分布，平均月工资为5000元，标准差为1000元。
求员工月工资超过6000元的概率是多少？A. 0.1587B. 0.5012C. 0.8413D. 0.31733. 抛一枚均匀的硬币，求连续抛掷5次恰好出现3次正面的概率是多少？A. 0.3125B. 0.5000C. 0.1875D. 0.0625二、填空题4. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，求X的数学期望E(X)为______。
5. 某随机变量Y服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=100，σ=15，求Y的数学期望E(Y)为______。
三、解答题6. 某彩票每注售价1元，中奖概率为0.01，奖金总额为10000元。
假设有1000人购买彩票，求中奖者平均获得的奖金是多少？7. 某工厂生产零件，每个零件合格的概率为0.9，不合格的零件需要返工，返工后合格的概率为0.5。
求一个零件最终合格的概率。
8. 某公司员工的月工资服从正态分布，平均月工资为3000元，标准差为500元。
求员工月工资在2000元到4000元之间的概率。
答案：1. B2. A3. C4. 35. 1006. 解：设中奖者获得的奖金为X，由题意知X的数学期望为E(X)=10000*0.01=100元。
因为1000人购买彩票，所以中奖者平均获得的奖金为E(X)/1000=10元。
7. 解：设零件第一次不合格为事件A，返工后合格为事件B。
根据题意，P(A)=0.1，P(B|A)=0.5。
要求的是一个零件最终合格的概率，即1-P(A)*P(B|A)=1-0.1*0.5=0.95。
8. 解：根据正态分布的性质，员工月工资在平均值一个标准差范围内的概率约为68.27%。
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x
)
1 4
e
x 4
,
x
0
，
0, x 0
工厂规定，出售的设备若在售出的一年之内损坏则可
以调换，若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台
设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净盈
利的数学期望。
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
12、某车间生产圆盘的直径在区间（a，b）上 服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
9、设（X，Y）的分布律为
Y X1 -1 0.2 0 0.1 1 0.1
2
3
0.1
0
0
0.3
0.1
0.1
（1）求 E（X），E（Y）； （2）设 Z Y ，求 E（Z）；
X （3）设 Z ( X Y )2，求 E（Z）.
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
5
5
2
15
11、
300e
1 4
200
12、 (a2（1）3 , 5 48
（2） 1 8
14、n[1 (1 1 )r ] n
15、3500
13、设随机变量 X1, X 2的概率密度分别为
2e2 x , x 0
4e4 x , x 0
f1( x) 0 , x 0 f2( x) 0 , x 0
（1）求 E( X1 X2 ), E(2X1 3X22 ) （2）又设 X1, X 2相互独立，求 E( X1 X2 )
10、设（X，Y）的概率密度为
12 y2 , 0 y x 1
f (x, y) 0,
其他
求 E（X），E（Y），E（XY）， E( X 2 Y 2 )
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
11、一工厂生产的某种设备的寿命 X（以年计）服从
指数分布，概率密度为
f
(
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
2、设火炮连续向目标射击 n 发炮弹，每发炮弹命中
的概率为 p，则炮弹命中数的数学期望是
.
3、设随机变量 X 的分布律为
X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3
求 E（X）， E( X 2 ), E(3 X 2 5).
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
f
(x)
1
(1500)2
(x
3000),1500
x
3000
0,
其他
求 E（X）
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
7、袋中装有 N 只球，但其中白球数为随机变量， 只知其数学期望为 n，试求从该袋中摸一球为白 球的概率.
8、某产品的次品率为 0.1，检验员每天检查 4 次， 每次随机的取 10 件产品进行检验，如发现其中的次 品数多于 1，就去调整设备，以 X 表示一天中调整 设备的次数，试求 E（X）
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
习 1、B 题 2、np 答 3、-0.2 2.8 13.4 案 5、0 2
6、1500
7、 n N
8、1.0556
9、（1）2 0 （2） 1 （3）5 15
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
10、 E( X ) 4 , E(Y ) 3 , E( XY ) 1 , E( X 2 Y 2 ) 16
5、设随机变量的概率密度为 f ( x) 1 e x ， 2
x ，求 E（X）， E( X 2 )。
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
6、设在某时间间隔内，某电气设备用于最大负荷的
时间 X（以分计）是一个随机变量，其概率密度为
1 (1500)2
x,
0 x 1500
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
14、r 个人在楼的底层进入电梯，楼上有 n 层， 每个乘客在任一层下电梯的概率相同，如果某一 层无乘客下电梯，电梯就不停，求直到乘客都下 完时，电梯停的次数 X 的数学期望。
第 4 章随机变量的数字特征 §4.1 数学期望
15、假设在国际市场上每年对我国某种出口商品的 需求量是随机变量 X（单位吨），它服从[2000，4000] 上的均匀分布，设每售出这种商品 1 吨可为国家挣 得外汇 3 万元，但假如销售不出而积于仓库，则每 吨浪费保养费 1 万元，问应组织多少货源，才能使 国家的收益最大？