二次函数学生学习方案(第9到12课时)
抛物线抛物线
4．如图
第3题图第5题图
图2
五、目标检测
如图，二次函数y＝ax2
浙教版九年级上册数学第一章1.2二次函数的图像(第一课时)教案
1.经历将二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义 2.了解k m x a y m x a y ax y ++=+==2 22)(,)(,三类二次函数图象 之间的关系 [来源学科网] 3.会从图象之间的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图象特征 本节问题的重点是从图象的平移的角度来认识k m x a y ++=2)(型 二次函数的图象特征 对于平移变换的理解和确定，学生较难理解，是本节教学的难点
学流程与策略 3.一般地，二次函数y=ax2（a≠0 ）的图象是一条抛物线；当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；抛物线在x轴的上方（除顶点外）。当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。抛物线在x轴的下方（除顶点外） 二、探究新知 1、用描点法在同一坐标系中作出二次函数 2 2 2)2 ( 2 1 )2 ( 2 1 2 1 - = + = =x y x y x y 请比较所画三个函数的图象，它们有什么共同的特征? 请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质. {}2 2) m x a y ax y m m m m + = => < （ 个单位 时，向左平移 个单位 时，向右平移 对称轴是x=-m ；顶点坐标是（-m，0） 2、练一练 抛物线开口方向对称轴顶点坐标 2 ) 2 ( 2 1 + =x y 2 2 1 x y= 2 )2 ( 2 1 - =x y
y =2(x +3)2 y = -3(x -1)2 y = -4(x -3)2 填空： （1）、由抛物线y=2x 2向 平移 个单位可得到y= 2(x+1)2 来 源 :1ZXXK] （2）、函数y= -5(x -4)2 的图象可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。 三、例题学习 1、 用描点法在同一直角坐标系中画出函数2)2(2 1 += x y ，3)2(2 1 2++= x y 的图象 2、合作学习 探究：由221x y = 图象经过怎样平移得到3)2(2 1 2++=x y { }{}k m x a y m x a y m x a y ax y k k k k m m m m ++=+=+==><><2 0022 002 )))（（（个单位时，向上平移个单位 时，向下平移个单位 时，向左平移个单位 时，向右平移 顶点坐标：（0，0）——（-m ，0）——(-m ，k) 对称轴是x=-m 3、巩固练习： （1）、指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第12课时二次函数的图像与性质(一)
第12课时 二次函数的图像与性质（一） 【复习目标】 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律． 【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”． 【考点例析】 考点一 二次函数的有关概念 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1）
二次函数的应用第二课时教案
2.4二次函数的应用(2) 教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 教学重点和难点： 重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。 难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。 教学过程： 一、复习： 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质？并指出顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两交点间的距离？ 2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系？ (顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点) 3.求二次函数y＝－2x2＋10x＋1的最大(或最小)值？ 思考：如何求下列函数的最值： (1) y＝－2x2＋10x＋1(3≤x≤4) (2)y=2x2＋4x＋5 (3)y＝ 1 100－5x2 (4) y=x2＋1 x2 2利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 (2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 二、例题讲解 例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 分析：设经过t时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2=(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 。因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。 解:设经过t时后，A，B AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为 S=A’B’=AB'2+AA'2=(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-10 13） 2+576 （t>0） 当t=10 13时，被开方式169（t-10 13） 2+576有最小值576。 所以当t=10 13时，S最小值=576 =24（km） 答：经过10 13时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。
2019版中考数学一轮复习 第12课时 二次函数(1)教案
2019版中考数学一轮复习 第12课时 二次函数（1）教案 课 题 §第12课时 二次函数（1） 教学时间 教学目标： 1.掌握二次函数的定义、图像和性质 2.会用二次函数的图像性质在研究函数最值和增减性 3.进一步体会数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想在解题中的作用 教学重点： 二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用 教学难点： 二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用 教学方法： 自主探究 合作交流 讲练结合 教学媒体： 电子白板 【教学过程】： 一、知识梳理 1.二次函数：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：一般式：__________(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。 2.二次函数的解析式三种形式。 一般式：y=ax 2 +bx+c(a≠0)；顶点式:_________________；交点式: __________ __ 3.二次函数图像与性质 二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的对称轴是___________；顶点坐标是_______________；与y 轴交点坐标_____________ 4.增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而_____；对称轴右边，y 随x 增大而_____ 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而_____；对称轴右边，y 随x 增大而_____ 5.二次函数图像画法： 勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点 6.图像平移步骤：（1）配方2 ()y a x h k =-+，确定顶点（h ，k ）； （2）沿x 轴：左_____右_____；沿y 轴：上_____下_____ 7.用待定系数法求二次函数解析式的三种方法 （1）一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ （2）顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. 复 备 栏
1.2 二次函数的图像与性质(课时2)
第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性. 【教学重点】 ①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.
一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出y=1 2 x2的图象，结合y= 1 2 x2的图象，谈谈二次函数 y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？ 2.你能画出y=-1 2 x2的图象吗？ 二、思考探究，获取新知 探究1 画y=ax2(a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连 线”的方法画出y=-1 2 x2的图象. 【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学. 问:从所画出的图象进行观察,y=1 2 x2与y=- 1 2 x2有何关系？ 归纳：y=1 2 x2与y=- 1 2 x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两 图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论) 探究2 二次函数y=ax2(a＜0)性质问：你能结合y=-1 2 x2的图象，归纳出 y=ax2(a＜0)图象的性质吗？ 【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a<0)图象的性质.
新人教版九年级下册 二次函数各课时同步练习及答案
26.1二次函数(1) ◆基础扫描 1. 下列函数中,不是二次函数的是( ) A 、21y =- B 、2 2(1)4y x =+- C 、1 (1)(4)2 y x x = -+ D 、22(2)1y x x =--+ 2．在半径为4的圆中，挖去一个边长为xcm 的正方形，剩下部分面积为2 ycm ，则关于y 与x 之间函数关系式为（ ） A 、24y x π=- B 、216y x π=- C 、216y x =- D 、2 4y x π=- 3.在二次函数2 1y x =-+中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ． 4.边长为2的正方形，如果边长增加x ，则面积S 与x 之间的函数关系是 . 5.已知2 21 (3)2a a y a x --=--是二次函数,则a = ． ◆能力拓展 6．某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5 m.如果长方体的长和宽用x(m)表示, 油漆每平方米所需费用是5元,油漆每个长方体所需费用为y 元.求y 与x 之间函数关系式. 7.如图,矩形ABCD 中,AB=10cm,BC=5cm,点M 以1cm ／s 的速度从点B 向点C 运动,同时,点N 以2cm ／s 的速度从点C 向点D 运动.设运动开始第t 秒钟时,五边形ABMND 的面积为2 Scm ,求出S 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围.
N D C B A ◆创新学习 8．已知函数2 y ax bx c =++是二次函数，函数y ax b =+是一次函数且其图象不经过第一象限．请你给出符合上述条件的a 、b 的值 参考答案 1．D 2．B 3． 0 4．244S x x =++ 5．1a =- 6． 23010y x x =+ 7．由题意得BM= t ，CN ＝2 t ， 所以MC ＝5t -，得MCN ABCD S S S ?=-矩形 1 1055)22 t t =?-?-?（， 即2 550S t t -+＝，自变量的取值范围是0＜t ＜5． 8．当1,1a b =-=-时，2y x x c =--+是二次函数， 1y x =--的图形不经过第一象限（答案不唯一）．
22.1 二次函数(第1课时)教学设计(一等奖)
22.1 二次函数（第1课时）教学设计 一、教学目标： 知识技能： 1．探索并归纳二次函数的定义； 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 数学思考： 1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法； 2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 解决问题： 1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系； 2. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。 情感态度： 1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲； 2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用； 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 教学难点： 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验． 三、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。 四、教具：小黑板 五、教学过程： 1. 温故知新，引出课题。 1、大家还记得我们学过哪些函数吗? 2、它们是如何定义的？ 3、我们分别从哪些方面对它们进行了研究？
2. 实际问题，列出函数关系式，探究新知 问题1：已知正方体粉笔盒的棱长x ，粉笔盒的表面积为y ，探讨y 与x 有什么关系？ 问题2：多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？[1] 问题3：某工厂一种产品的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？[2] 学生活动：学生自主学习教材第4-5页，发现书中显性问题，找出隐含问题，提出新问题，并尝试解决，记录解决问题的方案。然后，以小组为单位进行合作探究，讨论上述问题的解决方案，并进行组际交流，确定疑难点。 师生活动：教师或者学生充当能者，对小组共同筛选出的问题、重难点进行部分教学，对关键点进行点睛引导，师生互动，思维接龙，旨在突破难点。 预案：对问题1而言，如果学生不看展开图，直接说出答案，教师可追问：教材上展开图对求面积有什么作用？提醒学生思考展开图问题。如果学生看了展开图，却不知道它有何用？教师可追问：同学们，说一说符号语言y=6x 2中6的实际意义。请以小组为单位进行讨论。同时，对学生讨论的结果作鼓励性评价。如学生的答案是 y=4x ?x+x 2+x 2时，老师务必当众大力表扬：你的答案非常有创意，观察图很仔细，能够灵活利用书上的展开图求解，打破了思维定势，而且对过去学过的基础知识、方法、思想、基本活动经验进行了整合，变成了自己解决问题的锋利武器，你太有才了！同学们，这个同学就是我们学习的榜样，他今后很可能成为一位伟大的发明家。 对问题2而言，如果学生不能正确得到结论，教师用作图法引导：从一个顶点可以作多少条对角线？n 个顶点呢？从所有顶点作出的对角线是否有重复的？如果学生能得出正确结论，教师也可追问：同学们，说一说符号语言()132d n n =-中12 的实际意义。请同学们先作图，再回答。同时，对他们的解题思路作点评，鼓励他们用不同方法发现规律，树立学习自信心。 设计意图：以粉笔盒为教具，通过对粉笔盒面积求法的探究，不但能给学生提供展示平台，体验成功的机会，对学习产生自信，而且可以培养他们一题多解能力，筛选通法通解的意识。此外，对简单的实际问题，列出二次函数关系式，既巩固了方程法求函数关系式的思想，又为二次函数概念的形成提供感性素材。 3. 观察式子，形成二次函数概念 问题4：观察: ① y = 6x 2； ② 213-22 d n n =； ③ y = 20x 2+40x+20. 想一想函数①②③有什么共同点？ 师生活动：针对问题4，教师追问：同学们，函数关系式①、②、③究竟表示的是哪种函数？能否给这种函数取个名字？学生仔细观察，讨论函数的共同点，由此给函数取名。当学生取名困难时，老师可以从方法的角度进行诱导：根据函数表达式与自变量的关系，类比一次函数的命名，让学生对函数y=ax 2 +bx+c 进行命名，引出二次函数概念。
2021年高三数学一轮复习 集合与函数 第12课时 二次函数、幂函数
2021年高三数学一轮复习集合与函数第12课时二次函数、幂函数一、考纲要求 内容 要求 A B C 二次函数√ 幂函数√ 三、考点梳理 1、一次函数y=ax+b与二次函数在同一坐标系中的图象大致是________.(填序号) 2、若f(x)为二次函数,且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为__________. 3、若函数f(x)＝ax2－6x＋2的图象与x轴有且只有一个公共点，则a＝________. 4、下列命题中正确的是_________ ①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)；②幂函数的图象不可能在第四象限； ③ n=0时，函数的图象是一条直线；④幂函数，当n＞0时是增函数； ⑤幂函数，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小. 5、若是幂函数,且满足,则___________. 6、已知幂函数f(x)=x，若f(a+1) ②设，且在上单调递增，求实数的取值范围。 （2）设实数，使得不等式对任意的实数恒成立，则满足条件的实 数的范围是__________. 五、反馈练习 1、设α∈{-1，1，，3}，则使函数y=xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为______________ 2、已知函数f(x)＝ax＋b x－b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f(2)的值是________． 3、方程在区间上有解，则实数a的取值范围是______________. 4、已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值 范围是__________. 5、若函数，其中。若对于任意的非零实数，存在唯一的实数，使得成立，则的最小值为________________ 6、二次函数f(x)=ax2+bx+1(a＞0)，设f(x)=x的两个实根为x 1，x 2 , (1)如果b=2且|x 2-x 1 |=2，求a的值； (2)如果x 1＜2＜x 2 ＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x ，求证：x ＞-1. 六、小结反思X 24306 5EF2 廲"!25477 6385 掅21989 55E5 嗥c/37448 9248 鉈40573 9E7D 鹽$=Gg 实用文档 例1、判断：以下函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？假设是二次函数，指出,,a b c 〔1〕34y x = 〔2〕20.51y x =-+ 〔3〕21y x x = + 〔4〕()22 3y x x =+- 〔5〕232s t =- 〔6〕232y x =- 〔7〕y = 〔8〕210s r π= 解：〔2〕，-0.5、0、1； 〔5〕，-2、0、3； 〔8〕10π、0、0. 例2、函数72 )3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值． 解：m=-3 3、〔1〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 解：m ≠0且m ≠1 〔2〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数？ 解：M=1 【二】函数解析式 例1、用20米的篱笆，一面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个矩形花圃，如图，在BC 边上留一个2米的门，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。 解：2 222(010)y x x x =-+<< 2、用20米的篱笆，两面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个直角梯形花圃，如图，AD ∥BC,AB ⊥BC,其中AD CD 、是已有的墙，0135ADC ∠=，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。 答案：23 20(010)2 y x x x =-+<< 3、二次函数y=4x2＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k ． K=2 【三】二次函数2y ax = 的图像 ①函数2y ax =图像?? ???开口方向： 对称轴：顶点坐标： ②增减性： ③最值： 例1、先分别说出以下函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后再画出大致的图像。 〔1〕y=－3x2, 〔2〕 y=23 1x , 〔3〕y=5x2, 〔4〕 y=24 3x -. 2、函数()()2110y k x k =++≠的图像的顶点坐标是 〔0,0〕 ，对称轴是 x=0 。 当k >-1 时，图像的开口向上，这是函数有最 小 值； 当k <-1 时，图像的开口向下，这是函数有最 大 值. 例2、函数的增减性 〔1〕当0x >时，函数27y x =-的值随着自变量x 的增大而 减小 ；当x =0 时，函数值最 大 ，最 大 值是 0 。 〔2〕当0x <时，函数223 y x =的值随着自变量x 的减小而 增大 ；当x =0 时，函数值最 小 ，最 小 值是 0 。 〔3〕A 〔1，y1〕、B 〔-2，y2〕、C 〔-2，y3〕在函数y=24 1 x 的图像上，那么y1、y2、y3的大小关系是 y1 第 12 讲 概述 教学过程 y x O 2019-2020年中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用 一、【知识要点】 1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； 2. 顶点式的几种特殊形式. ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 3. 二次函数的图像和性质 ＞0 ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 4. 用配方法可化成的形式，其中＝ ， ＝ . 5. 二次函数的图像和图像的关系. 6．二次函数通过配方可得2 24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有 最（“大”或“小”）值是． 7、二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． （3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根 8、二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 二、【经典例题剖析】 1. 已知二次函数y=x2－6x+8，求： （1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x2－6x＋8=0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？ 2. 已知抛物线y＝x2－2x－8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积． 3.如图所示，直线y=-2x+2与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC，∠BAC=90o， 过C作CD⊥轴，垂足为D （1）求点A、B的坐标和AD的长 （2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式三、当堂检测 D O B A C 第9课时二次函数的应用（一）（附答案） 1．如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为 ( ) 2．(2012．安徽)如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O 过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是 ( ) 3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8－x）个，则当x＝_______元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大． 4．将一条长为16 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_______cm2． 5．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示，经过_______s，火箭达到它的最高点． 6．用长度为20 m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积． 7．(2012．淮安)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元，种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图所示： (1)今年老王种粮可获得补贴多少元？ (2)根据图象，求y与x之间的函数关系式； (3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总收入W(元)与种粮面积x（亩）之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总收入最高？并求出最高总收入． 8．(2012．南京)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于A、B，∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，EF＝24 cm，设⊙O1的半径为x cm． (1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径； (2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm2和0.06元／cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具成本最小？ 9．（2012．日照）如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B 同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值． 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 实际问题与二次函数（1） ※教学目标※ 【知识与技能】 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值. 【过程与方法】 通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究||，让学生经历数学建模的基本过程||，体会建立数学模型的思想. 【情感态度】 体会二次函数是一类最优化问题的模型||，感受数学的应用价值||，增强数学的应用意识. 【教学重点】 通过解决问题||，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题. 【教学难点】 分析现实问题中数量关系||，从中构建出二次函数模型||，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※ 一、复习导入 从地面竖直向上抛出一个小球||，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时 间是多少时||，小球最高？小球运动中的最大高度是少？ 提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？ （2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习||，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是 什么？ 二、探索新知 探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地||，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时||，场地的面积S 最大？ 分析：先写出S 与l 的函数关系式||，再求出使S 最大的l 值. 矩形场地的周长是60m||，一边长为l m||，则另一边长为 ||，场地的面积S= .化简得S= .当l= 时||，S 有最大值 . 探究2 某商品现在的售价为每件60元||，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格||，每涨价1元||，每星期要少卖出10件；每降价1元||，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元||，如何定价才能使利润最大？ （1）设每件涨价x 元||，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时||，每星期少卖10x 件||，实际卖出()30010x -件||，销售额为()60x +· ()30010x -元||，买进商品需付()4030010x -元.因此||，所得利润 ()()()60300104030010y x x x =+---||，即2101006000y x x =-++||，其中||，0≤x ≤30. 第二章二次函数 2 二次函数的图像与性质 课时3 二次函数y=a（x-h）2的图像与性质 1.使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象. 2.让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系. 会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点. 理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点. 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－1 2 x2，y＝－ 1 2 x2－1的图象，并 回答： (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗? 教学要点 1．让学生完成下表填空。 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 问题3：现在你能回答前面提出的问题吗? 教学要点 1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空： 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y ＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。 问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象； 2．让学生完成以下填空： 当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。 做一做 问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗? 教学要点 1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； 2．请两位同学上台板演，教师讲评； 3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数 y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数 y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。 问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗? 二次函数 课题：第12课时二次函数（1）教学时间： 教学目标： 1.了解二次函数的解析式及其基本性质； 2.会用待定系数法求二次函数的解析式； 3.能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式。 教学重难点：从实际问题中抽象出二次函数的解析式，及会求二次函数的解析式。 教学方法： 教学过程： 【复习指导】 1.二次函数的图象：在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质：抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而;在对称轴的右侧,y随x的增大而;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= ;反之当a 式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 4．二次函数的平移问题 平移的口诀：左“+”右“—”；上“+”下“—”。【预习练习】 中考指要的基础演练。 预习检查中对错的较多的问题进行讲解 【新知探究】 例1： 例2： 例3： 【变式拓展】 见中考指要例4 【总结提升】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键． (2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式． (3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标． 【当堂反馈】 见中考指要的自我评估 【课后作业】 见中考直通车 第三章 函数 第13课时 二次函数的图象及性质 (建议时间： 分钟) 能力提升 1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1 D. 直线x ＝－1 3. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2 D. y 2>y 1>2 4. (苏科九下P 13练习第1题改编)抛物线y ＝－3x 2，y ＝13x 2，y ＝5x 2，y ＝－3 4x 2的共同性质是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是y 轴 C. 都有最高点 D. y 随x 的增大而增大 5. (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) A. y ＝(x －4)2－6 B. y ＝(x －1)2－3 C. y ＝(x －2)2－2 D. y ＝(x －4)2－2 6. (2019荆门)抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 8. (2019陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m 、n 的值为( ) A. m ＝57，n ＝－18 7 B. m ＝5，n ＝－6 C. m ＝－1，n ＝6 D. m ＝1，n ＝－2 9. (2019温州)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是( ) A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1 C. 有最大值7，有最小值－1 D. 有最大值7，有最小值－2 10. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 11. (2019绍兴)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 12. (2019遂宁)二次函数y ＝x 2－ax ＋b 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，下列结论不正确的是( )二次函数第一课时(教师版)
第12讲：二次函数综合-教案
讲
二次函数综合
适用学科 初中数学
适用区域 知识点 教学目标
北师版区域
1.二次函数与平行四边形 2.二次函数与等腰三角形 3.二次函数与相似三角形 1.掌握二次函数综合 2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题
适用年级 课时时长（分钟）
初中三年级 120
教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题
【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整
理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策 略。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 二次函数中平行四边形的存在性问题； 2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题； 3.二次函数中相似三角形的存在性问题。 【知识导图】
一、导入
【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函 数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题 往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地 处理这三种类型试题的策略。
二、知识讲解
知识点 1 二次函数与平行四边形
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种 题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离 公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
知识点 2 二次函数与等腰三角形
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点 间距离公式硬算）
知识点 3 二次函数与相似三角形
常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种： 1.导边处理（“SAS”法） 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽； 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理（“AA”法） 第一步:先找到一组关键的等角； 第二步,另两个内角分两类对应相等.中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用
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