海淀区高三年级第二学期期中测试文科数学试题

海淀区高三年级第二学期期中测试

数 学 （文科） 2014.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.

52i

=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -

2. 已知集合{}{}

1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈= 则

A.{}1-

B.{}0

C. {

}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个

B.1个

C. 2个

D. 4个

4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1 B. 3 C.5

D. 7

5. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是

A B C D

6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为

A ．1

B ．2

C ．

1

2

D ．3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1

y x

=

相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.双曲线22

1 3

x y m -=的离心率为2，则m =__________.

10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______

方案一： 方案二： 方案三：

11. 在ABC ∆中，3a =，5b =，120C = ，则

sin ______,_______.sin A

c B

== 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：

①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)x

p f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++.

能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为

_________（填写相应函数的序号），若所选函数满足

(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________.

13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为

__________.

14. 设不等式组20,

20

x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式

221x y +≤表示的平面区域为2Ω.

(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;

(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是

.

俯视图

主视图

侧视图

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数π

()sin sin()3

f x x x =--.

（Ⅰ）求π

()6

f ;

（Ⅱ）求()f x 在ππ

[,]22

-上的取值范围.

16．（本小题满分13分）

某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机

.10

(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；

(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.

17. （本小题满分14分）

如图1，在

Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -

，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；

（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.

1图 图 2

18. （本小题满分13分）

已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间；

(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立.

19. （本小题满分14分）

已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0). （Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；

（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形.

20. （本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：

①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =- ， 则称()A n 与()B n 互为正交点列.

（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由；

（Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ； （Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 （文科） 2014.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.B

2.B

3.C

4.C

5.A

6.D

7. C

8.B