第六讲---相似三角形的中位线及其应用培优辅导(三)

第六讲 相似三角形(三) -------三角形的中位线及其应用

一、知识点梳理：

1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段.

三角形中位线定理： ①三角形的中位线于第三边（位置关系） ②三角形的中位线等于（数量关系）

符号语言：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE)

∴DE //

2、 三角形的重心： 三角形重心的性质：

基础巩固

1、如图△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，已知DE=5，则BC 的长为

2、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ，则S △EBD ：S △ABC =

3、若△ABC 的面积是8cm 2，则它的三条中位线围成的三角形的面积是

4、△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5、如图，小红作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2，B 2，C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积…，由此可得，第2014个正△A 2014B 2014C 2014的面积是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3、梯形的中位线定义：连结梯形中点的线段. 梯形中位线定理： 梯形的中位线

B

3、中点四边形：

对角线的四边形的中点四边形是菱形

对角线的四边形的中点四边形是矩形

对角线的四边形的中点四边形是正方形

对角线的四边形的中点四边形是平行四边形

(1) 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是.

(2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是.

(3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是.

(4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是.

(5) 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是

基础巩固1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形

2、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）

①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形

A.①③

B.②③

C.③④

D.②④

3、顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是

A.菱形

B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形

D.对角线相等的四边形

4、若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（）

（A）62cm （B）6cm （C）32cm （D）

二、专题讲解：常规辅助线的添加

方法一、【利用角平分线+垂直、必有等腰三角形】

例题1：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点. （1）求证：DE∥BC；

（2）求证：DE=（BC-AC）/2

B

A

F

M

E C B

A P

F E D

C B

A

练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。

方法二、【取中点构造中位线】

例题2：如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点。 求证：2AF= FC

练习：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E 、F 、P 分别为AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.

练习：如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE⊥DE，

CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由。

相似三角形应用培优例题精讲

【例1】（线段等积式的证明）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，想一想，

(1)图中有哪两个三角形相似?

(2)求证：AC 2＝AD ·AB ；BC 2＝BD ·BA ； (3)若AD ＝2，DB ＝8，求AC ，BC ，CD ； (4)若AC ＝6，DB ＝9，求AD ，CD ，BC ； (5)求证：AC ·BC ＝AB ·CD ．

【巩固】如图所示，已知AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，F 为BC 上一点，且∠EAF ＝∠C ． 求证：(1)∠EAF ＝∠B ； (2)AF 2＝FE ·FB ．

【例2】已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°． (1)求证：△ABD ∽△DCE ；

(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．

培优同步检测

1、P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条 2、如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，DE :CE =2:3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则=∆∆∆ABF EBF DEF S S S ::（ ）

A .4:10:25

B .4:9:25

C .2:3:5

D .2:5:25

3、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 、F 分别是AC 、DC 的中点，EF=1，则BD= _________ ．

4、如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且

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=EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则

FD

AF

等于______． 5、如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为______．