第3章 扭转
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第3章 扭转
轴 的 强 度 够
[例 3]
实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器相 联。已知轴的转速n=100r/min ，传递的功率 P＝7.5kW,许用剪应力[τ]＝40MPa，空心圆轴 的内外径之比 α = 0.5。 求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
解：离合器受到的扭矩 P 7.5 M T=9549 = 9549 × n 100
N1 A 500 B
N2
N3 C
解：
N m = 7.024 (kN ⋅ m) MT n (kNm) N1 m1 = 7.024 = 7.024(kN ⋅ m) n N2 m2 = 7.024 = 2.81(kN ⋅ m) n N3 m3 = 7.024 = 4.21(kN ⋅ m) n
400 x – 4.21
llB B l l 0 l
llB B
lA lB lB 0 A B B M T ( x) M T ( x) M T ( x) M T ( x) M T ( x) T T T T dx − ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ T dx ϕ AB = ϕoB − ϕoA = ∫ AB oB oA GI P GI P GI P GI P GI P llA llA 0 0 0 P P P P P 0 0 0
第三章
扭
转
Torsion
一、轴受外扭矩
P1 A n B
P2
P3 C
与轴传递功率和 转速间的关系。
P [ kw ] M ee = 9549 [N ⋅ m] n [ r / min ]
P[马力] M ee = 7024 [N ⋅ m] n[r / min]
二、截面几何量的计算：Ip和Wp 截面的极惯性矩Ip与扭转截面模量Wp
结构力学第三章-扭转
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
材料力学-第三章扭转教材
l
横截面上只有切应力，无正应力
二 圆轴扭转应力
T
l
Mn = T D
平衡方程
Mni Mn
（无穷多阶超静定）
刚性平截面变形规律： 横截面保持平面； 直径保持直线。
变形几何 表面 l R 方程 内部 l
l
物理方程 G
补充方程： G l
平衡方程 Mn dMn dA
A
M n
G
l
A
2dA
G
l
Ip
GMInpl dA
MMnn Ip
极惯性矩Ip:
Ip
2dA
A
实心圆轴:
I
p
D4 32
Mn
空心圆轴:
I
p
32
D4 d 4
D4 32
1 4
d D
圆轴扭转的强度条件
max
Mn Ip
D 2
Mn Wp
Wp
2I p D
Mn
抗扭截面系数Wp
:W p
D3 16
max
M nmax Wp
[ ] d 107mm
二 简单扭转超静定
例 两端固定的阶梯圆截面杆，在 C 处作用一力偶 T，
求固定端的约束力偶.
2GIp A
aa
T GIp C 2a
BA mA
T
B
C
mB
解： 1、解除约束
3、物理方程
平衡方程 mA + mB = T
AC
mAa 2GI p
mAa GI p
具有上述特征的变形称为扭转变形。 扭转角: 扭转时杆件两个横截面相对转动的角度。
工程上，以扭转变形为主的杆件称为轴。
3-2 扭转载荷与扭转内力
材力讲稿第3章扭转1-2
内外径之比
Wp =
Ip D/2
=
π
16
D 3 (1 − α 4 )
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形
Tρ τ ρ = Gρθ = Ip
T
由两种不同材料组成的圆轴， 讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材 料的剪切弹性模量分别为G 料的剪切弹性模量分别为 1和G2，且G1＝2G2。圆轴 尺寸如图中所示。 尺寸如图中所示。 圆轴受扭时， 外层之间无相对滑动。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的切应力分布，有图中( 、 横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D) 、 、 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
T
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 观察到的变形现象 （1）A ） B C D A B C ∴横截面上存在切应力！ 横截面上存在切应力！ D
（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 圆周线大小、位置、形状、间距保持不变， 对转动。 对转动。 ∴横截面上不存在正应力！ 横截面上不存在正应力！
薄壁圆轴的扭转 扭 转/薄壁圆轴的扭转
薄壁圆轴两端截面之间相对 转动的角位移， 转动的角位移，称为 相对扭
m
A B
γ
D C
m
ϕ
转角 ，用ϕ 表示。 表示。
薄壁圆轴表面上每个格子的直 角的改变量，称为 切应变。 角的改变量， 用 γ 表示 。
(c)
A D
横截面上没有正应力，只有切应力。 横截面上没有正应力，只有切应力。 且横截面上的切应力的方向是沿着 B 圆周的切线方向， 圆周的切线方向，并设沿壁厚方向 是均匀分布的(壁厚较小 。 是均匀分布的 壁厚较小)。 壁厚较小
第3章 扭转(6page)
二、扭矩图(Torque Diagram) 已知：MA= 1170 N·m
MB
B MB MA
MB
B
MA
MC
I C
MD
Ⅱ
AⅢ
D
MB = MC = 351 N·m MD = 468 N·m 作扭矩图 解： 1. Determine torque. T1= － MB = － 351 N· N·m TⅡ =－ MB － MC
4
剪切胡克定律
Hooke′s law in shear
剪切胡克定律
当
τ
τ≤τp :τ = Gγ τ τp
γ
τ
τ
γ
τ
γ
G —切变模量 shear modulus
τ
单位：GPa 钢材 G = 80 GPa
τ
τ的正负？Sign
对截面内部一点产生顺时针向 力矩为正，（左上右下为正） 反之为负。
γ
弹性常数之间的关系
2
Practice：Determine the torque of each segment and plot torque diagram for the given external moment of couple
MA=70N·m， MC=130N·m， MB=200N·m.
Solution（1） Section method （2）Draw torque diagram.
Practice
Plot torque diagram.
Solution （1）Torque （2）Diagram
T（x）= - mx Tmax= - mL
§ 3- 4
等直圆杆扭转时的应力 · 强度条件
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
第3章-扭转
Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角
Me
Me
a
b
T
T
O1
O2
A D d
D'
a dx b
扭转角沿杆长的变化率
d T
d x GIp
相距d x 的微段两端截面间 相对扭转角为
d T d x
GIp
相距l 的两横截面间相对扭转角为
d l T d x
四、 IP、WP的计算
d
1、实心圆轴
IP
2dA R 2 (2 d) 0
1 R4 1 D4
2
32
WP
1
16
D3
D
2、空心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 1 (R4 r 4 )
r
2
1 (D4 d 4 ) 1 D4 (1 4 )
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M1
(9.55 103
500)N 300
m
15.9kN
m
M
2
M3
(9.55 103
150)N 100
m
4.78kN
m
M4
(9.55 103
200)N m 300
6.37kN m
A 2πr0
得
r0
t
T r0 A
T
2πr02
第三章扭转(三)
§3―6 等直圆杆扭转时的应变能
下图a所示的扭转实验表明：当杆轴在线弹 性范围内承受扭转时，截面B相对于截面A的 相对扭转角φ与外力偶矩Me在加载过程中成正 比例关系，如图b所示。
§3―6
等直圆杆扭转时的应变能
由功能原理：杆轴在扭转时的弹性变形过 程中，积蓄在弹性体内应变能Vε在数值上等于 外力所做的功W，即
§3―5 等直圆杆扭转时的变形•刚度条件
解：（1）由扭转图可知Tmax=9.56kN•m。 扭转截面系数和极惯性矩为
1 4 (1 − α ) = Wp = 1 − 16 16 2 Ip =
πD 3
πD 3
×
4
πD 3 15 × = 16 16
πD 4
§3―5 等直圆杆扭转时的变形•刚度条件 一、扭转角的计算
等直圆杆在受扭后，其变形程度用切应变γ 表示，而变形的大小则通过计算扭转角φ来度量 的。
dϕ dx = T GI p ，则扭转角由积分可得
T Tl ϕ = ∫ dϕ = ∫ dx = l 0 GI GI p p
l
在前节中知道扭转角φ沿杆长的变化率是
dϕ T = ϕ = dx GI p
'
§3―5 等直圆杆扭转时的变形•刚度条件 三、刚度条件
等直圆杆在受扭转时，除需要满足强度条件 外，有时还需满足刚度条件。有时扭转角过大， 将会影响其正常工作，如机器的传动轴的扭转 角过大会引起振动。故应用刚度条件加以限制。 刚度条件通常是限制其单位长度扭转角的最大 值不超过某一允许值[φ`]，即
或
M el ϕ= GI p
§3―5 等直圆杆扭转时的变形•刚度条件 上式说明：扭转角φ与Ｔ和l成正比，与GIp 成反比。GIp称为扭转刚度。材料强度高（Ｇ 大）、直径大，则扭转刚度越好。
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学课件第三章 扭转
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3.4.2 最大扭转切应力和强度条件
第三章 扭转
1. 最大扭转切应力：
由
T
Ip
知：当
R , max
max
TR Ip
T Ip R
T Wp
(令 Wp I p R )
max
T Wp
Wp — 扭转截面系数，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp
d3
16
Wp
(D4
16
d4)
D3(1 4 )
16
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2、强度条件
强度条件：
max
Tm a x Wp
[ ]
第三章 扭转
许用切应力 u
n
τ s---- 扭转屈服极限 ——塑性材料 τ b---- 扭转强度极限 ——脆性材料 τ u---- 扭转极限应力 ——τs和τb的统称
MB
MC
MA
MD
B
C
解：计算外力偶矩
A
D
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
第三章 扭转
3.2.2 扭矩和扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
剪应力在互相垂直的面上同时存在，数值相等，其方向都垂直于这 两个面的交线，且都指向或者都背离该交线。
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MB MC MA MD
解：计算外力偶矩
B C A D
PA M A 9550 1592N m n PB M B M C 9550 477.5N m n PD M D 9550 637N m n
材料力学
第三章
扭
转
2．扭矩与扭矩图
由 M x 0, T M e 0 得T＝M e Me T称为截面n-n上的扭矩。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋 法则，T矢量背离截面为正，指 向截面为负（或矢量与截面外法 Me 线方向一致为正，反之为负）
材料力学
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3-3 纯剪切
§3-4 圆轴扭转时的应力
§3-5 圆轴扭转时的变形
材料力学
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方 向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
材料力学
第三章
扭
转
材料力学
第三章
扭
转
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的， 所以本章主要介绍圆轴扭转。
材料力学
1．外力偶矩
直接计算
第三章
扭
转
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
材料力学
第三章
扭
转
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
按输入功率和转速计算
材料力学
T Ip
第三章
扭
转
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截
面直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
材料力学
第三章
2
r AdA r 2 r T Me T T 2 2 r 2 A 2 A
A：平均半径所作圆的面积。
材料力学
mz 0
第三章
扭
转
a
二、切应力互等定理：
´
c
´
b
t dxdy t dxdy 故
几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面：W I R D3 16 0.2D3 t p 对于空心圆截面： t I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4) W
材料力学
三、强度条件
强度条件： max
第三章
Tmax [ ]， Wp
扭
转
[]—许用切应力；
W Pk 1000( N.m) n 外力偶作功完成： W M e 2 60 P m 9550 (N m) n
电机每秒输入功：
材料力学
第三章
扭
转
例3-2-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动 轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转 速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
材料力学
强度计算三方面：
第三章
扭
转
Tmax ① 校核强度： max [ ] Wt 实： D3 16 Tmax ② 设计截面尺寸： Wt 3 Wt D（ 4） [ ] 空：16 1 ③ 计算许可载荷： T max Wt [ ]
材料力学
T=m
第三章
扭
转
T ( 2 A 0t)
( L ) R
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学
第三章
扭
转
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确 定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质 的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下 列关系（推导详见后面章节）：
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
材料力学
第三章
扭
转
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。 平面假设： 变形前为平面的横截面 变形后仍为平面，它像刚 性平面一样绕轴线旋转了 一个角度。
D1 由 (1 0.5 ) 2 (1 0.5 ) 得 2 4 4 D T1 T 由 [ ] 3 3 D D1 4 (1 4 ) (1 ) 16 16 3 T1 D1 得 23 / 2 2.828 T D
2 2
D12
D 2
例3-2-3
第三章
扭
转
已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘
制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
1
m3
2
m1
3
m4
P 500 1 3 9.55 1 2 n n 300 A B C 15.9(kN m) P4 P2 m4 9.55 9.55 m2 m3 9.55 n n 200 150 6.37 (kN m) 9.55 4.78 (kN m) 300 300 m1 9.55
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承
受扭矩T=180 kN· 。试求管中的最大剪应力，使用： m
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
T 180103 56.5MPa max 2 2 2 r t 2 0.13 0.03
d G dx
材料力学Βιβλιοθήκη 3. 静力学关系：第三章扭
转
dA
T A dA d A G dA dx
2
O
d 2 G A dA dx d T GI p dx
代入物理关系式
令
I p A dA
2
d T dx GI p T d 得： G Ip dx
(2) 利用精确的扭转理论可求得
180103 T max 62.2MPa 4 3 3 D 0.29 4 230 (1 ) 1 16 16 290
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶 矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍， 内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？ （按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一 倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
材料力学
2 ．实验后： ①圆周线不变；
第三章
扭
转
②纵向线变成斜直线。
3 ．结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
材料力学
①无正应力
第三章
扭
转
d
对于空心圆截面：
2 d
2
D 2 d 2
d O D
(D4 d 4 )
32
D (1 4 ) 0.1D4(1 4 ) ( d ) D 32
4
材料力学
④ 应力分布
第三章
扭
转
（实心截面）
结构轻便，应用广泛。
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
材料力学
第三章
扭
转
⑤ 确定最大剪应力：
T d 由 知：当 R , max Ip 2 d T 2 T T (令 W I d ) max p 2 Ip d Wt Ip 2 T Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， max Wt
扭
转
I p A dA
只是Ip值不同。
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA 2 2 d
D 2 0
O
D
D 4 0.1D 4
32
材料力学
I p A 2dA
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm， 传递扭矩T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
D 4 Ip (1 4 ) 77.1104 m m4 32 解：计算截面参数： W I p 20.3 103 m m3 p D/2 Tmax 97.5MPa [ ] 由强度条件： max WP
注意
Me
T
x
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭 矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
解：计算外力偶矩
B C A D
PA M A 9550 1592N m n PB M B M C 9550 477.5N m n PD M D 9550 637N m n
材料力学
第三章
扭
转
2．扭矩与扭矩图
由 M x 0, T M e 0 得T＝M e Me T称为截面n-n上的扭矩。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋 法则，T矢量背离截面为正，指 向截面为负（或矢量与截面外法 Me 线方向一致为正，反之为负）
材料力学
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3-3 纯剪切
§3-4 圆轴扭转时的应力
§3-5 圆轴扭转时的变形
材料力学
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方 向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
材料力学
第三章
扭
转
材料力学
第三章
扭
转
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的， 所以本章主要介绍圆轴扭转。
材料力学
1．外力偶矩
直接计算
第三章
扭
转
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
材料力学
第三章
扭
转
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
按输入功率和转速计算
材料力学
T Ip
第三章
扭
转
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截
面直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
材料力学
第三章
2
r AdA r 2 r T Me T T 2 2 r 2 A 2 A
A：平均半径所作圆的面积。
材料力学
mz 0
第三章
扭
转
a
二、切应力互等定理：
´
c
´
b
t dxdy t dxdy 故
几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面：W I R D3 16 0.2D3 t p 对于空心圆截面： t I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4) W
材料力学
三、强度条件
强度条件： max
第三章
Tmax [ ]， Wp
扭
转
[]—许用切应力；
W Pk 1000( N.m) n 外力偶作功完成： W M e 2 60 P m 9550 (N m) n
电机每秒输入功：
材料力学
第三章
扭
转
例3-2-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动 轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转 速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
材料力学
强度计算三方面：
第三章
扭
转
Tmax ① 校核强度： max [ ] Wt 实： D3 16 Tmax ② 设计截面尺寸： Wt 3 Wt D（ 4） [ ] 空：16 1 ③ 计算许可载荷： T max Wt [ ]
材料力学
T=m
第三章
扭
转
T ( 2 A 0t)
( L ) R
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学
第三章
扭
转
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确 定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质 的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下 列关系（推导详见后面章节）：
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
材料力学
第三章
扭
转
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。 平面假设： 变形前为平面的横截面 变形后仍为平面，它像刚 性平面一样绕轴线旋转了 一个角度。
D1 由 (1 0.5 ) 2 (1 0.5 ) 得 2 4 4 D T1 T 由 [ ] 3 3 D D1 4 (1 4 ) (1 ) 16 16 3 T1 D1 得 23 / 2 2.828 T D
2 2
D12
D 2
例3-2-3
第三章
扭
转
已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘
制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
1
m3
2
m1
3
m4
P 500 1 3 9.55 1 2 n n 300 A B C 15.9(kN m) P4 P2 m4 9.55 9.55 m2 m3 9.55 n n 200 150 6.37 (kN m) 9.55 4.78 (kN m) 300 300 m1 9.55
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承
受扭矩T=180 kN· 。试求管中的最大剪应力，使用： m
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
T 180103 56.5MPa max 2 2 2 r t 2 0.13 0.03
d G dx
材料力学Βιβλιοθήκη 3. 静力学关系：第三章扭
转
dA
T A dA d A G dA dx
2
O
d 2 G A dA dx d T GI p dx
代入物理关系式
令
I p A dA
2
d T dx GI p T d 得： G Ip dx
(2) 利用精确的扭转理论可求得
180103 T max 62.2MPa 4 3 3 D 0.29 4 230 (1 ) 1 16 16 290
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶 矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍， 内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？ （按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一 倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
材料力学
2 ．实验后： ①圆周线不变；
第三章
扭
转
②纵向线变成斜直线。
3 ．结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
材料力学
①无正应力
第三章
扭
转
d
对于空心圆截面：
2 d
2
D 2 d 2
d O D
(D4 d 4 )
32
D (1 4 ) 0.1D4(1 4 ) ( d ) D 32
4
材料力学
④ 应力分布
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（实心截面）
结构轻便，应用广泛。
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
材料力学
第三章
扭
转
⑤ 确定最大剪应力：
T d 由 知：当 R , max Ip 2 d T 2 T T (令 W I d ) max p 2 Ip d Wt Ip 2 T Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， max Wt
扭
转
I p A dA
只是Ip值不同。
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA 2 2 d
D 2 0
O
D
D 4 0.1D 4
32
材料力学
I p A 2dA
材料力学
第三章
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例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm， 传递扭矩T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
D 4 Ip (1 4 ) 77.1104 m m4 32 解：计算截面参数： W I p 20.3 103 m m3 p D/2 Tmax 97.5MPa [ ] 由强度条件： max WP
注意
Me
T
x
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭 矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。