计算方法课件第一章
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第一章数值计算方法与误差分析PPT课件
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29
0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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23
（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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2
从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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3
参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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4
数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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计算方法课件1
数值分析
理学院 崔丽鸿
教材：西安交通大学出版社 《计算方法》
作者：邓建中
2/47
主要参考书
1.《数值分析基础教程》, 李庆杨, 高等教育出版社, 2019年第1版
3/47
主要参考书
2.《数值方法和MATLAB实现与应用》, （美） Gerald Recktenwald 著 伍卫国 万群 张辉 等译, 机械工业出版社, 2019年第1版
其他各类有关 “数值分析” 和 “计算方法” 的 书
4/47
《计算方法》课程体系
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
数值计算中的误差 插值法 曲线拟合的最小二乘法 数值积分 非线性方程的数值解法
5/47
《计算方法》课程体系
插值法
数值逼近 数据拟合的最小二乘法
本
数值积分和数值微分*
§1.3 绝对误差和相对误差
一．绝对误差 /* absolute error */
设 x——准确值，x * ——近似值。
称 e(x)x*x 为 x * 的绝对误差(简称误差)
|e(x)| 为 x * 的绝对误差限。
二．相对误差 /* relative error */
称
e(x) er (x) x
2、(1.000002 )2 1.000004 0 (本应（1.000002）2 1.000004 1.0000040000 04 1.000004 0.0000000000 04 4 10 12）
舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。
20/47
q(x)
上例说明，即使数学上的恒等公式，用计 算机来算，结果也是不一样的。
理学院 崔丽鸿
教材：西安交通大学出版社 《计算方法》
作者：邓建中
2/47
主要参考书
1.《数值分析基础教程》, 李庆杨, 高等教育出版社, 2019年第1版
3/47
主要参考书
2.《数值方法和MATLAB实现与应用》, （美） Gerald Recktenwald 著 伍卫国 万群 张辉 等译, 机械工业出版社, 2019年第1版
其他各类有关 “数值分析” 和 “计算方法” 的 书
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《计算方法》课程体系
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
数值计算中的误差 插值法 曲线拟合的最小二乘法 数值积分 非线性方程的数值解法
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《计算方法》课程体系
插值法
数值逼近 数据拟合的最小二乘法
本
数值积分和数值微分*
§1.3 绝对误差和相对误差
一．绝对误差 /* absolute error */
设 x——准确值，x * ——近似值。
称 e(x)x*x 为 x * 的绝对误差(简称误差)
|e(x)| 为 x * 的绝对误差限。
二．相对误差 /* relative error */
称
e(x) er (x) x
2、(1.000002 )2 1.000004 0 (本应（1.000002）2 1.000004 1.0000040000 04 1.000004 0.0000000000 04 4 10 12）
舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。
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q(x)
上例说明，即使数学上的恒等公式，用计 算机来算，结果也是不一样的。
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
计算方法第一章 绪论
知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26
西安交通大学《计算方法》课件-第一章
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2
教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。
但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。
西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。
计算方法引论-第一章
• 基−进制
– β称为基 – 这样表示的数称为β进制数
• 上溢、下溢
计算方法引论( 第三版)
1.3
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差
• 误差
– 准确数x、近似数x*
– 误差e*=x*-x 、误差限ε*≥|x*-x|
– x=x2 65…
近似数
x* 3 3.14 3.141 6
max(0.005 /1.21 0.005 / 3.65, 0.005 / 9.81)
max(0.005 5, 0.000 5) 0.005 5
– 设y = xn, y的相对误差与x的相对误差之间的关
系: dr y | d( ln y) || nd( ln x) | ndr x
计算方法引论( 第三版)
2.4×10-6≈2×10-6
计算方法引论( 第三版)
1.6
徐萃薇、孙绳武 高教2007
相对误差(续)
• 相对误差与有效数字关系
– 设数x*可表成(1.1)，
–
若x*有n位有效数字则有相对误差限
1
21
101n
x * x
1 2
10 pn
，x *
1 10p1
,相除．
–
若x*相对误差限
* r
1 2(1 1)
dlnf(x)= f′(x)/ f(x)dx= xf′(x)/f(x)dlnx
drf(x)= | x f′(x)/f(x) | drx
计算方法引论( 第三版)
1.10
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差的传播:例
•例
– 设a 1.213.65 9.81,其中每个数据的绝对误差 限为0.005,求a的绝对误差限和相对误差限
– β称为基 – 这样表示的数称为β进制数
• 上溢、下溢
计算方法引论( 第三版)
1.3
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差
• 误差
– 准确数x、近似数x*
– 误差e*=x*-x 、误差限ε*≥|x*-x|
– x=x2 65…
近似数
x* 3 3.14 3.141 6
max(0.005 /1.21 0.005 / 3.65, 0.005 / 9.81)
max(0.005 5, 0.000 5) 0.005 5
– 设y = xn, y的相对误差与x的相对误差之间的关
系: dr y | d( ln y) || nd( ln x) | ndr x
计算方法引论( 第三版)
2.4×10-6≈2×10-6
计算方法引论( 第三版)
1.6
徐萃薇、孙绳武 高教2007
相对误差(续)
• 相对误差与有效数字关系
– 设数x*可表成(1.1)，
–
若x*有n位有效数字则有相对误差限
1
21
101n
x * x
1 2
10 pn
，x *
1 10p1
,相除．
–
若x*相对误差限
* r
1 2(1 1)
dlnf(x)= f′(x)/ f(x)dx= xf′(x)/f(x)dlnx
drf(x)= | x f′(x)/f(x) | drx
计算方法引论( 第三版)
1.10
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差的传播:例
•例
– 设a 1.213.65 9.81,其中每个数据的绝对误差 限为0.005,求a的绝对误差限和相对误差限
人教版数学七年级上册第一章有理数的混合运算课件(共17张)
解:原式=
1.计算：
解:原式= =-10-80 =-90
解:原式=
2.计算：
有理数的加减乘除混合运算三步走: 1.看清运算，定运算顺序; 2.根据特点，巧用运算律; 3.选对法则，耐心计算.
(2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2).
解：(1)原式=2×(-27)-(-12)+15 =-54+12+15 =-27
(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×18-(-4.5) =-8-54+4.5 =-57.5
计算：
（1）(1)10 2 (2)3 4
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和. 解：（3）每行数中的第10个数的和是
视察下列各式:
1 21 1
1 2 22 1
1 2 22 23 1
猜想:1 2 22 23 263
若n是正整数，那么 1 2 22 2n
1.计算：
解:原式= -2×9-36 =-18-36 =-54
例2
计算：(3)2
2 3
(
5 9
)
点拨：在运算过程中，巧 用运算律，可简化计算
解法一：
解法二：
解：原式=
9 (
11 9
)
= -11
解：
原式=
9
(
2 3
)
9
(
5 9
)
=-6+（-5）
=-11
讨论交流：你认为哪 种方法更好呢？
例3 视察下面三行数： -2， 4， -8， 16， -32， 64，…；① 0， 6， -6， 18， -30， 66，…；② -1， 2， -4， 8， -16， 32，…. ③
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1 In I n 1 n ( n 10,9, ,2,1)
计算结果相当好，见P5表1-2 问题：两个递推公式都对，为何会出现上面这两种截然 不同的现象？
误差分析
例5中对于算法一中的迭代公式进行稳定性分析
I n 1 nI n1 (n 1, 2, , 9) 记 I ( n) 的误差为 n I ( n) I n
则迭代格式
I n 1 nI n1
计算得 I1 0.3679,, I 8 0.7280, I 9 7.552
In
1 ( n 1)e
1 1 n x e 0 x e dx
1 1 1 1 n I 8 0.7280, 0 x n edx e 0 x dx I n e
其解析解（精确解）为 y( x ) e
x2
•为什么要求数值解？
x
0
e dt
t2
而实际中只需知道 y(1), y(1.5) 等近似值。这些近似值 就是数值解。
•如何构造方法（主要思想） 1. 2. 3. 4. 迭代法 以直线代替曲线（非线性问题线性化） 化整为零（离散化） 外推法（加速）
•构造什么样的方法 实用的好的算法有三个标准： 快 ——— 计算步骤少，收敛速度快 准 ——— 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 ——— 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题)
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 n n 0 ( 1) 误差没有增大，算法稳定
n!
稳定性的定义
若一个算法的结果受初始误差影响较小或运算过 • 算法一是数值不稳定的 程中舍入误差不增长，则称此算法为数值稳定的。否 则，是不稳定的。 • 算法二是数值稳定的 具体图示如下 准确初值 准确解 数值稳定性指的是方法，与问题无关； 稳定 近似初值 近似解 数值不稳定的算法是不能用的； 不稳定 不能说方法正确，程序正确，结果就正确。
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
(2) 防止相近的数相减 f ( x h) f ( x h) 例 利用f ( x ) , 求f ( x ) 2h 处的导数值。
解 f ( x )
m
易知
1 x x 10m n. 2
*
定义 设x*为x的近似值， * 0.a1a2 10m a1 0，若 x
1 x x 10m n 且 n是满足此不等式的最大正整数， 2
*
则称 x*具有 n 位有效数字。
结论：1、用四舍五入得到的近似数从最后一位到前面第一位非零 数字为止的所有数字都是有效数字。
1. 快
例1 多项式求值的Horner算法(秦九韶算法P7)
Pn ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
给定x的值，计算 Pn ( x ) 的值。 算法一 按自然顺序计算
n( n 1) 乘法次数＝ n ( n 1) 1 2
注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300 如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
举例分析:
例 作为0.0509966……的近似值，下列各数有几位 有效数字？ 0.051 2位 0.0509 2位 0.05100 4位 0.05099
2、若x*具有n位有效数字，则 x - x*
897932 ; * 3.1415 例 3.1415926535 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
1 10m n. (绝对误差限) 2
证明
π* 0 .31415 101 , an d |π * π| 0 .5 10 3 0 .5 101 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位
算机，要连续工作30多万年才可完成；而用Gauss消去法，
乘除次数为 n3 / 3 n2 n / 3 ,只需 3 105 秒.
例3 计算积分的梯形公式与Simpson公式(以后讲)；
非线性方程求根，Newton法比二分法快。
2. 准
例4 求根 x 56 x 1 0，假设计算机有尾数为5位，
建立模型时产生 本课不讨论
求解模型时产生
本课主要讨论
1.模型误差
2.观测误差 3.方法误差或 截断误差
收敛性
涉及
4.舍入误差
稳定性
涉及
二、基本概念
误 差
假设x为准确值，x*为近似值 绝对误差 绝对误差限 相对误差 相对误差限
e x x*
:| e | 的一个上界， | e |
e e * er * er x x
r
:| e |的一个上界，| er | r
r
有效数字
用科学计数法，记 x 0.a1a2 10 （其中 a1 0 ）。则按 四舍五入得 0.a1a2 an 10m , 0 an1 4 * x 0.a1a2 an 10 n 10m ,5 an1 9
x1 b b 2 4ac 109 , 2a x2 b b 2 4ac 0 2a
b sign(b) b 2 4ac 109 算法2：先解出 x1 2a c c 109 x2 9 1 再利用 x1 x2 a a x1 10
~ I 9 7.552
1 n1
What happened ?!
1 1 I8 9e 9
1 1 I9 10e 10
I8 , I9严重失真.
不稳定的算法，结果不可靠。
解法二
取
易知
I10 0
1 0 I ( n) 0 n1
将迭代格式 I n 1 nI n1 变形成如下格式
b b 2 4ac x 2a
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时 两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010， 取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010 大数吃小数
则
()
n I (n) I n (1 nI (n 1)) (1 nI n1 ) n( I (n 1) I n1 ) n n1 n[( n 1)] n 2 (1) n! 0
n
误差逐渐增大，(*)式不稳定
(3) 防止绝对值很小的数做分母
t 1.01 /x, 取 x 105 , 则 t 1.01/x 1.01105 例 x 1.01105是近似值， 则 t 1.01/x 105
t t 1000
3 、省
§2 误差的来源和基本概念
一、误差的来源
3位
三、有效数字与误差限的关系
1、有效数字与绝对误差限的关系 设 x 的近似值 x*为： x
在4位机上仍取h 0.0001, 算得有f (2) 0.35356.
几种经验性避免方法：
xε x ε ; xε x
ε ln x ε ln x ln 1 ; x
2
Байду номын сангаас
x 当 | x | << 1 时： 1 cos x 2 sin ; 2 1 2 1 x e 1 x 1 x x ... 6 2
嵌套算法（Hornor,秦九韶）
加法次数＝ n
算法二
Pn ( x ) (((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
乘法次数＝加法次数＝ n
例2 用Cramer法则来求解一个n阶线性方程组，共需要
n!(n 1) n 次乘除法。
2
若要求解一个20阶方程组，用每秒一亿次乘除法的电子计
•基本的数学问题？
1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 f ( x ) 0 的求解(求根); b 4.积分 f ( x ) dx 计算; a 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。
y 1 2 xy 例如 常微分方程的初值问题 y(0) 0
内
第一章 绪 论
容
第二章
非线性方程求解
第三章 线性方程组求解 第四章 插 值 法
第五章 第六章 第七章 曲线拟合和函数逼近 数值积分和数值微分 常微分方程数值解法
第一章
§1
绪论
计算方法的研究对象和特点
§2
§3
误差及其基本概念
数值计算的原则
§1 计算方法的研究对象和特点
计算方法的研究内容：构造算法（数学问题数值解的 计算方法）
x 在x 2
xh xh 2h
2 h 2h f ( 2 ) 2h
在4位机上， h 0.0001， 取
1.4142 1.4142 f (2) 0 0.0002 1 精确值 f (2) 0.353553 2 2
解决办法: f ( 2)
2h 2h 2h ( 2 h 2 h )2h 2h
同样对于算法二中的迭代公式进行稳定性分析
1 In I n 1 ( n 10,9, ,2,1) n I ( n) 的误差为 n I ( n) I n 记 1 (1 I ( n)) 1 (1 I ) 则 n1 I ( n 1) I n1 n n n I ( n) I n n 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， n n
计算结果相当好，见P5表1-2 问题：两个递推公式都对，为何会出现上面这两种截然 不同的现象？
误差分析
例5中对于算法一中的迭代公式进行稳定性分析
I n 1 nI n1 (n 1, 2, , 9) 记 I ( n) 的误差为 n I ( n) I n
则迭代格式
I n 1 nI n1
计算得 I1 0.3679,, I 8 0.7280, I 9 7.552
In
1 ( n 1)e
1 1 n x e 0 x e dx
1 1 1 1 n I 8 0.7280, 0 x n edx e 0 x dx I n e
其解析解（精确解）为 y( x ) e
x2
•为什么要求数值解？
x
0
e dt
t2
而实际中只需知道 y(1), y(1.5) 等近似值。这些近似值 就是数值解。
•如何构造方法（主要思想） 1. 2. 3. 4. 迭代法 以直线代替曲线（非线性问题线性化） 化整为零（离散化） 外推法（加速）
•构造什么样的方法 实用的好的算法有三个标准： 快 ——— 计算步骤少，收敛速度快 准 ——— 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 ——— 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题)
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 n n 0 ( 1) 误差没有增大，算法稳定
n!
稳定性的定义
若一个算法的结果受初始误差影响较小或运算过 • 算法一是数值不稳定的 程中舍入误差不增长，则称此算法为数值稳定的。否 则，是不稳定的。 • 算法二是数值稳定的 具体图示如下 准确初值 准确解 数值稳定性指的是方法，与问题无关； 稳定 近似初值 近似解 数值不稳定的算法是不能用的； 不稳定 不能说方法正确，程序正确，结果就正确。
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
(2) 防止相近的数相减 f ( x h) f ( x h) 例 利用f ( x ) , 求f ( x ) 2h 处的导数值。
解 f ( x )
m
易知
1 x x 10m n. 2
*
定义 设x*为x的近似值， * 0.a1a2 10m a1 0，若 x
1 x x 10m n 且 n是满足此不等式的最大正整数， 2
*
则称 x*具有 n 位有效数字。
结论：1、用四舍五入得到的近似数从最后一位到前面第一位非零 数字为止的所有数字都是有效数字。
1. 快
例1 多项式求值的Horner算法(秦九韶算法P7)
Pn ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
给定x的值，计算 Pn ( x ) 的值。 算法一 按自然顺序计算
n( n 1) 乘法次数＝ n ( n 1) 1 2
注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300 如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
举例分析:
例 作为0.0509966……的近似值，下列各数有几位 有效数字？ 0.051 2位 0.0509 2位 0.05100 4位 0.05099
2、若x*具有n位有效数字，则 x - x*
897932 ; * 3.1415 例 3.1415926535 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
1 10m n. (绝对误差限) 2
证明
π* 0 .31415 101 , an d |π * π| 0 .5 10 3 0 .5 101 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位
算机，要连续工作30多万年才可完成；而用Gauss消去法，
乘除次数为 n3 / 3 n2 n / 3 ,只需 3 105 秒.
例3 计算积分的梯形公式与Simpson公式(以后讲)；
非线性方程求根，Newton法比二分法快。
2. 准
例4 求根 x 56 x 1 0，假设计算机有尾数为5位，
建立模型时产生 本课不讨论
求解模型时产生
本课主要讨论
1.模型误差
2.观测误差 3.方法误差或 截断误差
收敛性
涉及
4.舍入误差
稳定性
涉及
二、基本概念
误 差
假设x为准确值，x*为近似值 绝对误差 绝对误差限 相对误差 相对误差限
e x x*
:| e | 的一个上界， | e |
e e * er * er x x
r
:| e |的一个上界，| er | r
r
有效数字
用科学计数法，记 x 0.a1a2 10 （其中 a1 0 ）。则按 四舍五入得 0.a1a2 an 10m , 0 an1 4 * x 0.a1a2 an 10 n 10m ,5 an1 9
x1 b b 2 4ac 109 , 2a x2 b b 2 4ac 0 2a
b sign(b) b 2 4ac 109 算法2：先解出 x1 2a c c 109 x2 9 1 再利用 x1 x2 a a x1 10
~ I 9 7.552
1 n1
What happened ?!
1 1 I8 9e 9
1 1 I9 10e 10
I8 , I9严重失真.
不稳定的算法，结果不可靠。
解法二
取
易知
I10 0
1 0 I ( n) 0 n1
将迭代格式 I n 1 nI n1 变形成如下格式
b b 2 4ac x 2a
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时 两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010， 取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010 大数吃小数
则
()
n I (n) I n (1 nI (n 1)) (1 nI n1 ) n( I (n 1) I n1 ) n n1 n[( n 1)] n 2 (1) n! 0
n
误差逐渐增大，(*)式不稳定
(3) 防止绝对值很小的数做分母
t 1.01 /x, 取 x 105 , 则 t 1.01/x 1.01105 例 x 1.01105是近似值， 则 t 1.01/x 105
t t 1000
3 、省
§2 误差的来源和基本概念
一、误差的来源
3位
三、有效数字与误差限的关系
1、有效数字与绝对误差限的关系 设 x 的近似值 x*为： x
在4位机上仍取h 0.0001, 算得有f (2) 0.35356.
几种经验性避免方法：
xε x ε ; xε x
ε ln x ε ln x ln 1 ; x
2
Байду номын сангаас
x 当 | x | << 1 时： 1 cos x 2 sin ; 2 1 2 1 x e 1 x 1 x x ... 6 2
嵌套算法（Hornor,秦九韶）
加法次数＝ n
算法二
Pn ( x ) (((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
乘法次数＝加法次数＝ n
例2 用Cramer法则来求解一个n阶线性方程组，共需要
n!(n 1) n 次乘除法。
2
若要求解一个20阶方程组，用每秒一亿次乘除法的电子计
•基本的数学问题？
1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 f ( x ) 0 的求解(求根); b 4.积分 f ( x ) dx 计算; a 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。
y 1 2 xy 例如 常微分方程的初值问题 y(0) 0
内
第一章 绪 论
容
第二章
非线性方程求解
第三章 线性方程组求解 第四章 插 值 法
第五章 第六章 第七章 曲线拟合和函数逼近 数值积分和数值微分 常微分方程数值解法
第一章
§1
绪论
计算方法的研究对象和特点
§2
§3
误差及其基本概念
数值计算的原则
§1 计算方法的研究对象和特点
计算方法的研究内容：构造算法（数学问题数值解的 计算方法）
x 在x 2
xh xh 2h
2 h 2h f ( 2 ) 2h
在4位机上， h 0.0001， 取
1.4142 1.4142 f (2) 0 0.0002 1 精确值 f (2) 0.353553 2 2
解决办法: f ( 2)
2h 2h 2h ( 2 h 2 h )2h 2h
同样对于算法二中的迭代公式进行稳定性分析
1 In I n 1 ( n 10,9, ,2,1) n I ( n) 的误差为 n I ( n) I n 记 1 (1 I ( n)) 1 (1 I ) 则 n1 I ( n 1) I n1 n n n I ( n) I n n 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， n n