第二学期高等数学(重修)模拟题
高数(下)重修学习班课堂练习
高数（下）重修学习班课堂练习第八章 多元函数微分学及其应用№⒈1． 理解内点、外点、边界点、聚点的定义，理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
2． 了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续的性质。
练习№⒈一、求下列函数的定义域，并判断它们是否为同一函数：=-- -+ ++-2z =221ln[(1)(1)]ln[(1)(1)]ln[(1)(1)]z x y x y x y二、求函数=z 三、设函数=(,)z f x y 的定义域为=≤≤-≤≤{(,)|01,11}D x y x y ，求函数2(sin ,cos )f x y 的定义域。
四、设+-=-22(,)f x y x y x y ，求=(,)?f x y 。
五、设+=-22(,)yf x y x y x，求=(,)?f x y 。
六、求下列极限：⑪→+=+2222(,)(0,0)1lim ()sin ?x y x y x y ⑫→→+=11lim(1)?xx y xy⑬→∞→∞+=+2244lim ?x y x y x y⑭→→=+24200lim ?x y x yx y⑮→→=2200lim?x y⑯→+∞→+∞=+222lim ()?x x y xy x y⑰2(,)limx y →七、讨论函数⎧≠⎪=⎨⎪=⎩1sin , 0(,) 0 , 0x y y f x y y ，在（1，0）和（0，0）点的连续性。
八、设=()yf x x >0，求=()?f x1． 理解多元函数偏导数的概念，会求偏导数；了解偏导数与连续的关系，P15的例子； 2． 会求二阶的偏导数及混合偏导数；3． 理解全增量、全微分的概念，会求全微分；了解微分存在的必要条件和充分条件； 4． 掌握多元复合函数偏导数的求法（3个定理），了解全微分（一阶）形式的不变性； 练习№⒉一、已知=++222z x xy y ，求∂∂==∂∂?,?z zx y 二、已知+=+2sin()x y z x xy e ，求∂∂∂===∂∂∂? , ? , (1,0)?z zzx yx三、设=r ∂∂∂++=∂∂∂y r r r xz r x y z 四、设=≠ (x>0,x 0)y z x ，求证∂∂+=∂∂1 2lnx x z zz y x y五、设⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩222222 , 0(,) 0 , 0xy x y x y f x y x y ，求偏导数 ==(0,0)? , (0,0)?x y f f六、设=--+32331z x y xy xy ，求∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂∂∂22223223 , ,, , z z z z zx y x y y x x七、设⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩22222222() , 0 (,) 0 , 0xy x y x y x y f x y x y ，求偏导数 ==(0,0)? , (0,0)?xy yx f f八、已知-=(,)xy x z f e y ，f 是可微函数，求∂∂==∂∂?,?z z x y。
09-05高等数学(下、A、电)重修试卷
共 4 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷课程名称 高等数学（下、A 、电）重修 考试日期 09-05 得分适用专业 选学高数（A 、电）的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 150分钟一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．交换积分次序：211d (,)d xx f x y y =⎰⎰ ；2．曲面22e 1z xy z +-=在点(1,2,0)处的切平面方程是 ； 3．向量场222x yz xy z xyz =++A i j k 在点(1,3,2)处的散度div =A ； 4．已知曲线积分()()3ecos ()d e sin d xx Ly yf x x x y y ++-⎰与路径无关，则()f x = ；5．由方程339z xyz -=所确定的函数),(y x z z =在点(1,2,3)处的全微分d z = ； 6．幂级数()()1113ln 1nnnn x n ∞=-+∑的收敛域为 ； 7．将函数1,01()1,1x f x x x π≤<⎧=⎨+≤<⎩在[0,]π上展开为正弦级数，其和函数()S x 在1x =-处的函数值(1)S -= ；8．设C 为正向圆周：1z =，则2e 1d z Cz z -=⎰ ； 9．设∑为上半球面z =∑的值为 ．二.计算下列各题(本题共4小题，满分33分)10．（本题满分7分）设(,)z z x y =是由方程(,2)0F xy z x-=所确定的隐函数，其中F具有连续偏导数，计算z zx y x y∂∂-∂∂.共 4 页 第 2 页11．（本题满分7分）计算22()2d x y x y σσ++⎰⎰，其中{}1,1),()(22≥+≤+=y x y x y x σ。
12．（本题满分10分）计算曲线积分33(e sin )d (e cos )d x x Cy y x y x y -++⎰,其中C 为沿着半圆周x =从点(0,1)A =-到点(0,1)B 的弧段.共 4 页 第 3 页13．（本题满分9分）计算(2)d z xy v Ω+⎰⎰⎰；其中Ω为由上半球面z =与锥面22y x z +=所围成的区域．三（14）．（本题满分9分）计算曲面积分222I ∑=, 其中∑为曲面221(12)z x y z =++≤≤的下侧．四（15）．（本题满分6分）计算复积分222d 1z zz z =+⎰.共 4 页 第 4 页五（16）．（本题满分10分）将函数()21()1f z z z =+分别在圆环域(1)1z <<+∞；(2)112z <-<内展开成罗朗级数.六（17）．（本题满分6分）求幂级数121(1)(21)n nn x n n -∞=--∑的收敛域及和函数，并求数项级数11(1)(21)3n nn n n -∞=--⋅∑的和.。
高等数学 重修A(II)19春
16．求点 (3,1, −1) 到平面 x + y + z − 20 = 0 的投影坐标。
19．求点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离。
1
多元函数微分法及其应用
2．求极限 lim x→0 y→0
3．求偏导数
xy +1 −1 xy
（1） z = x3 y + exy − sin(x2 − y2 ) ，求 ∂z 及 ∂z ∂x ∂y
11．求过点
(−1,
2,1)
且平行于直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ +
y 2
−2 y−
z z
−1 +1
= =
0 0
的直线方程。
12．求过点
(2,1,1)
且垂直于直线
⎧x + 2 ⎨⎩2x +
y y
− −
z z
+1= =0
0
的平面方程。
13．将直线一般式
⎧x − y ⎨⎩2x +
+z y+
=1 z=
4
化为对称式方程和参数式方程。
∫ 6.利用格林公式计算 − x 2 ydx + xy 2dy ，其中 L 为沿圆周 x2 + y2 = a2 正向一圈的 L
路径。
∫ 7. 用 两 种 不 同 的 方 法 计 算 曲 线 积 分 (x 2 + y 2 )dx + (x + 2)dy ， 其 中 L 是 以 L
O (0, 0) ， A(1, 0) , B (0,1) 为顶点的三角形的正向边界曲线。
（2） z = ln(x + y ) ，求 ∂z 及 ∂z
高等数学重修复习题(完整版)
x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（ ）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（ ）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx
高数二试题模拟及答案解析
高数二试题模拟及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C解析：根据奇函数的定义，f(-x) = -f(x)。
选项A是偶函数，选项B和D不满足奇函数的性质，只有选项C满足。
2. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)的定义域为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ [-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1] ∪ (-1, 1) ∪ [1, +∞)答案：B解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x^2 - 1 > 0，解得x < -1或x > 1。
...（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为3，则该切线的方程为______。
答案：y = 3x - 2解析：首先求出y = x^3的导数y' = 3x^2，然后代入x = 1得到切线斜率k = 3。
利用点斜式方程y - 1 = k(x - 1)，得到切线方程。
2. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的前n项和Sn = ______。
答案：n^2解析：数列{an}是等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。
利用等差数列前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入得Sn = n(1 + (2n - 1))/2 = n^2。
...（此处省略其他填空题，共5题）三、解答题（共50分）1. （10分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3|[0,1] = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3。
高等数学(下)模拟试题(二)
高等数学(下)模拟试题（二）一、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 设y z xz xy y x z ∂∂∂∂+=,,322求。
2. 设()xy x z sin 2= 求: d z 。
3. 设y x ux u xz y x u ∂∂∂∂∂+=2222,,求。
4. 设()x x x z z xy y x f z ,,5求+=。
5．x zxyz xyz ∂∂=+求 ,02)cos( 。
二、 二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)1．更换积分次序：()⎰⎰xxdyy x f dx 320,。
2. 求x yxy z ++=12在点P （1,2）沿点P 到点M （2,4）的方向上的方向导数。
3. 求曲线325,4,3t z t y t x ===在t = 1处的切线及法平面方程。
4. 求曲面x 2 － 3 y 2 ＋ z 2 = －1在点P （1,1, 1）切平面方程与法线方程。
三、计算下列积分（每小题6分，共12分） 1.y dxd y x D⎰⎰+)2(D ：由y = x , x= 0, y = 2 所围成 。
2. ⎰⎰⎰++V dxdydzz y x )( V ：－2≤x ≤2 , 0≤y ≤1 , 0≤z ≤4 . 四、计算下列积分应用题（每小题6分，共12分）1. 一均匀物体（密度ρ为常量）占有闭区域Ω由曲面 Z=X 2+Y 2和平面Z ＝4所围成，求 该物体的质量M 。
2. 求物体的体积V ，该物体是柱体x 2 + y 2≤ 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分。
五、（8分）求微分方程0|,02=='=-x yx y e y 满足初始条件 的特解。
六、（8分）求微分方程()()022=-++dy y x dx y x的通解。
七、（6分）求一曲线，使其每点处的切线斜率为2x+y,且过点（0,0）。
高等数学(下)模拟试题（二）答案三、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 已知xy x y zy xy xzxy y x z 6,32,32222+=∂∂+=∂∂+=。
高等数学B(下)试卷
高等数学B(下)重修卷一、填空题1、已知函数的(,)z f x y =的全微分22dz xdx ydy =−，且(1,1)2f =，则(,)f x y = .2、 函数(,,)z f x y z xy =在点(1,1,2)处的最大方向导数为 .3、设函数(,)f x y 连续，且2(,)(,)D f x y xy f x y d σ=++∫∫，其中22:1D x y +≤，则(,)Df x y d σ∫∫= .4、设函数(,)z f x y =在点(0,1)的某邻域内有连续偏导，且)(321)1,(ρo y x y x f +++=+，其中)(ρo是比ρ=高阶的无穷小，则曲面(,)z f x y =在点(0,1)处的切平面方程为 . 5、设曲线:1c x y +=，则曲线积分(1)c x y xy ds −++∫ = . 6、设幂级数0(1)n nn a x ∞=−∑在1x =−处收敛，则该级数在2x =处 .A.绝对收敛；B.条件收敛；C.发散；D.可能收敛可能发散。
二、计算下列各题1、 设()f x 为连续函数，且()xy x y z f x y t dt ++=+−∫，求z z x y∂∂+∂∂. 2、 设函数(,)z f x xy =，且f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂. 3、 求函数22(,)(2)f x y x y ylny =++的极值.4、 设常数0p >，讨论级数211)p n n ∞=+的敛散性. 三、求二重积分∫∫−Dd x σ)13(，其中y y x D 2:22≤+，且.x y ≥.四、求柱面21z x =−被平面1,1x y y +==以及0z =所截在第一卦限部分的面积.五、求曲线积分∫++C xdy ydx y x )3(22，其中C 为从点(2,0)A沿曲线y =到点)0,0(O 的弧.六、设∑为球面2221x y z ++=的外侧，求曲面积分222I x dydz y dzdx x zdxdy ∑=++∫∫. 七、将函数()(0)f x x x π=≤≤展开成余弦级数.八、任选下列两题中的一题进行解答. 1、 求微分方程'1y x y=−的通解. 2、 求垂直于平面2340x y z −+−=且交线在xoy 面上的平面.。
高等数学下重修练习题
高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________.14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x +=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分d Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d L x y s ++⎰=________.43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________. 45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑ (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑ (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 22z y∂∂, 2z y x ∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z y ∂∂, 22z y ∂∂, 2z y x∂∂∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22zx∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂, zy ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x 2+y 2)上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分221d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z 含于柱面x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑. 114．求幂级数234234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间.115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。
13-14-1《高数2》重修班练习卷
13-14-1《高数2》重修班练习卷一、单项选择题（每题2分）1、当0x →时，与x 相比不是等价无穷小的是（ ）．A.sin xB. 1x e -C.1cos x -D.ln(1)x +2、函数()f x 在点0x 可导是函数()f x 在点0x 可微的（ ）A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 无关条件3、函数()1ln 1y x =-的定义域是（ ） A. 1x < B. 1x ≤ C. 0x ≠ D. 1,0x x <≠且4、已知0()f x A '=，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆ （ ） A. A B. 2A C. 3A D. A -5、函数()sin x f x x=,间断点0x =的类型是（ ） A.可去间断点 B.跳跃间断点C.无穷间断点D.震荡间断点6、下列结论中，错误的是（ ）A .无界数列必发散B .函数的驻点未必是函数的极值点C .有界数列必收敛D .若函数在其极值点可导，则该点是函数的驻点二、填空题（每题3分）1、若函数()121, 0(), 0x x x f x a x x ⎧⎪->=⎨⎪+≤⎩ 在点0x =连续，则常数a =2、函数32()231f x x x =--在[]1,2-上的最大值为3、曲线2xy e =在(0,1)处的切线方程为4、曲线x y xe -=的拐点为5、已知函数ln y x =的n 阶导数()n y =6、函数2sin y x x =+的微分dy =7、某商品的成本C 为产量Q 的函数2150C Q =+，则价格10Q =时的边际成本为三、计算题（每题8分） 1. 0lim sin x xx e e x-→- 2. 0lim xx x +→ 3.212lim 11x x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 4. 参数方程2ln x t t y t⎧=+⎨=⎩确定函数()y y x =，求dy dx01()y x dy e xy x y y x dx =-=+=或 方程确定隐函数，求5. 求复合函数1lnsiny x =的导数 6. 利用夹逼准则求2lim n n →∞⎛⎫+++ 四、应用题（每题9分）设生产某商品的总成本为2()1000050()C x x x x =++为产量，问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？五、证明题（每题10分）证明：1012x x >+>时，。
高数(下)模拟题答案
高数（下）试题（一）解答一、1．0；2．1a b ⋅= 、3πθ=；3．1x >；4．/2xy y =；5．10m =；6．(,)cos cos df x y y xydx x xydy =+；7．13x ≤<；8．312()x y c c x e -=+； 二、 B ；A ；B ；A ；A ；C ；A ；D ；A ；C ； 三、解：所求平面法向量为：11122111i jkn i j ==-+-故所求平面方程为：(1)(1)00x y x y ---=⇒-=． 四、解：两边对x 求偏导得：(1)zz z z z yz yz e yz xy x x x xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--； 两边对y 求偏导得：(1)zz z z z xz xz e xz xy y y y xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--． 五、解：222222222244164(4)(4)Dx y x y x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤≤+≤+-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224220224442202(4)(4)2(2)2(2)8647244d r rdr d r rdrr r r r ππθθπππππ=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰六、解：因为1(1)nn n a ∞=-∑发散，若lim 0n n a →∞=，则由交错级数可知，必有1(1)n n n a ∞=-∑收敛；故lim 0n n a →∞≠，由于0n a ≥，lim 0n n a →∞∴>，1lim lim11n n n n n u a →∞→∞∴=<+； 故级数11()1nn n a ∞=+∑收敛． 七、解：1(1)n a n n =+ ，1(1)lim lim1(1)(2)n n n na n n a n n +→∞→∞+==++，1;1R ρ∴== 又1x =±时，级数收敛，故收敛区间为[1,1]-；记12111()()()(1)1n n nn n n x x x S x S x S x n n n n ∞∞∞=====-=-++∑∑∑，则有： 1111'(),(11)1n n S x x x x ∞-===-<<-∑，10()ln(1)1xdxS x x x ∴==---⎰；又2211()(())',(11)11n n n n x xxS x xS x x x n x ∞∞===⇒==-<<+-∑∑ 20()ln(1)1xxdx xS x x x x ∴==----⎰，2ln(1)0,()1x x S x x -∴≠=--； ln(1)1ln(1),0()0,0x x x S x xx -⎧+--≠⎪∴=⎨⎪=⎩，又11,lim lim(1)11n n n x S S n →∞→∞===-=+． 八、解：设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，222()2hr R +=，又体积为2V r h π=；则拉格朗日函数为2222(,)()4h L r h r h R r πλ=+--，令2222220102()02Lrh r r Lr h h L h R r πλπλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩，解得2222,336h R r h R === 由实际问题可知，这样求得的h ，r 可使得圆柱体的体积最大．模拟试题（二）解答一、1．极小值；2．220(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dy ππππ-+⎰⎰⎰⎰；3．90；4．4；5．3(1)e e π-；6．1q >； 二、C ；B ；D ；A ；B ；D ；B ；三、解：因为(3)(75)0(1)(4)(72)0(2)a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎨-⋅-=⎩由(1)得22716150(3)a a b b +⋅-= ；由(2)得2273080(4)a a b b -⋅+= ；由(3),(4)得22b a b =⋅ 且有22b b = ，1cos 2a b a b θ⋅∴==⋅，3πθ=．四、解：设曲线方程为，设00(,)x y 为其上任一点，则切线方程为：'00()()y y f x x x -=-，切线必过原点，则有'000()y f x x -=-⋅；故曲线满足的微分方程为：dy y dy dx y cx dx x y x =⇒=⇒=； 又曲线过点1(2,1)22xc y ⇒=⇒=．五、证明：设,,u tx v ty w tz ===，两边对t 求导得：1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂ 两边乘以t 得：(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w∂∂∂++=∂∂∂ 即 (,,)f f f u v w k f u v w u v w ∂∂∂++=∂∂∂，(,,)f f f x y z kf x y z x y z∂∂∂∴++=∂∂∂． 六、21n n a ∞=∑ 收敛，而211n n ∞=∑收敛，2211()n n a n ∞=+∑收敛；又2212n n a a n n +≥⋅，由比较判别法可知1n n a n∞=∑绝对收敛．七、432dx x y ay y =+为一阶线性微分方程，先求3dx x ay y = 33dx dy x cy x y =⇒=，令3'32()()3()dx x c y y c y y c y y dy=⋅⇒=⋅+； 代入原方程得：'342()2()c y y y c y y c ⋅=⇒=+．故原方程的通解为：2353()x y c y y cy =+⋅=+；又53(0)20224y c c =⇒=+⋅⇒=-，即求得特解为534x y y =-．八、解：切向量为2{1,2,3}t t 垂直于{1,2,1}，则有211430,13t t t t ++=⇒=-=-，故所求之点为(1,1,1)--和111(,,)3927--． 九、解：过点(1,1,1)作垂直于平面1x y z ++=的直线方程得：111111x y z ---==； 用参数表示成：1;1;1x t y t z t =+=+=+，则此直线与平面的交点即为所求：2(1)(11)(1)13t t t +++++=⇒=-，投影坐标为：111(,,)333．十、解：特征方程为312300,1r r r r ⋅-=⇒==±，方程的通解为123xx c c ec e -++； 又"(0)0,'(0)2,(0)0y y y ===，由此可解出10c =，21c =-，31c =； 故满足要求的积分曲线为：x x y e e -=-+．模拟试题（三）解答一、1．76；2．2'3ln 3sin 1'sin 3xy y z F z x xz yz y F xy yz z ∂--=-=∂+；3．12S u -；4．(3,2)-，(1,0)； 5．3；6．32；7．12cos sin y C x C x =+；8．3322dx dy +；9．4(1)e π-； 二、 C ；A ；D ；A ；C ；C ；C ；C ；C ；三、解：222()cos sin 111ax axax du u u dy u dz y z e e ae a x x dx x y dx z dx a a a αααααα-=+⋅+=+⋅++++．四、解：0!n xn x e n ∞==∑，121!x n n e x x n -∞=-∴=∑，111()(1)!x n n d e nx dx x n -∞=-∴=+∑； 又因为211()x x x d e xe e dx x x --+=，所以12111()(1)!x n x x n d e nx xe e dx x n x -∞=--+∴==+∑ 当取1x =时，111(1)!1n n e e n ∞=-+==+∑． 五、解：因为22(3412288)169x y z d ++-=设2222(,,,)(3412288)(1)96x F x y z x y z y z λλ=+--+++-，则有22216(3412288)0488(3412288)204(3412288)201096xy z F x y z x F x y z y F x y z z x F y z λλλλ⎧=++-+=⎪⎪=++-+=⎪⎨=++-+=⎪⎪=++-=⎪⎩，解得：72,3,16x y y z λ===± 得点的坐标为13(9,,)88和13(9,,)88---把点13(9,,)88和13(9,,)88---代入距离公式得：121232013,,13d d d d ==<，故最近点为13(9,,)88，最远点为13(9,,)88---．六、解：22(1)01(1)!lim1(1)n n n n n+→+++ 七、解：因为112231111()nn ii n n n i S a aa a a a a a a a +++==-=-+-++-=-∑故n S 单调递增，且有上界11a C -，所以n S 有极限，即原级数收敛．八、解：1．(2)()242240A B a b a b ab ba λλλλ⋅=++=+++=+=2λ∴=-2．6S A B =⨯=(2)()2226A B a b a b a b b a λλλ∴⨯=+⨯+=⨯+⨯=-=所以1λ=-或5λ=．九、1．04πθ≤≤，12r ≤≤；22440101sin cos r I d arctg rdr d rdrr ππθθθθθ∴==⎰⎰⎰⎰2222401()413342216464d rdr ππππθθ-==⋅==⎰⎰； 2．02πθ≤≤ ，01r ≤≤；1122220(1)(1)(1)(221)44I d ln r rdr ln r d r ln πππθ∴=+=++=-⎰⎰⎰．模拟试题（四）解答一、1．4a =-；2．32-；3．（1，－2，－3）；4．22x y -；5．[1,1]-；6．sin y x c =+； 7．220nn n a x ∞=∑；8．11001xI dx e dy e ==-⎰⎰；9．外积为零或a b λ= ；10．aR b =；二、 A ；A ；D ；B ；B ；C ；A ；C ；A ；C ；三、证明：'z f x ∂=∂ ，2"'zf x yϕ∂=⋅∂∂，''z f y ϕ∂=⋅∂，22"z f x ∂=∂； 222z z z z x x y y x∂∂∂∂∴⋅=⋅∂∂∂∂∂． 四、解：2211x x y y yyx I dy e dx ydy e dy==⎰⎰⎰⎰ 2111100111(1)(1)222y x yy y yyedy y e dy ye dy y e ==-=-=--=⎰⎰⎰．五、解：六、解：设方程为660x y z D +-+=，即166x y zD D D ++=-- 11,6666D DD D ⋅⋅=∴=±；故所求方程为660x y z D +-±=． 七、解：111222ABC S a b a c b c ∆=⨯=⨯=⨯即sin sin sin ab C ac B bc A ==；所以原式得证．八、解：1121(1)22n n n n a n a n ++⋅=→+⋅ ，2R ∴= 当2x =-时，11(2)2n n n n -∞=-⋅∑收敛；当2x =时，1122n nn n -∞=⋅∑发散 即收敛区间为[2,2]-；设11()2n n n x S x n -∞==⋅∑，则两边求积分得：012()2212nx n n xx x S x dx x x ∞====--∑⎰ 22(),22(2)S x x x ∴=-≤≤-．九、解：设cos ,sin x y θθ==，并且θ是从π变到0，得sin (sin )cos cos d d πθθθθθθπ--=⎰．模拟试题（五）解答一、1．22221x y a b+≤；2．5、103、2；3．(0,0)；4．/2xy y =；5．1-、2y ；6．332；7．(1,1,2)；8．4e ；9．221x ce -+；10．0a b ⋅=二、 D ；C ；D ；C ；B ；A ；B 或C ；A ；D ；C ； 三、解：210sin sin x x Dxx ds dx dy x x=⎰⎰⎰⎰112001100sin ()(1)sin 1(1)cos (1)cos cos 01sin1xx x dx x xdxxx d x x x xdx =-=-=-=--=-⎰⎰⎰⎰四、解：因为22(,)xy z f x y e =-121222xy xy zf x f ye xf ye f x ∂=⋅+⋅=+∂ 21112221222[(2)]()[(2)]xy xy xy xy xy zx f y f xe e xye f ye f y f xe x y∂=⋅-+⋅+++⋅-+⋅∂∂ 222111222242()(1)xy xy xy xyf e x y f e xy f xye f =-+-+++．五、解：因为(1)n a n n =+，1(1)(2)limlim 1(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==+，1;1R ρ∴==又1x =±时，级数发散，故收敛区间为(1,1)-； 记11(1)()n n n n xs x ∞-=+=∑，两边积分得，01(1)()xn n n x s x dx ∞=+=∑⎰211()1xx n n x s x dxdx xx∞+===-∑⎰⎰，2//323()()1(1)x x s x x x -==-- 故31(23)(1)()(1)nn x x n n xxs x x ∞=-+==-∑．六、解：因为2222(26);6(26)6x y z d d x y z +--==+--设2222(,,,)(26)(21)F x y z x y z x y z λλ=+--+++-，则有2224(26)402(26)202(26)20210x y zF x y z x F x y z y F x y z z F x y z λλλλ=+--+=⎧⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪=++-=⎩，解得：12x y z ==-=± 把点(1/2,1/2,-1/2)和(-1/2,-1/2,1/2)代入距离公式得：122646,33d d ==，故最近点为(1/2,1/2,-1/2)，最远点为(-1/2,-1/2,1/2)． 七、/24621(arctan )11x x x x x==-+-++3572460arctan (1)357xx x x x x x x dx x =-+-+=-+-+⎰当1x =时，111arctan11357=-+-+1(1)111arctan111213574n n n π∞=-∴=-+-+=-=-+∑ ．八、解：直线的方向向量为：1443215ij kl i j k =-=-----方程为325431x y z +--==．。
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6
7.设函数
z
xy 2
ex
,
x
t
2
,
y
et
,
则
dz dt
t0
8.设方程 x sin y y2 xy 0 确定了隐函数 y
f
(
x),
则
dy dx
x0
9.曲线 x t, y t2 , z t3, 在 t 1处的切线方程为
10.二元函数 z x2 y2 的极值点为
n 2
11.级数
n1
D
8. 已知某种产品的产量 P 与所用两种原料 I、II 的数量 x 、 y 之间的关系为
P(x, y) 0.008xy2 ，
现欲用 300 元购料，已知原料 I、II 的单价分别为 4 元、2 元，问两种原料各购多少可使产量 P 最大？
9. 4 dx .
1 1 x
10. 求幂级数
(1)n1 x n 的收敛域．
（A）．-1；
（B）． (1,1) ；
（C）． (1,1) ； （D）． (0,0) ．
13.极限 lim x y （ ）
x1 y1
x
y
（A）．0； （B）．1；
（C）．2；
（D）．3．
14.设 D : x 2 y 2 1 ，则二重积分 D
x2 y2 dxdy
（
）
（A）．
4 3
；
（B）．
收敛半径是（
）
（A）．0；
（B）．1；
（C）．2；
（D）．3．
22．设 f '(x) 在[1, 2]上可积，且 f (1) 2, f (2) 1， 2 f ( x)dx 1， 1 则 2 xf (x)dx （ ） 1
A 2 B 1 C 0 D -1
23.
设 x2 y2 2x ，则 dy dx
（B）． C1e x C2e2x ；
（C）． C1e x C2e x ； 6.设 z x 2 y 2 ，则 dz (1,1) (
（D）． C1e x C2ex ．
)．
（A）．4； （B）． dx dy ； （C）． 2dx 2dy ；
（D）． 3dx 3dy ．
7. 函数 f (x, y) 在点 (x, y) 处可微是 f (x, y) 在点 (x, y) 处偏导数存在的
（D）．条件收敛．
（A）．
y
1 y
,x
x y2
；
（B）．
y
1,x y
x y2
；
（C）．
y
1 y
,x
x y2
；
（D）．
x
x y2
,
Hale Waihona Puke y1 y．
20.
f
(x,
y)
x2
y
xy 2
在点(0,0)的二阶偏导数
2 f x 2
（
）
（A）．4； （B）．3； （C）．2；
（D）．0．
21.
幂级数
n0
1 n 1
xn
(1,1)
（
）.
A．0； B．1； C．2； D．3．
24. 函数 f (x, y) 在点 (x, y) 处连续是 f (x, y) 在点 (x, y) 处可微的
条件.
（A）．充分；
（B）．必要；
（C）．充要；
（D）．无关．
25.
将二重积分交换积分次序:
1 0
dy
y y2
f (x, y)dx (
（1） f (x, y) x3 4x2 2xy y2 ； （2） f ( x, y) x3 y3 3x2 3y 2 9x 1 ；
（3） f (x, y) x2 5 y2 6x 10 y 6 .
7. 计算 I= x2 y 2 d ，其中区域 D 为 D {(x, y)1 x2 y 2 4}.
（A）．变量可分离的微分方程； （C）．一阶线性非齐次微分方程；
（B）．一阶线性齐次微分方程； （D）．二阶微分方程．
11.方程 y 2xy ，满足的 x=0, y=1 的特解为（ ）
（A）． y e x ；
（B）． y 2e x ；
（C）． y Ce x ；
（D）． y 1．
12.下列点中（ ）是函数 f (x, y) x 2 2x y 2 2 y 的驻点.
条件.
（A）．充分； （C）．充要；
8.函数 e ln xdx （ ） 1
（B）．必要； （D）．无关．
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1
（A）．e；
（B）．1； （C）．2；
9.
1
x 2 2x 2 dx (
)
（A）．π；
（B）．1；
（C）．2π；
（D）．3π．
（D）．2e．
10.方程 y 2xy e x 是（ ）
D
的标准形式为
.
16.设 L 为抛物线 y x2 上从 A(0, 0)到 B(1, 1)的一段，则曲线积分
( y x2 )ds
L
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.
4
17. 设 f (0) 1, f (1) 2, 1 f (x) d x 3, 则 1 xf (x)dx =
0
0
18.
设有级数 un
R(万元 )与电 台广告费 x (万 元 )、报 刊广告费 y (万 元 )的关 系为
R(x, y) 15 14x 32 y 8xy 2x2 10 y2 .
(1) 在 广 告 费 用 不 限 制 时 ， 求 最 佳 广 告 策 略 （ 即 销 售 收 入 最 大 ）；
(2) 若提供的广告费用为 2 万元时，求相应的最 佳 广 告 策 略 .
A2B1
C
1 3
D
2 3
3. 下列级数中，收敛的是（ ）．
（A）．
1
；
n1 n
（B）．
n1
1 n2
；
（C）．
n1
n
2 1
；
（D）．
n1
1 n 2
．
4.
积分
1 1
sin x 1 x2
dx
(
).
A0B1
C3D
2 3
5．微分方程 y 3y 2 y 0 的通解为 y （ ）．
（A）． C1e x e x ；
D
积分为：
.
Ñ 2.设曲线 L 为正向圆周 x2 y2 1，计算曲线积分
(x2 y2 )ds
L
3.幂级数 1 xn 的收敛半径为 n1 n
4.定积分 1 1 x2 dx 0
5.微分方程 y 3y 2 0 的通解为
6.已知函数 f (x, y) x sin y y2 ，则 f (2, )
2 3
；
（C）． ；
（D）． 0 ．
15.幂级数 (n 1)xn 收敛区间是（ ） n0
（A）．(-1, 1)；
1 16.函数 1
x
（
（B）．(0, 1)； ）
（C）．[0, 1]；
（D）．[0, 1)．
（A）． (1)n x n ； n0
（B）． xn ； n0
（C）． (1)n x n ； n1
2.计算定积分 1 x(1 x)4dx 。 0
3.求微分方程 y e2x y 满足初始条件 y x0 0 的特解。
4.计算二重积分 (x y)dxdy ，其中 D 是由 y x, x 2, y 0 所围的闭区域。
D
5.将函数
f
(x)
1 3
x
展开成
x
的幂级数，并写出收敛域。
6.求下列函数的极值。
)
A.
1 0
dy
y y2
f (x, y)dx.
B.
1 0
dx
y y2
f (x, y)dy.
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3
C. 1 dx x f (x, y)dy D. 1 dy x f (x, y)dx
0
x
0
x
二、填空题
1.将二重积分 f (x, y)dxdy ，其中 D :1 x2 y2 4, 第一象限中的区域，化成极坐标系下的二重
n1
n
11. 设某公司生产甲、乙两种产品，产量分别是 x （千件）和 y （千件），利润函数为
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5
L(x, y) 6x x2 16 y 4 y2 2 （万元）
已知生产这两种产品时，每千件产品消耗某种原料 2000 千克。现有该原料 12000 千克，问两种产品各 生产多少千件时，总利润最大？最大利润是多少？
2n
的敛散性为
（填写收敛或发散）
12. 级数
n1
(1)n1
n 1 n
的敛散性为
（填写收敛或发散）
13.设函数 z u 2v uv2 , u xy, v x y ，则
z x
(1,1)
，
z y
(1,1)
.
14.级数
n0
1 2
n
.
15.二重积分 f (x, y)d , 其中 D 是由曲线 y x, x y 2, x 轴围成，将积分区域 D 写成 Y 型区域
n1
，已知
lim
n
un
1, 则级数 un
n1
. （填写收敛或发散）.
19.
幂级数
n0
1 n!
xn
的收敛域为
.
20.已知某微分方程的通解为 x Cey 2( y 1) ，则满足 y x0 0 的特解为