连续时间系统
连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
连续时间系统
N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足
h ( n ) (t ) an 1h ( n 1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m ) (t ) bm 1 ( m 1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
[解] y f (t ) f (t ) h(t )
f ( ) h(t )d
= 3u ( ) 2e 3(t )u (t )d
t 3 2e-3(t - ) d = 0 0 2(1 e 3t ) = 0
试求系统的冲激响应。 解：当f (t)=(t)时, y(t)=h(t), 即
dh(t ) 6h(t ) 2 (t ) 3 ' (t ) dt
动态方程式的特征根s= 6, 且n=m, 故h(t)的形式为
h(t ) Ae 6 tu (t ) B (t )
d [ Ae 6t u (t ) B (t )] + 6[ Ae 6t u (t ) B (t )] 2 (t ) 3 ' (t ) dt h(t ) 3 (t ) 16e 6 tu (t ) 解得A= 16, B =3
yh (t ) e1t ( K1 cos 1t K1 sin 1t ) e it ( Ki cos it Ki sin it )
常用激励信号对应的特解形式
输入信号 K Kt Ke-at(特征根 sa) Ke-at(特征根 s=a) Ksin0t 或 Kcos0t Ke-atsin0t 或 Ke-atcos0t
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
连续时间系统的时分析
连续时间系统的时分析连续时间系统的时分析是研究连续时间系统中信号在时间上的属性和特征的重要方法。
时分析的主要目的是深入理解信号在时间上的演化规律，以揭示系统的动态行为和性能。
时分析在多个领域都有广泛的应用，如信号处理、通信、控制系统等。
通过时分析，我们可以了解信号的频率成分、时域分布、瞬态特性、周期性等属性，从而为系统设计、故障诊断和优化提供重要的依据。
本文将介绍连续时间系统的时分析的重要性和背景，并讨论一些常用的时分析方法和工具。
通过深入研究和应用时分析，我们可以更好地理解和利用连续时间系统的动态行为，从而提高系统的性能和可靠性。
连续时间系统的定义连续时间系统是一种在时间上连续变化的系统。
它以无限多个时刻为基础，对连续时间内的输入信号进行分析和处理。
与离散时间系统相比，连续时间系统具有自变量和因变量均为连续的特点。
连续时间系统的概念和特点连续时间系统可以通过微分方程或差分方程来描述其动态行为。
连续时间系统可以是线性系统或非线性系统，可以是时变系统或时不变系统。
连续时间系统的特点之一是其输入和输出信号均是连续的，因此它能够处理包含连续时间范围内的信号。
这使得连续时间系统在模拟电路、控制系统和信号处理领域中得到广泛应用。
另一个特点是连续时间系统具有无限多个输入和输出值。
通过对连续时间内的输入信号进行积分运算，连续时间系统能够生成连续时间内的输出信号。
这使得连续时间系统能够对信号进行连续的分析和处理。
时分析是对连续时间系统进行的一种分析方法。
它通过研究连续时间系统在时域上的行为来理解系统的动态特性和性能。
在时分析中，我们研究系统对不同输入信号的响应情况，包括系统的稳态响应和暂态响应。
通过时分析，我们可以了解系统对不同输入信号的滤波特性、传递函数和频率响应等重要性能指标。
时分析可以通过使用微分方程、拉普拉斯变换或傅里叶变换等数学工具来进行。
这些工具可以帮助我们理解系统对不同输入信号的响应，并从中得出有关系统稳定性、阶数、传输速度等信息。
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
信号与系统ch6
转移阻抗
Z 21 t ( s )
U 2 (s) I1 (s)
转移导纳
Y 21 t ( s )
I 2 (s) U 1 (s)
电压传输系数 电流传输系数
T u 21 ( s )
T i 21 ( s )
U 2 (s) U 1 (s)
I 2 (s) I1 (s)
3.系统函数表示系统激励与响应之间的因果关系
H i (s) (s a) 0
2
a j 0
at
ω0
-ω0 σ
hi ( t ) e
Cos 0 t
－a 0 ×
(二) 极点在虚轴上 1． 在原点 p a 0
i
——减幅的余弦振荡
H i (s)
1 s
hi (t ) (t )
2． 不在原点上
N (s) 0
a n s a n 1 s
N (s)
z1 的根： , z 2 , , z m称为函数 H ( s ) 的零点，使 H ( s ) 0
极零图：把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就 成为极点零点分布图，简称极零图。 ( s 2 )( s 4 ) H (s) 例
令 复因式 ( j z i ) 矢量 j 与 z i 之差＝ z i点至 j 的矢量 ＝ B i e j i ( A k , B i 模 ) 令 j k （差矢量） ( k , i 辐角 ) ( j p k ) 矢量 j 与 p k 之差＝ p k 点至 j 的矢量 ＝ A k e
0 : B 1 0 , Z 0 , 1 2 0 , ( ) 90 : A1 , A 2 , B1 , Z 0 , 1 2 180 , ( ) 90 0 : Z 最大值 , 90 , ( ) 0 （谐振）
信号与系统重点总结
信号与系统重点总结一、信号的分类与特征1.根据信号的时间性质划分，可分为连续时间信号和离散时间信号。
连续时间信号在时间上连续变化，离散时间信号在时间上以离散的形式存在。
2.根据信号的取值范围划分，可分为有限长信号和无限长信号。
有限长信号在一定时间段内有非零值，无限长信号在时间上无边界。
3.根据信号的周期性划分，可分为周期信号和非周期信号。
周期信号在一定时间内以固定的周期重复出现，非周期信号没有固定的周期性。
4.根据信号的能量和功率划分，可分为能量信号和功率信号。
能量信号能量有限且为有限幅，功率信号在无穷时间上的平均能量有限。
二、连续时间信号的表示与处理1.连续时间信号的表示可以使用函数形式：s(t)，其中t为连续变量，s(t)为连续时间信号的幅值。
2.连续时间信号的处理包括时域分析和频域分析。
时域分析主要研究信号的幅值和时间关系，频域分析主要研究信号的频率和振幅关系。
3.连续时间信号可以通过不同的运算方式进行处理，如时域卷积、频域卷积、微分和积分等操作，以实现信号的滤波、平滑和增强等功能。
三、离散时间信号的表示与处理1.离散时间信号的表示可以使用序列形式：x[n]，其中n为整数变量，x[n]为离散时间信号的幅值。
2.离散时间信号的处理包括时域分析和频域分析。
时域分析主要研究信号的幅值和时间关系，在离散时间上进行运算，频域分析主要研究信号的频率和振幅关系，在离散频率上进行运算。
3.离散时间信号可以通过不同的运算方式进行处理，如时域卷积、频域卷积、差分和累加等操作，以实现信号的滤波、平滑和增强等功能。
四、连续时间系统的特性与分析1.连续时间系统可以通过输入信号和输出信号之间的关系来描述。
输入信号经系统处理后，输出信号的幅值和时间关系可以通过系统的传递函数来表示。
2.系统的特性包括因果性、稳定性、线性性和时不变性等。
因果性要求系统的输出只能依赖于过去的输入，稳定性要求系统的输出有界，线性性要求系统满足叠加原理，时不变性要求系统的特性不随时间变化。
连续时间系统的时域分析
四．求解系统微分方程旳经典法
分析系统旳措施：列写方程，求解方程。
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
解方程零输入零 零响状 输应态 入和::利可零用利状卷用态积经响积典应分法法求求解解
变换域法
求解方程时域经典法就是：齐次解 + 特解。
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
a ic
vt
b
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d iS t
dt
这是一种代表RLC并联电路系统旳二阶微分方程。
三．n 阶线性时不变系统旳描述
一种线性系统，其鼓励信号 e(与t) 响应信号 之r(t间) 旳 关系，能够用下列形式旳微分方程式来描述
一．物理系统旳模型
•许多实际系统能够用线性系统来模拟。 •若系统旳参数不随时间而变化，则该系统能够用 线性常系数微分方程来描述。
二．微分方程旳列写
•根据实际系统旳物理特征列写系统旳微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特征约束和网络拓扑 约束列写系统旳微分方程。
元件特征约束：表征元件特征旳关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自旳电压与电流旳关系以及四 端元件互感旳初、次级电压与电流旳关系等等。
第二章 连续时间系统旳时域分析 §2.1 引言
系统数学模型旳时域表达
时域分析措施:不涉及任何变换，直接求解系统旳 微分、积分方程式，这种措施比较直观，物理概念比 较清楚，是学习多种变换域措施旳基础。
输入输出描述 : 一元 N 阶微分方程 状态变量描述 : N 元一阶微分方程
本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。
信号与系统中的连续时间系统分析
信号与系统中的连续时间系统分析信号与系统是电子工程、自动控制等领域重要的基础学科，与我们日常生活息息相关。
在信号与系统中，连续时间系统分析是其中的重要内容之一。
本文将着重介绍连续时间系统分析的基本概念、方法和应用。
一、连续时间系统的概念连续时间系统是指信号的取样频率大于或等于连续时间信号的变化频率，信号在任意时间均有定义并连续可取值。
连续时间系统包括线性系统和非线性系统两种，其中线性系统是一类常见且具有重要意义的系统。
二、连续时间系统的表示连续时间系统可以通过微分方程或差分方程来表示，其中微分方程常用于描述线性时不变系统，而差分方程常用于描述线性时变系统。
在实际应用中，可以通过拉普拉斯变换或傅里叶变换对连续时间系统进行分析和求解。
三、连续时间系统的性质连续时间系统具有多种性质，包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等。
其中线性性是指系统对输入信号的响应是可叠加的，时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的推移而改变。
四、连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析是通过傅里叶变换来实现的，可以将时域中的信号转换为频域中的频谱。
通过频域分析，我们可以获得系统的幅频特性和相频特性，进一步了解系统对不同频率信号的响应。
五、连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析是通过微分方程或差分方程来实现的，可以确定系统的时域特性。
通过时域分析，我们可以获得系统的阶数、单位阶跃响应、单位冲激响应等关键信息。
六、连续时间系统的应用连续时间系统的分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制、解调、编码、解码等处理，这些过程都需要借助连续时间系统的分析方法。
此外，连续时间系统的分析也在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着重要的应用。
结语：连续时间系统分析是信号与系统学科中的重要内容，具有广泛的理论基础和实际应用。
通过深入学习连续时间系统的概念、表示、性质、频域分析、时域分析和应用，我们可以更好地理解和掌握信号与系统的基本原理和方法，为相关领域的研究和应用提供理论指导和技术支持。
第六章连续时间系统的系统函数
I (s) LS Li(0)
LS
i(0)
I (s)
s
u(t) u(t) L di(t) dt
U (s)
U (s)
SL — —电感元件的复频域阻抗
U[s] LsI (s) Li(0)
例1：如图示电路已处稳态，t 0时开关k由“1”到“2”，
试求输出电压u0(t)的零输入响应u0zi(t)，零状态响应u0zs(t)
yx(t)满足的微分方程为
y"x
(t
)
5
y
' x
(t
)
6
y
x
(t
)
0
yx(t)的初始条件yx(0-)=y(0-)、yx’(0-)=y′(0-)。
yf(t)满足的微分方程为
y"x (t) 5y'f (t) 6y f (t) 3 f '(t) f (t)
由于f(t)为因果信号，所以f(0-)=0，yf(0-)=y′f(0-)=0。
y a1 y a0 y b1x b0 x
引入一辅助函数q, 使q满足方程（1） q a1q a0q x (1)
则y满足（2）式 y b1q b0q
X q q
b1
q
b2
将(1)、(2)代入原 方程即可证明
y
a1
a0
以上讨论的框图是直接 根据系统的微分方程或 系统函数作出的，一般 称为直接模拟框图。
2s
6
3V
s 2
U 0(s)
1
2s
6
S 3V
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s1 1 2 j，s2 1 2 j
t yx (t ) e （ K1 cos 2t K 2 sin 2t )
解得 K1=1，K2=2
yx (t ) et (cos 2t 2 sin 2t ), t 0
1 t e 3
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则系 统的完全响应y(t) =？ 2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 则系 统的完全响应y(t)=？
经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
yx (t ) K1e —2t K 2e —3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1=6，K2=5
yx (t ) 6e
—2t
5e
—3t
,t 0
例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为 系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)= 1，求系统的 零输入响应yx(t)。 [解] 系统的特征方程为 系统的特征根为 y(0)=yx(0)=K1=1;
特解 A A+Bt Ae-at Ate-at Asin0t+ Bcos0t Ae-atsin0t+ Be-atcos0t
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y ' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=et u(t)，求系统 的完全响应y(t)。 解
•求解齐次微分方程得到零输入响应 •利用卷积积分可求出零状态响应
一、 经典时域分析方法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次 解yh(t)和特解yp(t)组成
y(t ) yh (t ) y p (t )
齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
连续时间LTI系统的响应
• 经典时域分析方法 • 卷积法
•
•
零输入响应求解 零状态响应求解
系统响应求解方法
1. 经典时域分析方法: 2.卷积法:
求解微分方程
系统完全响应=零输入响应+零状态响应
y(t ) yx (t ) y f (t ) y x (t ) f (t ) * h(t )
y(t ) yh (t ) y p (t ) Ae
2t
Be
4t
1 y(0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y' (0) 2 A 4 B 2 3 5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
yh (t ) e1t ( K1 cos 1t K1 sin 1t ) e it ( Ki cos it Ki sin it )
常用激励信号对应的特解形式
输入信号 K Kt Ke-at(特征根 sa) Ke-at(特征根 s=a) Ksin0t 或 Kcos0t Ke-atsin0t 或 Ke-atcos0t
yx (t ) e2t 5te 2t , t 0
例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为
d2y dy d f 2 5 y(t ) 4 3 f (t ) 2 dt dt dt
系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输 入响应yx(t)。
• [解] 系统的特征方程为 系统的特征根为 y(0)=yx(0)=K1=1 y' (0)= y'x(0)= K1+2K2 =3
(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
特征方程为 特征根为 齐次解yh(t)
yh (t ) K1e —2t K 2e —3t来自s 2 6s 8 0
s1 2，s2 4
2) 求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 由输入f (t)的形式，设方程的特解为 yp(t)=Ce-t 将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。 3) 求方程的全解
二 卷积法
系统完全响应=零输入响应+零状态响应 1. 系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y (t ) an1 y
( n)
( n 1)
(t ) a1 y (t ) a0 y(t ) 0
求解方法： •根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式， •再由初始条件确定待定系数。
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yh (t ) K1e s1t K2e s2t Kne snt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn
yh (t ) K1e s t K 2te s t K nt n1e s t
(3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
s 2 4s 4 0
d2y dy d f 4 4 y(t ) 2 3 f (t ) 2 dt dt dt
s1 s2 2
（两相等实根）
yx (t ) K1e —2t K 2te —2t
y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =3
解得 K1 =1, K2=5
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零 输入响应yx(t)。
[解]
d2y dy 5 6 y(t ) 4 f (t ) 2 dt dt
t0
系统的特征方程为 系统的特征根为
s 2 5s 6 0 s1 2，s2 3