二元一次方程组重点考点题型总结
第八章 二元一次方程组 类型总结
类型一：二元一次方程的概念及求解
例（1）．已知（a －2）x －by |a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．
（2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．
类型二：二元一次方程组的求解
例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2
互为相反数，则a ＝______，b ＝______．
（4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．
类型三：已知方程组的解，而求待定系数。
例（5）．已知⎩⎨⎧==1
2y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________．
（6）．若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6
)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组⎩
⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。
若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5
243y x by x a 有相同的解，则a= ，b= 。
类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。
设“比例系数”是解有关数量比的问题的
常用方法．
例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12
1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+63432
3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．
练习：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c = 。
由方程组⎩⎨⎧=+-=+-0
432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ）
A 、1∶2∶1
B 、1∶（－2）∶（－1）
C 、1∶（－2）∶1
D 、1∶2∶（－1） 说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解． 当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。
类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．
例（9）．若⎩⎨⎧-==20y x ，⎪⎩
⎪⎨⎧==311y x 都是关于x 、y 的方程|a|x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为
（10）．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是⎩⎨⎧-==11y x ，⎩
⎨⎧==12y x ，则这个二元一次方程是
练习：如果⎩⎨⎧=-=21y x 是方程组⎩
⎨⎧=-=+10cy bx by ax 的解，那么，下列各式中成立的是 （ ） A 、a ＋4c ＝2 B 、4a ＋c ＝2 C 、a ＋4c ＋2＝0 D 、4a ＋c ＋2＝0 类型六：方程组有解的情况。
（方程组有唯一解、无解或无数解的情况）
方程组⎩⎨⎧=+=+222
111c y b x a c y b x a 满足 条件时，有唯一解； 满足 条件时，有无数解；
满足 条件时，有无解。
例（11）．关于x 、y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=+=-2312y mx y x 没有解时，m （12）二元一次方程组23
x y m x ny -=⎧⎨
+=-⎩ 有无数解，则m= ，n= 。
类型七：解方程组 例（13）．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+．022
325232y x y y x （15）．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--．6)(2)(3152y x y x y x y x
类型八：解答题
例（17）．已知⎩⎨⎧=+-=-+0
254034z y x z y x ，xyz ≠0，求222
223y x z xy x +++的值．
（18）．甲、乙两人解方程组⎩⎨⎧=+-=-514by ax by x ，甲因看错a ，解得⎩⎨⎧==3
2y x ，乙将其中一个
方程的b 写成了它的相反数，解得⎩
⎨⎧-=-=21y x ，求a 、b 的值． （19）练习：甲、乙两人共同解方程组⎩⎨⎧-=-=+ ②
by x ①
y ax 24155,由于甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为⎩
⎨⎧-=-=13y x ；乙看错了方程②中的b ,得到方程组的解为⎩
⎨⎧==45y x 。
试计算20052004101⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a 的值.
（19）．已知满足方程2 x －3 y ＝m －4与3 x ＋4 y ＝m ＋5的x ，y 也满足方程2x ＋3y ＝3m －8，
求m 的值．
（20）．当x ＝1，3，－2时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值分别为2，0，20，求：
（1）a 、b 、c 的值； （2）当x ＝－2时，ax 2＋bx ＋c 的值．
类型九：列方程组解应用题
（21）．有一个三位整数，将左边的数字移到右边，则比原来的数小45；又知百位上的数的9倍比由十位上的数与个位上的数组成的两位数小3．求原来的数．
（22）．某人买了4 000元融资券，一种是一年期，年利率为9%，另一种是两年期，年利率是12%，分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少？
（23）．汽车从A 地开往B 地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达．但汽车以每小时40千米的速度行至离AB 中点还差40千米时发生故障，停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B 地．求AB 两地的距离及原计划行驶的时间．。
二元一次方程组知识点整理、典型例题总结
《二元一次方程组》一、知识点总结1、二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。
6、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.二、典型例题分析例1二元一次方程组437(1)3x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解x ，y 的值相等，求k ． 例2、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值. 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y .例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.例6、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例7：（1）用代入消元法解方程组：（2）、用加减法解二元一次方程组：三、跟踪训练知识点1:二元一次方程及其解1、下列各式是二元一次方程的是（ ）.2、若32x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ）3、二元一次方程27x y +=在正整数范围内的解有（ ）..A 无数个 .B 两个 .C 三个 .D 四个4、已知在方程352x y -=中，若用含有x 的代数式表示y ，则y = ，用含有y 的代数式表示x ，则x = 。
第五章二元一次方程(组)及其解法(解析版)
第五章二元一次方程组考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）考点类型二、用字母表示数考点类型三、二元一次方程（组）的解知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法考点类型二、消元法考点类型三、含参数类型考点类型四、整体思想、换元思想考点类型五、新定义风向知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）1．已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（）A ．,11m n ==-B ．1,1m n =-=C ．14,33m n ==-D ．14,33m n =-=【答案】A根据二元一次方程的定义，得出关于m ，n 的方程组，求出答案．【详解】∵关于x 、y 的方程x 2m﹣n ﹣2+y m +n +1＝6是二元一次方程，∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩．故选：A ．【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．2．若1335m n m x y --+=是二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（）A ．2m =，3n =B ．2m =，1n =C ．1m =-，2n =D ．3m =，4n =【答案】B【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程判断即可．【详解】解：∵1335m n m x y --+=是二元一次方程，∴m -1=1，3n -m =1，解得：m =2，n =1，故选：B ．此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．3．方程23235,3,3,320,6x y xy x x y z x y y -==+=-+=+=中是二元一次方程的有___个．【答案】1【分析】二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1．【详解】解：符合二元一次方程的定义的方程只有2x −3y ＝5；xy ＝3，x 2＋y ＝6的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义；x ＋3y＝1不是整式方程，不符合二元一次方程的定义；3x −y ＋2z ＝0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义；由上可知是二元一次方程的有1个．故答案为：1．【点睛】主要考查二元一次方程的概念．要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．4．如果2120a b x y -++=是二元一次方程，则a =____，b =_____．【答案】3【分析】根据二元一次方程的定义可知21a -=，11b +=，据此可解出a 、b .解：依题意，得：2111a b -=⎧⎨+=⎩，解得：30a b =⎧⎨=⎩.故答案为：3，0.【点睛】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解．5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．35233x y x z +=⎧⎨-=⎩B ．12163m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．56m n mn n +=⎧⎨+=⎩D ．321026x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】B【分析】本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．【详解】解：A ：含有三个未知数，不是；B ：符合条件，是；C ：mn 项的次数为2，不是；D ：存在不是整式的式子，不是．故选：B ．本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．6．下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩B ．43624x y y z +=⎧⎨+=⎩C ．41x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．22513x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成；根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、方程组141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；B 、方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；C 、该方程组是二元一次方程组，所以本选项符合题意；D 、方程组中第二个方程未知数x 、y 的次数是2，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，属于基础概念题型，熟知二元一次方程组的概念是关键．7．已知方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则（）A ．2m ≠±B ．3m =C ．3m =-D ．3m ≠【分析】二元一次方程组：由两个整式方程组成，两个方程一共含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义列方程或不等式，从而可得答案.【详解】解： 方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，203021m m m ⎧+≠⎪∴-≠⎨⎪-=⎩解得：233m m m ≠-⎧⎪≠⎨⎪=±⎩3.m ∴=-故选：.C 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键.考点类型二、用字母表示数8．由132x y -=可以得到用x 表示y 的式子为（）A ．223x y -=B ．223x y =-C ．2133x y =-D ．223x y =-【分析】先移项，后系数化为1，即可得．【详解】解：132x y -=移项，得123y x =-，系数化为1，得223x y =-，故选B ．【点睛】本题考查了方程的基本运算技能，解题的关键是熟练掌握方程的基本运算技能．9．在二元一次方程142653x y -=中，用含x 的代数式表示y ，则下面结论正确的是（）A ．20524xy -=B ．52024x y -=C ．52024x y +=D ．52024x y +=-【答案】B【分析】先把二元一次方程142653x y -=去分母得：52420x y -=，再通过移项合并同类项可得结果．【详解】解：由二元一次方程142653x y -=去分母，得：52420x y -=，移项合并同类项得：52024x y -=，系数化为1得：52024x y -=，故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤．10．把方程635x y -=改成用含x 的代数式表示y 为y =__________．【答案】2x -53【分析】把x 看作已知数求出y 即可．【详解】解：6x -3y =5，3y =6x -5，解得：y =2x -53故答案为：y =2x -53【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看作已知数求出y ．考点类型三、二元一次方程（组）的解11．已知14x y =-⎧⎨=⎩是方程mx ﹣y ＝3的解，则m 的值是（）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．7【答案】C【分析】把14xy=-⎧⎨=⎩代入mx﹣y＝3，得到关于m的方程，进而即可求解．【详解】解：14xy=-⎧⎨=⎩是方程mx﹣y＝3的解，∴-m﹣4＝3，解得：m=-7，故选C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键．12．如果方程组23759x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是方程716x my+=的一个解，则m的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：23759x yx y+=⎧⎨-=⎩①②{，①+②×3得：17x=34，即x=2，把x=2代入①得：y=1，把x=2，y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16，解得：m =2，故选：C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程解的概念，解出二元一次方程组的解代入另一个方程是解决此题的关键．13．二元一次方程210x y +=有______个解，有________个正整数解，它们是___________．【答案】无穷多412348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；【分析】将x 看做已知数求出y ，即可确定出正整数解的个数．【详解】解：由方程210x y +=，得到102y x =-，当x =1时，y =8；当x =2时，y =6；当x =3时，y =4；当x =4时，y =2．则正整数解有4个，故答案为：无穷多；4；12348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；．【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．14．若二元一次方程组51cx ay x y -=⎧⎨+=⎩和23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩解相同，则可通过解方程组（）求得这个解．A ．151cx ay x y -=⎧⎨+=⎩B ．51cx ay ax by -=⎧⎨+=⎩C ．23151x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】根据方程组同解，可知方程组的解同时满足四个方程，将两个已知方程组成方程组即可．【详解】解：∵二元一次方程组51cx ayx y-=⎧⎨+=⎩和23151x yax by-=⎧⎨+=⎩解相同，方程组的解同时满足这四个方程；∴解方程组23151x yx y-=⎧⎨+=⎩即可求出方程组的解，故选：C．【点睛】本题考查了方程组同解问题，解题关键是明确方程组的解的意义，把已知方程组成方程组．15．若关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则方程组(3)(1)4(3)(1)8a xb ya xb y+--=-⎧⎨++-=⎩的解是（）A．14xy=-⎧⎨=⎩B．23xy=⎧⎨=⎩C．14xy=⎧⎨=-⎩D．52xy=⎧⎨=⎩【答案】A 【分析】通过观察所给方程组的关系可得3213xy+=⎧⎨-=⎩，求出x、y即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，∴234 238a ba b-=-⎧⎨+=⎩，又∵(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩，∴3213x y +=⎧⎨-=⎩，解得14x y =-⎧⎨=⎩，∴方程组(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩的解为14x y =-⎧⎨=⎩，故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系．16．已知关于x 、y 的方程组242x y a x y a -=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 互为相反数，则a =__________．【答案】2【分析】直接①-②可得42x y a +=-，由题意可得0x y +=，进而可得420a -=，再解即可．【详解】242x y a x y a-=-⎧⎨-=⎩①②，①-②得：42x y a +=-，x y 、互为相反数，0x y ∴+=，420a∴-=，解得：2a=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件x＝−y．知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法17．用代入法解下列方程组：（1）3 759 y xx y=+⎧⎨+=⎩；（2）35 5215 s ts t-=⎧⎨+=⎩；（3）3416 5633 x yx y+=⎧⎨-=⎩；（4）4(1)3(1)2223x y yx y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩．【答案】（1）1252xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）25112011st⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）612xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）23xy=⎧⎨=⎩．【分析】根据代入法解二元一次方程组即可，代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数，代入消元法简称代入法．【详解】（1）3759y x x y =+⎧⎨+=⎩①②将①代入②得：75(3)9x x ++=，解得12x =-，将12x =-代入①得，52y =，∴原方程组的解为：1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）355215s t s t -=⎧⎨+=⎩①②由①得，35t s =-③，将③代入②得，52(35)15s s +-=，解得2511s =，将2511s =代入③，得，2011t =，∴原方程组的解为：25112011s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①得344y x =-③，将③代入②得，56(4)334x x 3--=，解得6x =，将6x =代入③，得，12y =-，∴原方程组的解为：612x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）4(1)3(1)2223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩①②由①得444332x y y --=--，即45y x =-③，由②可得3212x y +=④，将③代入④得32(45)12x x +-=，解得2x =，将2x =代入③，得，3y =，∴原方程组的解为：23x y =⎧⎨=⎩；【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组，掌握代入法是解题的关键．考点类型二、消元法18．用加减法解下列方程组：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩．【答案】（1）272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）50x y =⎧⎨=⎩；（3）9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【分析】（1）根据加减消元可直接进行求解方程组；（2）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（3）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（4）根据加减消元法可直接进行求解方程组．【详解】解：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①+②得：48x =，解得：2x =，把2x =代入①式得：229y +=，解得：72y =，∴原方程组的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×2-②得：735x =，解得：5x =，把5x =代入①得：55225y ⨯+=，解得：0y =，∴原方程组的解为50x y =⎧⎨=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×3-②×2得：1114=y ，解得：1411y =，把1411y =代入①得：1425811x +⨯=，解得：911x =；∴原方程组的解为9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①×2+②×3得：136x =，解得：613x =，把613x =代入①得：623613y ⨯+=，解得：2213y =，∴原方程组的解为6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．考点类型三、含参数类型19．甲、乙两人同解方程组515411ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②时，甲看错了方程①中的a ，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了②中的b ，解得54x y =⎧⎨=⎩，试求20202021()a b +-的值．【答案】0【分析】将31x y =-⎧⎨=-⎩代入第二个方程可得b 的值，将54x y =⎧⎨=⎩代入第一个方程得a 的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：将31x y =-⎧⎨=-⎩代入411x by -=-得：1211-+=-b ，解得1b =将54x y =⎧⎨=⎩代入方程组中的515ax y +=得：52015a +=，即1a =-20202021()ab ∴+-20202021(1)(1)110=-+-=-=．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．20．若关于x 、y 的二元一次方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩与方程组4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩有相同的解．求m 、n 的值．【答案】m =1，n =3【分析】根据题意列不含m 、n 的方程组求解，求出x ，y 值，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中即可解得m ，n ．【详解】解：解方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中得：21314m n m n +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．21．已知关于x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求代数式2a +b 的平方根．【答案】代数式2a +b 的平方根是±1．【分析】由已知解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，即可求解．【详解】解： 方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩与2331ax by ax by +=⎧⎨+=-⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①2⨯得，466x y -=③，②3⨯得，9633x y +=④，③+④得，3x =，将3x =代入①得，1y =，∴方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，2a b ∴+的平方根为±1．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质．考点类型四、整体思想、换元思想22．材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎨--=⎩时，可由①得1x y -=③，然后再将③代入②得415y ⨯-=，求得1y =-，从而进一步求得01x y =⎧⎨=-⎩这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组()()423324x y x y x y -=⎧⎨--=⎩【答案】7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】观察方程组的特点，把2x y -看作一个整体，得到322x y -=，将之代入②，进行消元，得到33422x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得76x =，进一步解得56y =，从而得解．【详解】解：()()423324x y x y x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②由①得322x y -=③，把③代入②得33422x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得76x =，把76x =代入③，得73262y ⨯-=，解得56y =，故原方程组的解为7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法．23．阅读材料在解方程组253 4115 x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，明明采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5，即2（2x +5y ）+y ＝5③；把方程①代入③得2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①，得x ＝4，∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组436 8718 x y x y -=⎧⎨-=⎩①②．【答案】36x y =-⎧⎨=-⎩【分析】将方程②变形为()24318x y y --＝，再将436x y -＝整体代入即可求方程组．【详解】解：4368718x yx y-=⎧⎨-=⎩①②中将②变形，得()24318x y y--＝③，将①代入③得，2×6﹣y＝18，∴y＝﹣6，将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3，∴方程组的解为36 xy=-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．24．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组23237432323832x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为743832m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解的6024mn=⎧⎨=-⎩，把6024mn=⎧⎨=-⎩代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得23602324x yx y+=⎧⎨-=-⎩解得914xy=⎧⎨=⎩所以，原方程组的解为914xy=⎧⎨=⎩．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）3 6101 610x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩；（2）52113213x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．【答案】（1）137x y =⎧⎨=-⎩；（2）1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．【详解】解：（1）令6x y m +=，10x y n -=，原方程组化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：137x y =⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．（2）令1m x =，1n y=，原方程组可化为：52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩，∴1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，经检验，1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是原方程的解．∴原方程组的解为1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．考点类型五、新定义风向25．在平面直角坐标系中，已知点(),A x y ，点()2,2B x my mx y --（其中m 为常数，且0m ≠），则称B 是点A 的“m 系置换点”．例如：点()1,2A 的“3系置换点”B 的坐标为()1232,2312-⨯⨯⨯⨯-，即()11,4B -．（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为________；（2）若点A 的“3系置换点”B 的坐标是(-4，11)，求点A 的坐标．（3）若点(),0A x （其中0x ≠），点A 的“m 系置换点”为点B ，且2AB OA =，求m 的值；【答案】（1）()28，；（2）()21，；（3）1m =±．【分析】（1）根据题中新定义直接将m 的值代入即可得出答案；（2）根据题中新定义列出关于x 、y 的二元一次方程组求解即可得出答案；（3）根据题中新定义可得出点B 的坐标，再根据2AB OA =列方程求解即可得出答案．【详解】解：（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为()22202220-⨯⨯⨯⨯-，，即()28，；（2）由题意得：2342311x y x y -⨯⨯=-⎧⎨⨯⨯-=⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩∴点A 的坐标为：()21，；（3） (),0A x ∴点()2,2B x my mx y --为()20,20x m mx -⨯-即点B 坐标为(),2x mx ∴2AB mx =，OA x= 2AB OA =22mx x∴= m 为常数，且0m ≠∴1m =±．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、绝对值方程，理解“m 系置换点”的定义并能运用是本题的关键．26．对x ，y 定义一种新的运算A ，规定：()()(),ax by x y A x y ay bx x y ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩（其中0ab ≠）．（1）若已知1a =，2b =-，则()4,3A =_________．（2）已知()1,13A =，()1,20A -=．求a ，b 的值；（3）在（2）问的基础上，若关于正数p 的不等式组()()3,21413,2A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩恰好有2个整数解，求m 的取值范围．【答案】（1）2-；（2）12a b =⎧⎨=⎩；（3）2618m -<-≤【分析】（1）根据新定义就是即可；（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值；（3）由（2）化简得A （x ，y ）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2，故答案为-2；（2）根据题中的新定义得：320a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩；（3）由（2）化简得：A （x ，y ）=()()22x y x y y x x y ⎧+≥⎪⎨+<⎪⎩，∴在关于正数p 的不等式组()()3214132A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩，，中，∴A （3p ，2p -1）=7p -2＞4，A （-1-3p ，-2p ）=-2p +2（-1-3p ）=-8p -2≥m ，∴p ＞67，p ≤m 28+-∵恰好有2个整数解，∴2个整数解为1，2．∴2≤m28+-＜3，∴-26＜m≤-18．【点睛】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组．。
二元一次方程组复习(带解析)
二元一次方程组复习一、知识要点 1、二元一次方程组的有关概念I ．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．II ．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．2、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要__________消元法．不要漏掉括号x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值．不要漏乘在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．二、典型例题考点一 ：二元一次方程概念与解法例1．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则2m －n= .例2．小明和小佳同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==227y x ，小华看错了n ，解得⎩⎨⎧-==73y x ，你能知道原方程组正确的解吗总结分析：灵活学会“方程解”概念解题.【巩固】已知方程组⎩⎨⎧-=--=+4652by ax y x 和方程组⎩⎨⎧-=+=-81653ay bx y x 的解相同，求2017)2(b a +的值.【变式】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+f by ex c by ax 的解为⎩⎨⎧==13y x ，你能求得关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++-=++-f y x b y x e c y x b y x a )()()()(的解吗★剖析总结★：灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程重新组合，换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【巩固2】.考点二：解决实际问题列方程(组)解应用题的一般步骤1、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、找：等量关系；4、列：用数学语言表达出来；5、解：解方程(组)；6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．7、答：完整写出答案(包括单位)．列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.列二元一次方程----解决实际问题类型：（1）方案问题：（2）行程问题;（3）工程问题;（4）数字问题;（5）年龄问题;（6）分配问题;（7）销售利润问题;（8）和差倍分问题; （9）几何问题; （10）表格或图示问题; （11）古代问题;（12）优化方案问题. 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题典例1 （2020·监利县期中）1400元奖金要分给22名获奖员工，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。
(完整版)二元一次方程组知识点及典型例题
二元一次方程组小结与复习一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法二、典例剖析题型一1．二元一次方程及方程组的概念。
二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。
练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C yx B x z x A练习2、若方程的值。
的二元一次方程，求、是关于）（n n mm y x y xm 43195=+--练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。
（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1） （2） （3）⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝题型三：代数式的变形 1、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝ ，当＝3时，＝ 。
二元一次方程组【四大题型】—2024年中考数学高频考点精讲(全国通用)(解析版)
二元一次方程组【四大题型】一、解二元一次方程组【高频考点精讲】1．用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； （2）将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；（4）将求得未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值； （5）把求得的x 、y 的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。
2．用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得x （或y ）的值；（4）将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值； （5）把求得的x 、y 的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。
【热点题型精练】1．（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x +y ＝4的解的是（ ） A ．{x =1y =2B ．{x =2y =0C ．{x =0.5y =3D ．{x =−2y =4解：A 、把x ＝1，y ＝2代入方程，左边＝2+2＝右边，所以是方程的解； B 、把x ＝2，y ＝0代入方程，左边＝右边＝4，所以是方程的解； C 、把x ＝0.5，y ＝3代入方程，左边＝4＝右边，所以是方程的解； D 、把x ＝﹣2，y ＝4代入方程，左边＝0≠右边，所以不是方程的解． 答案：D ．2．（2023•南通）若实数x ，y ，m 满足x +y +m ＝6，3x ﹣y +m ＝4，则代数式﹣2xy +1的值可以是（ ） A ．3B ．52C ．2D ．32解：由题意可得{x +y =6−m 3x −y =4−m，解得：{x =5−m 2y =7−m 2， 则﹣2xy +1＝﹣2×5−m 2×7−m2+1=−(5−m)(7−m)2+1 =−m 2−12m+352+1=−(m 2−12m+36)−12+1=−(m−6)22+32≤32，∵3＞52＞2＞32，∴A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意， 答案：D ．3．（2023•眉山）已知关于x ，y 的二元一次方程组{3x −y =4m +1x +y =2m −5的解满足x ﹣y ＝4，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵关于x 、y 的二元一次方程组为{3x −y =4m +1①x +y =2m −5②，①﹣②，得：2x ﹣2y ＝2m +6， ∴x ﹣y ＝m +3， ∵x ﹣y ＝4， ∴m +3＝4， ∴m ＝1． 答案：B ．4．（2022•株洲）对于二元一次方程组{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，消去y 可以得到（ ）A ．x +2x ﹣1＝7B ．x +2x ﹣2＝7C ．x +x ﹣1＝7D ．x +2x +2＝7解：{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，得x +2（x ﹣1）＝7， ∴x +2x ﹣2＝7， 答案：B ．5．（2022•雅安）已知{x =1y =2是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 ．解：把{x =1y =2代入ax +by ＝3得：a +2b ＝3，则原式＝2（a +2b ）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1． 答案：1．6．（2023•杭州二模）已知二元一次方程x +3y ＝14，请写出该方程的一组整数解 ． 解：x +3y ＝14， x ＝14﹣3y ， 当y ＝1时，x ＝11，则方程的一组整数解为{x =11y =1．答案：{x =11y =1（答案不唯一）．7．（2023•苏州一模）若一个二元一次方程的一个解为{x =2y =−1，则这个方程可能是 ．解：这个方程可能是：x +y ＝1，答案不唯一． 答案：x +y ＝1，答案不唯一． 8．（2023•连云港）解方程组{3x +y =8①2x −y =7②．解：{3x +y =8①2x −y =7②，①+②得：5x ＝15， 解得：x ＝3，将x ＝3代入①得：3×3+y ＝8， 解得：y ＝﹣1，故原方程组的解为：{x =3y =−1．二、由实际问题抽象出二元一次方程组【高频考点精讲】1．由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系；2．一般来说，有几个未知量就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相符。
七年级数学下册第八章二元一次方程组题型总结及解题方法(带答案)
七年级数学下册第八章二元一次方程组题型总结及解题方法单选题1、若关于x 、y 的二元一次方程组{ax +3y =74x +y =9 与{−x +5y =35x +by =8的解相同，则√a −b 的值为（ ） A ．1B ．±1C ．2D ．±2答案：C分析：先解方程组{−x +5y =34x +y =9，再把方程组的解代入ax +3y =7和5x +by =8，求出a 、b 的值，代入计算即可．解：∵关于x 、y 的二元一次方程组{ax +3y =74x +y =9 与{−x +5y =35x +by =8的解相同， ∴方程组{−x +5y =34x +y =9的解满足四个方程， 解方程组{−x +5y =34x +y =9得，{x =2y =1 ， 把{x =2y =1分别代入ax +3y =7和5x +by =8得， 2a +3=7，10+b =8，解得，a =2，b =−2；∴√a −b =√2+2=2，故C 正确．故选：C ．小提示：本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解和算术平方根，解题关键是明确同解方程的意义，熟练掌握解二元一次方程组的步骤．2、如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm ，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm ，则每块墙砖的截面面积是（ ）A ．600cm 2B ．900cm 2C ．1200cm 2D ．1500cm 2答案：B分析：设每块墙砖的长为x cm ，宽为y cm ，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可求出x ，y 的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积． 解：设每块墙砖的长为x cm ，宽为y cm ，由题意得：{2x −3y =302x −2y =50， 解得：{x =45y =20， ∴xy =45×20=900，∴每块墙砖的截面面积是900cm 2． 故选：B小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3、已知{x =2y =1是二元一次方程组{mx +ny =8nx − my =1的解，则2m −n 的算术平方根为（ ） A ．±2B ．√2C ．2D ．4答案：C分析：把x 与y 的值代入方程组求出m 与n 的值，即可求出所求．∵{x =2y =1是二元一次方程组{mx +ny =8nx − my =1的解， ∴{2m +n =82n −m =1， 解得{m =3n =2∴√2m −n =√2×3−2=√4=2即2m −n 的算术平方根为2故选C ．小提示：此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、方程x −y =−2与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为{x =2y =4，那么这个方程可以是（ ） A ．3x −4y =16B ．4x −y =−2C ．14x +y =0D ．2(x +y )=6x 答案：D分析：根据方程组的解的定义及二元一次方程组的定义求解．解：把方程组的解代入A ，左边=6−16=−10≠16，故不是A 的解；B 是分式方程，不是二元一次方程，故排除B ；把方程组的解代入C ，左边=12+4≠0，故不是C 的解；把方程组的解代入D ，左边=2（2+4）=12，右边=12，故是D 的解；故选：D ．小提示：本题考查了二元一次方程组的解，代入验证是解题的关键．5、如图，AB ⊥BC ，∠ABC 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x °，y °，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）．A ．{x +y =90x =y −15B ．{x +y =90x =2y +15C ．{x +y =90x =15−2yD ．{x +y =90x =2y −15答案：A分析：此题中的等量关系有：∠ABD +∠DBC =90°，∠ABC =2∠DBC −15° ，根据等量关系列出方程即可．设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x °，y °，则有{x +y =90x +y =2y −15整理得：{x +y =90x =y −15， 故选：A ．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．6、解方程组{2x +3y =5①x −2y =−1②时，经过下列步骤，能消去末知数y 的是（ ） A ．①×2−②×3B ．①×3−②×2C ．①×3+②×2D ．①×2+②×3答案：D分析：由消去未知数y ，可得方程组中y 的未知数系数化为绝对值相等，符号相反，①×2+②×3可消去y ． 解：∵消去未知数y ，解方程组{2x +3y =5①x −2y =−1②中y 的未知数系数化为绝对值相等，符号相反， ∴①×2+②×3可消去y ．故选：D小提示：本题考查二元一次方程组加减消元法，关键是化某一未知数系数化为绝对值相等，系数相同用减法，系数相反用加法．7、五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）A ．30B ．26C ．24D ．22答案：B分析：设1艘大船与1艘小船分别可载x 人，y 人，根据“1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人”和“2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人”这两个等量关系列方程组，解出（x +y ）即可．设1艘大船与1艘小船分别可载x 人，y 人，依题意：{x +2y =32①2x +y =46②（①+②）÷3得：x+y=26故选：B．小提示：本题考查二元一次方程组的实际应用；注意本题解出（x+y）的结果即可．8、利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cmB．74cmC．75cmD．76cm答案：D设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=79，由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=73，两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，解得：h=76cm．故选D．9、方程组{2x+y=33x−z=7x−y+3z=0的解为（）A．{x=2y=1z=−1B．{x=2y=−1z=1C．{x=2y=−1z=−1D．{x=2y=1z=1答案：C分析：根据代入消元法解三元一次方程组即可求解．解：{2x+y=3①3x−z=7②x−y+3z=0③，由①得y=3−2x④，由②得z=3x−7⑤，将④⑤代入③得，x−(3−2x)+3(3x−7)=0，解得x=2，将x=2代入④得y=−1，将x=2代入⑤得z=−1，∴原方程组的解为{x=2y=−1z=−1．故选C．小提示：本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键．10、一个三角形三条边长的比是2：4：5，最长的边比最短的边长6cm，这个三角形的周长为（）．A．20cm B．21cm C．22cm D．20cm或22cm答案：C分析：设三角形三边分别为2xcm、4xcm、5xcm，由最长边比最短边长6cm，列方程即可求解．解：设三角形三边分别为2xcm、4xcm、5xcm．则：5x-2x=6，解得：x=2，∴三角形三边分别为4cm、8cm、10cm，∴这个三角形的周长为22cm．故选：C．小提示：本题考查了一元一次方程的应用及三角形的知识，解题的关键是根据三角形的三边的比设出三边的长，难度不大．填空题11、有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．答案：100或85．分析：设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．解：设所购商品的标价是x元，则①所购商品的标价小于90元，x﹣20+x＝150，解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元，x ﹣20+x ﹣30＝150，解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元．故答案为100或85．小提示：本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．12、已知x ，y 满足方程组{x +5y =63x −y =2，则x +y 的值为______． 答案：2分析：利用整体思想①+②的得出结果，之后等式两边都除以4，即可得出x +y 的值．解：{x +5y =6①3x −y =2②， ①+②得4x +4y =8，∴x +y =2；所以答案是：2．小提示：本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握用整体思想解决问题是解题的关键．13、一个三位数，十位数字比个位数字大1，百位数字是个位数字的2倍，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，则原三位数为______．答案：643分析：设原三位数的个位数字为x ，十位数字为y ，则百位数字为2x ，由题意：十位数字比个位数字大1，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设原三位数的个位数字为x ，十位数字为y ，则百位数字为2x ，由题意得：{y =x +1100×2x +10y +x −(100x +10y +2x)=297， 解得：{x =3y =4， ∴2x =6，即原三位数为643，所以答案是：643．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14、某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．答案：3##三分析：设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出x =12−3y 4，由于x ≥1，y ≥1且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可．解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，4x +3y =48，解得x =12−3y 4，∵x ≥1，y ≥1且x ，y 都是正整数，∴y 是4的整数倍，∴y =4时，x =12−3×44=9， y =8时，x =12−3×84=6，y =12时，x =12−3×124=3，y =16时，x =12−3×164=0，不符合题意， 故有3种购买方案，所以答案是：3．小提示：本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键．15、已知x 、y 满足方程组{3x +y =2021x +3y =2022，则x −y =______． 答案：−12##﹣0.5分析：方程组两方程相减得2x －2y ＝﹣1，两边同除以2得出x ﹣y 即可．解：{3x +y =2021①x +3y =2022② ①－②得，2x －2y ＝﹣1，两边同除以2得，x －y ＝−12， 所以答案是：−12小提示：此题考查了二元一次方程组，整体法的应用是求解此题的关键．解答题16、某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A 种原料和2吨B 种原料，生产每件乙产品需要3吨A 种原料和1吨B 种原料．该厂现有A 种原料120吨，B 种原料50吨．(1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？(2)在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a %，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a 的值．答案：(1)甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完(2)a =30分析：（1）设甲生产x 件，乙生产y 件，根据题意得，{4x +3y =120①2x +y =50② ，进行计算即可得； （2）用市场变化后的总销售额减去原计划的总销售额即可得．（1）解：设甲生产x 件，乙生产y 件，根据题意得，{4x +3y =120①2x +y =50②由②得，y =50−2x ③将③代入①得：4x +3×(50−2x)=1202x =30x =15，将x =15代入③得：y =50−2×15=20，解得{x =15y =20则甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完．（2）解：根据题意得，3×(1+a%)×15+(1−10%)×5×20−(3×15+5×20)=3.5解得a =30．小提示：本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．17、学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案：(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积．答案：(1)大正方形边长12cm ，小正方形边长4 cm(2)8513分析：（1）设大正方形和小正方形的边长分别是x cm 和y cm ，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为a cm ，根据题意列方程得到a =43，根据正方形的面积公式即可得到结论．（1）设大正方形边长x cm ，小正方形边长y cm ，依题意得{x +2y =20x −2y =4， 解得{x =12y =4， 答：大正方形和小正方形的边长分别是12cm 和4cm ；（2）设有重叠的小正方形边长a cm ，依题意得3(4−a )+4=12，解得a =43，∴阴影面积=122−4×42+3×(43)2=8513. 小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．18、解下列二元一次方程组：(1){y =2x 3x +y -10=0(2){2x +3y =53x +2y =-5答案：(1){x =2y =4； (2){x =−5y =5． 分析：（1）根据代入消元法，将①代入②即可求得y ，再将y 代入①，即可求解；（2）根据加减消元法，①×2−②×3即可求得x ，再将x 代入②，即可求解．（1）解：{y =2x ①3x +y -10=0②， 将②代入①，可得：3x +2x -10=0，解得：x =2，将x =2代入①，可得：y =4，∴方程组的解为{x =2y =4； （2）解：{2x +3y =5①3x +2y =-5②， 由①×2-②×3，得：4x −9x =10+15，解得：x =−5，将x =−5代入①，可得：−10+3y =5，解得：y=5，∴方程组的解为{x=−5．y=5小提示：本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法－加减消元法和代入消元法．。
完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)
完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)二元一次方程组常见题型二元一次方程组是初中数学中的重要内容，常见的题型包括分配调运问题、行程问题、百分数问题、分配问题、浓度分配问题和金融分配问题等。
其中，分配调运问题是指在不同的地方分配人员或物品，需要根据条件求出各个地方的人数或物品数量。
例如，某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，需要求出到两个工厂的人数各是多少。
行程问题是指两个人或物体在不同的路程上移动，需要根据条件求出它们的速度或路程。
例如，甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
需要求出甲、乙的平均速度各是多少。
百分数问题是指在数量变化中涉及到百分数的计算，需要根据条件求出各个数量的值。
例如，某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，需要求出这个市现在的城镇人口与农村人口。
分配问题是指在已知总量和每份数量的情况下，需要求出总量或份数。
例如，某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个；若每人4个，则有一个少1个，需要求出幼儿园有几个小朋友。
浓度分配问题是指在不同浓度的物质中混合，需要根据条件求出各个物质的数量或浓度。
例如，要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少。
金融分配问题是指在不同价格的商品中混合，需要根据条件求出各个商品的数量或价格。
例如，需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克。
几何分配问题）用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米。
可以列出以下两个方程：1、8x = 482、4y = 48解方程得到x = 6，y = 12，因此每块小长方形的长是6厘米，宽是12厘米。
人教版七年级下册数学《二元一次方程组》各节考点及解析
第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组考点1：二元一次方程1.如果ax +2y =1是关于x 、y 的二元一次方程，那么a 的值应满足（ ） A.a 是有理数 B.a ≠0 C.a =1 D.a 是正有理数2.下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A.2x -3y =5B.x +1=10C.x1+5y =8 D.2x +xy =-13.若（a -2）x +（b +1）y =7是关于x 、y 的二元一次方程，则（ ） A.a ≠2 B.b ≠-1 C.a ≠2且b ≠-1 D.a ≠2或b ≠-14.下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是二元一次方程？ （1）x -y =0 （2）x 1-y1=3 （3）x 2-x +1=0 （4）ax +by =5（a ≠0，b ≠0，a 、b 是常数)5.若方程2x 2a -1+y b -2=1是二元一次方程，求a +b 的值.考点2 二元一次方程的解6.已知⎩⎨⎧==a y x 1，是二元一次方程x -y =5的解，则a =________.7.二元一次方程5x +2y =13（ ） A.只有一组解 B.有两组解 C.有无数组解 D.无解8.（2008·武汉）已知关于x 的方程4x -3m =2的解是x =m ，则m 的值是（ ） A.2B.-2C.72 D.-72 9.已知二元一次方程2x -3y =-15， （1）用含有y 的代数式表示x ；（2）当y =3、4、5时，分别求出对应的x 值.考点3 二元一次方程组与它的解10.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） A.⎩⎨⎧=-=+13y x y xB.⎩⎨⎧==45y x C.06=-+=-y x y x D.⎩⎨⎧==-34xy y x11.已知二元一次方程组⎩⎨⎧=--=+②.643①,3y x y x 下列说法中，正确的是（ ）A.同时适合方程①、②的x 、y 的值是方程组的解B.适合方程①的x 、y 的值是方程组的解C.适合方程②的x 、y 的值是方程组的解D.同时适合方程①、②的x 、y 的值不一定是方程组的解 12.（2008·杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程32=-ay x 的一个解，那么a 的值是（ ） A.1 B.3C.-3D.-113.已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，则（m+n ）2008的值为________.14.为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a 、b 、c 对应的密文a +1、2b +4、3c +9.如果接收方收到密文7、18、15，请你解密得出明文.8.2 消元——二元一次方程组的解法第1课时 代入消元法考点1：直接代入1.方程2x +y =6，用含x 的代数式表示y ，则y =________. 用含y 的代数式表示x ，则x =________.2.方程组⎩⎨⎧=-=+.53,132y x y x ②①若用代入法解最好将方程______代入______.3.解下列二元一次方程组. （1）⎩⎨⎧=+=.823,2x y x y （2）⎩⎨⎧+==+.1152,52y x y x考点2：变形后代入 4.方程组⎩⎨⎧=-=+.1153,32y x y x ②①若用代入法解最好将方程______用______的代数式表示____________.5.下列是用代入法解方程组⎩⎨⎧-==-.2113,23y x y x ②①的开始步骤，其中最简单、正确的是（ ）A.由①，得y =3x -2. ③，把③代入②，得3x =11-2（3x -2）.B.由①，得x =32+y .③，把③代入②，解3×32+y =11-2y . C.由②，得y =2311x -.③，把③代入①.得3x 2311x--=2. D.把②代入①，得2211=--y y .6.方程组⎩⎨⎧=+=-.1,52y x y x 的解是（ ）A.⎩⎨⎧==.1y ,2xB. ⎩⎨⎧==.1,0y xC. ⎩⎨⎧=-=.1,2y xD. ⎩⎨⎧-==.1y ,2x7.解下列方程组.（1）⎩⎨⎧=++=.832,6y x x y ②① （2）⎩⎨⎧=+-=+.15,1932y x y x ②①8.小明给小刚出了一道数学题：如果将原方程组⎩⎨⎧=+=-.3 □,3 □2y x y x ②①第1个方程y 的系数遮住，第2个方程x 的系数覆盖，并且告诉你⎩⎨⎧==.1,2y x 是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？第2课时 加减消元法考点1：直接加减消元1.方程组235,2715.x y x y +=⎧⎨-=-⎩中的x 的系数特点是_________；方程组⎩⎨⎧=+=-.11y 5x 6,7y 5x 3中y的系数的特点是_________；这两个方程组用________法解较简便. 2.方程组3210,52 6.y x y x -=⎧⎨+=⎩的解是________,________.x y =⎧⎨=⎩3.（2008·河北）如图8.2-1所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是___________g.4.方程组432431x y x y -=⎧⎨+=⎩，既可用___________法消去未知数________，也可用_________法来消去未知数_________.5.已知方程组①435,4614.x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②34,350.y x y x =+⎧⎨+=⎩其中方程组①采用________消元法简单，而方程组②采用_________消元法简单.6.解下列方程组 （1）250,72130.x y x y ++=⎧⎨--=⎩ （2）15,5.x y x y +=⎧⎨-=⎩考点2.变形后加减消元 7.已知二元一次方程组3428437x y x y +=⎧⎨+=⎩不解方程组，则x +y =_________，x －y =_____.8. 已知方程3x 2c -d -3-2y 7c -5d +1=1是二元一次方程，则c =________，d =________. 9. 已知02x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩都是方程ax +by =8的解，则a =_______,b =________.10. 方程组356234x y x y -=⎧⎨-=⎩②①,将②×3-①×2得( )A.-3y =2B.4y +1=0C.y =0D.7y =-611. 解方程组：①⎩⎨⎧=-=;9y 5x 3,y 2x ②⎩⎨⎧=+=-;10y 2x 3,7y 2x 4③⎩⎨⎧=-=+;1y 4x 3,0y x ④⎩⎨⎧=-=+.7y 3x 2,9y 5x 4.比较适宜的方法是（ ） A.①②用代入法，③④用加减法B.①③用代入法，②④用加减法图8.2-1C.②③用代入法，①④用加减法D.②④用代入法，①③用加减法12.解下列方程组 （1）9523429y x y x -=⎧⎨+=⎩ （2）2735313x y x y -=⎧⎨+=-⎩ （3）1.5214.578x y x y -=-⎧⎨-+=⎩第3课时 二元一次方程组解法的综合应用考点1：选择适当的方法解二元一次方程组 1. 解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩②①下列解法不正确的是（ ）A. ①×3-②×2,消去xB.①×2-②×3,消去yC.①×(-3)+②×2,消去xD.①×2-②×(-3)消去y2.解方程组92153410x y x y +=⎧⎨+=⎩②①，用加减法消去x 的方法是_________；用加减法消去y的方法是__________. 3.解下列方程组（1）1222315154233x y x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ （2）132(1)6x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩考点2：特殊方程组的解法 4.方程组2(2)422x x y x y ++=⎧⎨+=⎩的解是__________.5.已知3x y -=2x y +=4，则x =_________,y =________. 6.已知21x y =-⎧⎨=⎩是方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则（a +b ）(a -b )的值为（ ）A.-353B.353C.0D.27.请写出一个以x 、y 为未知数的二元一次方程组，要求同时满足下列两个条件：（1）由两个二元一次方程组成； （2）方程组的解为⎩⎨⎧==.3y ,2x考点3：二元一次方程的简单应用 8.小亮对小明说：“我的生月和日相加是37，月的2倍和日相加是43”小亮说真话了吗？9.（2008·杭州）课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题，今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？如果假设鸡有x 只，兔有y 只，请你列出关于x 、y 的二元一次方程组；并写出你求解这个方程组的方法.8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 对大小牛的食量估计考点1：直接设元1.（2007·河北）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，图8.3-1给出了“河图”的部分点，请你推算出P 处所对应的点图是（ ）图8.3-12.有鸡兔若干只，装在同一笼子中，数一数共有55个头，160条腿，问鸡、兔各有多少只？设鸡有x 只，兔有y 只.根据题意可列出方程组是（ ） A. 5522160x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.5544160x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 5524160x y x y +=⎧⎨+=⎩ D. 5542160x y x y +=⎧⎨+=⎩3.（2007·鄂尔多斯）一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但重量减少10%.现有未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比不加工多卖12元，则这种蔬菜加工前和加工后每千克各卖多少元？设这种蔬菜加工前每千克卖x 元，加工后每千克卖y 元，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A. (120%)30(110%)3012y x y x =+⎧⎨+-=⎩B. (120%)30(110%)3012y xy x =+⎧⎨--=⎩C. (120%)30(110%)3012y xy x =-⎧⎨--=⎩D. (120%)30(110%)3012y xy x =-⎧⎨+-=⎩4.某同学到邮局买了8角和1.2元的两种邮票共11张，花了10.8元，若8角邮票买x张，1.2元邮票买y张，应列方程组为____________.5.某车间有28个工人生产某种螺栓和螺母，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），应分配____人生产螺栓.6.一个长方形周长是108厘米，长比宽的2倍多6厘米，则长方形的长是_______厘米，宽是________厘米.考点2.综合运用7.古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是（）A.5B.6C.7D.88.（2008·巴东）“五一”黄金周，巴中人民商场“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价x元，男装部购买了原价为y元服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为（）A.5800.80.85700x yx y+=⎧⎨+=⎩B.7000.850.8580x yx y+=⎧⎨+=⎩C.7000.80.85700580x yx y+=⎧⎨+=-⎩D.7000.80.85580x yx y+=⎧⎨+=⎩9.10年前，母亲的年龄是儿子的6倍，10年后，母亲的年龄是儿子的2倍，设母亲现在年龄x岁，儿子现在年龄y岁，则有方程组____________ ____________⎧⎨⎩.10.（2007·吉林）王阿姨和李奶奶一起去超市买菜，王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1kg,共花了12.8元,李奶奶买西红柿2kg、茄子1.5kg,共花了15元.已知青椒每千克4.2元,请你求出每千克西红柿、茄子各多少元?第2课时设计种植方案考点1：一般问题1. 一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为21元，则每件的标价应为（）A.27.72元B.28元C.29.17元D.30元2. 一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，则x，y的值为（）A.x=13，y=2B.x=14，y=1C.x=15，y=1D.x=14，y=23.（2007·乐山）某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工.为解决这个问题，所列方程组正确的是（）A.14016615x yx y+=⎧⎨+=⎩B.14061615x yx y+=⎧⎨+=⎩C.15166140x yx y+=⎧⎨+=⎩D.15616140x yx y+=⎧⎨+=⎩4. 有甲、乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的买入价分别是（）A.400元，600元B.600元，400元C.580元，440元D.520元，460元5. 一队民工参加水利工地挖土及运土工作，平均每人每天挖土5方或运土3方，如果安排a人挖土，b人运土，恰好使挖的土能及时运走，则a∶b=_________.6. 某班学生准备分组活动，如果每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组只有3人.求这班学生有多少人，准备分多少组.设该班有学生x人，准备分y组，根据题意，列出方程组为__________.7. 甲种物品每个4千克，乙种物品每个7千克，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76千克：（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）若x=12，则y=__________；（3）若有乙种物品8个，则甲种物品有_________个；（4）请你用含x的代数式表示出y，然后再探究出满足条件的x、y的全部数值.考点2. 综合运用8.（2007·辽宁）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6∶5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分.若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A.65240x yx y=⎧⎨=-⎩B.65240x yx y=⎧⎨=+⎩C.56240x yx y=⎧⎨=+⎩D.56240x yx y=⎧⎨=-⎩9.（2006·河北）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图8.3-2、图8.3-3.图8.3-2 图8.3-3图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ,y 的系数与相应的常数项.把图8.3-2所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y +=⎧⎨+=⎩类似地，图8.3-3所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. 2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.264327x y x y +=⎧⎨+=⎩10.如图8.3-4，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.（1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x 、y 的值. （2）把满足（1）的其他6个数填入图（2图8.3-4第3课时 原料费与运输费考点1：一般问题1.抗洪救灾小组A 地段现有28人，B 地段现有15人，现在又调来29人，分配在A 、B 两个地段，要求调配后A 地段人数是B 地段人数的2倍，则调往A 地段人数和B 地段的人数分别是( ) A.18，11 B.24，5 C.20，9 D.14，152.开学后书店向学校推销两种课外读物，如果原价买这两种书共需880元，书店推销时第一种书打了八折，第二种书打了七五折，结果两种书共少要了200元，则原来每种书需要钱数为( ) A.400元，480元 B.480元，400元 C.360元，300元 D.300元，360元3.甲、乙两人练习跑步,如果甲让乙先跑10米,甲跑5秒钟就可追上乙,如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟就能追上乙,若设甲、乙每秒钟分别跑x 、y 米,列出方程组为( )（1） （2）A.5105442x yx y+=⎧⎨-=⎩B.5510424x yx y=+⎧⎨-=⎩C.5()104()2x yx y x-=⎧⎨-=⎩D.55104()2x yx y y-=⎧⎨-=⎩4.一个两位数各位数字之和为10,十位数字与个位数字互换后,所得新数比原数小36,则原来的两位数是___________.5.某学生骑自行车从学校去县城,先以每小时12千米的速度下山,而后以每小时9千米的速度通过平路到达县城,共用去55分钟;返回时,他以每小时8千米的速度通过平路,再以每小时4千米的速度上山回到学校,用去1小时30分钟,学校到县城的距离是多少千米.考点2：综合运用6.甲、乙两人在200米的环形跑道上练竞走,当他们都从某处同时出发背向行走时每30秒钟相遇一次;同向行走时,每隔4分钟相遇一次,则两人的速度分别为_________. 7.某学校的男运动员比女运动员的2倍少4人,男运动员与女运动员的人数比是5∶3,求男、女运动员各有多少人.若设男运动员x人,女运动员y人,则可列方程组为( )A.2453x yx y=+⎧⎨=⎩B.2435x yx y=-⎧⎨=⎩C.2435x yx y=+⎧⎨=⎩D.2453x yx y=-⎧⎨=⎩8.(2008·海南)根据北京奥运票务网站公布的女子双人3米跳板跳水决赛的门票价格（如表所示），小明预订了B等级、C等级门票共7张，他发现这7张门票的费用恰好可以预订3张A等级门票.问小明预订了B等级、C等级门票各多少张？第4课时综合应用题考点1：销售问题1. 刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元.设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张,则下面的方程组正确的是( )A.1028yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩B.128210x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C.1028x yx y+=⎧⎨+=⎩D.8210x yx y+=⎧⎨+=⎩2. 买钢笔和铅笔共30支,其中钢笔是铅笔支数的2倍少3支,若设买钢笔x支,铅笔y支,则列出的方程组应是( )A.3023x yy x+=⎧⎨=+⎩B.3023x yy x+=⎧⎨=-⎩C.3023x yx y+=⎧⎨=+⎩D.3023x yx y+=⎧⎨=-⎩3. 某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共560元,今天又卖出9件衬衫和6条裤子共680元,若设每件衬衫售价x元,每条裤子售价y元,则可列方程组为__________.4. 某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共40千克到市场去卖.问:考点2：工程问题5. 某项工程,甲单独完成需要10天,乙单独完成需要15天,则甲、乙合作一天完成全部工作的( )A.111015+ B.11015+C.111015- D.1111015+6. 某班学生参加运土劳动,一部分同学抬土,另一部分同学挑土,已知全班同学共用土筐59个,扁担36条,问抬土和挑土的同学各有多少人?若设抬土的有x人,挑土的有y 人,则( )A.2592362x yxy⎧+⎛⎫=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B.2592362xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C.2592236xyx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩D.259236x yx y+=⎧⎨+=⎩7. 一艘船载重量是560吨，容积是2280立方米，现有甲、乙两种货物,甲种货物每吨的体积是3立方米,乙种货物每吨的体积是6立方米,两种货物应该各装多少吨,才能最大限度地利用船的载重和容积.正确的答案是( )A.甲、乙两种货物分别是360吨、200吨B.甲、乙两种货物分别是200吨、360吨C.甲、乙两种货物分别是260吨、300吨D.甲、乙两种货物分别是300吨、260吨8.甲、乙两人做同样的零件,如果甲先做一天,乙再开始做,5天后两人做的零件一样多;如果甲先做30个,乙再开始做,4天后乙反而比甲多做10个,求甲、乙两人每天做多少个零件,若设甲、乙两人每天分别做x、y个零件,由题意则有方程组( )A. (51)5304410x yx y +=⎧⎨+=+⎩B. 155304410x yx y +=⎧⎨+=+⎩C. (51)5304410x y x y +=⎧⎨+=-⎩D. 155304410x yx y +=⎧⎨+=-⎩考点3. 面积问题9.如图8.3-5，8块相同的长方形地砖恰好能拼成一个矩形图案，地砖间的缝隙忽略不计，且这个矩形的宽为20cm ，求每块矩形地砖的面积.图8.3-510.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图8.3-6（1），恰好可拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试”，结果七拼八凑，拼成如图8.3-6（2）那样的正方形.咳！中间还留下一个洞，恰好是边长为2mm 的小正方形！（1） （2）图8.3-6你能帮他们解开其中的奥秘吗？8.4 三元一次方程组解法举例 第1课时 三元一次方程组的解法考点1：用代入法解方程组1.方程x +2y -3z =0的解有1,1,().x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 2,(),2.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ (),3,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩……2.方程组323,2311,12.x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩的解是（）A.3,6,3.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩B.5,4,3.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩C.2,8,2.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩D.3,8,1.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩3.用代入法解下列方程组（1）4,21,17.x zy zx y z=-⎧⎪=+⎨⎪++=⎩（2）23,5,311.x yy zz x=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩考点2.用加减法解方程组4.解三元一次方程组3213272312x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩③②①时，首先消去z，得二元一次方程组为___________________，再消去未知数x，得一元一次方程为_________________.解得y=_______;将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x=_________，最后将x和y值同时代入②；得z=__________.5. 方程组24393251156711x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩③②①中，未知数_________的系数成倍数关系,解此方程组首先考虑消去未知数______较简单，得到关于_______________的二元一次方程组为____________.6. 解方程组229229232x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩得x等于( )A.18B.11C.10D.97. 解下列三元一次方程组.(1)2402040a bb ca b c+-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩(2)2,21231x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩第2课时三元一次方程组的应用考点：三元一次方程组的应用1. 一个三位数，个位、百位上的数字和等于十位上的数字2倍，百位上的数字的3倍比个位、十位上的数字和大1，个位、十位、百位上的数字和是15,则这个三位数是__________.2. 若a+2b-3c=4, 5a-6b+7c=8, 则9a+2b-5c=__________.3. 如右图8.4-1，表中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a+b+c+d+e+5的值是__________.4. 某校参加市中学生运动会，获取的金牌数与银牌数的比是5∶6，铜牌数比金牌数2倍少5块，金牌数的3倍与银牌数之和等于42块，则该校获取金牌________块，银牌________块，铜牌_______块.5. .第八章二元一次方程组参考答案8.1 二元一次方程组1.B2.A3.C4.是二元一次方程的有x-y=0,ax+by=5(a≠0,b≠0,a,b为常数)5. ∵2x2a-1+y b-2=1是二元一次方程, ∴2a-1=1,b-2=1, ∴a=1,b=3,a+b=46.-47.C8.A 9.(1)x=3152y-;(2)当y=3时,x=-3,y=4时,x=32-;y=5时,x=0. 10.D 11.A 12.A13.1 14.由题意得1724183915abc+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得a=6,b=7,c=28.2 消元——二元一次方程组的解法第1课时代入消元法图8.4-11.6-2x ,62y- 2. ②,① 3.(1) 12x y =⎧⎨=⎩ (2) 31x y =⎧⎨=-⎩ 4.① 含有x ,y 5.D 6.D 7.(1) 24x y =-⎧⎨=⎩ (2)143x y =-⎧⎨=⎩ 8.原方程组为233x y x y -=⎧⎨+=⎩第2课时 加减消元法1.相同，互为相反数，加减消元2. 22x y =-⎧⎨=⎩3.204.加，y ；减， x5.加减，代入6.(1) 13x y =⎧⎨=-⎩ (2) 105x y =⎧⎨=⎩ 7.5,-21 8. 203,283 9.1,410.C 11.B 12.(1) 53x y =⎧⎨=⎩ (2)21x y =-⎧⎨=-⎩ (3) 65x y =⎧⎨=⎩ 第3课时 二元一次方程组综合运用1.D2. ①-②×3,①×2-②3.(1) 20151815x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)32x y =⎧⎨=⎩ 4. 01x y =⎧⎨=⎩5.10,-26.C7.如32121x y y x +=⎧⎨-=⎩ 不唯一 8.设小亮的生月和日分别为x ,y ，依题意，得37243x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得631x y =⎧⎨=⎩，∵6月只有30日，∴小亮说的是假话. 9.方程组如下：352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，可以用代入消元法来解这个方程组.8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 对大小牛的食量估计1.C2.C3.B4. 110.8 1.210.8x y x y +=⎧⎨+=⎩ 5.12 6.38,16 7.A 8.D 9.106(10)102(10)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩ 10.设每千克西红柿x 元,每千克茄子y 元.根据题意,得 4.212.8,2 1.515.x y x y ++=⎧⎨+=⎩解得4.2,4.4x y =⎧⎨=⎩ 答:每千克西红柿4.2元,每千克茄子4.4元 第2课时 设计种植方案1.B2.B3.D4.B5.3∶56. 7385y x y x =-⎧⎨=+⎩ 7.(1)4x +7y =76 (2)4 (3)5(4)y =7647x-；5,8；12,4； 8.D 9.A 10.(1)由题意得 234345x y y y +=-⎧⎨+=⎩解得11x y =-⎧⎨=⎩ (2)如图第3课时 原料费与运输费1.C2.A3.D4.735.9千米，设下坡路为x 千米，平路为y 千米，则有55129603482x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：36x y =⎧⎨=⎩6.225米/分，175米/分7.B8.设小明预订了B 等级与C 等级门票分别为x 张和y 张. 依题意，得73001505003x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩ 解这个方程组得34x y =⎧⎨=⎩. 答：小明预订了B 等级门票3张，C 等级门票4张.第4课时 综合运用 1.D 2. D 3. 7456096680x y x y +=⎧⎨+=⎩4.设西红柿进了x 千克，豆角进了y 千克401.2 1.660x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得1030x y =⎧⎨=⎩所以当天卖完这些西红柿和豆角能赚10×（1.8-1.2）+30×(2.5-1.6)=33(元) 5.A 6.B 7.A 8.C 9.解：设每块长方形地砖的长为x cm,宽为y cm. 列方程组320x y x y =⎧⎨+=⎩ 解得155x y =⎧⎨=⎩15×5=75（cm 2），即每块地砖的面积为75cm 2. 10.设每个小长方形的长为x mm ，宽为y mm ，由图（1）可得3x=5y由图（2）得2y-x=2. 解方程组3522x yy x=⎧⎨-=⎩，得106xy=⎧⎨=⎩通过计算可知，图（1）的面积为480mm2，图（2）的面积为484mm2.8.4 三元一次方程组解法举例第1课时三元一次方程组的解法1. x=-13, y=4, x=-9 2.D 3.(1)1115xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)332xyz=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩4.55255731x yx y+=⎧⎨+=⎩, 2y=6,y=3, x=2, z=1 5.y,y,x、z,813314820x zx z+=⎧⎨+=⎩6.C7.(1)3121abc=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩(3)312xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩第2课时三元一次方程组的应用1.4562.243.214.10,12,155.当x=0时c=3 当x=2时，4a+2b+c=3 当x=1时，a=1 故有123abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩则空格分别填入0,4,2责任编辑庞保军。
八上数学二元一次方程必背知识点总结
第五章 二元一次方程组1、判断二元一次方程的方法：①整式方程（即分母中没有字母）②只含有两个未知数；③含未知数的项的次数都是 1.④两个未知数的系数都 ≠02、若Ax B +Cy D =5是二元一次方程，则 A ≠0，B=1，C ≠0，D=1 .3、二元一次方程组．： 共．含有两个未知数的两个．．一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．. 4、解：①适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，二元一次方程有无数个解.【看到解就代入】.②二元一次方程组中各个方程的公共解．．．，叫做这个二元一次方程组的解. 看到解就代入，方程组中的两个方程都能代入.5、用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①变形：变为x= 或y= .①代入消元①解一元一次方程①回代①检验 ①写解: ①原方程组．的解是 {x = y = .6、用加减消元法解二元一次方程组的步骤：①变形：使两个方程中其中一个未知数的系数相等或互为相反数.①加减消元：若两个方程中其中一个未知数的系数相等，就将两个方程相减；若两个方程中其中一个未知数的系数互为相反数，就将两个方程相加.①解一元一次方程①回代①检验 ①写解: ①原方程组．的解是 {x = y = .7、增收节支公式：原量×（1 + 增长率）= 新量 { 例如 今年比去年增加20%，那么（1+20%）×去年的量=今年的量 } 原量×（1 - 亏损率）= 新量利润 = 总收入 - 总支出利润率=总收入−总支出总收入×100%打x 折后的价钱=原价×x 108、数字的表示：①一个两位数的十位数字是 x ，个位数字是 y ，则这个两位数可表示为 10x + y ；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为____10y + x _____．①一个三位数，若百位数字为 x ，十位数字为 y ，个位数字为z ，则这个三位数为：__ 100x + 10y + z______. ①两位数 x 放在两位数 y 的左边，组成一个四位数，因此用 x ，y 表示这个四位数为__ 100x+y______． 如果将 x 放在 y 的右边，那么得到一个新的四位数为_____100y+x ______．①一个两位数，十位上的数是 x ，个位上的数是y ，如果在它们之间添上零，那么得到的三位数为 100x+y ．9、相遇问题：10、追及问题：11、二元一次方程组与一次函数的关系:二元一次方程的解． 与 一次函数图象上点的坐标．．一 一对应. 二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2的解． 就是 一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2的交点坐标．．．． ①若二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2 无．解．，则一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2平行．．，即k 1=k 2. ①若二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2有1．个．解．，则一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2相交．．，即k 1≠k 2，b 1=b 2. ①若二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2有无数个．．．解．，则一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2重合．．， 即k 1=k 2，b 1=b 2.。
完整版)二元一次方程组题型总结
完整版)二元一次方程组题型总结二元一次方程组题型总结类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）已知（a-2）x-by=5是关于x、y的二元一次方程，则a=2，b=-1.2）二元一次方程3x+2y=15的正整数解为(3,3)。
类型二：二元一次方程组的求解例（3）若|2a+3b-7|与（2a+5b-1）互为相反数，则a=1，b=2.4）2x-3y=4，x-y=5的解为(-1,-6)。
类型三：已知方程组的解，而求待定系数。
例（5）已知3mx-2y=1，4x+ny+7=2，x=-2，y=1是方程组的解，则m-n的值为-1.6）若满足方程组kx+(2k-1)y=6的x、y的值相等，则k=2.练：若方程组2x-y=3，2kx+(k+1)y=10的解互为相反数，则k的值为-3/2.类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。
例（7）已知abc/123=4/12，且a+b-c=1，则a=4，b=8，c=1.8）解方程组x+3y=2，3y+z=4，z+3x=6，得x=2，y=0，z=-2.练：若2a+5b+4c=10，3a+b-7c=-2，则a+b-c=0.由方程组x-2y+3z=2，2x-3y+4z=3可得，x∶y∶z是1∶2∶1.类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法。
例（9）若x=1，y=-2，y=-3都是关于x、y的方程|a|x+by=6的解，则a+b的值为-2.10）关于x，y的二元一次方程ax+b=y的两个解是(2,-1)和(1,1)，则这个二元一次方程是y=-x+3.练：如果方程组x=-1y=2ax+by=zbx-cy=1中的{x,y}是解，下列哪个式子成立？A。
a+4c=2B。
4a+c=2C。
a+4c+2=0D。
4a+c+2=0解析：由{x=-1,y=2}可知，代入方程组中得a+2b=zb-2c=1又因为{x,y}是解，所以代入方程组中得a+2b=0b-2c=0解得a=4c，代入选项可知只有选项C成立。