数列求通项的方法(完整版本)

四、连续迭代型：形如 an2 pan1 qan （其中 p，q 均为常数） 。先把原递推公式转化为
s t p an2 san1 t (an1 san ) 其中 s，t 满足 st q
2、设等比数列 an 1 f (n) ，公比为 4、比较系数求 1 ， 2
3、列出关系式 an1 1 f (n 1) 2 [an 2 f (n)] 5、解得数列 an 1 f (n) 的通项公式
6、解得数列 an 的通项公式
为了方便同学们更好地掌握待定系数法求通项，以下再进行分类。 1）常数型。可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如 a n1 =p a n +q（p≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法：设 a n1 +k=p（a n +k）与原式比较 系数可得 pk－k=q，即 k= 系数就行。 1、数列{a n }满足 a 1 =1， 3an1 an 7 0 ,求数列{a n }的通项公式。
2. 已知数列 {an } 满足 a1 2,
1 a n 1

1 2 ，求数列 an 的通项公式； an
3. 已知数列 {an } 满足 a1 2, an 3an1 (n 1) ，求数列 {an } 的通项公式；
4.已知数列 {an } 满足 a1 2，a2 4且an2 an an1 公式；
高中数学常见求数列通项的方法
一、公式法。即是题目说清楚该数列是等比或者等差数列时，直接套用公式。但是难点在 于，一旦给出的条件，不是具体的数字而是字母参数时，就是对个人运算能力的考验。 1.已知数列 {an } 满足 a1 2, an an1 1(n 1) ，求数列 {an } 的通项公式；
k 1
n
2、已知数列 {an } 满足 an1 an 2 3n 1 ，a1 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
3、设数列 {an } 满足 a1 2 ， an1 an 3 2
2 n1
，求数列 {an } 的通项公式
中档题： 1．(2008 江西文、理)在数列 an 中， a1 2, an 1 an ln 1 A． 2 ln n B． 2 n 1 ln n
1 1 a1 ……4 分 2 2
1 的等比数列……5 分， 2
an 的通项公式为 an
1 ( ) n 1 ……6 分． 2
（ 3 ） 累 加 法 ： 适 合 an 1 an f (n) 型 的 递 推 数 列 。 若 an1 an f (n) (n 2) ， 则
a2 a1 f (1) a3 a2 f (2) an 1 an f (n)
基础题： 1、已知数列 {an } 满足 an1 an 2n 1 ，a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 将式子列出后， 两边分别相加得 an 1 a1
f ( n)
2an1 2an S n S n1 0 ，即 2an1 2an an 0 ， a n 1
又当 n 1 时， 2a2 S1 2 2a2 a1 2 0 ， a 2 所以 an 是首项 a1 1 ，公比 q
1 a n ……3 分 2
、 0，a 0) 3）一次函数、二次函数或者混合型。 an1 pan an b ( p 1
解 法 ： 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 ， 即 令
an1 x(n 1) y p(an xn y) ， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解 出 x, y , 从 而 转 化 为
解：将 an 3n 2an1 两边同除 3 ，得
n
1 、已知数列 an 中， a1
5 1 1 n 1 , a n 1 a n ( ) ，求 an 。 6 3 2
2、设数列 an 的前 n 项的和 S n
4 1 2 a n 2n 1 ， n 1, 2,3, 求首项 a1 与通项 an ； 3 3 3
3、已知数列 {an } 满足 an1 2an 4 3n1，a1 1，求数列 an 的通项公式。
4、已知数列 {an } 满足 an1 2an 3n2 4n 5，a1 1，求数列 {an } 的通项公式。 解：设 an1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z)
3、已知数列 an 满足 a1 4、已知 a1 3 ， a n 1
2 n a n ，求 an 。 ， a n 1 3 n 1 3n 1 a n (n 1) ，求 an 。 3n 2
三、待定系数法 解题基本步骤： 1、确定 f ( n)
适用于 an1 qan f (n) 型的递推数列
2、 （江门市 2013 届高三上学期期末）设数列 an 的前 n 项和为 S n ， a1 1 ，且对任意正 整数 n ，点 (an1 , S n ) 在直线 2 x y 2 0 上． ⑴求数列 an 的通项公式； 解：因为点 (an1 , S n ) 在直线 2 x y 2 0 上，所以 2an 1 Sn 2 0 ……1 分， 当 n 1 时， 2an S n1 2 0 ……2 分，两式相减得
an 2a 1 an 2 a n 1 1 n 1 n n n 3 3n 1 3 3 3 an 2 2 2 1 设 bn n ，则 bn 1 bn 1 ．令 bn t (bn 1 t ) bn bn 1 t 3 3 3 3 3 a 2 8 条件可化成 bn 3 (bn 1 3) ， 数列 bn 3 是以 b1 3 1 3 为首项， t 3． 3 3 3 an 2 8 2 n 1 为公比的等比数列． bn 3 ( ) ．因 bn n , 3 3 3 3 8 2 a n bn 3n 3n ( ( ) n 1 3) an 3n1 2n2 ． 3 3 点评：递推式为 an1 pan q n1 （p、q 为常数）时，可同除 q n1 ，得 an1 p an a 从而化归为 an1 pan q （p、q 为常数）型． n 1 ，令 bn n n 1 q q q qn
1、已知数列 {an } 满足 an1 2an 3 5n，a1 6 ，求数列 an 的通项公式。 解：设 an1 x 5n1 2(an x 5n )
2. 已知数列 {an } 满足 an1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列 {an } 的通项公式。 解：设 an1 x 2n1 y 3(an x 2n y)
2） 、指数型。 an1 pan q n 对于这种类型，方法往往是两边同时除以该指数幂，至于除 以多少，则是根据下标同步的原则来决定。 （其中 p，q 均为常数，( pq( p 1)(q 1) 0) ） 。 （或 an1 pan rqn ,其中 p，q, r 均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边 同除以 q
C． 2 n ln n
1 ，则 an ＝（ A ） n D． 1 n ln n
（4）累乘法：适合 an1 f (n)an 型的递推数列。
若
an1 a a a f (n) ，则 2 f (1)，3 f (2)， ，n 1 f (n) an a1 a2 an
2
（n N） ，求数列 an 的通项
二、两式相减法。若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系，求数列 an 的通项 an 可用公式

S1 n 1 求解。 此种类型， 往往先求 n=1 的情况， 得到基本的分数。 an Sn Sn 1 n 2 S n n 1 a 并且利用公式 an 求解时，要注意对 n 分类讨论，观察 1 是否满足 S n S n1 n 2 a 通项 n ，不满足就分开写，但若能合写时一定要合并．
an xn y是公比为 p 的等比数列。而对于更普遍的 an1 qan f (n)
型的递推数列，
都可以设等比数列 an 1 f (n) ，列出关系式 an1 1 f (n 1) 2 [an 2 f (n)] 比较系数求 1 ， 2 ，解得数列 an 1 f (n) 的通项公式，再解得数列 an 的通项公式 例:设数列 an ： a1 4, an 3an1 2n 1, (n 2) ，求 an .
n an1 a1 f (k ) a1 k 1
两边分别相乘得， 基础题：
1、 在数列 an 中，a1
1 n 1 1 , an an 1 (n 2) ， 求数列 {an } 的通项公式。an ＝ 2 n 1 n(n 1)
2、 已知数列 {an } 满足 an1 2(n 1)5n an，a1 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
q ，从而构造出等比数列{a n +k}。不用硬记公式，学会对应 p 1
7 3 1 k 7 7 设 a n 1 k (a n k ) ，比较系数得 k 解得 k 3 3 3 4 7 1 7 7 3 ∴{ a n }是以 为公比，以 a1 1 为首项的等比数列 4 3 4 4 4 7 3 1 n 1 7 3 1 n 1 ∴ a n ( ) a n ( ) 4 4 3 4 4 3
n 1
，得：
an1 p an 1 a ） ，得： n 引 入 辅 助 数 列 bn （ 其 中 bn n n 1 q q q q qn