高三数学上学期入学考试试题 文2
重庆育才中学高2017级高三入学考试数学试题（文科）（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,3,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}0,4,5D ．{}5 2．若复数z 满足i)(1i)2z（，则z 在复平面内对应的点所在的象限为 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:,34xxp x R ∀∈<，命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是 （ ） A ．q p ∧ B ．q p ⌝∧ C ．q p ∧⌝ D ．q p ⌝∧⌝4．已知函数3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，若2(2)(),f x f x ->则x 的取值范围是 ( )A.()(),12,-∞-+∞ B.()(),21,-∞-+∞ C.()1,2- D.()2,1-5．等差数列n a 中，n S 为其前n 项和，且945672S a a a ，则37a a （ ）A ．22B ．24C ．25D ．266．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛30π， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛30π， C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛60π， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，7．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12- C ．2- D ．28．已知函数()322f x x ax x =++在[]0,2上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为（ ） A ．()6,0-B ．(6,6-C ．[)3.5,0-D ． 3.5,6⎡--⎣9．设函数x x x f )41(log )(4-=，xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21x x 、，则（ ）A ．121=x xB ．1021<<x xC ．2121<<x xD ．21x x 2≥10．已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式()2724f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,]8-∞- B ．1(,][1,)8-∞-+∞ C ．[1,)+∞ D ．1[,1]8- 11.函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，且满足1)()1(=++x f x f ，当]2,1[∈x 时()3f x x =-，则(2015)f -=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2- 12.设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2016)(2016)9(3)0x f x f ++--<的解集为（ ）A ．()2019,2016--B ．()2019,2016-C ．()2019,-+∞D ．(),2019-∞- 二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a 是单位向量，向量()=2,23b ，若()2a a b ⊥+，则a ,b 的夹角为 . 14.已知函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的3倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移6π，这样得到的曲线和x y sin 2=的图象相同，则已知函数)(x f y =的解析式为 .15.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '->，设()0a f =，13b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 .16.设函数()()333x x f x e x x ae x =-+--(2)x ≥-，若不等式()0f x ≤有解，则实数a 的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分。
17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,2)()n n S n N *∈均在函数x x y +=2的图像上（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T18.（本小题满分12分）已知函数27()2cos sin(2)6f x x x π=--（1）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （2）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，+2b c =，3()2f A =，求实数a 的最小值．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA =，4PC =．C（1）若点E 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDE ；（2）若点F 在线段PA 上，且FA PA λ=，当三棱锥B AFD -的体积为43时，求实数λ的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分） 设函数)0(ln )(>=x x x x f （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）设，)R ()()(F 2∈'+=a x f ax x )(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当0>x 时．证明：1)(+'>x f e x．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径，（1）证明：AC BC AD AE ⋅=⋅；（2）过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若2,4AF CF ==，求AC 的长23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线()22:11C x y -+=．直线l 经过点(),0P m ，且倾斜角为6π．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐系．（1）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|23||212|)(-++=x a x x f . （1）当1-=a 时，解不等式x x f 3)(≤；（2）当2=a 时，若关于x 的不等式|1|2)(4b x f -<的解集为空集，求实数b 的取值范围.命题人： 审题人：重庆育才中学高2017级高三入学考试数学试题（文科）答案一、选择题CACDB ADDBB CA二、填空题三、解答题17.试题解析：（1）由已知得：当时，，即；当时，两式相减得即经检验：满足综上：数列的通项公式为．（2）由已知得：=18.试题解析：∴函数的最大值为，要使取最大值，则∴，解得．所以的取值集合为（2）由题意，，化简得因为在△ABC中，根据余弦定理，得.由，知，即∴当时，实数取最小值119.（1）连接，设，又点是的中点，则在中，中位线//，又平面，平面。
所以平面（2）依据题意可得：，取中点，所以，且又平面平面，则平面；作于上一点，则平面，因为四边形是矩形，所以平面，则为直角三角形，所以，则直角三角形的面积为.由得：20.试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得，．所以．所以椭圆的标准方程是．（2）解：存在直线，使得成立．理由如下：由得．，化简得．设，则，．若成立，即，等价于．所以．，，,化简得，．将代入中，，解得，．又由，，从而，或．所以实数的取值范围是．21.试题解析：（1）．令，即，得，故的增区间为；令，即，得，故的减区间为；∴的单调增区间为，的单调减区间为．（2）当时，恒有∴在上为增函数，故在上无极值；当时，令，得单调递增，单调递减．∴，无极小值；综上所述：时，无极值时，有极大值,无极小值．（3）证明：设则即证，只要证∵∴，又在上单调递增∴方程有唯一的实根，且．∵当时，．当时，∴当时，∵即，则∴∴原命题得证22.试题解析：（1）连接，由题意知为直角三角形，因为，则即，又，所以（2）因为是圆的切线，所以，又，所以因为又，所以所以，即a23.解：（1）曲线的普通方程为：，即，即，即曲线的极坐标方程为直线的参数方程为（2）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入中，得，所以由题意得，得24.试题解析：（1）当时，不等式可化为或或，解得或或，故不等式的解集为.（2）当时，(时取等号），则，不等式的解集为空集等价于，解得，故实数的取值范围是.欢迎您的下载，资料仅供参考！a。
中学高三数学上学期开学考试试题文
山东省潍坊中学 高三数学上学期开学考试试题 文本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共150分，考试时刻120分钟.第Ⅰ卷(选 择题 共50分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.（专门强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂 “数学”答题卡的前提下，再将Ⅰ卷选择题答案重涂在另一答题卡上.）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}22{},032{2<≤-=≤--=x x B x x x A ，则=⋃B AA ．]3,2[-B ．]2,3[-C ．]2,1[-D ．）2,1[-2．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题3．函数2ln(1)34x y x x +=--+的概念域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-4．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为 A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－375．已知ln x π=，y π21log =，12z e-=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<6．已知函数x xx f 2log 6)(-=，在下列区间中，包括)(x f 零点的区间是 A. (01), B. (12), C. 2,4（） D.4+∞（,）7．函数()()2ln 1f x x =+的图象大致是8．已知函数y ＝ax 3－x 在(－1,1)上是单调减函数，则实数a 的取值范围 A ．13a < B ．1=a C ．13a = D ．13a ≤ 9．已知正数,x y 知足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为 A ．1 B ．3241 C ．161 D ．321 10．若是函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为 A ．16 B ．18 C ．25 D ．812第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)注意事项:第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置.二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为 . 12．设函数f （x ）= 122(1)1()x x log x x -⎧≤⎨-⎩＞1,则知足f （x ）≤2的x 的解集是 . 13．观看下列不等式：213122+<, 231151233++<, 222111712344+++<, ……照此规律，第五个．．．不等式为 . 14．已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y+的最小值是 . 15．已知概念在R 上的奇函数()f x 知足(4)()f x f x -=-，且[0,2]x ∈时，2()log (1)f x x =+，给出下列结论：①(3)1f =；②函数()f x 在[6,2]--上是减函数；③函数()f x 关于直线4x =对称；④若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[0,6]上所有根之和为4.其中正确的是 .（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知集合{|36},{|2,23}xA x xB y y x =≤<==≤<.（Ⅰ）别离求A B C B A U ⋃⋂,；（Ⅱ）已知{|1},C x a x a =≤≤+若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知命题:p 函数22y x x a =-+在区间()1,2上有1个零点；命题:q 函数2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点.若是p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋3在x ＝－1和x ＝2处取得极值．（Ⅰ）求f (x )的表达式和极值;（Ⅱ）若f (x )在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，试求m 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数()x f 的概念域为[2,2]-，若关于任意的,[2,2]x y ∈-，都有()()()y f x f y x f +=+，且当0>x 时，有()0>x f .（Ⅰ）证明:()x f 为奇函数；（Ⅱ）判定()x f 在[2,2]-上的单调性，并证明；( III )设()11=f ,若()log a f x m <(0a >且1a ≠)对∀[]2,2x ∈-恒成立,求实数m 的取值范围.20.（本小题满分13分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，依照体会明白，第二品率P 与日产量x （万件）之间知足关系： 1,1,62,3x c x P x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数） （注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器能够盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出适合的日产量.（Ⅰ）试将生产这种仪器的元件天天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数；（Ⅱ）当日产量为多少时，可取得最大利润？21. （本小题满分14分）已知函数2()(1)ln ,.f x a x x a R =-+∈（Ⅰ）当14a =-时，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）12a =时，令1()()3ln 2h x f x x x =-+-.求()h x 在[1,]e 上的最大值和最小值； ( III )若函数()1f x x ≤-对∀),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.数学（文科）参考答案一、选择题：1—5 ADCDD 6—10CADCB二、填空题11．330x y -+= 12．[0,)+∞ 13．6116151413121122222<+++++14．4 15．①②④三、解答题16. 解： x y 2=在R 上为增函数， ,2232<≤∴y }84{<≤=∴y y B ………………2分4{<=∴y y B C U 或}8y ≥.………………4分（Ⅰ）∴}64{<≤=⋂x x B A ,………………6分 ∴6y y {<=⋃A B C U 或}8y ≥.………………8分（Ⅱ） C B ⊆⎩⎨⎧<+≥∴814a a ,………………10分 74<≤∴a .………………12分17. 解：关于命题:p 函数22y x x a =-+在区间()1,2上有1个零点， 因二次函数开口向上，对称轴为1x =，因此2212102220a a ⎧-⨯+<⎨-⨯+<⎩ 因此01a <<；……3分 关于命题:q 函数 2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，因此2(23)40a ∆=-->，即241250a a -+>， 解得52a >或12a <.………………6分 因为q p ∧是假命题，q p ∨是真命题，因此命题q p ,一真一假,………………7分 ①p 真q 假，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<252110a a ，因此121<≤a ,………………9分 ②p 假q 真，则11522a a a ≤≥⎧⎪⎨<>⎪⎩a 0或或，因此502a a ≤>或,………………11分 故实数a 的取值范围是150122a a a ≤≤<>或或.………………12分 18. 解：（Ⅰ）依题意知：f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为－1和2， ∴12,3,12,6a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－12.………………3分 ∴f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3,∴f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2),令f ′(x )>0得，x <－1或x >2；令f ′(x )<0得,－1<x <2,∴f (x )极大＝f (－1)＝10. f (x )极小＝f (2)＝－17………………6分（Ⅱ）由(1)知，f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在[－1,2]上单调递减．∴m ＋4≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，m ＋4≤2，或m ≥2, ………………9分∴m ≤－5或m ≥2，即m 的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞)．………………12分19. 解：（Ⅰ）令0==y x ，()00=∴f ,………………1分令x y -=()()()()()x f x f f x f x f -=-∴==-+∴,00，故()x f 奇函数. ……4分 （Ⅱ）()x f 在[2,2]-上为单调递增函数. ………………5分任取1222x x -≤<≤，012>-∴x x ，()012>-∴x x f ，()x f 是概念在[2,2]-上的奇函数，()()()()()0121212>-=-+=-∴x x f x f x f x f x f ，()()12x f x f >∴，()x f 在[2,2]-上为单调递增函数. ………………8分 ( III )()x f 在[2,2]-上为单调递增函数，∴()()max 2(11)(1)(1)2f x f f f f ==+=+=，()log a f x m <对∀[]2,2x ∈-恒成立，log 2m a ∴>，………………10分当1a >时，2m a ∴>;当01a <<时，20m a ∴<<.………………12分20. 解：（Ⅰ）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=……2分 当1x c ≤≤时，16P x=-， 21192(1)2()1666x x T x x x x x-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---……4分 综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T x x c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩ ……6分（Ⅱ）由（1）知，当x c >时，天天的盈利额为0 1x c ≤≤，()i 当36c ≤<时，2926x x T x -=-9152[(6)]6x x=--+-15123≤-= 当且仅当3x =时取等号……9分max 3T =，现在3x = ……10分()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知 函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，∴当x c =时2max 926c c T c-∴=-，……12分 综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可取得最大利润;若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可取得最大利润.……13分21.解：（Ⅰ）41-=a ,x x x f ln )1(41)(2+--=,(x>0) …………………… 1分 f ＇(x)xx x x x x x x 2)1)(2(22121212+--=++-=++-=，……………………2分 ① 当0< x < 2时，f ＇(x )>0，f(x )在（0,2）单调递增；② 当x >2时，f ＇(x )<0，f(x )在),2(+∞单调递减；因此函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞.……………………4分（Ⅱ）2()h x x x '=-，令()h x '=0得x =……………………5分当x ⎡∈⎣时()h x '<0，当x ⎤∈⎦时()h x '>0，故x =()h x 在[]1，e 上唯一的极小值点，……………………6分故min ()1ln 2h x h ==- 又1(1)2h =, 211()222h e e =->, 因此max ()h x =2122e -=242e -.…………………… 8分 注：列表也可。
高中数学高三(上)入学数学试卷(文科)
第1页 共22页 ◎ 第2页 共22页绝密★启用前高中数学高三（上）入学数学试卷（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知复数，则A.B.C.D.2. 已知，且 是第四象限角，则 （ ） A.B.C.D.3. “ ＝ ”是“ ＝ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.即不充分也不必要件4. 若 满足关系式＝ ，则 的值为（ ） A.B. C. D.5.已知双曲线的渐近线分别为 ，倾斜角为的直线 过双曲线 的右焦点 ，且分别与直线 交于 两点．若 为线段 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D.6. 学校选派甲、乙、丙、丁、戊 名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这 个人中有 人参加“演讲”比赛，有 人参加“诗词”比赛，其中有 人说的不正确，且参加“演讲”的 人中只有 人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是（ ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.丁和戊 D.甲和丁7. 已知函数 ，若 ，则 之间的大小关系是( )A. B. C. D.8. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A.B.C.D.9. 已知函数 ，当 时，对于任意的实数 ，都有不等式 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.10. 偶函数 的大致图象是( ) A.B.C.D.外…………○………………○…………订※※请※※在※※装※※订※※线※※内※※内…………○………………○…………订11. 已知正四棱锥的各条棱长均为，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 设全集，集合，，则________.14. 已知函数的定义域为，且＝，若当时，＝，则＝________15. 设，，且，．则的值为________．16. 过轴上一定点作直线与抛物线交于两点，若，则点的坐标为________．三、解答题（本题共计 7 小题，共计90分）17.(14分) 设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．18.(14分) 某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）从上述名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取人得到一个样本，再从这个样本中抽取人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率．参考公式：，其中．参考数据：19.(14分) 如图，直三棱柱中，＝＝＝，，，分别是，的中点．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的高．20.(14分) 已知椭圆的离心率为，抛物线＝的准线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点、分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且＝．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．第3页共22页◎第4页共22页第5页 共22页 ◎ 第6页 共22页21.(14分) 已知 .若 在 上单调递增，求 的取值范围；若 有两个极值点 ， ， 证明：① ；② .22.(10分) 在直角坐标系 中，直线 ，圆 .以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 求 的极坐标方程.若直线 的极坐标方程为，设 与 的交点为 （异于原点），求 的面积.23.(10分) 已知函数 ．（1）若 ，求不等式 的解集；（2）关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．第7页共22页◎第8页共22页参考答案与试题解析高中数学高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：,.故选.2.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】首先利用诱导公式得出的值，然后利用同角三角函数的平方关系，即可得出结论．【解答】解：∵，∴又是第四象限角，∴∴.故选3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由＝，解得＝或＝，故“＝”是“＝”必要不充分条件，4.【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】由已知得，从而求出，由此能求出的值．【解答】∵满足关系式＝，∴，解得，∴．5.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：依题意得，直线的方程为．双曲线的渐近线方程分别为，设，．依题意知，点的坐标分别为方程组和的解．解两方程组，得．∵为线段的中点，第9页 共22页 ◎ 第10页 共22页∴， ∴， 化简的 ，∴．故选 ．6. 【答案】 D【考点】进行简单的合情推理 【解析】分别假设参加“演讲”比赛的学生是甲和乙，乙和丙，丁和戊，甲和丁，分析 名学生的话，能确定参加“演讲”比赛的学生． 【解答】假设参加“演讲”比赛的学生是甲和乙，由甲、乙、丁、戊四个人说的都正确，丙说的不正确，不合题意； 假设参加“演讲”比赛的学生是乙和丙，由甲、丁、戊三个人说的都正确，乙和丙说的不正确，但参加“演讲”的 人说得都不正确，不合题意； 假设参加“演讲”比赛的学生是丁和戊，由甲、丁、戊三个人说的都错误，乙和丙说的都正确，不合题意； 假设参加“演讲”比赛的学生是甲和丁，由甲、丙、戊三个人说的都正确，乙和醒丙说的不正确，且参加“演讲”的 人中只有 人说的不正确，符合题意．综上，确定参加“演讲”比赛的学生是甲和丁． 7.【答案】 C【考点】对数值大小的比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由题得，， 由复合函数的单调性可知， 为 上的减函数， 又，，由 ， 得 ， 而 ， 故 ， 结合 的单调性， 得 . 故选 . 8.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】由题意易知，点 为切点，故根据导数的几何意义，可得切线的方程，从而求出切线与两坐标轴的截距，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积可求． 【解答】解：由题意易知，点 为切点， ， ，∴ 切线方程为：，∴ 它在两坐标轴的截距分别为，，∴ 与两坐标轴围成的三角形面积． 故选 ． 9.【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】求得 的导数，可得 的单调性，令 ，可得 的单调性，以及 ，将原不等式转化，可得 恒成立，由正弦函数的值域即可得到所求范围． 【解答】函数 ， 导数为 ， 可得 时， 在 上递增， 可令 ， 可得 在 上递增，且 ， 由 成立，可得 成立， 即为 ， 即 ，可得 ，第11页共22页◎第12页共22页即有恒成立，由于的最大值为，可得，10.【答案】C【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数，可得，∴是偶函数，其图象关于轴对称，排除，；当时，，当时，，当时，.故选.11.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可．【解答】如图，设正四棱锥底面的中心为，则在直角三角形中，，∴，在直角三角形中，，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径，球的表面积，12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．【解答】解：构造函数，则，因为,所以, 故函数在上为减函数，又，所以，则不等式可化为,即,所以,即所求不等式的解集为.故选.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，.故答案为：.14.【答案】【考点】求函数的值函数的周期性函数的求值【解析】推导出＝＝，当时，＝，从而＝＝，由此能求出结果．【解答】∵函数的定义域为，且＝，∴＝＝，当时，＝，∴＝＝＝故答案为：15.【答案】【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】第13页 共22页 ◎ 第14页 共22页由的值，利用二倍角的正切函数公式求出 的值大于 ，确定出 的范围，进而 与 的值，再由 的值范围求出 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 的值，所求式子的角 ＝ ，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】 ∵， ∴，∴， ∴，，∵， ∴， ∴，则 ＝ ＝． 16.【答案】 或 【考点】 抛物线的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设直线 的方程为 ，，，联立消元得 ，则 ． 由得，所以 或 ，所以 或 ，即 或 ， 则直线 的方程为 或 ，故直线 过 轴上一定点 或 ，即为所求 的坐标． 故答案为： 或 ．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计90分 ） 17. 【答案】解：（1）∵ ， ∴ ， ∵ 为偶函数， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ；（2）∵，∴，∴ ，∴， ∵ ，∴， ∴，∴ ，或， ， ∴，或， ， ∵ ， ∴或或 或【考点】两角和与差的三角函数 二倍角的三角函数 【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】 解：（1）∵ ， ∴ ， ∵ 为偶函数， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ；（2）∵，∴， ∴ ，∴，第15页 共22页 ◎ 第16页 共22页∵ ，∴， ∴，∴ ，或， ， ∴，或， ， ∵， ∴或或 或18.【答案】根据题意，由频率分布表可得： 则，顾在犯错误的概率不超过 的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关；根据题意，样本中“课外体育不达标”有 人，分别记为 、 、 ，“课外体育达标”的有 人，记为 ； 从 名学生中任意选出 人，有 、 、 、 、 、 ，共 种情况，其中恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况有： 、 、 ，共 种情况， 则恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率． 【考点】 独立性检验 【解析】（1）根据题意，由由频率分布表可得 列联表，计算 可得，由独立性检验的意义分析可得答案；（2）根据题意，样本中“课外体育不达标”有 人，分别记为 、 、 ，“课外体育达标”的有 人，记为 ；列举从 名学生中任意选出 人以及恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况，由古典概型的计算公式计算可得答案． 【解答】根据题意，由频率分布表可得： 则，顾在犯错误的概率不超过 的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关；根据题意，样本中“课外体育不达标”有 人，分别记为 、 、 ，“课外体育达标”的有 人，记为 ； 从 名学生中任意选出 人，有 、 、 、 、 、 ，共 种情况，其中恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况有： 、 、 ，共 种情况， 则恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率． 19. 【答案】由已知得：所以所以 ＝ ，所以又因为 ＝ ， 是 的中点，所以 所以 平面 ，所以 而 ＝ ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 ；设三棱锥 的高为 ，因为，所以，由 ，得： ， 所以 ，所以， 由 ，得：，所以 ＝ ． 【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算 【解析】（1）由已知得：， ，可得 ， ， 平面 ，可得平面 平面 ；（2）设三棱锥 的高为 ，由 ，得：， ＝ ． 【解答】由已知得：所以所以 ＝ ，所以又因为 ＝ ， 是 的中点，所以 所以 平面 ，所以 而 ＝ ，所以 平面第17页 共22页 ◎ 第18页 共22页又 平面 ，所以平面 平面 ；设三棱锥 的高为 ，因为，所以，由 ，得： ， 所以 ，所以， 由 ，得：，所以 ＝ ． 20.【答案】由题意可知，抛物线 的准线方程为 ＝ ， 又椭圆 被准线截得弦长为 ， ∴ 点在椭圆上，∴，① 又， ∴， ∴ ＝ ，②，由①②联立，解得 ＝ ， ＝ ， ∴ 椭圆 的标准方程为：＝ ，设直线 ＝ ，设 ， ，把直线 代入椭圆方程，整理可得 ＝ ，＝ ＝ ，即 ，∴，，∵，， ∵ 、 都在 轴上方）．且 ＝ ，∴ ＝ ， ∴， 即 ＝ ，整理可得 ＝ ， ∴＝ ，即 ＝ ， 整理可得 ＝ ，∴ 直线 为 ＝ ＝ ，∴ 直线 过定点【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）根据题意可得， ＝ ，解得即可，（2）设直线 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式以及 ＝ ；即可求 ， 的关系式，即可求出 【解答】由题意可知，抛物线 的准线方程为 ＝ ， 又椭圆 被准线截得弦长为 ， ∴ 点在椭圆上，∴，① 又，∴， ∴ ＝ ，②，由①②联立，解得 ＝ ， ＝ ，∴ 椭圆 的标准方程为：＝ ，设直线 ＝ ，设 ， ，把直线 代入椭圆方程，整理可得 ＝ ，＝ ＝ ，即 ， ∴，，∵，，∵ 、 都在 轴上方）．且 ＝ ， ∴ ＝ ，∴，即 ＝ ， 整理可得 ＝ ， ∴＝ ，即 ＝ ， 整理可得 ＝ ，∴ 直线 为 ＝ ＝ ， ∴ 直线 过定点 21.【答案】解： ，第19页共22页◎第20页共22页令，则，显然，在上单调递增，且.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为，即的最小值为，要使为单调递增函数，则有，所以，故.证明：①由得的两个零点为，，且.在和上单调递增，在上单调递减.令，则，.所以在上单调递减，当时，.所以，从而，又，所以，因为在上单调递减，，所以，故.②.由①得，所以，由在上单调递减，可得，从而有.所以.【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：，令，则，显然，在上单调递增，且.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为，即的最小值为，要使为单调递增函数，则有，所以，故.证明：①由得的两个零点为，，且.在和上单调递增，在上单调递减.令，则，.所以在上单调递减，当时，.所以，从而，又，所以，因为在上单调递减，，所以，故.②.由①得，所以，由在上单调递减，可得，从而有.所以.22.【答案】解：因为，所以的极坐标方程为，所以的极坐标方程为.第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页因为直线 的极坐标方程为，所以，所以 ， 点 到直线 的距离， 所以. 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解： 因为 ， 所以 的极坐标方程为 ，所以 的极坐标方程为 . 因为直线 的极坐标方程为，所以，所以 ， 点 到直线 的距离， 所以. 23.【答案】当 时，原不等式等价于： ．—————————-当 时， ，解得： 当时， ，无解—————————-当时， ，解得：∴ 原不等式的解集为： 或令 ，依题意：∵ ，∴∴ ，解得 或 故： 的取值范围为 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）通过讨论 的范围，求出不等式的解集即可；（2）令 ，依题意： ，求出 的范围即可． 【解答】当 时，原不等式等价于： ．—————————-当 时， ，解得： 当时， ，无解—————————-当时， ，解得：∴ 原不等式的解集为： 或令 ，依题意：∵ ，∴∴ ，解得 或 故： 的取值范围为。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(文)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知(3,0),(3,0),(0,3)A B C -，则外接圆的方程为（）．22(1)2x y -+=B ．2(1)x y -+22(1)2x y +-=D ．2(x y +．已知一个半径为4的扇形圆心角为)π，面积为2π，若()tan θϕ+（）．0B ．12D ．1-A ．4B ．57．设一组样本数据122022,,,x x x 的平均数为1220220.11,0.11,,0.11x x x +++ 的平均数和方差分别为（A ．10,1B ．10,0.18．设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使A ．αβ⊥，//l βC ．//l n ，n α⊥9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若A ．1或9B ．110．设函数()f x 定义域为R ，(f x -()21f x x =-+，则下列结论错误的是（二、填空题15．已知抛物线于,A B两点，且中，16．在ABC的面积，则若S为ABC三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．随着飞盘运动在网络上火爆起来后，一些年轻人的热情被点燃盘运动迎来了众多的青少年从某中学随机抽取男生和女生各34，女生中有5(1)完成下面22⨯关？有兴趣(1)证明：平面11A B F ⊥平面(2)若160,ABC AA ∠==20．已知椭圆E ：22x a +(1)求椭圆E 的方程.(2)设椭圆E 的下顶点为点两点，直线AP ，AQ 分别与直线l 过定点.。
高三数学上学期开学考试试题文含解析
日期：2022年二月八日。
鲁山县第一高级中学2021届高三数学上学期开学考试试题文〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合，，那么A. B. C. D.2.复数z满足，那么A. 2iB. 2C. iD. 13.平面内一条直线l及平面，那么“〞是“〞的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小一样的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为A. B. C. D.5.一组样本数据点，，，，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，假设数据，，，，的平均数为1，那么等于A. 10B. 12C. 13D. 146.等比数列中，假设，那么mn不可能为A. 5B. 6C. 8D. 9日期：2022年二月八日。
7.二元一次不等式组表示的平面区域为D，命题p：点在区域D内；命题q：点在区域D内．那么以下命题中，真命题是A. B. C. D.8.中，，，，BC的中点为M，那么等于A. B. 11 C. 12 D. 159.圆C：与双曲线的渐近线相切，那么该双曲线的离心率是A. B. C. D.10.正实数a，b满足，，那么A. B. C. D.11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常合适表示计算机中的数，所以如今使用的计算机设计为二进制．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规那么，它们可以互相转化，如．我国数学史上，清代汪莱的参两算经是较早系统阐述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：，，，，那么八进制下等于A. B. C. D.12.假设函数为自然对数的底数有两个极值点，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.，那么等于______．14.定义在R上的偶函数满足，，那么等于______．15.一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，那么该圆锥的侧面积为______．16.数列的前n项和为，，假设对于任意m，，恒成立，那么实数M的最小值为______．日期：2022年二月八日。
高三数学上学期入学考试考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校石室2021届高三数学上学期入学考试考试题文〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，那么z =〔〕 A.1i - B.1i +C.1i --D.1i -+【答案】A 【解析】 【详解】由2017i 1iz=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，那么1i z =-，应选：A. (){}2ln 34A x y x x ==--+，{}222x B y y -==，那么A B =〔〕A.()0,1B.(]4,4-C.(],4-∞ D.()4,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】由二次不等式的解法可得：()4,1A =-，由指数函数的值域的求法可得：(]0,4B =，再结合并集的运算可得：(]4,4A B =-，得解.【详解】解：解不等式2340x x --+>，解得41x -<<，即()4,1A =-，又因为222x -≤，所以22024x -<≤，即(]0,4B =，即(]4,4A B =-，应选B.【点睛】此题考察了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属根底题. 3.以下判断正确的选项是〔〕A.0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃≤，020*******x +≤〞B.函数()f x =的最小值为2C.“2x=〞是“2x -=D.假设0a b ⋅<，那么向量a 与b 夹角为钝角 【答案】C 【解析】 【分析】00x ∃>，020*******x +≤〞，选项A 错误，由()g t 在[)3,+∞为增函数，即min 10()3g t =，即B 错误；由根式方程的求法得“2x =〞是“2x -=C 正确，由向量的夹角可得向量a 与b 夹角为钝角或者平角，即D 错误，得解.0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃>，0201920190x +≤〞，即A 错误；对于选项B ，令t =3t≥，那么1()g t t t=+，3t ≥， 又()g t 在[)3,+∞为增函数，即min 10()(3)3g t g ==，即B 错误；对于选项C ，由“2x =〞可得“2x -=由“2x -=220x x -=-=，解得“2x =〞，即“2x=〞是“2x -=C 正确，对于选项D ，假设0a b ⋅<，那么向量a 与b 夹角为钝角或者平角，即D 错误， 应选C.()44sin cos f x x x =-，以下结论不正确的选项是〔〕A.在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 B.图像关于y 轴对称C.最小正周期为2πD.值域为[]1,1-【答案】C 【解析】 【分析】 由2222sincos 1,cos sin cos 2x x x x x +=-=，求得()f x =cos2x -，再利用()f x 的性质即可得解.【详解】解：因为()44sin cos f x x x =-2222(sin cos )(sin cos )x x x x =-+22sin cos cos 2x x x =-=-，那么函数是在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增的偶函数，且值域为[]1,1-，周期为22ππ=， 即选项,,A B D 正确，选项C 错误，应选C.【点睛】此题考察了三角恒等变换及函数()f x =cos2x -的性质，属根底题.5.在如图的程序框图中，假设输入m =77，n =33，那么输出的n 的值是 A.3 B.7 C.11 D.33【答案】C 【解析】这个过程是7723311=⨯+，33311=⨯，故所求的最大公约数是11。
最新高三(上)开学数学试卷(文科)附带参考答案
最新高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1. 已知集合P ＝{x ∈N|x 2≤5}，Q ＝{x ∈R|ln x >−1}，则P ∩Q 的真子集个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.72. 在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的（ ） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知命题p:f(x)＝x −1在其定义域内是减函数；命题q:g(x)＝tan x 的图象关于x =π2对称．则下列命题中真命题是（ ） A.p ∨q B.p ∧q C.(￢p)∧q D.￢(p ∨q)4. 设方程2x +x −2＝0的根为x 1，方程log 21x −x +2＝0的根为x 2，则x 1+x 2＝（ ）A.1B.2C.3D.45. 设a ＝ln √32，b=(ln 3)25，c =√sin 75，则（ ） A.a <b <c B.b <a <cC.a <c <bD.c <a <b6. 已知函数f(x)={log 2(1−x),x <022x−1,x ≥0 ，则f （f(−3)）+f （f(0)）＝（ ）A.7B.7+ln 3C.8D.97. 欲得到函数f(x)＝2sin 2x 的图象，只需将函数g(x)=2cos (2x −π4)的图象（ ） A.向右平移π8个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π8个单位 D.向左平移π4个单位8. 函数f(x)=x+sin x x 2+cos x 在[−π, π]的图象大致是（ ）A.B.C.D.9. 命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是（ ） A.不存在x 0∈R ，2x 0>0 B.存在x 0∈R ，2x 0≥0 C.对任意的x ∈R ，2x ≤0 D.对任意的x ∈R ，2x >010. 设a ，b 为正数，且2−a −4−b +1=log 2ab ，则（ ）A.a <2bB.a >2bC.a ＝2bD.a +2b ＝111. 定义在R 上的函数y ＝f(x)是奇函数，y ＝f(2−x)为偶函数，若f(1)＝1，则f(2019)+f(2020)+f(2021)＝（ ） A.−2 B.0 C.2 D.312. 函数f(x)是定义在R 上的函数，其导函数记为f ′(x)，g(x)＝f(x −a)+b 的图象关于P(a, b)对称，当x >0时，f ′(x)<f(x)x恒成立，若f(2)＝0，则不等式f(x)x−1>0的解集为（ ）A.(−2, 0)∪(1, 2)B.(−2, 0)∪(0, 1)C.(1, 2)∪(−∞, −2)D.(−2, 0)∪(2, +∞) 二、填空题（每小题5分，共20分）若函数f(x)=13x 3−x 2+ax +a 在(0, 1)上不单调，则实数a 的取值范围是________．已知钝角△ABC 的三边都是正整数，且成等差，公差为偶数，则满足条件的△ABC 的外接圆的面积的最小值为________．设a >0，f(x)=√22ax ，g(x)=ex−32（e 是自然对数的底），若对∀x 1∈[12,2]，∃x 2∈[12,2]，使得f(x 1)f(x 2)＝g(x 1)g(x 2)成立，则正数a ＝________．关于函数f(x)＝sin x +1sin x 有如下四个命题：①f(x)的图象关于y 轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)在(0,π2)上单调递减；④f(x)的最小值为2；⑤f(x)的最小正周期为π．其中所有真命题的序号是________． 三、解答题（共70分）已知f(x)＝x −sin 2x ，（1）求y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程；（2）求y ＝f(x)在[0,π2]上的最值．已知α，β为锐角，tan α=43，cos (α+β)=−√55． （1）求cos 2α+sin 2α的值；（2）求tan (β−α)的值．已知f(x)＝[sin (π−x)+sin (π2+x)]2+2cos (x −π4)cos (x +π4)． （1）求f(x)的最小正周期；（2）若g(x)＝f(x)−a （a 为常数）在[0,π2]上有两个不同的零点x 1和x 2，求x 1+x 2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三个内角A ，B ，C 满足sin B sin C+sin C sin B−sin 2A sin B sin C=1．（1）求A ；（2）若a ＝2，△ABC 的内角平分线AE =5√39，求△ABC 的周长．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，点(2,√2)在C 上．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅰ)直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．已知函数f(x)＝ae x−1−ln x +ln a （e 是自然对数的底）．（1）当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥1在(0, +∞)上恒成立，求正数a 的取值范围．参考答案与试题解析最新高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合，Q，从而求出P∩Q，由此能求出P∩Q的真子集个数．【解答】Ⅰ 集合P＝{x∈N|x2≤5}＝{−2, −1, 0, 1, 2}，Q＝{x∈R|ln x>−1}＝{x|x>1e}，Ⅰ P∩Q＝{1, 2}，Ⅰ P∩Q的真子集个数为22−1＝3．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断正弦定理【解析】由正弦定理知asin A =bsin B，由sin A>sin B，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．【解答】解：由正弦定理知asin A =bsin B=2R，Ⅰ sin A>sin B，Ⅰ a>b，Ⅰ A>B．反之，Ⅰ A>B，Ⅰ a>b，Ⅰ a=2R sin A，b=2R sin B，Ⅰ sin A>sin B.故在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件.故选A.3.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】直接利用简易逻辑和真值表的应用求出结果．【解答】命题p:f(x)＝x−1在其定义域内是减函数；为假命题．命题q:g(x)＝tan x的图象关于x=π2对称．为假命题．故￢(p∨q)为真命题．4.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题可知，函数y＝2x和函数y＝log2x的图象与直线y＝2−x的交点的横坐标分别为x1和x2，而函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，故点(x1, 2−x1)与点(x2, 2−x2)关于直线y＝x对称，从而得解．【解答】由题可知，函数y＝2x的图象与直线y＝2−x的交点的横坐标为x1，函数y＝−log21x=log2x图象与直线y＝2−x的交点的横坐标为x2，而函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以点(x1, 2−x1)与点(x2, 2−x2)关于直线y＝x对称，所以2−x1＝x2或x1＝2−x2，即x1+x2＝2．5.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】根据对数函数和幂函数的性质，利用特殊值判断即可．【解答】a＝ln√32<ln1＝0，b=(ln3)25>(ln e)25=1，0<c=√sin75<√sin90=1，所以a<c<b．6.【答案】D【考点】分段函数的应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，由函数的解析式计算f(−3)与f(0)的值，进而可得f（f(−3)）和f（f(0)）的值，相加即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)={log 2(1−x),x <022x−1,x ≥0 ，则f(−3)＝log 24＝2，f(0)＝2−1=12，则f （f(−3)）＝f(2)＝23＝8，f （f(0)）＝f(12)＝20＝1，故f （f(−3)）+f （f(0)）＝8+1＝9； 7.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换即可得解． 【解答】Ⅰ f(x)＝2sin 2x ，g(x)=2cos (2x −π4)=2sin [π2+(2x −π4)]＝2sin 2(x +π8)，Ⅰ 要得到函数f(x)＝2sin 2x 的图象，只需将函数f(x)的图象向右平移π8个单位． 8.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据题意，利用排除法分析：分析函数的奇偶性排除D ，进而由函数的解析式分析可得在(0, π2)上，f(x)>0且f(1)>1，排除D 、C ，即可得答案． 【解答】 故选：A ． 9.【答案】 D【考点】 命题的否定 【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】Ⅰ 特称命题的否定是全称命题．Ⅰ 命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是：“对任意的x ∈R ，2x >0”． 10. 【答案】 C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】 推导出12a −122b +1=log 2a b，由此能求出结果．【解答】Ⅰ a ，b 为正数，且2−a −4−b +1=log 2ab ，Ⅰ 12a −122b +1=log 2ab ，对于A ，a <2b 时，12a −122b +1=log 2ab 不成立； 对于B ，a >2b 时，12a −122b +1=log 2ab 不成立； 当a ＝2b 时，12a −122b +1=log 2a b，成立．对于D ，a ＝2b 时，12a −122b +1=log 2a b不成立．11.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是8，结合周期性，对称性进行转化求解即可． 【解答】Ⅰ y ＝f(2−x)为偶函数，Ⅰ f(2+x)＝f(2−x)，即f(x)关于x ＝2对称， Ⅰ f(x)是奇函数，Ⅰ f(2+x)＝f(2−x)＝−f(x −2)，且f(0)＝0， 即f(x +4)＝−f(x)，得f(x +8)＝−f(x +4)＝f(x)， 则函数的周期是8，则f(2019)＝f(252×8+3)＝f(3)＝f(1)＝1， f(2020)＝f(252×8+4)＝f(4)＝−f(0)＝0， f(2021)＝f(252×8+5)＝f(5)＝−f(1)＝−1， 则f(2019)+f(2020)+f(2021)＝1+0−1＝0， 故选：B ． 12.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由g(x)的对称性可推出f(x)的图象关于(0, 0)对称，即f(x)是奇函数；构造新函数ℎ(x)=f(x)x，求导后可证得ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减；结合f(x)为奇函数可说明函数ℎ(x)为偶函数，且ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增，ℎ(−2)＝ℎ(2)＝0，从而得f(x)<0和f(x)>0时，x 的取值范围；再将不等式f(x)x−1>0等价于{x −1>0f(x)>0 或{x −1<0f(x)<0，进而得解． 【解答】Ⅰ g(x)＝f(x −a)+b 的图象关于P(a, b)对称，Ⅰ 函数y ＝f(x)的图象关于(0, 0)对称，即函数f(x)是奇函数， 设ℎ(x)=f(x)x，则ℎ′(x)=xf ′(x)−f(x)x 2，Ⅰ 当x >0时，f ′(x)<f(x)x恒成立，即xf ′(x)−f(x)<0，Ⅰ ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减． 又函数f(x)是奇函数，Ⅰ ℎ(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=ℎ(x)，Ⅰ 函数ℎ(x)为偶函数，ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增．Ⅰ f(2)＝0，Ⅰ ℎ(−2)＝ℎ(2)=f(2)2=0．Ⅰ 当−2<x <0或x >2时，f(x)<0；当x <−2或0<x <2时，f(x)>0． 不等式f(x)x−1>0等价于{x −1>0f(x)>0 或{x −1<0f(x)<0，Ⅰ 1<x <2或−2<x <0．Ⅰ 不等式的解集为(−2, 0)∪(1, 2)． 二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】 (0, 1) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求导得f ′(x)＝x 2−2x +a ，由二次函数的性质可知，f ′(x)在(0, 1)上单调递减，而原问题可转化为f ′(x)在(0, 1)内至少有一个变号零点，再结合零点存在定理列出关于a 的不等式组，解之即可． 【解答】Ⅰ f(x)=13x 3−x 2+ax +a ，Ⅰ f ′(x)＝x 2−2x +a ，对称轴为x ＝1，开口向上，Ⅰ f ′(x)在(0, 1)上单调递减，Ⅰ f(x)在(0, 1)上不单调，Ⅰ f ′(x)在(0, 1)内至少有一个变号零点， Ⅰ {f ′(0)>0f ′(1)<0 ，即{a >01−2+a <0 ，解得0<a <1．Ⅰ 实数a 的取值范围是(0, 1)． 【答案】49π3【考点】 正弦定理 【解析】设钝角△ABC 的三边分别为x −d ，x ，x +d ，且x +d 所对的角为钝角α，由余弦定理求得x <4d ，再利用三角形三边关系求出x 的可能取值，讨论确定△ABC 的外接圆面积最小时的三条边，从而求出面积的最小值． 【解答】由题意，设钝角△ABC 的三边分别为x −d ，x ，x +d ，且x +d 所对的角为钝角α， 由余弦定理得cos α=(x−d)2+x 2−(x+d)22x(x−d)=x−4d 2(x−d)<0，即x <4d ，又公差d 为偶数，且x −d >0，即d <x <4d ； 所以d ＝2时△ABC 的外接圆取得最小值；又x 为正整数，所以x 的可能取值为3，4，5，6，7；当x ＝3时，三角形三边分别为1，3，5，不能构成三角形，舍去； 当x ＝4时，三角形三边长分别为2，4，6，不能构成三角形，舍去；当x ＝5时，三角形三边分别为3，5，7，能构成三角形，此时△ABC 的外接圆面积最小； 由余弦定理得，cos A =52+72−322×5×7=1314，所以sin A =2A =3√314，由正弦定理得2R =a sin A=3√314√3，解得R =√3，所以△ABC 外接圆的面积最小值为S ＝πR 2=49π3．【答案】1【考点】函数恒成立问题 【解析】先把 f(x 1)f(x 2)＝g(x 1)g(x 2)转化为 12a 2⋅x 1ex 1−32=ex 2−32x 2，再利用导数分别求出等式两边的取值集合，结合题意即可得到等式右边的取值集合包含等式左边的取值集合，列不等式求解即可． 【解答】依题意由 f(x 1)f(x 2)＝g(x 1)g(x 2) 成立，可得 √22ax 1⋅√22ax 2=ex 1−32⋅ex 2−32，化简得 12a 2⋅x 1ex 1−32=ex 2−32x 2，令 ℎ(x)=e x−32x,x ∈[12,2]，则 ℎ(x)=ex−32⋅(x−1)x 2，于是当 x ∈(12,1) 时，ℎ′(x)<0； 当 x ∈(1, 2)时，ℎ′(x)>0，所以函数 ℎ(x) 在区间 (12,1) 上单调递减，在区间 (1, 2)上单调递增，那么 ℎ(x)min =ℎ(1)=√eℎ(x)max =max {ℎ(12),ℎ(2)}=max {2e ,√e2}， 由 ln x ≤1e x ⇒ln 2≤2e <34⇒2ln 2=ln 4<32 ⇒ln 4<ln e √e ⇒4<e √e ⇒4−2e √e 2e<0⇒2e <√e 2，故 ℎ(x)max =max {2e ,√e2}=√e 2， 于是函数 ℎ(x) 的值域为 [√e√e2]， 所以当 x 2∈[12,2] 时 ,ex 2−32x 2∈[e √e2]； 当x 1∈[12,2] 时 ,12a 2⋅x 1e 1−32∈[2√ea 2√e 2]，因为 ∀x 1∈[12,2],∃x 2∈[12,2]，使得 12a 2⋅x 1e x 1−32=ex 2−32x 2成立，所以[√e √e2]⊇[2√e a 2√e2]，于是有 {2√e≥√ea 2√e 2≤√e 2， 解得 1Ⅰa Ⅰ1， 即 a ＝1． 【答案】 ②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】根据函数f(x)＝sin x +1sin x 的性质依次判断下列各选项即可； 【解答】由函数f(x)＝sin x +1sin x，那么f(−x)＝sin (−x)+1sin (−x)=−sin x −1sin x=−f(x)Ⅰ f(x)是奇函数，故①错，②对，当x ∈(0,π2)上时，函数t ＝sin x 是递增函数，且t ∈(0, 1)， 那么函数y =1t +t 在(0, 1)单调递减， 所以得f(x)在(0,π2)上单调递减，故③对；因为y ＝sin x 的周期T ＝2π，且x ≠kπ，Ⅰ f(x)的最小正周期为2π．故④不对． 三、解答题（共70分）【答案】y ＝f(x)的定义域为Rf(0)＝0−−− f ′(x)＝1−2cos 2x −−− f ′(0)＝−1−−−所以切线方程为：y ＝−x ，即x +y ＝0−−−令f ′(x)＝0，得cos 2x =12，又x ∈[0,π2]，故x =π6−−− 当x ∈(0,π6)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减当x ∈(π6,π2)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增--- 在x =π6处取得最小值，为f(π6)=π6−√32−−−f(0)＝0，f(π2)=π2，f(π2)>f(0)−−− 在x =π2处取得最大值，为f(π2)=π2−−−综上得y ＝f(x)在[0,π2]上的最小值为π6−√32，最大值为π2．-- 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）出导函数，求出函数f(x)在x ＝0处的函数值，即导数，即可求得切线方程； （2）利用导数求出函数的单调区间，进而求得函数的最值． 【解答】y ＝f(x)的定义域为Rf(0)＝0−−− f ′(x)＝1−2cos 2x −−− f ′(0)＝−1−−−所以切线方程为：y ＝−x ，即x +y ＝0−−−令f ′(x)＝0，得cos 2x =12，又x ∈[0,π2]，故x =π6−−− 当x ∈(0,π6)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减当x ∈(π6,π2)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增--- 在x =π6处取得最小值，为f(π6)=π6−√32−−−f(0)＝0，f(π2)=π2，f(π2)>f(0)−−− 在x =π2处取得最大值，为f(π2)=π2−−−综上得y ＝f(x)在[0,π2]上的最小值为π6−√32，最大值为π2．-- 【答案】cos 2α+sin 2α＝cos 2α−sin 2α+2sin αcos α=cos 2α−sin 2α+2sin αcos αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α+2tan α1+tan 2α=1−169+831+169=1725．因为α，β为锐角，tan α=43，cos (α+β)=−√55所以sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55，tan (α+β)＝−2，tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×431−(43)2=−247，所以tan (β−α)=tan [(α+β)−2α]=tan (α+β)−tan 2α1+tan (α+β)tan 2α=211．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，通过“1”的代换，转化求解即可． （2）利用角的转化β−α＝(α+β)−2α，通过两角和与差的三角函数转化求解即可． 【解答】cos 2α+sin 2α＝cos 2α−sin 2α+2sin αcos α=cos 2α−sin 2α+2sin αcos αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α+2tan α1+tan 2α=1−169+831+169=1725．因为α，β为锐角，tan α=43，cos (α+β)=−√55所以sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55，tan (α+β)＝−2，tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×431−(43)2=−247，所以tan (β−α)=tan [(α+β)−2α]=tan (α+β)−tan 2α1+tan (α+β)tan 2α=211． 【答案】f(x)=[sin (π−x)+sin (π2+x)]2+2cos (x −π4)cos (x +π4)=(sin x +cos x)2+2(√22cos x +√22sin x)(√22cos x −√22sin x) ＝1+2sin x cos x +(cos 2x −sin 2x)＝1+sin 2x +cos 2x =1+√2sin (2x +π4)， 则T =2π2=π所以f(x)的最小正周期为π．当0≤x ≤π2时，0≤2x ≤π，π4≤2x +π4≤5π4，由2x +π4=π2得x =π8，即此时的对称轴为x =π8， 当2x +π4=π4时，f(x)＝1+√2×√22=2，当2x +π4=π2时，f(x)＝1+√2，若g(x)＝f(x)−a 在[0,π2]上有两个不同的零点x 1和x 2，即f(x)＝a 在[0,π2]上有两个不同的根x 1和x 2， 则2≤a <√2+1此时x 1和x 2关于x =π8对称， 所以x 1+x 2=π4．【考点】函数的零点与方程根的关系 两角和与差的三角函数【解析】（1）利用三角函数的诱导公式以及辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可． （2）求出角的范围，结合三角函数的图象，利用函数与方程之间的关系进行转化即可． 【解答】f(x)=[sin (π−x)+sin (π2+x)]2+2cos (x −π4)cos (x +π4)=(sin x +cos x)2+2(√22cos x +√22sin x)(√22cos x −√22sin x) ＝1+2sin x cos x +(cos 2x −sin 2x)＝1+sin 2x +cos 2x =1+√2sin (2x +π4)， 则T =2π2=π所以f(x)的最小正周期为π．当0≤x ≤π2时，0≤2x ≤π，π4≤2x +π4≤5π4，由2x +π4=π2得x =π8，即此时的对称轴为x =π8， 当2x +π4=π4时，f(x)＝1+√2×√22=2，当2x +π4=π2时，f(x)＝1+√2，若g(x)＝f(x)−a 在[0,π2]上有两个不同的零点x 1和x 2，即f(x)＝a 在[0,π2]上有两个不同的根x 1和x 2，则2≤a <√2+1此时x 1和x 2关于x =π8对称， 所以x 1+x 2=π4．【答案】由已知得：sin2B+sin2C−sin2A＝sin B sin C−−−−因为asin A =bsin B=csin C=2R−−−−所以b2+c2−a2＝bc−−−−−所以cos A=b 2+c2−a22bc=12−−−−−又因为A∈(0, π)所以A=π3−−−由余弦定理：a2＝b2+c2−2bc cos A，即b2+c2−bc＝4整理得：(b+c)2−3bc＝4−−−−−−因为S△ABC＝S△ABE+S△ACE即12bc sinπ3=12AE×b sinπ6+12AE×c sinπ6整理得：bc=59(b+c)−−−−−−所以(b+c)2−53(b+c)=4解得：b+c＝3（或b+c=−43舍）所以△ABC的周长为5−−−−−−−−【考点】正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2＝bc，利用余弦定理可求cos A的值，结合范围A∈(0, π)可求A的值．（2）由余弦定理可得：(b+c)2−3bc＝4，由于S△ABC＝S△ABE+S△ACE，利用三角形的面积公式可求bc=59(b+c)，即可解得b+c的值，从而得解三角形的周长的值．【解答】由已知得：sin2B+sin2C−sin2A＝sin B sin C−−−−因为asin A =bsin B=csin C=2R−−−−所以b2+c2−a2＝bc−−−−−所以cos A=b 2+c2−a22bc=12−−−−−又因为A∈(0, π)所以A=π3−−−由余弦定理：a2＝b2+c2−2bc cos A，即b2+c2−bc＝4整理得：(b+c)2−3bc＝4−−−−−−因为S△ABC＝S△ABE+S△ACE即12bc sinπ3=12AE×b sinπ6+12AE×c sinπ6整理得：bc=59(b+c)−−−−−−所以(b+c)2−53(b+c)=4解得：b+c＝3（或b+c=−43舍）所以△ABC的周长为5−−−−−−−−【答案】（1）由题意得{ca=√22a2=b2+c24a2+2b2=1，解得a2＝8，b2＝4，Ⅰ 椭圆C的方程为x28+y24=1；证明：(Ⅰ)设直线l:y＝kx+b(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，把y＝kx+b代入x28+y24=1，得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8＝0．故x M=x1+x22=−2kb2k2+1,y M=kx M+b=b2k2+1，于是直线OM的斜率k OM=y Mx M=−12k，即k OM⋅k=−12，Ⅰ 直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程椭圆的应用【解析】(Ⅰ)由题意得关于a，b，c的方程组，求解得a2＝8，b2＝4，则椭圆方程可求；(Ⅰ)设直线l:y＝kx+b(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得M坐标，得到直线OM的斜率，进一步可得直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【解答】（1）由题意得{ca=√22a2=b2+c24a+2b=1，解得a2＝8，b2＝4，Ⅰ 椭圆C的方程为x28+y24=1；证明：(Ⅰ)设直线l:y＝kx+b(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，把y＝kx+b代入x 28+y24=1，得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8＝0．故x M=x1+x22=−2kb2k2+1,y M=kx M+b=b2k2+1，于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =−12k，即k OM⋅k=−12，Ⅰ 直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【答案】f(x)＝e x−1−ln x，x>0，f′(x)=e x−1−1x单调递增，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)．解法一：Ⅰ f(x)＝ae x−1−ln x+ln a，Ⅰ f′(x)=ae x−1−1x ，且a>0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)=ae x−1+1x2>0，Ⅰ g(x)在(0, +∞)上单调递增，即f′(x)在(0, +∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，Ⅰ f(x)min＝f(1)＝1，Ⅰ f(x)≥1成立．当a>1时，1a <1，Ⅰ e1a−1<1，Ⅰ f′(1a)f′(1)=a(e1a−1−1)(a−1)<0，Ⅰ 存在唯一x0>0，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，且当x∈(0, x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0, +∞)时f′(x)>0，Ⅰ ae x0−1=1x0，Ⅰ ln a+x0−1＝−ln x0，因此f(x)min=f(x0)=ae x0−1−ln x0+ln a=1x0+ln a+x0−1+ln a≥21na−1+2√1x0⋅x0=21na+1>1，Ⅰ f(x)>1，Ⅰ f(x)≥1恒成立；当0<a<1时，f(1)＝a+ln a<a<1，Ⅰ f(1)<1，f(x)≥1不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1, +∞)．解法二：f(x)＝ae x−1−ln x+ln a＝e ln a+x−1−ln x+ln a≥1等价于e ln a+x−1+ln a+x−1≥ln x+x＝e ln x+ ln x，令g(x)＝e x+x，上述不等式等价于g(ln a+x−1)≥g(ln x)，显然g(x)为单调增函数，Ⅰ 又等价于ln a+x−1≥ln x，即ln a≥ln x−x+1，令ℎ(x)＝ln x−x+1，则ℎ(x)=1x −1=1−xx在(0, 1)上ℎ’(x)>0，ℎ(x)单调递增；在(1, +∞)上ℎ’(x)<0，ℎ(x)单调递减，Ⅰ ℎ(x)max＝ℎ(1)＝0，ln a≥0，即a≥1，Ⅰ a的取值范围是[1, +∞)．解法三：由（1）得f(x)＝e x−1−ln x在x＝1处取得最小值为1，即e x−1−ln x≥1−−−对任意x0>0，g(a)=ae x0−1−ln x0+ln a在(0, +∞)上单调递增，所以，当a≥1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a≥e x−1−ln a≥1，当0<a<1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a<e x−1−ln x即存在x＝1使f(1)＝a+ln a<1，不合题意，综上得正数a的取值范围是[1, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出导函数，判断导函数的单调性，然后判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．（2）解法一：求出f(x)的导函数，设g(x)＝f′(x)，利用函数的导数，通过a的范围转化求解函数的最值，然后推出实数a的取值范围．解法二：f(x)＝ae x−1−ln x+ln a＝e ln a+x−1−ln x+ln a≥1等价于e ln a+x−1+ln a+x−1≥ln x+x＝e ln x+ln x，令g(x)＝e x+x，上述不等式等价于g(ln a+x−1)≥g(ln x)，利用函数的单调性，构造函数，通过导函数，转化求解函数的最值，推出结果．解法三：由（1）得f(x)＝e x−1−ln x在x＝1处取得最小值为1，即e x−1−ln x≥1，通过函数的性质，结合函数的单调性，求出正数a的取值范围．【解答】f(x)＝e x−1−ln x，x>0，f′(x)=e x−1−1x单调递增，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)．解法一：Ⅰ f(x)＝ae x−1−ln x+ln a，Ⅰ f′(x)=ae x−1−1x，且a>0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)=ae x−1+1x>0，Ⅰ g(x)在(0, +∞)上单调递增，即f′(x)在(0, +∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，Ⅰ f(x)min＝f(1)＝1，Ⅰ f(x)≥1成立．当a>1时，1a<1，Ⅰ e1a−1<1，Ⅰ f′(1a)f′(1)=a(e1a−1−1)(a−1)<0，Ⅰ 存在唯一x0>0，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，且当x∈(0, x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0, +∞)时f′(x)>0，Ⅰ ae x0−1=1x0，Ⅰ ln a+x0−1＝−ln x0，因此f(x)min=f(x0)=ae x0−1−ln x0+ln a=1x0+ln a+x0−1+ln a≥21na−1+2√1x0⋅x0=21na+1>1，Ⅰ f(x)>1，Ⅰ f(x)≥1恒成立；当0<a<1时，f(1)＝a+ln a<a<1，Ⅰ f(1)<1，f(x)≥1不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1, +∞)．解法二：f(x)＝ae x−1−ln x+ln a＝e ln a+x−1−ln x+ln a≥1等价于e ln a+x−1+ln a+x−1≥ln x+x＝e ln x+ln x，令g(x)＝e x+x，上述不等式等价于g(ln a+x−1)≥g(ln x)，显然g(x)为单调增函数，Ⅰ 又等价于ln a+x−1≥ln x，即ln a≥ln x−x+1，令ℎ(x)＝ln x−x+1，则ℎ(x)=1x−1=1−xx在(0, 1)上ℎ’(x)>0，ℎ(x)单调递增；在(1, +∞)上ℎ’(x)<0，ℎ(x)单调递减，Ⅰ ℎ(x)max＝ℎ(1)＝0，ln a≥0，即a≥1，Ⅰ a的取值范围是[1, +∞)．解法三：由（1）得f(x)＝e x−1−ln x在x＝1处取得最小值为1，即e x−1−ln x≥1−−−对任意x0>0，g(a)=ae x0−1−ln x0+ln a在(0, +∞)上单调递增，所以，当a≥1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a≥e x−1−ln a≥1，当0<a<1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a<e x−1−ln x即存在x＝1使f(1)＝a+ln a<1，不合题意，综上得正数a的取值范围是[1, +∞)．。
高三上学期入学考试数学(文)试题(解析版)
高三上学期入学考试数学（文）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．设复数z 满足z+i=3﹣i ，则 A ． ﹣1+2i B ． 1﹣2i C ． 3+2i D ． 3﹣2i 2．已知全集，集合A={x|x ＜﹣1或x ＞1}，则 A ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞） C ． （﹣1，1） D ． [﹣1，1] 3．命题“，”的否定是 A ．， B ．， C ．， D ．， 4．在如图的程序框图中，若输入，则输出的的值是A ． 3B ． 7C ． 11D ． 33 5．在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m （m ＞0）的概率为，则m 的值等于 A ．B ． 3C ． 4D ． ﹣2 6．已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=6，a 4+a 5=48，则数列{a n }前8项的和S 8为 A ． 510 B ． 126 C ． 256 D ． 512 7．已知函数是定义域为的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是 A ．B ．C ．D ．8．已知，实数x ，y 满足，若z=3x+y 最小值为1,则a 的值为 A ．B ．C ．D ．或 9．已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为 A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ． 10 10．向量满足：，，，则的最大值是此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号A ． 24B ．C ．D ．11．若关于的不等式（其中为自然对数的底数，）恒成立，则的最大值为A ． 4B ． 5C ． 3D ． 2二、填空题12．《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A ． 2B ．C ． 1D ．13．_________.14．直线过双曲线 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为_____________．15．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若则球O 的直径为________．16．函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.三、解答题17．迈入2018年后，直播答题突然就火了.在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸”级的大神.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：(1)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (2)已知在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率. 参考公式： ． 临界值表：18．如图，在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积． 19．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下：（1）若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数；（2）若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该门市一天获利不低于800元的概率；（3）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．20．已知椭圆C 的两个顶点分别为，焦点在 x 轴上，离心率为.（1）求椭圆C的方程（2）设为C的左、右焦点，Q为C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过作直线，记l与C的交点为P、R ，求三角形面积的最大值.21．已知函数，，其中（1）若，求的单调区间；（2）若的两根为，且，证明：.22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线分别交于两点，求的最大值．23．已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为c，实数a，b 满足，求证：．高三上学期入学考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】复数z满足z+i=3-i,故答案为C。
高三(上)学期开学考试数学(文)试题(含答案)
一、选择题（每题5分，共60分）1．已知{}{}10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=（ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 2．命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A ．2,240x R x x ∀∈-+≥ B ．2000,240x R x x ∃∈-+>C ．2,240x R x x ∀∉-+≥D ．2000,240x R x x ∃∉-+>3．下列求导运算正确的是（ ）A ．()222x x '= B ．()x x e e '=C ．1(ln )x x '=-D ．2111x x x '⎛⎫+=+⎪⎝⎭ 4．已知函数的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ）A ．t≤–1B ．t<–1C ．t≤–3D ．t≥–35．曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4-- 6．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()32xf x =-，则不等式()21f x ->的解集为（ ） A ．{1x x <或}3x > B ．{}13x x << C ．{}12x x <<D ．{}02x x <<7．若函数22,0()(),0xx f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．28．函数的单调递减区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,+∞)C ．(−∞,1)D ．(−1,1)9．曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ） AB ．C ．3D ．5 10．函数())f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数，若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >>12．已知函数()2ln ,0,0x x f x x ax x >⎧=⎨--≤⎩，若方程()0f x x a --=有3个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()2,1--C ．()1,0-D ．(),1-∞-()t x g x+=3()()2g f ()x x x f ln 22-=2ln y x =230x y -+=二、填空题（每题5分，共20分）13．已知幂函数的图象过点⎛ ⎝⎭，则的值为 ．14．函数y =的定义域为 ．15．函数()ln f x x ax =-在[)1+∞，上递减，则实数a 的取值范围是 ． 16．对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.6]3=，[ 3.4]4-=-，关于函数1()33x x f x ⎡+⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，有下列命题：①()f x 是周期函数；②()f x 是偶函数；③函数()f x 的值域为{0,1}；④函数()()cosg x f x x π=-在区间(0,)π内有两个不同的零点，其中正确的命题为 ． 三、解答题（共70分）17．（10分）已知集合. （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若，求实数m 的取值范围．18．（12分）设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩． （1）若=1a ，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数()()ln 1f x x =+，()()ln 1g x x =-. （1）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明. （2）求使不等式()()0f x g x +<成立的x 的取值集合.20．（12分）若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．21.（12分）已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．22.（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f （x ）的单调性； (2)当a ＜0时，证明：()x f ()8f {}{}m x m x B x x A 31,31+<≤=≤<-=A C B R ⊆()243--≤ax f数 学 答 案（文科）一、选择题二、填空题 13.14. 15. 16. ①③ 三、解答题17.（1）m ＝1，B ＝{x|1≤x<4}，A ∪B ＝{x|－1<x<4}． （2）＝{x|x≤－1或x>3}．当B ＝∅，即m≥1＋3m 时得12m ≤-，满足, 当B≠∅时，要使成立，则13131313m m m mm m <+<+⎧⎧⎨⎨+≤->⎩⎩或解之得m>3．综上可知，实数m 的取值范围是m>3或12m ≤-．18.解：:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，解得<<3a x a命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，解得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，即23x <≤．（1）1a =时，1<x<3p ： p q ∧为真，可得p 与q 都为真命题， 则1323x x <<⎧⎨<≤⎩解得．所以实数x 的取值范围是()2,3（2）p 是q 的必要不充分条件，233a a ≤⎧∴⎨<⎩，0a > 解得12a <≤.∴a 的取值范围是(1,2]．19.解：（1）函数()()f x g x -为奇函数，以下予以证明：设1()()()ln(1)ln(1)ln 1xF x f x g x x x x+=-=+--=-，则函数()F x 的定义域为(1,1)-， 关于原点对称.1()()()ln(1)ln(1)ln1x F x f x g x x x x--=---=--+=+1ln[()()]()1xf xg x F x x+=-=--=--∴函数()F x 为奇函数. 即函数()()f x g x -为(1,1)-上的奇函数. （2）()()ln(1)ln(1)ln(1)(1)0f x g x x x x x +=++-=+-<(1)(1)1x x ∴+-<即200x x >∴≠.又(1,1)x ∈-.∴不等式()()0f x g x +<成立的x 的取值集合为(1,0)(0,1)-20.解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1. (2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则g (x )在区间[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．42()1,3-[)+∞,1A C B R ⊆A C B R ⊆32<<x21.(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，又因为f (0)＝1，f ′(0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减. 所以对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的 最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.22.(1)f ′(x )＝2ax 2＋（2a ＋1）x ＋1x ＝（2ax ＋1）（x ＋1）x (x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＜0时，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ＜0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12a ，f ⎝⎛⎭⎫－12a －⎝⎛⎭⎫－34a －2＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a＋1， 令y ＝ln t ＋1－t ⎝⎛⎭⎫t ＝－12a ＞0，令y ′＝1t－1＝0，解得t ＝1，所以y 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以y max ＝y (1)＝0，所以y ≤0， 即f (x )max ≤－⎝⎛⎭⎫34a ＋2，所以f (x )≤－34a－2.。
高三上学期入学考试数学(文)试题(解析版)
高三上学期入学考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足z+i=3﹣i，则A. ﹣1+2iB. 1﹣2iC. 3+2iD. 3﹣2i【答案】C【解析】复数z满足z+i=3-i,故答案为C。
2.已知全集，集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，则A. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞）C. （﹣1，1）D. [﹣1，1]【答案】D【解析】【分析】直接进行补集的运算即可．【详解】∵A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴[﹣1，1]故选：D【点睛】本题考查描述法、区间表示集合，以及补集的运算，属于基础题．3.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.在如图的程序框图中，若输入，则输出的的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】该程序框图的作用是：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数为零，即整除时，最后得到的最大公约数，因为，，所以的最大公约数为，则输出的的值为，故选C．5.在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为，则m的值等于A. B. 3 C. 4 D. ﹣2【答案】C【解析】【分析】求出原区间长度，分类求出满足|x|≤m（m＞0）的解集的区间长度，由长度比为列式求得m值．【详解】区间[﹣3，5]的区间长度为5﹣（﹣3）=8，当0＜m≤3时，满足|x|≤m（m＞0）的解集的区间长度为2m，又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为，∴=，得m=（舍）；当3＜m≤5时，满足|x|≤m（m＞0）的解集的区间长度为m+3，又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为，∴，得m=4．∴m的值等于4．故选：C．【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图中的数据求出几何体的体积．【详解】根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边为=，斜边为2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的体积为V=Sh=×××2=2．故选：A．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.已知等比数列{a n}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{a n}前8项的和S8为A. 510B. 126C. 256D. 512【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的通项公式建立方程关系求出首项和公比，结合前n项和公式进行计算即可．【详解】由a1+a2=6，a4+a5=48得得a1=2，q=2，则数列{a n}前8项的和S8==510，故选：A．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．8.已知函数是定义域为的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知f（x）关于直线x=1对称且周期为4，然后想法设法把自变量转化到单调区间上，即可比较大小.【详解】∵R上的奇函数f（x）满足：，可知：函数f（x）的图象关于直线x=1对称．∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），因此函数f（x）的周期T=4．∴，，＞0，又在上单调递增，∴，即故选：D【点睛】本题考查大小的比较，考查函数的对称性与周期性，解题关键是利用函数性质把问题归结为同一个单调区间上的大小问题，属于中档题.9.已知，实数x，y满足，若z=3x+y最小值为1,则a的值为A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【详解】作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．即3x+y=1，由，解得，即C（1，﹣2），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣2=﹣2a，解得a=1．故选：B．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10.已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，=，利用基本不等式即可得出结论．【详解】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴=≥4，当且仅当y2=6时，取等号，即的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查|EG|的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.向量满足：，，，则的最大值是A. 24B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，结合条件易得，利用三角换元法表示，由正弦型函数的有界性得到结果.【详解】设，则，又∴设则∴当时，的最大值是故选：C【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.12.若关于的不等式（其中为自然对数的底数，）恒成立，则的最大值为A. 4B. 5C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】变量分离可得﹣ex+2＞m，构造新函数h（x）=﹣ex+2，（x＞0），研究其最值即可.【详解】由题意可得：﹣ex+2＞m设h（x）=﹣ex+2，（x＞0），则h′（x）=e x+1﹣ex﹣e，令p（x）=h′（x）=e x+1﹣ex﹣e，则p′（x）=e x+1﹣e，当x＞0时，恒有p′（x）＞0，∴函数h′（x）在区间（0，+∞）为增函数，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴x＞0时，h（x）＞h（0）=e+2≈4.72，又﹣﹣ln，∴整数m的最大值为4．【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13._________.【答案】5【解析】【分析】由对数运算及根式运算可得结果.【详解】,故答案为：5【点睛】本题考查了对数式的运算性质，考查了算术平方根的性质，属于基础题.14.直线过双曲线的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C的离心率为_____________．【答案】【解析】【分析】结合双曲线的性质=2，0=，求出a，c即可．【详解】过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，因为过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：与C只有一个公共点，所以=2，0=，又因为a2+b2=c2，解得c=，a=1，所以e==，故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若则球O的直径为________．【答案】13【解析】试题分析：由下图可知，球心在的位置，球的半径为，故表面积为．考点：球的内接几何体．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱柱；有一条棱垂直于一个面的棱锥，设高为其外接球半径公式秒杀公式．16.函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.【答案】【解析】【分析】化简得到，令，即恰有三个实根，分成两类分别讨论即可得到的范围.【详解】由题意可得，令，即恰有三个实根，三根为：①，k∵，∴∴或，当k=-1时，解得的范围为故答案为：【点睛】（1）研究函数时，要把看为一个整体，并结合函数的性质求解，在研究单调性时要注意的符号对单调性的影响。
【高中教育】高三数学上学期开学考试试题文2
——教学资料参考参考范本——【高中教育】高三数学上学期开学考试试题文2______年______月______日____________________部门数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集，集合，，则等于（ ）U R={}24M x x =>301x N x x ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭)(N C M UA ．B ．或C ．D ．{2}x x <-{2x x <-3}x ≥{3}x x ≥{23}x x -≤<2．若复数满足,为虚数单位,则的虚部为 （ ）z (12)5i z +=i zA. B. C. D.2i -2-22i 3．与函数相同的函数是（ ）y x = A ． B ．C ．D ．2y x=2x y x=()2y x=log (01)x a y a a a =>≠且4．幂函数在上单调递增，则的值为（ ）2231()(69)m m f x m m x -+=-+(0+)∞，mA. 2B. 3C. 4D. 2或45.已知函数，则（ ）()ln f x x x =()f xA. 在上递增B. 在上递减 ()0,+∞()0,+∞C. 在上递增D. 在上递减10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫⎪⎝⎭6．函数的图象大致为（ ）ln 1()1x f x x-=-7．下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；2320x x -+=2x =2x ≠2320x x -+≠B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；2a =()log a f x x =()0,+∞C. 若命题，则；:,21000n p n N ∃∈>:,21000n p n N ⌝∀∈>D. 命题“”是假命题.(),0,23x xx ∃∈-∞<8．设，，，则（ ）0.50.7a -=0.5log 0.7b =0.7log 5c =A. B. C. D. a b c >>b a c >>c a b>>c b a >>9.已知定义在上的奇函数满足，当时 ，R ()f x ()()2f x f x +=-[]0,1x ∈()21x f x =-则（ ）A. B. ()()11672f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭C. D. ()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭10．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）12x x ≠()()12120f x f x x x ->-aA. B. C. D. ()48，[)48，()1+∞，()18，11．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）3log ,03,()4,3x x f x x x <≤⎧⎪=⎨->⎪⎩()()2h x f x mx =-+mA. B. C. D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦12.已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（ ）()ln (2)24(0)f x x a x a a =+--+>12,x x 1()0f x >2()0f x >aA. B. C. D. (ln 3,2)(]0,2ln 3-(0,2ln 3)-[)2ln 3,2-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数，则= ．23(1)()4(1)xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩[])2(f f 14．若函数的定义域是，则函数的定义域为 ．()y f x ＝1[,2]2()2log y f x ＝15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．()2log 1y ax =-()1,2a16.已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值范围是 ．:p ()()2210f x ax x a =--≠()0,1:q 2a y x -=()0,+∞()p q ∧⌝a三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）设函数.()=271f x x -+（Ⅰ）求不等式的解集；()f x x ≤（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．x ()21f x x a --≤a18．（本题满分12分）已知曲线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．1C 2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ2C 3,423x t t y =-⎧⎪+⎨=⎪⎩t （Ⅰ）将曲线，的参数方程化为普通方程；1C 2C（Ⅱ）求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值．1C 2C19.（本题满分12分）已知函数．()33,f x x x a a R =-++∈（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =()()2,2f （Ⅱ）求函数的极值．()f x20．（本题满分12分）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．()0,2A -2222:1(0)x y E a b a b +=>>32F E AF 233O （Ⅰ）求椭圆的方程；E（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于两点．当△的面积最大时，求直线的方程．A l E ,P Q OPQ l21．（本题满分12分）设函数（）．23()=xx axf x e+a R ∈ （Ⅰ）若在处取得极值，求的值；()f x 0x =a（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围.()f x [)3+∞，a22. （本题满分12分）已知函数，，,令.2()ln f x x mx =-21()2g x mx x =+m R ∈()()()F x f x g x =+ （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.m哈师大附中高三上学期第一次月考数学（文科）答案一、选择题.1.B2.B3.D4.C5.D6.D7.C8.A9.C 10.B 11.A 12.B 二、填空题13. 0 14. 15. 16. 2,4⎡⎤⎣⎦[)1,+∞12a <≤三、解答题17. 解：（Ⅰ）由f （x ）≤x 得|2x ﹣7|+1≤x ， ∴，∴不等式f （x ）≤x 的解集为； …… 5分（Ⅱ）令g （x ）=f （x ）﹣2|x ﹣1|=|2x ﹣7|﹣2|x ﹣1|+1，则，∴g（x ）min=﹣4，∵存在x 使不等式f （x ）﹣2|x ﹣1|≤a 成立， ∴g（x ）min≤a，∴a≥﹣4. …… 10分 18. 解：（1）曲线C1的参数方程是（θ为参数），则，∵sin2θ+cos2θ=1，，∴曲线C1的普通方程是； …… 3分曲线C2的参数方程是（t 为参数），消去参数t ，t=3﹣x ，代入，即2x+3y ﹣10=0∴曲线C2的普通方程是2x+3y ﹣10=0． …… 6分 （2）设点P （2cos θ，sin θ）为曲线C1上任意一点， 则点P 到直线2x+3y ﹣10=0的距离为d ， 则（其中）…… 10分43sin ,cos 55ϕϕ==∵sin （θ+φ）∈[﹣1，1]∴，此时，，此时 …… 12分max 151313d =sin()1θϕ+=-min 51313d =sin()1θϕ+=19. 解 ：（Ⅰ），，()'233f x x =-+9k =-()21f =-切线为：，即 …… 6分()192y x +=--9170x y +-=（Ⅱ），令，则()'233f x x =-+()'0f x =1x =±X(),1-∞-1-()1,1-1 ()1,+∞()'f x-+-()f x极小值极大值所以()f x 的极小值为()1=a-2f -，极大值为()1=a+2f …… 12分20.解： (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c ＝.又＝，所以a ＝2，b2＝a2－c2＝1.故E 的方程为＋y2＝1. …… 4分(2)当l⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y ＝kx －2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩|PQ|＝|x1－x2|＝.点O 到直线PQ 的距离d ＝.所以△OPQ 的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t ，则t>0，S△OPQ＝＝. 因为t ＋≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x －2. …… 12分 21.解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x ＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a ＝0. 当a ＝0时，f(x)＝，f′(x)＝， 由f ′(x)>0，0<x<2，f′(x)<0有x<0或x>2,故 a=0时在处取得极值 …… 6分()f x 0x =(2)由(1)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x ＋a ， 由g(x)＝0， 解得x1＝，x2＝.当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数； 当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数； 当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数． 由f(x)在[3，＋∞)上为减函数， 知x2＝≤3，解得a≥－.故a 的取值范围为. …… 12分 22.解：（1）定义域为，(0,)+∞当时，12m =211'()x f x x x x-=-=令，， 令 '()0f x >01x ∴<<'()0f x <1x ∴>所以，增区间： ，减区间： …… 5分(0,1)(1+)∞，（2）法一：令 .所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数， 又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时， .令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2. …… 12分法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2. (12)分11 / 11。