离散数学电子教案(高等教育出版社第二版)
与其他课程的关系
离散数学与计算机科学的其他课程, 如：数据结构、操作系统、编译原 理、算法分析、逻辑设计、系统结 构、容错技术、人工智能等有密切 的联系。它是这些课程的先导和基 础课程。
4
教材与参考书
[离散数学]
高等教育出版社，2005年
李盘林等编著
[Discrete Mathematics（Third Edition）]
步骤如下： ①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
47
§1.2 命题联结词பைடு நூலகம்
例. 将下列命题符号化： （1）李明是计算机系的学生，他住在312室或
313室。 （2）张三和李四是朋友。 （3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达了
车站。 （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角
第四部分 图论 讲课时数：6学时
7
学习方法
本课程有二个特点： （１）定义、定理多。 本课内容＝定义＋定理＋例题 （２）课外作业较多。
8
学习方法
为了学好这门课，特提出三点要求： （１）弄懂定义、定理，弄懂例题，加 深对定义、定理的理解； （２）在复习基础上，做好课外作业。 同学之间可以讨论，但要弄懂弄通。 （3）做好课堂笔记.
（3）命题所用符号：常用大写２６个英文字母 表示命题。用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。
（4）命题中所有的“真”用“Ｔ”表示， 命题中所有的“假”用“Ｆ”表示。
16
§1.1 命题
例：判断下列语句是否为命题。
＊陈述句一般为命题
（1）十是整数。
（Ｔ）
（2）上海是一个村庄。（Ｆ）
（3）今天下雨。
（4）加拿大是一个国家。（Ｔ）
23
§1.2 命题联结词
(3)举例： (a) P：王华的成绩很好 Q：王华的品德很好。 则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 (b)P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。
24
§1.2 命题联结词
(c) P：今天下大雨 Q：3+3=6
则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6
所以,是形式条件命题一定是实质条件命题,反 之不一定。“→”是实质条件命题。
例：Ｐ：我买到了鱼；Ｑ:我吃鱼。 Ｐ→Ｑ：如果我买到了鱼，则我吃鱼。
但“如果我没买到鱼，则我吃鱼”，在日常生活 中不可能，但在单条件命题的定义中是允许的。
36
§1.2 命题联结词
可以证明： Ｐ→Ｑ ¬ Q → ¬ P 原命题 逆反命题 Ｑ→Ｐ ¬Ｐ→ ¬Ｑ 逆命题 反命题
形。 （5）老王或小李中有一个去上海出差。
48
§1.2 命题联结词
解： （1）首先用字母表示简单命题。
P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P（Q▽R） （2）张三和李四是朋友。是一个简单句 该命题符号化为：P
49
§1.2 命题联结词
（3）首先用字母表示简单命题。 P：交通堵塞。 Q：老王准时到达了车站。 该命题符号化为：PQ
（Ｐ→Ｑ∨Ｒ）可写成Ｐ→Ｑ∨Ｒ
43
§1.2 命题联结词
例 ¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号 因为“Ｖ”运算是可结合的。
而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因“→” 不满足结合律。
44
§1.2 命题联结词
７．命题联结词小结： （1）五个联结词的含义与日常生活中的联结词 的含义大致相同。 （2）或”可分为可兼或（∨）和异或（ ▽ ） （不可兼或） （3） “¬”为一元运算，其余四个均为二元运算。
（２）定义
32
§1.2 命题联结词
Ｐ→Ｑ的真值表：
P
Q
F
F
F
T
T
F
T
T
P→Q T T F T
33
§1.2 命题联结词
当Ｐ为“Ｔ”，Ｑ为“Ｆ”时，则（Ｐ→Ｑ） 为“Ｆ”， 否则（Ｐ→Ｑ）均为“Ｔ”。 Ｐ：称为前件、条件、前提、假设 Ｑ：称为后件、结论。
（３）举例： P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书
37
§1.2 命题联结词
列出真值表,由真值表得： 原命题逆反命题；逆命题反命题。
P Q P→Q ¬Q→¬P Ｑ→P ¬Ｐ→¬Ｑ
FF T
T
FT T
T
TF F
F
TT T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
38
§1.2 命题联结词
P↔ Q的真值表:
P Q P↔ Q
FF T
FT F
每当Ｐ和Ｑ的真值相同 时，则（Ｐ↔Ｑ）的
在命题演算中也有类似的日常生活中的联结词称做： “命题联结词”,下面先介绍五个常用的命题联 结词。
１．否定词：（否定运算、非运算） （１）符号 ,读作“非”，“否定” 设命题为Ｐ，则在Ｐ的前面加否定词 ，变成 Ｐ，Ｐ读做“Ｐ的否定”或“非Ｐ”
19
§1.2 命题联结词
（２）定义
P的真值表： P P
27
§1.2 命题联结词
Ｐ∨Ｑ的真值表： P
Q
P∨ Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
当且仅当Ｐ、Ｑ均为“Ｆ”时，（Ｐ∨Ｑ）为 “Ｆ”。否则，其真值为“Ｔ”．
28
§1.2 命题联结词
区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” “可兼或”即P或Q为“T”时（P∨Q）为“T” 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今晚写字或看书。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
34
§1.2 命题联结词
P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完 了这本书。 (b) P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则3×3=9。 通常称： (a)为形式条件命题——前提和结果有某种形式
和内容上的联系。
35
§1.2 命题联结词
(b)为实质条件命题——前提和结果可以有联 系，也可以没有联系，只要满足单条件命 题的定义。
45
§1.2 命题联结词
(4) “→”分为形式条件和实质条件命题，当前件 为“Ｆ”时，不论后件怎样，则单条件命题的 真值均为“Ｔ”。
(5)命题联结词是命题或命题之间的联结词，而 不是名词之间、数字之间和动词之间的联结词。
46
§1.2 命题联结词
以上介绍了五种常用的联结词及其相应的复合命 题形式。数理逻辑的特点是把逻辑推理变成类 似数学演算的完全形式化了的逻辑演算，为此， 首先要把推理所涉及到的各命题符号化。
（３）举例：
TF
Ｑ：每一种生物均是动物。F
FT
Ｑ：有一些生物不是动物。T
这里Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动 物”。
对量化命题的否定，除对动词进行否定外， 同时对量化词也要加以否定。
20
§1.2 命题联结词
２．合取词（“合取”、“积”、“与”运算） (1)符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合 取，读作：“Ｐ与Ｑ”、“Ｐ与Ｑ的合取”、 “Ｐ并 且Ｑ”等。 (2)定义（由真值表给出）：
由例(b)(c)可见，在日常生活中，合取词应用在二 个有关系的命题之间。而在逻辑学中，合取词 可以用在二个毫不相干的命题之间。
25
§1.2 命题联结词
(d)P: 王大和王二是亲兄弟。 Q: 他打开箱子然后拿出一件衣服来。
该语句不是合取联结词组成的命题。
26
§1.2 命题联结词
３．析取词（或运算） （１）符号“∨” 设Ｐ、Ｑ为二个命题，则（Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与 Ｑ的“析取”，读作：“Ｐ或Ｑ”。 （２）定义（由真值表给出）：
（4）首先用字母表示简单命题。 P：三角形的一个角是直角。 Q：三角形是直角三角形。 该命题符号化为：P Q
50
§1.2 命题联结词
（5）首先用字母表示简单命题。 P：老王去上海出差。 Q：小李去上海出差。 该命题符号化为：P ▽ Q 也可符号化为：（PQ）（PQ）或者 （P Q） （PQ）
41
§1.2 命题联结词
（４）Ｐ,Ｑ中，Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ
交换位置不会改变真值表中的值。
（５）Ｐ当且仅当Ｑ Ｐ↔ Ｑ
Ｐ仅当Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｐ当且Ｑ
Ｑ→Ｐ
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§1.2 命题联结词
６．命题联结词在使用中的优先级 （１）先括号内，后括号外 （２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ
∨ → ↔ （由高到低） （３）联结词按从左到右的次序进行运算 （４）最外层的括号一律均可省去
《离散数学》教案
课程学时：64
1
课程性质
离散数学（又称计算机数学）是现代 数学的重要分支，是计算机专业核 心基础课程之一。
2
课程目标
离散数学是以研究离散量的结构和 相互之间的关系为主要目标，其研 究对象一般为：有限或可数个元素 （例如：自然数、整数、真假值、 有限个结点等），而离散性也是计 算机科学的显著特点。
9
学习方法
最后，做两点说明： （1）考试内容以课堂上讲的为范围； （2）每次课后均布置作业。希望大家 认真完成。
和一个要求： 为搞好教学，需要双方共同努力。
10
第一篇 数理逻辑
逻辑学:研究思维形式及思维规律的科学。 逻辑学分为二类 辩证逻辑:是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑:对思维的形式结构和规律进
Higher Education Press，2005年
Panlin Li，Lishuang Li，Mingwei Zhao.
5
课程内容
本课程根据大纲的内容和相关独立性， 可分为四大部分
第一部分 数理逻辑 包括命题逻辑;谓词逻辑
第二部分 集合论 包括集合与关系;函数
《离散数学》电子教案
第一章集合论一、教学内容及要求授课学时：2教学内容1.1 集合的基本概念集合的概念及其表示；集合与集合之间的包含、真包含和相等关系的定义，数学描述及判定和证明方法；空集、全集和幂集三个特殊集合的定义、性质以及幂集的计算算法。
1.2 集合的运算集合运算的定义、性质及证明1.3 无限集可数集合和不可数集合的概念。
1.4 与集合相关的应用与集合相关的简单应用实例。
基本要求1）能正确地用枚举法或叙述法表示一个集合，会画文氏图。
2）能判定元素与集合的属于关系。
3）能利用集合与集合关系的判定与证明方法证明两个集合之间的包含、相等、和真包含的关系。
4）能熟练计算集合之间的并、交、差、补运算，掌握集合运算的定律；5）能熟练地计算P(A)。
6）理解集合的归纳法表示。
7）理解集合的对称差运算。
8）了解集合的递归指定法表示。
9）了解无限集的基本概念。
10）了解集合的简单应用。
能力培养通过课堂讲解和课后实践作业，培养学生的抽象思维和问题解决能力。
二、教学重点、难点及解决办法教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。
教学难点：从集合与元素两个角度去分析集合；集合与集合关系的证明和无限集基数的理解。
解决办法：1）在教学过程中，为了加强学生对一个集合“双重身份”的理解，可以通过实例教学法，让学生具体体会一个集合的“双重身份”带来的问题及解决办法；2）对于新概念—幂集，让学生编程实现求一个集合的幂集，从而加深对幂集的理解。
初步建立学生的发散思维能力以及实际动手编写程序的能力。
三、教学设计从集合伦论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。
从集合的定义入手，结合高中阶段对集合的认识，指出当时定义存在的不足，提出新的定义方法；重点介绍大学阶段学习集合的主要意义和内容，关注重点概念的理解；介绍属于关系与包含关系之间的区别与联系，特别是一个集合“双重身份”的理解；强调集合的基本运算，特别是幂集的计算；集合与集合包含、真包含和相等关系的数学描述及相应的证明方法。
离散数学(第2版)电子教案
3.命题联结词
定义1.1.1设P表示一个命题，由命题联结词和命题P连接成P，称P为P的否定式复合命题，P读“非P”。称为否定联结词。P是真当且仅当P为假；否定联结词“”的定义可由表1.1.1表示之。
1.1
1.命题的概念
所谓命题，是指具有非真必假的陈述句。而疑问句、祈使句和感叹句等因都不能判断其真假，故都不是命题。命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。真用1或T表示，假用0或F表示。由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。命题的真值是具有客观性质的，而不是由人的主观决定的。
例1.1.1判断下列语句哪些是命题
第
命题逻辑，也称命题演算，记为LS。它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻辑又是谓词逻辑的基础。数理逻辑，又名为符号逻辑，它是选用数学方法即通过引入没有二义性的表意符号，使用公认的与任一特定的论证无关的规则研究推理的学问。
命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。那么，什么是命题？如何表示和构成？如何进行推理的？下面逐一地进行讨论。
3.一方面每章各有独立性，教师根据需要可以单独选讲几章；另一方面，尽可能注意各章之间的联系，规范并统一了符号和术语。
本书在编写过程中，得到了有关领导、老师和同学的热情关心、支持和帮助，在此一并表示感谢。
限于作者水平，书中难免有不当和疏漏之处，恳请读者批评指正。
编者
于大连理工大学
2008年9月
由于离散数学上课学时普遍减少，电子教案只包含了数理逻辑、集合论、代数结构和图论的基本理论部分。使用它的各位老师，可以根据教学计划的需求，适当做删减或增补。
最新离散数学 第2版 教学课件 尤枫 第07章 半群与群ppt课件
与
到W的半群同态。
群
证明 对于任意的a,b∈R，有
(g·f)(a*b) = g(f(a*b))
= g(f(a)f(b))
= g(f(a))g(f(b))
= (g·f)(a)(g·f)(b)
所以，g·f是从U到W的半群同态。
7.1半群与独异点
第 定理7-7 设U=<R,*>和V=<S,+>都是半群，则U和
因此，U是一个群。
7.2 群与子群
第 定义7-11 设U=<S,*>是一个群。若
7 章
(1) S为有限集合，则称U为有限群，
半
若|S|=n，则称U为n阶群；
群 与
(2) S为无限集合，则称U为无限群。
群
7.2 群与子群
第 定理7-9 群中不存在零元。
7 章
证明 设U=<S,*>是任意一个群，当群的阶为1时，
半
集合S中唯一的一个元素看作是群的幺元。
群 与
设|S|>1，且存在零元。因零元不存在逆元，
群 而群中每个元素都必须是可逆的，于是产生矛盾，
所以，群中不存在零元。
7.2 群与子群
第 定理7-10 幺元是群中唯一的一个幂等元。
7 章
证明 对于幺元e，因e2=e，故e是幂等元。
半
若a也是幂等元，即若a*a=a，则
群 与
e = a-1*a
群
= a-1*(a*a)
= (a-1*a)*a
= e*a
=a
这说明e是唯一的幂等元，证毕。
7.2 群与子群
第 定理7-11 设U=<S,*>是一个群，则对于任意的
7 章
《离散数学教案》课件2
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义介绍离散数学的概念和特点强调离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的重要性解释离散数学在算法设计、编程和计算机科学其他领域的应用强调离散数学对于解决问题和逻辑思维的重要性1.3 离散数学的基本概念介绍集合、图、逻辑、组合等基本概念解释这些概念在离散数学中的作用和相互关系第二章：集合论2.1 集合的基本概念定义集合、元素、集合之间的关系介绍集合的表示方法：列举法和描述法2.2 集合的运算介绍集合的并、交、差、补等基本运算解释集合运算的性质和规律2.3 集合的推理和公理化介绍集合论的基本公理和公理化体系解释集合论的公理化意义和作用第三章：逻辑与布尔代数3.1 逻辑的基本概念定义逻辑联结词、命题、真值表等基本概念介绍逻辑推理和论证的基本方法3.2 布尔代数的基本概念介绍布尔代数的基本元素和运算解释布尔代数在计算机科学中的应用3.3 逻辑与布尔代数的关系解释逻辑和布尔代数之间的联系和转化举例说明逻辑表达式和布尔代数表达式的相互转化第四章：图论4.1 图的基本概念定义图、顶点、边等基本概念介绍图的表示方法和图的类型4.2 图的运算和性质介绍图的连通性、路径、圈等基本概念解释图的运算和性质的应用和意义4.3 图的应用介绍图在计算机科学中的应用：算法设计、网络结构等举例说明图的应用实例和解决实际问题的方法第五章：组合数学5.1 组合数学的基本概念定义组合、排列、组合数等基本概念介绍组合数学的基本原理和方法5.2 组合计数原理介绍排列组合计数原理及其应用解释组合计数原理在离散数学中的重要性5.3 图着色和组合优化问题介绍图着色问题的定义和解决方案举例说明组合优化问题及其解决方法第六章：算法设计与分析6.1 算法的基本概念定义算法、输入、输出、有效性和可读性等基本概念解释算法在解决问题中的重要性6.2 算法设计技术介绍常用的算法设计技术：贪心法、分而治之、动态规划等解释每种技术的应用场景和特点6.3 算法分析与复杂性介绍算法分析和时间复杂度、空间复杂度的概念解释常用算法分析方法和评价标准第七章：数理逻辑与命题逻辑7.1 数理逻辑的基本概念介绍数理逻辑中的基本概念：命题、联结词、逻辑运算等解释数理逻辑在计算机科学中的应用7.2 命题逻辑的推理规则介绍命题逻辑中的推理规则：蕴含式、否定式、De Morgan定律等解释这些规则在逻辑推理中的应用和意义7.3 数理逻辑与计算机科学解释数理逻辑在计算机科学中的重要作用：编程语言、形式验证等举例说明数理逻辑在计算机科学中的应用实例第八章：集合论与数理逻辑的应用8.1 集合论在计算机科学中的应用介绍集合论在计算机科学中的应用：数据结构、数据库等解释集合论在计算机科学中的重要性和作用8.2 数理逻辑在计算机科学中的应用介绍数理逻辑在计算机科学中的应用：形式语言、编译原理等解释数理逻辑在计算机科学中的重要性和作用8.3 集合论和数理逻辑在其他领域的应用介绍集合论和数理逻辑在其他领域的应用：数学、哲学等解释集合论和数理逻辑在其他领域的重要性第九章：图论的应用9.1 社交网络与图论介绍社交网络中的图论应用：网络结构、关系分析等解释图论在社交网络分析中的作用和意义9.2 路径与圈的应用介绍路径和圈在图论中的应用：最短路径、环路检测等解释路径和圈在解决实际问题中的重要性9.3 网络流与匹配问题介绍网络流和匹配问题的定义和解决方案解释网络流和匹配问题在计算机科学中的应用第十章：组合数学的应用10.1 组合数学在计算机科学中的应用介绍组合数学在计算机科学中的应用：数据存储、编码理论等解释组合数学在计算机科学中的重要性和作用10.2 组合优化问题介绍组合优化问题的定义和解决方案解释组合优化问题在离散数学中的重要性和应用10.3 组合数学在其他领域的应用介绍组合数学在其他领域的应用：生物学、经济学等解释组合数学在其他领域的重要性第十一章：离散数学与计算机科学11.1 离散数学与算法强调离散数学在算法设计和分析中的作用解释如何使用离散数学工具解决算法问题11.2 离散数学与数据结构探讨离散数学在数据结构设计中的应用解释离散数学概念如何帮助优化数据结构11.3 离散数学与编程语言讨论离散数学在编程语言设计和实现中的角色举例说明离散数学在编程语言特性中的应用第十二章：离散数学与实际应用12.1 离散数学与网络科学介绍离散数学在网络科学中的应用解释图论和其他离散数学概念在网络结构和分析中的重要性12.2 离散数学与密码学探讨离散数学在密码学中的核心作用解释离散数学如何帮助设计和分析密码系统12.3 离散数学与讨论离散数学在领域的应用解释离散数学在知识表示、推理和问题解决中的作用第十三章：离散数学的实践项目13.1 离散数学项目的设计与实施介绍如何设计离散数学实践项目强调项目实施的重要性和方法13.2 离散数学项目的案例分析分析成功的离散数学项目案例从中提炼经验教训，为今后的项目提供参考13.3 离散数学项目的评价与反馈讨论离散数学项目评价的标准和方法强调项目反馈在持续改进和学习中的重要性第十四章：离散数学与数学逻辑14.1 离散数学与数理逻辑探讨离散数学与数理逻辑的紧密联系解释数理逻辑在离散数学问题求解中的作用14.2 离散数学与模型论介绍模型论及其在离散数学中的应用解释模型论在形式系统验证和解释中的重要性14.3 离散数学与计算理论讨论离散数学在计算理论中的应用强调计算理论在理解计算过程和设备中的价值第十五章：离散数学的未来发展15.1 离散数学的新兴研究领域介绍离散数学新兴研究领域和发展趋势强调跨学科合作在离散数学研究中的重要性15.2 离散数学在新技术中的应用探讨离散数学在云计算、大数据等新技术中的应用解释离散数学在未来信息技术发展中的关键作用15.3 离散数学教育的挑战与机遇讨论离散数学教育面临的挑战和机遇强调离散数学教育在培养创新人才中的重要性重点和难点解析重点：1. 离散数学的基本概念和特点2. 集合论、逻辑、图论和组合数学的核心理论和方法3. 离散数学在计算机科学中的应用，如算法设计、数据结构、网络科学、密码学等4. 离散数学实践项目的设计、实施和评价5. 离散数学教育的挑战与机遇难点：1. 集合论、逻辑、图论和组合数学的高级理论和复杂应用2. 算法设计和分析中的数学建模与优化3. 离散数学在跨学科领域中的应用，如生物学、经济学等4. 离散数学教育中的教学方法和策略设计5. 离散数学研究的前沿领域和未来发展趋势希望本文的重点和难点解析能对学习离散数学的教案有所帮助。
大学二年级离散数学教学案
大学二年级离散数学教学案第一部分：绪论离散数学是计算机科学与技术专业的重要基础课程之一，对于学生培养抽象思维、逻辑思维和解决实际问题的能力具有重要作用。
本教学案旨在帮助大学二年级的学生更好地理解和掌握离散数学的基本概念、理论和方法，培养他们的数学思维能力和运用数学解决问题的能力。
第二部分：教学目标1. 理解离散数学的基本概念，如集合、关系、函数等，并能正确运用这些概念进行问题分析和证明。
2. 掌握离散数学的基本理论，包括图论、逻辑、代数系统等，并能应用这些理论解决实际问题。
3. 培养学生的抽象思维和逻辑思维能力，提高他们的分析问题和解决问题的能力。
4. 培养学生的团队合作精神和实践能力，通过小组讨论、课堂演练等方式提高学生的合作与沟通能力。
第三部分：教学内容和方法1. 集合论1.1 集合的基本概念与运算教学内容：集合的定义、元素的判定、集合的运算。
教学方法：讲解概念，举例说明，进行练习，引导学生思考与讨论。
1.2 集合的表示方法与应用教学内容：集合的表示方法（列表法、描述法、集合生成式），集合在实际问题中的应用。
教学方法：举例说明，进行实际问题分析，引导学生运用集合解决问题。
2. 关系与函数2.1 关系的定义与分类教学内容：关系的定义，等价关系、偏序关系和全序关系的性质与判定。
教学方法：讲解概念，举例说明，进行实际问题分析，引导学生思考与讨论。
2.2 函数与映射教学内容：函数的定义、性质与运算，映射的概念与分类。
教学方法：讲解概念，进行实际问题分析，举例说明，引导学生运用函数解决问题。
3. 图论3.1 图的基本概念与表示方法教学内容：图的定义，顶点和边的基本概念，图的表示方法。
教学方法：讲解概念，进行实际问题分析，举例说明，引导学生思考与讨论。
3.2 图的遍历与连通性教学内容：图的遍历算法，连通图和强连通图的性质与判定。
教学方法：讲解算法原理，进行实际问题分析，进行课堂演练，引导学生思考与讨论。
离散数学(第二版)第4章二元关系和函数
第四章 二元关系和函数
定义4.2.3 设R是A到B的二元关系。 (1) 用xRy表示 <x，y>∈R，意为x，y有R关系(为使可读 性好，我们将分场合使用这两种表达方式中的某一种)。 xy 表示<x，y> R。 (2) 由<x,y>∈R的所有x组成的集合称为关系R的定义域 (domain),记作Dom R，即
显然A×B与 B×A所含元素的个数相同(A，B是有限集 合)，但A×B≠B×A。
定理4.1.1 若A，B是有穷集合，则有 |A×B|=|A|·|B|(·为数乘运算)
该定理由排列组合的知识不难证明。 定理4.1.2 对任意有限集合A1，A2，…，An，有 |A1×A2×…×An|＝|A1|·|A2|·… ·|An|(·为数乘运算)
第四章 二元关系和函数
本节主要介绍关系的基本概念以及关系的表示方法。 定义4.2.1 任何序偶的集合，确定了一个二元关系，并 称该集合为一个二元关系，记作R 。 二元关系也简称关系。 对于二元关系R，如果<x，y>∈R，也可记作xRy。 定义并不要求R中的元素<x，y> 中的x，y取自哪个个体 域。 因此，R={<2，a>，<u，狗>，<钱币，思想>}也是一 个二元关系。
若R={<x，y>|x∈A∧y∈B∧ x|y }，则称R为整除关系， 常记为|，其中x|y表示x整除y。
若A是任意集合，R是A上的二元关系，下面的关系也常 见：
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为包含
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为真包
第四章 二元关系和函数
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件一、引言1.1 离散数学的概念离散数学是研究离散结构及其性质的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用计算机科学：图论在网络设计、算法分析中的应用，集合论在数据结构设计中的应用等。
数学逻辑：计算机程序设计中的逻辑判断，布尔代数在电路设计中的应用等。
二、集合论2.1 集合的基本概念集合的定义：由明确的元素构成的整体。
集合的表示法：列举法、描述法。
2.2 集合的运算并集、交集、补集的定义及运算性质。
集合的幂集。
三、逻辑与布尔代数3.1 命题逻辑命题、联结词、复合命题的真值表。
命题逻辑的推理规则。
3.2 谓词逻辑个体、谓词、量词。
谓词逻辑的推理规则。
3.3 布尔代数布尔代数的基本运算：与、或、非。
布尔表达式的化简。
四、图论4.1 图的基本概念图的定义：节点和边的集合。
无向图、有向图、多重图、加权图等。
4.2 图的运算图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
图的连通性：强连通、弱连通。
4.3 特殊图二分图、树、路径、圈。
网络流、最短路径问题。
五、组合数学5.1 排列组合排列、组合的定义及计算公式。
分布计数原理。
5.2 计数原理鸽巢原理、包含-排除原理。
二项式定理、多项式定理。
5.3 组合设计区块设计、拉丁方、Steiner系统等。
组合设计的性质和构造方法。
《离散数学教案》课件六、数理逻辑与计算逻辑6.1 数理逻辑的基本概念命题、联结词、逻辑代数。
真值表和逻辑等价式。
6.2 计算逻辑形式语言和自动机。
编译原理中的逻辑分析。
七、组合设计与编码理论7.1 组合设计的基本概念区块设计、拉丁方、Steiner系统。
组合设计的性质和构造方法。
7.2 编码理论线性码、循环码、汉明码。
编码的纠错能力和应用。
八、图的同态与同构8.1 图的同态图的同态的定义和性质。
同态定理和同态的应用。
8.2 图的同构图的同构的定义和性质。
同构定理和同构的应用。
九、树与森林9.1 树的基本概念树的定义和性质。
教学课件 离散数学(第二版)武波
有如下形式： 现以两个变元P、 Q为例进
表1.6.3列出了两个变元P和Q 及其极大项的真值表。 由表1.6.3
可以看出， 没有两
表1.6.3
值与编码相同时， 其真值为 F ， 在其余2n－1种指派下其真值均为
T (2) 任意两个不同极大项的析
M i M j T (i j)
(3) 2所n1 有极大项的合取式永假，
1. 否定联结词 否定联结词也称为“非”运 算， 它对单个命题进行操作，
是一个一元运算符。
当且仅当P为假。 下面引入真值表(truth table) 来描述复合命题的真值。 真值表
的左边列出参与运算的命题真值 的所有可能组合， 复合命题的真 值结果列在最右边一列。 因此， 否定联结词 的定义如表1.1.1所
当 P、 Q 至少有一个为T。 “∨”是一个二元运算。 析
取联结词∨的定义如表1.1.3所示。
表1.1.3
proposition)。 符号→用于表示条 件联结词。 当且仅当 P 为T且 Q 为F时， P→Q 为F。 这里， 称
P 为假设(hypothesis)或前件 (antecedent)， 称 Q 为结论 (conclusion)或后件(consequent)。
1.6.4所示。
表1.6.4
得到它的主合取范式。 这是因为 任何一个命题公式都可以求得它 的合取范式， 而合取范式可转化 为主合取范式， 步骤如下：
(1) 将原命题公式转化为合取
(2) 将每个析取式等价变换为 若干极大项的合取(对每个析取式 填补没有出现的变元， 如缺P和 P， 则析取P∧ P， 再应用分配
表1.2.3
重言式(tautology)或者永真式。
定义1.2.7 给定一个命题公 式， 如果在任何赋值下， 它的 真值都为F， 则称该命题公式为 矛盾式(contradiction)或者永假式。
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案.docx
离散数学答案屈婉玲版第⼆版⾼等教育出版社课后答案.docx离散数学答案屈婉玲版第⼆版⾼等教育出版社课后答案第⼀章部分课后习题参考答案16设p 、q 的真值为0； r 、S 的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1) p ∨ (q ∧ r)⼆ O V (0 ∧ 1) U 0(2) ( p? r )∧ (「q ∨ S)⼆ (0? 1)∧ (1 ∨ 1)⼆ 0∧ 1= 0. (3)( ⼀ p ∧⼀ q ∧ r ) ? (P ∧ q ∧, r)⼆(1∧ 1∧ 1)(0 ∧ 0∧ 0)=0(4) (⼀ r ∧ S )→(P ∧⼀ q) U (0∧ 1)→ (1 ∧ 0) = 0→O= 1 17 .判断下⾯⼀段论述是否为真：“⼆是⽆理数。
并且，如果3是⽆理数，则' 2也是⽆理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p:⼆是⽆理数 1q: 3是⽆理数 0 r:2是⽆理数 1s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除 0命题符号化为：p ∧ (q →r) ∧ (t →S)的真值为1,所以这⼀段的论述为真19.⽤真值表判断下列公式的类型: (4) (P → q) → (_q —_ P) (5) (P ∧ r)' (—p ∧⼀q) (6) ((P →q) ∧ (q → r)) →(p →r)(5) 公式类型为可满⾜式(⽅法如上例) (6) 公式类型为永真式(⽅法如上例)答:(4)_ p → q^q 1 1 1POOIOOI 1 1 1 0 所以公式类型为永真式P 1 1 0 0q —_p 1 1 0 1(p → q)→ (—q →-P) 1 1 1 1第⼆章部分课后习题参考答案3. ⽤等值演算法判断下列公式的类型，对不是重⾔式的可满⾜式，再⽤真值表法求出成真赋值?⑴⼀(p∧q→q)(2) (p→(P ∨q))∨(p→r)(3) (P∨q)→(P∧r)答：(2) (p→(p∨q))∨(p→r)：= (⼀p∨(p∨q))∨(⼀p∨r)：= ^ p∨p∨q∨r= 1 所以公式类型为永真式⑶P q r p∨q P ∧r (P∨q)→ (P∧0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满⾜式4. ⽤等值演算法证明下⾯等值式：⑵(P → q) ∧(P → r)⼆(P → (q ∧r))⑷(P ∧- q) ∨ (—p∧q)= (p ∨q) ∧⼀(P ∧q)证明(2)(P →q) ∧(P →r)(^p∨q) ∧( ⼀p∨r)=^p∨(q ∧r))：=p→ (q ∧ r)(4) (P ∧— q) ∨ (—p∧q) = (p ∨ (—p∧q)) ∧(~ q∨ ( —p∧q)⼆(P∨— P) ∧(P∨q)∧(⼀q∨-P) ∧Cq∨q)U 1 ∧(P ∨q) ∧^ (P ∧q) ∧1U (P ∨q) ∧^ (P ∧q)5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1) ( ^P→q)→(⼀q∨P)(2) _(P→q) ∧q∧r(3) (P ∨(q ∧r)) →(P ∨q∨r)解：(1) 主析取范式(-p→ q) → (-q P)--(P q) (⼀q P)=(—P ^q) ( ⼀q P)=(-P ^q) (⼀q P) (⼀q -P) (P q) (P ^q)-(-P ^q) (P ^q) (P q)U m0m2m3U ∑ (0,2,3)主合取范式：(^P→q)→(⼀q P)--(P q) (⼀q P)U ( -p -q) (⼀q P)=(-p ( -q P)) ( -q (-q P))=1 (p — q)-(P _q) - M iU ∏ (1)(2) 主合取范式为：—(P → q) q r = ⼀(⼀p q) q r=(P _ q) q r = 0所以该式为⽭盾式?主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)⽭盾式的主析取范式为0(3) 主合取范式为：(P (q r)) → (P q r)u ⼀(P (q r)) → (P q r)=(⼀p ( ⼀q _ r)) (P q r)U ( ⼀p (P q r)) (( ⼀q ^ r)) (P q r)) =1 1所以该式为永真式?永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在⾃然推理系统P中构造下⾯推理的证明⑵前提：p—；q, —(q r),r结论：_ P(4)前提：q“ p,q s,s I t,t r结论：P q证明：(2)①—(q r) 前提引⼊②—q ⼀r ①置换③ q ? ⼀r ②蕴含等值式④r 前提引⼊⑤⼀q ③④拒取式⑥p— q 前提引⼊⑦」P (3)⑤⑥拒取式证明(4):①t r 前提引⼊②t ①化简律③qι S前提引⼊④SI t 前提引⼊⑤q t ③④等价三段论(q~ t)(t > q) ⑤置换⑦(q T )⑥化简⑧q ②⑥假⾔推理⑨ q—；P 前提引⼊⑩P ⑧⑨假⾔推理(11)p q ⑧⑩合取15在⾃然推理系统P中⽤附加前提法证明下⾯各推理(1)前提：p— (q > r),S > p,q结论：S-；r证明①S 附加前提引⼊②Sr P 前提引⼊③P ①②假⾔推理④P- (q - r) 前提引⼊⑤ q—；r ③④假⾔推理⑥q 前提引⼊⑦r ⑤⑥假⾔推理16在⾃然推理系统P中⽤归谬法证明下⾯各推理：(1)前提：p ■ —q, —r q,r - S结论：- P证明：①P 结论的否定引⼊② p—；「q 前提引⼊③⼚q ①②假⾔推理r q 前提引⼊⑤「r ④化简律⑥r 「S 前提引⼊⑦r ⑥化简律⑧r 「r ⑤⑦合取由于最后⼀步r 「r是⽭盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在⼀阶逻辑中将下⾯将下⾯命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意X,均有声-2=(x+ )(x T Q.(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为⾃然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): F=2=(x+遢)(x ：區).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为-XF(X),在(a)中为假命题，在(b)中为真命题。