数学实验课件：第四章线性代数
0
F = X0TAX0 + 2X0Tb + 1
5/16
消去方程中一次项,令
AX0 + b = 0
a1 a2
a2 a3
x0 y0
a4 a5
二次方程化简: ZTAZ + F = 0
设1，2 是 A 的特征值,对应特征向量为 1 , 2
令 U [1 2 ]
AU [11
22 ]
U
1
2
UT
AU
1
2
令
Z
u
U
v
1u2 2v 2 F 0
6/16
u2 v2 a2 b2 1
u a cos t v b sint
其中 a2 F b2 F
1
2
0 t 2
变量 t 的离散数据 轨道数据 (u, v)
x
y
U
u
v
x0 y0
原坐标下的轨道离散数据
7/16
矩阵特征值问题
X=A*X;Cars=[Cars,X]; end Cars figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
第四章 线性代数
小行星的轨道方程 特征值问题及应用 离散数据的多项式拟合
1/16
例4.2 小行星轨道方程 椭圆二次曲线方程
a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0 以太阳为坐标原点,测得小行星坐标
x 4.5596 5.0816 5.5546 5.9636 6.2756
2/16
x12 x22
2 x1 y1 2x2 y2
y12 y22Leabharlann x1 x2y1 y2
a1 a2
1 1
Az = b z A1b
x32 x42
x52
2x3 y3 2x4 y4 2x5 y5
y32 y42 y5
x3 x4 x5
y3 y4
a3
a4
1 1
y5 a5 1
设第n天A城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数 为x2(n)。 则有
x(n1) 1
x(n1) 2
0.9 0.1
0.12 0.88
x1( n x 2( n
) )
10/16
营业部汽车总数量：120+150=270
X=[120;150]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6
MATLAB 求解方程组方法：A\b x1 y1
创建方程组系数矩阵方法：
x2
y2
A=[X.^2, 2*X.*Y, Y.^2, X, Y]
X
x3
Y
y3
x4
y4
x5
y5
3/16
程序文件 mlab42.m X=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756]; Y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265]; A=[X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y]; E=[-1;-1;-1;-1;-1]; z=A\E; a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5); syms x y F=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1; ezplot(F,[-1,6.5,-1.5,6]) hold on,plot(X,Y,'ro')
4/16
a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0
[x
y]aa12
a2 a3
x y
2[
x
y]aa54
1
0
或
XTAX + 2XTb + 1 = 0
平移变换,X = X0 + Z, 其中X0(椭圆中心)待定 (X0 + Z)TA(X0 + Z) + 2(X0 + Z)Tb + 1 = 0 ZTAZ + 2ZT(AX0 + b) +( X0TAX0 + 2X0Tb + 1) = 0
9/16
例4.5 出租汽车问题。
出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上,设了A,B两营 业部。如果周一A城有120辆可出租汽车，而B城有150 辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的10% 被顾客租用开到B城 ,B城营业部汽车的12%被开到了 A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车 数量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽 车数量不增不减。
A是n阶方阵,求非零向量 和数 使得 A
称 为特征向量,称 为特征值.
MATLAB解算特征值问题方法 lamda=eig(A) —— 计算A的特征值,这里lamda是A 的全部特征值构成的列向量。 [P,D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特 征向量. 其中, D是对角矩阵,保存矩阵A的全部特征 值; P是满阵, P的列向量构成对应于D的特征向量组。
y
0.8145 1.3685 1.9895 2.6925 3.5265
a1x12 + 2a2x1y1 + a3 y12 +2a4 x1 + 2a5 y1 = –1 a1x22 + 2a2x2y2 + a3 y22 +2a4 x2 + 2a5 y2 = –1 a1x32 + 2a2x3y3 + a3 y32 +2a4 x3 + 2a5 y3 = –1 a1x42 + 2a2x4y4 + a3 y42 +2a4 x4 + 2a5 y4 = –1 a1x52 + 2a2x5y5 + a3 y52 +2a4 x5 + 2a5 y5 = –1
8/16
x=[4.5596 5.0816 5.5546 5.9636 6.2756]'; y=[0.8145 1.3685 1.9895 2.6925 3.5265]'; D=[x.^2 2*x.*y y.^2 2*x 2*y]; E=[1;1;1;1;1];e=-D\E; A=[e(1) e(2);e(2) e(3)];b=[e(4);e(5)]; X0=-A\b; F=X0'*A*X0+2*X0'*b+1; [U d]=eig(A);a=sqrt(-F/d(1,1));b=sqrt(-F/d(2,2)); t=linspace(0,2*pi,2000); u=a*cos(t);v=b*sin(t); X=U*[u;v]+X0*ones(1,2000);xt=X(1,:);yt=X(2,:); plot(xt,yt,x,y,'b*',0,0,'ro'),hold on comet(xt,yt)
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线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线性代数第四章线性方程组课件
方程组 AX 0 的两个基础解系， 则由这两个基础解
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
线性代数课件(高教版)4-2
T
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数且第个方程第个变量的系数三角形线性方程组是一类特殊的情形解法也简单由克莱姆法则可以判断其解惟一一般只需要从最后一个方程开始求解逐步回代就可求出方程组的全部解11定义416线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
同济大学线性代数课件__第四章y
第四章 向量组的 线性相关性
1
§4.1 向量组
一.n维向量
定义1：n 个数
a 1 , a 2 , , a n
所组成的有序数组
称为一个 n 维向量. 第 i 个数 a i 称为第 i 个分量. 这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵.
a1 a 2 (a1 , a2 an )T an 列向量
25
例4： 已知向量 1 , 2 , 3 线性无关，证明：向量
1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3 线性无关.
x1 x 1 , 2 , , n 2 0 x1 1 x2 2 xn n 0 x n
【注】零向量可写成任意同维数向量的线性组合，即 齐次线性方程组 x11 x22 xmm 0总有解。
其中 A 1 , 2 , , m
21
特别 (1) n个n维向量 (1 , 2 , , n ) A 线性相关
R( A) n A 0
(2) n个n维向量 ( 1 , 2 , , n ) A 线性无关
R( A) n A 0
22
例2: 已知 1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) , 试讨论向量组 1 , 2 , 3及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
23
解： 设 x1 1 x2 2 x3 3 0
1 0 2 0 1 x 2 x 4 0 x 即 1 2 3 1 5 7 0 1 0 2
16
1
§4.1 向量组
一.n维向量
定义1：n 个数
a 1 , a 2 , , a n
所组成的有序数组
称为一个 n 维向量. 第 i 个数 a i 称为第 i 个分量. 这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵.
a1 a 2 (a1 , a2 an )T an 列向量
25
例4： 已知向量 1 , 2 , 3 线性无关，证明：向量
1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3 线性无关.
x1 x 1 , 2 , , n 2 0 x1 1 x2 2 xn n 0 x n
【注】零向量可写成任意同维数向量的线性组合，即 齐次线性方程组 x11 x22 xmm 0总有解。
其中 A 1 , 2 , , m
21
特别 (1) n个n维向量 (1 , 2 , , n ) A 线性相关
R( A) n A 0
(2) n个n维向量 ( 1 , 2 , , n ) A 线性无关
R( A) n A 0
22
例2: 已知 1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) , 试讨论向量组 1 , 2 , 3及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
23
解： 设 x1 1 x2 2 x3 3 0
1 0 2 0 1 x 2 x 4 0 x 即 1 2 3 1 5 7 0 1 0 2
16
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
《线性代数》第四章线性方程组 第1节.ppt
2
1 1
11 2 1 0 2
2 7
~
2 2 5 1 1 18
0
0
0
3 3 6
4 23 5
5
2
4
7
1 3 1 4
1 2 3 1 1 7
~ 0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 7
0 1
1 5
1 42
~
1 2 3 1 1 7
0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 0
二、用消元法解线性方程组
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元 法。下面再作一例，以求其规律。
例 解线性方程组
2x1 x2 2x3 4
x1 x2 2x3 1
4x1 x2 4x3 2
解：交换第一、二两个方程， 得同解组
x1 x2 2x3 1 1 2x1 x2 2x3 4 2 4x1 x2 4x3 2 3
(1) 的 方 程 组
称为线性方程组
它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 ,xn )T
b (b1,b2 ,bm )T
称 B (A b) 为增广矩阵,通常写成 ( A | b)或( A, b)
b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组
b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组
当 x , x ,, x 分别用数k , k ,, k 代入方程组中的
1
2
n
1
2
n
每一个方程后, 若能使得每一个等式都 变成恒等式,
则我们称
x k , x k ,, x k ,
1
1
第4章_线性代数[2009]
例14. 简单迁移模型:每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇 的人口15%迁往A镇. 假设某年A、B两镇人口各有120 人和80人.问两年后两镇人口数量分布如何? 设两镇总人口不变,人口流动只限于两镇之间.引入变量: x1(k) 表示 A 镇第 k 年人口数量; x2(k) 表示 B 镇第 k 年人口数量. 由第 k 年到第 k+1 年两镇人口数量变化规律如下
y2 y3 y4
y5
2 y1 2 y2 2 y3 2 y4 2 y5
a1 1 a2 1 a 1 3 a4 1 1 a5
MATLAB 求解方程组方法：A\b 创建方程组系数矩阵方法：
= –1 = –1 = –1 = –1 = –1
Az = b
z A b
1
x 12 2 x2 x2 3 2 x4 x2 5
2 x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 x4 y4 2 x5 y5
y1
2 2 2 2
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 2 x5
X(k+1) = A X(k)
X(2)
=AX(1)
=A(AX(0))
=
A2X(0)
X
(0)
120 80
A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; X0=[120;80]; X2=A^2*X0
X2 =
120 80
D=
1.00 0.751
线性函数拟合:
m
(x) = a + bx
[( a bx j ) y j ] min
2
求 a, b,使
多项式拟合:
线性代数第四讲PPT课件
1 1 0 -5 D
记 Aij =(－1)i+j Mij , Aij 称为元素 aij 的代数余子式。
2020/11/23
2
a11 a12 a13 a14 例如四阶行列式 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
元素 a32 的余子式是：
a11 a13 a14 M32 a21 a23 a24 ,
3A11 5A12 3A13 27.
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6
3 5 3 例2 计算行列式 D 0 1 0
7 72
解 按第二行展开，得
D1(1)223 3 72
27.
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例3 计算行列式
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
保留 a33 ，把第 3 行其余元素变为 0 ，然后按 3 行展开：
40.
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例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 xn
x22 xn2 (xi xj ). (1 )
nij1
比如
x1n1 x2n1 xnn1
1 1 11
4 - 1 3 2 120 16 1 9 4
64 - 1 27 8
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例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1
x1 Dn x12
1 1
x2 xn
x22 xn2 (xi xj ). (1 )
nij1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1