有限元第七章弹性板壳有限元分析
1 y1
x1
4
x3
4
1O y()
2a
y3
2 y2
FQ1
M y1
2
x2 M x1
x( ) 3 2b
FQ4
1O y()
3 x4
M x3
4
2a
y4
M y3
x( )
FQ2 2
M y2 M x2
FQ3 2b
3 M x4
M y4
(a)
(b)
图7-3 矩形单元结点位移和结点力
（2）按此位移模式进行（在无荷载作用下的）单元、 整体分析，并在上述位移边界条件下求解。
（3）若所求得的结点位移构造的小片上的挠度为一 完 全二次多项式，则单元的位移模式通过小片检验。
当薄板程序不能解已知边界支撑位移时，也可按 如下步骤进行小片检验：
（1）取某一单元小片，对小片的每一结点给以对应于 完全二次多项式的结点位移。
（7-10）
式中四次项所以取 x3 y和xy3是为了 保证坐标互换时的不变性和曲率、扭率具
有相同方次（后面还将说明）。对式（7-10）求导可得
x a1 a5 2a6 y a8 x2 2a9 xy a10 y3＋3a10 y2 a11x3 3a12 xy2
（7-11）
（7-9）
因为单元结点位移参数（每结点的挠度和绕两坐标轴的转角）
总计有12个（故称12自由度），所以从广义坐标法角度来说
位移模式可取作
w a1 a2 x a3 y a4 x2 a5 xy a6 y2 a7 x3 a8 x2 y
a9 xy2 a10 y3＋a10 x3 y a11xy3
7-1 弹性薄板基本理论
所谓薄板（thin plate）系指板厚 与板面最小尺寸b
的
比值在下列范围内的平板(
1 80
~ 1010
)<
b
< (
1 5
~
1 8
)
平分板厚度 的平面为中面（中平面）。在板的挠度 小于厚度 时有
克希霍夫（G.Kirchoff）假设：
1.板的中面在自身平面内没有变形。也即在弯曲时中面是中性面。
2
N1 2a b c d e 4(c 2e) 0
1
N1 2a b c d e 0
4
由式（f）与式（h）可得 b c
在式（i）下由式（e）和（g）可得 d e
式（i）、（j代入式（h）（或式（f））可得 a 2d
2
2 ab
2NiT
x2
y2
（7-18）
2
2NT xy
T
δe
1 a2
2NT
2
1 2NT
b2 2
2 ab
2NT
T
δe
Bδe
B1 B2 B3 B4 δe
（7-19）
式中
Bi
1 a2
2NiT
2
1 b2
2NiT
函数如下
Ni 1 0 10 2 0 0 2 2 / 8
Nxi
N yi
1818bai 1i
0
1
1 0 0
12
1
i=1,2,3,4
0 1 2
式中
x
a
，
y b
对任意下片的几个单元集合施加与任一常 应变状态相应的结点位移，如果能在外部 荷载作用下满足结点平衡条件并且获得常 应力状态，则称此单元能通过小片检验。 而且实践证明，小片检验所要求的条件是 保证非协调任意单元收敛性的充分条件。
对于某种薄板单元位移模式，进行小片检验的具体 步骤如下：
（1）取某一单元小片，并在小片的边界上给出对应 于完全二次多项式的边界条件。
N1 1 a b c d 2 e 2 (1 )(1 )(b 2d )
N1 1 a b c d 2 e 2 (1 )(1 )(c 2e)
2.弯曲前板内垂直于中面的直线段在弯曲后仍保持为直线，并垂直于中
性曲面，这线段的长度不变。
3.忽略应力 z及应变 z 。
根据以上假设可得
由 z 0 可推知 (x, y)
由
xz
0 可推知
u
z w x
f1 (x, y)
由 yz 0 可推知
u
z
w y
x a j
y b j
式中1，j分别表示在结点1,j处的值。
为自动满足 N1 ( j) 0 ，而且考虑到式（7-10）中没有
2 2项，， 的最高次为3，
因此可设
N1 1 1 a b c d 2 e2
由此可得
若引入如下结点位移和结点力矩阵符号
δi Fi
i x1 y1 Ｔ
FQi M xi M yi
Ｔ
（i=1,2,3,4）
（7-8）
则单元结点位移矩阵和单元结点力矩阵分别为
δe δ1T δ２T δ３T δ４T Ｔ Fe F1T F２T F３T F４T Ｔ
EP*
q(x, y)(x, y)dA
A
由此可得线弹性小变形的薄板势能为
EP
1 2
T
κ
DκdA－
1
Ａ
2
q(x, y)(x, y)dA
Ａ
（7-5）
（7-6） （7-7）
7-2 矩阵（12自由度）薄板单元分析
设薄板被离散成若干矩形单元的集合，单元的结点位移与结点力（正向）如
图7-3所示。
y a2 2a4 x a5 y 3a7 x2 2a8 xy a9 y2 3a11x2 y a12 y3
（7-12）
利用式（7-10）、式（7-11）和式（7-12）及4个结点的位移条件即可确定
全部待定常数 a1 a12 ，将所得系数代回式（7-10）并经整理后即可得形
显然
④
F5i 0
i①
0.26923
F5④
0.25
0.25
（7-17）
6
③
④
7
8
9
y z
如图7-4 单元小片示意
说明矩形12单元的N 在上述网格划分形式下能通过小片检验
7-2-3 单元分析
因为单元挠度为
Nδe
可得单元形变为
2NT
2NT
k
Mx
My
M yx
z
M xy
xy
yx
xdz
1
dz xdz 1
图7-2 内力与应力关系示意
M x M y M xy T M = Dκ
（7-4）
式中：D为薄板的弹性矩阵。 对各向同性体
1 v 0
D
3
12
D
E 3
12(1 v2
)
v
0
i , =i
当然上述形函数也可由试凑法得到，由于篇幅所限这里不仅仅以 N1
为例加以说明。
由形函数（shape function）性质可知 N1 应满足如下条件： N1(1) 1 N1( j) 0 ( j 1, 2,3)
N1 = N1 =0 N1 = N1 =0 ( j 1, 2,3, 4)
2
y2
2
2
xy
T
（7-1）
由此可见薄板的应变矩阵(strain matrix)为
ε zκ
（7-2）
与此应变矩阵相应的各向同性体的弹性矩阵（elasticity matrix）为
1 v 0
D
E 1 v2
v
1
0 1 v
0 0
1 0
0 1 v
2
从式（7-2式）和式（7-3）可得薄板应变能为
V 1
2
T
1
σ εdV=
V
2
A
2
εT
DεdzdA
2
1
T
1
κ DκdA=
T
M κdA
2Ａ
2Ａ
对于受垂直薄板中面、集度为q(x,y)的分布荷载作用的
板弯曲问题，外力势能 EP* 为
2
薄板应力矩阵（stress matrix）为
σ Dzκ
（7-3）
根据图7-2示意可得内力为
/2
M x / 2 ( x dz)z
/2
M xy / 2 ( xy dz)z M yx
/2
M y / 2 ( y dz)z
考虑到式（7-3）则内力与形 变间的关系为
相似思路来建立，这里不再赘述。但必须强调这种除函数本身外还
有函数导数作为位移参数的试凑法（try method）建形函数思路，
也可用于二维问题等等，从而可建立一些少结点、高阶的单元。
一经获得形函数，则形函数矩阵 N 为
N N1 N2 N3 N4
Ni Ni Nxi Nyi (i 1, 2,3, 4)
第7章 弹性板壳有限元分析初步
板壳结构式土木工程中广为采用的一种结构形式，但是只有少量 几何形状、荷载及边界条件较简单的情况才能获得解析结果。因此， 用有限元方法进行板壳结构受力分析研究，自有限元产生开始，直至 今天仍在发展。本书仅就一种矩形单元简单介绍有限元板壳分析的初 步知识，为读者进一步深入学习打下基础。
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第七章 平板弯曲问题的有限元分析
w 的值在单元交界线之间是连续的，而对 s
w 却不连续；s表示交界线切线方向而n表示交界线法线方向。因此我们 n
现在所讨论的单元是非协调元，或称为不完全协调单元。
以 1 的ij边界为例说明
s i
n1
w c c1 c2 c3 2 c4 3
n2 j s
24
该边界上两端点i , j共有4个已知条件：
(7-14)
0 和0 分别是 0 其中记号
i ， 0 i。
22
由(7-12)式可以看到，整个薄板的位移完全由平面在z方向的挠度 w所决定，而在中面各点不产生x和y方向位移。因此薄板所可能产生的刚 性位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动，而对于z轴方向的旋 转是没有的。位移模式(7-10)式中是前三项反映了薄板单元的这三个刚 体位移。再由(7-3)式看到，板内各点的应变完全由挠度w的三个二阶导 数所决定。如果这三个二阶导数不随坐标而变化，则描述平板单元的一个 常应变状态，(7-10)式中的第四、五、六三个二次项反映了这个常应变 状态（或称常曲率状态）。因此，我们总是能够保证存在一组结点位移， 可以反映单元的刚体位移和常应变状态，因此，这个矩形单元是完备的。
式中f 1
( x, y) 和 f 2 ( x , y ) 是x，y的任意函数。
11
根据假设中面部产生应变的假定)，可得
u z 0 0 , v z 0 0
(7-1)
w w u z , v z x y
而
w=w(x,y)
(7-2)
式中u，v和w是板内某点对于坐标轴方向的位移分量。从上面二式可以
w
( N w
i i 1
4
i
N xi xi N yi yi )
w 却不连续；s表示交界线切线方向而n表示交界线法线方向。因此我们 n
现在所讨论的单元是非协调元，或称为不完全协调单元。
以 1 的ij边界为例说明
s i
n1
w c c1 c2 c3 2 c4 3
n2 j s
24
该边界上两端点i , j共有4个已知条件：
(7-14)
0 和0 分别是 0 其中记号
i ， 0 i。
22
由(7-12)式可以看到，整个薄板的位移完全由平面在z方向的挠度 w所决定，而在中面各点不产生x和y方向位移。因此薄板所可能产生的刚 性位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动，而对于z轴方向的旋 转是没有的。位移模式(7-10)式中是前三项反映了薄板单元的这三个刚 体位移。再由(7-3)式看到，板内各点的应变完全由挠度w的三个二阶导 数所决定。如果这三个二阶导数不随坐标而变化，则描述平板单元的一个 常应变状态，(7-10)式中的第四、五、六三个二次项反映了这个常应变 状态（或称常曲率状态）。因此，我们总是能够保证存在一组结点位移， 可以反映单元的刚体位移和常应变状态，因此，这个矩形单元是完备的。
式中f 1
( x, y) 和 f 2 ( x , y ) 是x，y的任意函数。
11
根据假设中面部产生应变的假定)，可得
u z 0 0 , v z 0 0
(7-1)
w w u z , v z x y
而
w=w(x,y)
(7-2)
式中u，v和w是板内某点对于坐标轴方向的位移分量。从上面二式可以
w
( N w
i i 1
4
i
N xi xi N yi yi )
有限元分析基础-PPT资料194页
3.1.2 坐标系
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析， 尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结
构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
29
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相 应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和 力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一 致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标 轴方向的分量。
时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的移分 i ， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个
待定系数 1， 2， 3 ， 4 的多项式 v (x )12 x3 x 24 x 3
12
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
单元结点位移条件
当 x0 时
性质方程。 (2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似 解法。
5
第一章 概述
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析， 尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结
构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
29
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相 应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和 力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一 致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标 轴方向的分量。
时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的移分 i ， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个
待定系数 1， 2， 3 ， 4 的多项式 v (x )12 x3 x 24 x 3
12
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
单元结点位移条件
当 x0 时
性质方程。 (2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似 解法。
5
第一章 概述
7_板壳问题有限元分析
T i
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
有限元-结构静力学分析
03
结果优化
如果结果不满足设计要求，需要对有 限元模型进行优化设计，如改变梁的 截面尺寸、增加支撑等。
THANKS
谢谢您的观看
结构静力学的求解方法
解析法
解析法是通过数学方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法。它通常 适用于具有简单几何形状和载荷条件的结构，如梁、板、壳等。
数值法
数值法是一种通过数值计算方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法 。它通常适用于具有复杂几何形状和载荷条件的结构，如飞机、汽车等。
结构静力学的基本假设和简化
问题描述和基本方程
问题描述
弹性地基梁是支撑在弹性地基上的梁，受到垂直荷载的作用。该问题可描述为求 解地基反力和梁的挠度。
基本方程
该问题的基本方程包括梁的平衡方程、几何方程和物理方程。这些方程描述了梁 在受力后的变形和应力分布情况。
利用有限元法进行每个单元之间通过节点相连。每个节点具有三个自由度：沿 x、y、z方向的移动。
系统方程的建 立
将所有单元的平衡方程 和变形协调方程组合起 来，得到整个结构的系 统方程。
求解系统方程
利用数值方法（如高斯 消元法）求解系统方程 ，得到每个节点的位移 和应力。
结果分析和讨论
01
结果输出
输出每个节点的位移、应力、应变和 弯矩等结果。
02
结果评估
根据输出结果，对框架结构的强度、 刚度和稳定性进行评估，判断是否满 足设计要求。
连续性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是连续的， 即结构的内部没有空隙和缺陷。
各向同性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是各向同性 的，即结构的各个方向具有相同的材料性质。
均匀性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是均匀的， 即结构的各个部分具有相同的材料性质。
有限元教案_壳单元
其中：
11
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
则单元刚度方程可写成标准形式：
{F }
(e)
= K
(e)
{δ }
(e)
12
坐标转换问题
由前面说明可见,单元刚度矩阵是对坐标x,y轴位于单元 平面内的(右手,局部)坐标系建立的,从柱面薄壳的离散可知 ,像杆系结构有限元分析一样,为进行整体分析,必须建立统 一的整体坐标系。局部坐标与整体坐标之间的关系为：
2
1．理论假设 ． 与薄板问题相似，薄壳发生微小变形时，也可以忽略其沿 壳体厚度方向的挤压变形，且认为直法线假设仍然成立，即变 形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线，与薄板不同的是， 壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内的伸缩变形。 2．折板假设 ． 将壳体划分为有限个单元，它们都是曲面单元。但是，当 网格划分足够细时，曲面单元将足够扁平，可近似地视为平板 单元，它们拼成的折板体系可近似代替原来的光滑壳体结构。 常用的平板型壳体单元有矩形和三角形单元。
{F }
(e)
= [ K ]( e ) {δ }( e )
其中，整体坐标系下的单元刚度矩阵为：
[K ]
(e)
= [T ] K [T ]
T e
18
用平面壳体单元进行壳体分析的步骤
1. 离散化 ( 手工或自动 ) 并确定结点坐标 2. 作局部坐标下的单元分析 (1) 作平面应力单元分析 ; (2) 作平面弯曲单元分析 ; (3) 组成平面壳体单元特性公式。 3. 建立坐标变换矩阵 T 并求整体坐标下的单元特性 4. 按整体结点编码进行总刚集装 5 .引人约束条件 6. 解总刚度方程得壳体结构结点位移
4
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
28
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
29
30
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
有限元板壳——王勖成
t 2 t 2 3 2
弹性矩阵
t z [ D p ]{ }dz [ D p ]{ } [ D ][ ] 12
薄板弯曲问题中的弹性矩阵[D]
1 0 1 0 Et 3 1 [ D] 0 D0 1 0 2 12 (1 ) 1 1 0 0 0 0 2 2
Et 3 D0 12(1 2 )
内力矩表示薄板应力的公式
12 z { } 3 {M } t
平衡方程
2 M xy 2 M y 2M x 2 q ( x, y ) 0 2 2 x xy y
由广义应力应变关系及几何关系代入平衡方程得 由W的微分方程：
非协调板单元可以通过分片试验，当单元划分不断缩 小时，计算结果可以收敛于精确解答，但是收敛并非 一定是单调的，即不一定是精确解的上界或下界。
2.2 薄板三角形单元
a1 a 2 x a3 y a 4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3
基本方程
w v z y
(1)位移：由假设（1）、（3），有 w w w( x, y ) u z x (2)应变
由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三 个分量。根据几何方程，应变可表示为
2w u 2 x x x 2w u { } y z 2 y y xy u v 2w 2 xy y x
形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向 的扭率。
广 义 应 变
2w 2 x 2w { } 2 y 2 w 2 xy
弹性矩阵
t z [ D p ]{ }dz [ D p ]{ } [ D ][ ] 12
薄板弯曲问题中的弹性矩阵[D]
1 0 1 0 Et 3 1 [ D] 0 D0 1 0 2 12 (1 ) 1 1 0 0 0 0 2 2
Et 3 D0 12(1 2 )
内力矩表示薄板应力的公式
12 z { } 3 {M } t
平衡方程
2 M xy 2 M y 2M x 2 q ( x, y ) 0 2 2 x xy y
由广义应力应变关系及几何关系代入平衡方程得 由W的微分方程：
非协调板单元可以通过分片试验，当单元划分不断缩 小时，计算结果可以收敛于精确解答，但是收敛并非 一定是单调的，即不一定是精确解的上界或下界。
2.2 薄板三角形单元
a1 a 2 x a3 y a 4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3
基本方程
w v z y
(1)位移：由假设（1）、（3），有 w w w( x, y ) u z x (2)应变
由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三 个分量。根据几何方程，应变可表示为
2w u 2 x x x 2w u { } y z 2 y y xy u v 2w 2 xy y x
形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向 的扭率。
广 义 应 变
2w 2 x 2w { } 2 y 2 w 2 xy
6板壳有限元
N x1 i 1 0 (1) N x1 1 N x1 y b N x1 x 0
i 4,1
b2 c2 d 2 0 0 (2) a2 e2 i 2
(3) , (4)
最后利用本点1，确 定a2=b/8，代回
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板弯曲问题
平面应力： 0 z xz yz
y
z
x
与平面应力问题不 同，薄板弯曲问题是 具有图示几何特征的 结构在横向荷载作用 下的分析。
弹性薄板基本知识
弹性薄板基本概念 所谓薄板是指板厚h比板 最小尺寸b在如下范围的平 y 1 1 h 1 1 板 ~ ~
100 80 b 8 5
N i N i N N 1
N xi
N yi
My1
x3 y3
4
N 4
则薄板的挠度场可由结点位移表示为
w N i d i N d
i 1
e
4) 单元间位移的协调性 可以证明,上述w在边线上任意一点的挠度和 转角都是三次多项式。
弹性薄板矩形（R12）单元
对于转角yi相关的形函数，可推导得 ，
z
N xi b i (1 0 )(1 0 )(1 - )/8
2
N yi a i (1 0 )(1 0 )(1 - 2 )/8
弹性薄板矩形（R12）单元
3) 薄板的挠度场 有了每一结点的形函数,记
Q1 1 Mx1 4 x w3 2 y z 3
M y zdzdx
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
i 4,1
b2 c2 d 2 0 0 (2) a2 e2 i 2
(3) , (4)
最后利用本点1，确 定a2=b/8，代回
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板弯曲问题
平面应力： 0 z xz yz
y
z
x
与平面应力问题不 同，薄板弯曲问题是 具有图示几何特征的 结构在横向荷载作用 下的分析。
弹性薄板基本知识
弹性薄板基本概念 所谓薄板是指板厚h比板 最小尺寸b在如下范围的平 y 1 1 h 1 1 板 ~ ~
100 80 b 8 5
N i N i N N 1
N xi
N yi
My1
x3 y3
4
N 4
则薄板的挠度场可由结点位移表示为
w N i d i N d
i 1
e
4) 单元间位移的协调性 可以证明,上述w在边线上任意一点的挠度和 转角都是三次多项式。
弹性薄板矩形（R12）单元
对于转角yi相关的形函数，可推导得 ，
z
N xi b i (1 0 )(1 0 )(1 - )/8
2
N yi a i (1 0 )(1 0 )(1 - 2 )/8
弹性薄板矩形（R12）单元
3) 薄板的挠度场 有了每一结点的形函数,记
Q1 1 Mx1 4 x w3 2 y z 3
M y zdzdx
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
有限元第七章弹性板壳有限元分析
2
薄板应力矩阵（stress matrix）为
σ Dzκ
（7-3）
根据图7-2示意可得内力为
/2
M x / 2 ( x dz)z
/2
M xy / 2 ( xy dz)z M yx
/2
M y / 2 ( y dz)z
考虑到式（7-3）则内力与形 变间的关系为
f2 (x,
y)
Oa
x
b
yzຫໍສະໝຸດ 图7-1 弹性薄板示意因为假设中面无变形，也即 z 0 时
uv0
所以最终可得
u z w x
v z w y
综上可知薄板分析主要是求解挠度 ，它是x,y的函数。由此出发则薄板的其余
为应变分量为
x
z
2w x2
y
z
2w y2
对任意下片的几个单元集合施加与任一常 应变状态相应的结点位移，如果能在外部 荷载作用下满足结点平衡条件并且获得常 应力状态，则称此单元能通过小片检验。 而且实践证明，小片检验所要求的条件是 保证非协调任意单元收敛性的充分条件。
对于某种薄板单元位移模式，进行小片检验的具体 步骤如下：
（1）取某一单元小片，并在小片的边界上给出对应 于完全二次多项式的边界条件。
则
x 1 x 2y
y 1 2x y
按上述式子给结点以位移后，可求得
0.26923
F5①
0.25
0.25
0.26923
F5②
0.25
0.25
1
2
①
有限元分析的数学求解原理
有限差分格式
格式精度：一阶格式、二阶格式和高阶格式。
差分的空间形式：中心格式 时间因子：显格式、隐格式、显隐交替格式等。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方 法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶 向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为 一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡
状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点 位置时，系统就会趋向于稳定平衡。
势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物，如果其势能未
达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势 能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的 势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁 ”）（其力学本质是其处于一种不稳平衡状态）。因此，它试图（也 只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。 在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移
直接解法——逆解法、半逆解法：
对于一般的工程构件，即弹性体，由于偏微分方程边值问
题在数学上求解的困难，因此直接根据给定的边界条件求解弹 性力学的基本方程是十分困难的。为了避开偏微分方程边值问 题直接求解的困难，在弹性力学问题的求解中，经常采用的方 法是逆解法和半逆解法。 逆解法就是根据研究问题的性质和研究对象特点， 确定基本未知量，写出相应的基本方程并且假设一组满足全部 基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考 察具有确定的几何尺寸和形状的物体，根据边界条件确定表面 作用面力或者已知位移。由此确定假设函数可以求解的弹性力 学问题。