2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全( 计数原理、二项式定理)(几何证明选讲)含解析
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ii)答案与解析
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）∴=35．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（），=12×=66．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）B正方体切掉部分的体积为1==．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|= 2，则2．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥=10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f （x）的图象大致为（）B时，AP==，+tanx≤≤≤≠时，PA+PB=2≤﹣x=对称，）＞）时的解析式是解决本11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶B在双曲线﹣，a在双曲线=1﹣=1，==．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′=，则=====0或，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．λ+与+2，不平行，向量λ+与+2λ++2），解得；故答案为：．，使得14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．）；故答案为：．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．16．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．{∴﹣=，即={∴，．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．B=C=从而得解∵=2=，∴B==，∴C=；∴=．×．∴=2由余弦定理可得：=的长为18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．，发生的频率为，，，，，=，=×+×=0.4819．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线即可求得直线∴∴，则=所成角的正弦值为20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．==+b==过点（，即，b=，=2×，﹣，或时，四边形21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．DM=MN=，∴AB=的面积为×××=选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．cos=2．可得直角坐标方程：，，．：（B选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．++++）由于（）=a+b+2+=c+d+2＞+）+++若＞+，则（）＞（）a+b+2c+d+2，+）+综上可得，++。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05-不等式)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题：1.（2015安徽文）已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）12.（2015北京理）若，满足则的最大值为（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.考点：线性规划；3．（2015福建文）若直线过点，则的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：基本不等式．4．（2015福建理）若变量满足约束条件则的最小值等于 ( )A． B． C． D．2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．考点：线性规划．5．（2015福建文）变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C ．考点：线性规划．6.（2015广东文）若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C考点：线性规划．7．（2015广东理）若变量，满足约束条件则的最小值为（）A ． B. 6 C. D. 4【答案】．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由得，依题当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．8.（2015广东文）不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．9、(2015湖南文)若变量x、y满足约束条件，则z=2x-y的最小值为( )A、-1B、0C、1D、2【答案】AxyOAl考点：简单的线性规划10. (2015湖南理)若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当，时，的最小值是，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015湖南文)若实数a，b满足，则ab的最小值为( )A、 B、2 C、2 D、4【答案】C考点：基本不等式12.(2015山东理)已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为或，经检验，是最优解，此时；不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015陕西理)设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．14.(2015陕西文)设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】试题分析：；；因为，由是个递增函数，所以，故答案选考点：函数单调性的应用.15. (2015陕西文)某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】当直线过点时，取得最大值故答案选考点：线性规划.16. (2015陕西理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元【答案】D【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．考点：线性规划．17. (2015上海文)下列不等式中，与不等式解集相同的是（）.A. B.C. D.【答案】B18、(2015上海理)记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点定位】不等式性质19.(2015重庆文)若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）(A)-3 (B) 1 (C) (D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，；由于不等式组,表示的平面区域为三角形ABC，且其面积等于，再注意到直线AB：x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直，所以三角形ABC是直角三角形；易知，A（2，0），B（1-m,m+1）,C();从而=，化简得：，解得m=-3,或m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1;故选B.考点：线性规划.20、(2015四川文)设实数x，y满足，则xy的最大值为( )(A) (B) (C)12 (D)14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划22.( 2015天津理)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.23、(2015浙江文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．B．C．D．【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、填空题:1、（2015北京文）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为．【答案】7考点：线性规划.2.（2015湖北文）若变量满足约束条件则的最大值是_________．【答案】.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y 过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015山东文)若x,y满足约束条件则的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为.考点：简单线性规划.8. (2015山东文)定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .【答案】【解析】试题分析：由新定义运算知，，因为，，所以，，当且仅当时，的最小值是.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.9. (2015上海文)若满足，则目标函数的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. (2015天津文)已知则当a的值为时取得最大值.【答案】4【解析】试题分析：当时取等号,结合可得考点：基本不等式.11.(2015重庆文)设,则的最大值为________.【答案】考点：基本不等式.12、(2015浙江文)已知实数，满足，则的最大值是．【答案】15【解析】试题分析：由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值5；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为.考点：1.简单的线性规划；13. (2015浙江理)若实数满足，则的最小值是．三、解答题。
2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题：1.（2015文）已知x，y满足约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则yxz+-=2的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）12.（2015理）若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为（）A．0 B．1 C．32D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122y x z=-+，令0Z=，作直线12y x=-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2.考点：线性规划；3．（2015文）若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(1,1)，则a b+的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：基本不等式．4．（2015理）若变量,x y满足约束条件20,0,220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=-的最小值等于 ( ) A．52- B．2- C．32- D．2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z=-，当z最小时，直线2y x z=-的纵截距最大，故将直线2y x=经过可行域，尽可能向上移到过点1(1,)2B-时，z取到最小值，最小值为152(1)22z=⨯--=-，故选A．考点：线性规划．5．（2015文）变量,x y满足约束条件220x yx ymx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数m等于（）A．2- B．1-C．1 D．2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得1m =，故选C ．考点：线性规划．6.（2015文）若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C考点：线性规划．7．（2015理）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ）A ．531 B. 6 C. 523D. 4【答案】C ．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由32z x y =+得322z y x =-+，依题当目标函数直线l ：322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值即min42331255z =⨯+⨯=，故选C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．8. （2015文）不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1- 【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 考点：一元二次不等式．9、(2015文)若变量x 、y 满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=2x-y 的最小值为( )A 、-1B 、0C 、1D 、2【答案】AxyOA l考点：简单的线性规划10. (2015理)若变量x，y满足约束条件1 211 x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x，1=y时，min3(2)17z=⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015文)若实数a，b满足12aba b+=，则ab的最小值为( )A2 B、2 C、2 D、4【答案】C考点：基本不等式12.(2015理)已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B【解析】不等式组2xyx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y=+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y==或2,0x y==，经检验，2,0x y==是最优解，此时2a=；1,1x y==不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015理)设()ln,0f x x a b=<<，若)p f ab=，()2a bq f+=，1(()())2r f a f b=+，则下列关系式中正确的是（）A．q r p=< B．q r p=> C．p r q=< D．p r q=>【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．14. (2015文)设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C 【解析】试题分析：1()ln ln 2p f ab ab ab ===；()ln22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2a b f f ab +>所以q p r >=，故答案选C考点：函数单调性的应用.15. (2015文) 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=故答案选D考点：线性规划.16. (2015理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ． 考点：线性规划．17. (2015文)下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x xB. )32(282++<+x x xC.823212+<++xxxD.218322>+++xxx【答案】B18、(2015理)记方程①：2110x a x++=，方程②：2220x a x++=，方程③：2340x a x++=，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a≥<，从而4222321816,4aaa=<=即方程③：2340x a x++=无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点定位】不等式性质19. (2015文)若不等式组2022020x yx yx y m+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为（）(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，；由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直，所以三角形ABC 是直角三角形；易知，A （2，0），B （1-m,m+1）,C(2422,33m m -+); 从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得m=-3,或m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1; 故选B.考点：线性规划.20、(2015文)设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A )252(B )492 (C )12 (D )14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy 最大值”中，xy 已经不是“线性”问题了，如果直接设xy ＝k ，，则转化为反比例函数y ＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划22.( 2015天津理)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.23、(2015文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且x y z<<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且a b c<<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax by cz++ B．az by cx++ C．ay bz cx++ D．ay bx cz++【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、填空题:1、（2015文）如图，C∆AB及其部的点组成的集合记为D，(),x yP为D中任意一点，则23z x y=+的最大值为．【答案】7考点：线性规划.2.（2015文）若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：30x y+=，平移直线l，当直线l:z=3x+y 过点A时，z取最大值，由2=021=0x yx y+-⎧⎨-+⎩解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y=+的最大值为____________．【答案】32【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z=-+，当z取到最大时，直线y x z=-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则z x y=+的最大值为32．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015文)若x,y满足约束条件13,1y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为 .【答案】7【解析】试题分析：画出可行域及直线30x y+=，平移直线30x y+=，当其经过点(1,2)A时，直线的纵截距最大，所以3z x y=+最大为1327z=+⨯=.考点：简单线性规划.8. (2015文)定义运算“⊗”：22x yx yxy-⊗=（,0x y R xy∈≠，）.当00x y>>，时，(2)x y y x⊗+⊗的最小值是 .2【解析】试题分析：由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为，00x y>>，，所以，2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=2x y=时，(2)x y y x⊗+⊗2考点：1.新定义运算；2.基本不等式.9. (2015文)若yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-2yyxyx，则目标函数yxz2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. (2015天津文)已知0,0,8,a b ab>>=则当a的值为时()22log log2a b⋅取得最大值. 【答案】4【解析】试题分析：()()()()22222222log log211log log2log2log164,244a ba b ab+⎛⎫⋅≤===⎪⎝⎭当2a b=时取等号,结合0,0,8,a b ab>>=可得4, 2.a b==考点：基本不等式.11. (2015文)设,0,5a b a b>+=,1++3a b+ ________.【答案】23考点：基本不等式.12、(2015文)已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】15 【解析】试题分析： 22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.考点：1.简单的线性规划；13. (2015理)若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．三、解答题。
2015年高考数学(理)真题分项解析：专题11+排列组合、二项式定理
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k kk n a b -+T =．2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kk k k k T C x C x --+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指knC ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2015高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr r r x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r nr b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 计数原理、二项式定理)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（计数原理、二项式定理）一、选择题：1．（2015广东理）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．1B.2111C.2110 D.215【答案】C.．【解析】从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550C C =种，所以恰好1个白球1个红球的概率为5010=10521，故选 C.．【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题．2.(2015湖南理)已知5x x 的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）3 B.3 C.6D .-6【答案】D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.3.(2015全国新课标Ⅰ卷理)25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）（A ）10（B ）20（C ）30（D ）60【答案】C 【解析】试题分析：在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选C.考点：排列组合；二项式定理4.(2015陕西理)二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A．4B．5C．6D．7【答案】C考点：二项式定理．5.(2015四川理)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.6.（2015湖北理）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122B．112C．102D．92【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.二、填空题：1.（2015安徽理）371(x x+的展开式中5x 的系数是.（用数字填写答案）2.（2015北京理）在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】试题分析：利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=考点：二项式定理3．（2015福建理）()52x +的展开式中，2x 的系数等于．（用数字作答）【答案】80试题分析：()52x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．考点：二项式定理．4、（2015广东理）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题．5．（2015广东理）在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为【答案】6．【解析】由题可知()()()44214411r rrrrr r T CxC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题．6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】3【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．考点：二项式定理．7.(2015山东理)观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=.【答案】14n -【考点定位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.8、(2015上海文、理)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.10.(2015上海文)在62)12(x x +的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.【答案】240【解析】由r r r rrrr x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．11、(2015上海理)在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =【考点定位】二项展开式12.(2015四川理)在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）.【答案】40-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.13.(2015天津理)在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为.【答案】1516考点：二项式定理及二项展开式的通项.14．(2015重庆理)532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【考点定位】二项式定理三、解答题1.(2015江苏)已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立；②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，考点：计数原理、数学归纳法。
(试卷)2015-2017新课标全国卷高考理数试题分类汇编
2015-2017新课标全国卷高考理数试题分类汇编一、集合、复数运算考点： （一）集合：15年：1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 16年：（1）设集合S ={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞）(C) [3,+∞） (D)（0，2][3,+∞）17年：1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0（二）复数运算：15年：若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 16年：（2）若12z i =+，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 17年：2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12BCD ．2二、程序框图考点：15年：8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．14 16年：（7）执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）617年：7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5B ．4C ．3D ．2（15年） （16年）（17年）三、函数考点：（一）单调性、对称性、奇偶性及周期性15年：5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．1210．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）a > ba = a -b b = b - a输出a 结 束开 始 输入a ，a ≠ b是是否 否 DPCBOAx16年：（6）已知432a =，254b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b <<17年：15．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围_________.（二）三角函数:15年：17．（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．16年：（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（8）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A 310 （B 10（C ）1010（D ）31010（14）函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．17年：6．设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 30A A +=，a 7b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. （三）导函数考点:15年：12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞21．（本题满分12分）设函数2()mxf x ex mx =+-(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．16年：（15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数系的扩充与复数的引入)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1.（2015安徽文）设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ）（A ）3+3i （B ）-1+3i （C ）3+i （D ）-1+i2.（2015安徽理）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b . 3．（2015北京理）复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A【解析】试题分析：(2)12i i i -=+考点：复数运算4．（2015福建文）若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 【答案】A【解析】试题分析：由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 考点：复数的概念．5．（2015福建理）若集合{}234,,,A i i i i= （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ【答案】C 【解析】试题分析：由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．考点：1、复数的概念；2、集合的运算．6. （2015广东文） 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 【答案】D考点：复数的乘法运算．7．（2015广东理）若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ） A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题．8. （2015湖北文、理）i 为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A .【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.10. (2015湖南文、理)已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z 的代数式；由题22(1)(1)22(1i)1,1112i i i i i z i z i i -----=+∴====--++ ，故选D. 【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.11、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） （A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +12.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.13. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.14．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．16.(2015山东文、理)若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.17. (2015陕西文、理)设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A．3142π+ B．1142π- C．112π- D．112π+【答案】B【解析】试题分析：2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y=-+⇒=-+≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A，(1,0)B，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-若||1z≤，则y x≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B．考点：1、复数的模；2、几何概型．19、(2015上海理)已知点A的坐标为()43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3π至OB，则点B 的纵坐标为（）A．332B．532C．112D．132【答案】D【解析】133313(cos sin)(43)()332222OB OA i i i iππ=⋅+=+⋅+=+，即点B的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义20.(2015四川理)设i是虚数单位，则复数32ii-( )（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i【答案】C【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.二、填空题：1、（2015北京文）复数()1i i +的实部为 ． 【答案】-1【解析】试题分析：复数(1)11i ii i +=-=-+，其实部为-1. 考点：复数的乘法运算、实部.2. (2015江苏)设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 【答案】5【解析】试题分析：22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒= 考点：复数的模3. (2015上海文、理)若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=.【考点定位】复数的概念，复数的运算.4、(2015四川文)设i 是虚数单位，则复数1i i-＝_____________.【答案】2i【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i 的运算，容易误解为＝i ，从而导致答案错误.一般地，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，而＝i －1＝－i .属于容易题5. (2015天津文) i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 ． 【答案】-i 【解析】试题分析：()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++.考点：复数运算.6.(2015天津理)i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2- 【解析】试题分析：()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-. 考点：1.复数相关定义；2.复数运算.7．(2015重庆理)设复数a +bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a +bi ）（a -bi ）=________. 【答案】3【考点定位】复数的运算.8．(2015重庆文)复数(12i)i 的实部为________. 【答案】-2考点：复数运算.。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(概率、统计、统计案例、推理与证明)
8. （2015 湖北文）已知变量 x 和 y 满足关系 y 0.1x 1 ，变量 y 与 z 正相关. 下列结论中正确的
是（ ）
A． x 与 y 负相关， x 与 z 负相关
B． x 与 y 正相关， x 与 z 正相关
C． x 与 y 正相关， x 与 z 负相关
D． x 与 y 负相关， x 与 z 正相关
数为 x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即 320 16 ，解得 x9
x 180 .
考点：分层抽样.
3．（2015 福建理）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，
得到如下统计数据表：
收入 x （万 8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
则 card card F （ ）
A． 50
【答案】D
B．100
C．150
D． 200
考点：推理与证明．
6．（2015
湖北理）在区间 [0,
1] 上随机取两个数
x, y
，记
p1 为事件“
x
y
1 2
”的概率，
p2
为事件
“|
x
y
|
1 2
”的概率，
p3
为事件“
xy
1 2
”的概率，则
（
）
A． p1 p2 p3
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9.
（2015 湖北文）在区间[0,
1]
上随机取两个数
x,
y
，记
p1
为事件“
x
y
1 2
”
的概率，
p2
2015年高考理科数学全国卷(新课标II卷)含答案
1 2
3 ． 2
y
B D
1 2 3 4
O
–1 –2 –3 –4
x
C
15． (a x)(1 x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a __________．
4
【答案】 3 【解析】 试题分析：由已知得 (1 x) 1 4 x 6 x 4 x x ，故 (a x)(1 x) 的展开式中 x 的奇数次幂项分别
x A O B
【答案】B 【解析】
考点：函数的图象和性质． 11．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120° ，则 E 的离 心率为（ ） A． 5 【答案】D 【解析】 B． 2 C． 3 D． 2
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) ，如图所示， AB BM ，ABM 1200 ，过点 M 2 a b 作 MN x 轴，垂足为 N ，在 RtBMN 中， BN a ， MN 3a ，故点 M 的坐标为 M (2a, 3a ) ，
4 2 3 4
4
为 4ax ， 4ax3 ， x ， 6 x 3 ， x 5 ，其系数之和为 4a 4a 1+6+1=32 ，解得 a 3 ． 考点：二项式定理． 16．设 S n 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1 ， an1 Sn Sn1 ，则 Sn ________． 【答案】 【解析】 试题分析：由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ，两边同时除以 Sn 1 Sn ，得 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，则
1 1 2 1 R R R3 36 ， 故 R 6 ， 则 球 O 的 表 面 积 为 3 2 6
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2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（17计数原理、二项式定理）
一、选择题：
1．（2015广东理）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A ．1 B.
C. D. 【答案】 C.．
【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以恰好个白球个红球的概率为，故选 C.． 【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题．
2. (2015湖南理)已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）
D
.-6 【答案】D.
【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第
项为，即可建立关于的方程，从而求解.
3.(2015全国新课标Ⅰ卷理)25()x x y ++的展开式中，52
x y 的系数为（ ）
（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C
【解析】
试题分析：在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式
取y,故52
x y 的系数为212532C C C =30，故选 C. 考点：排列组合；二项式定理
4. (2015陕西理)二项式的展开式中的系数为15，则
（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C
考点：二项式定理．
5.(2015四川理)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
2111211021
52215105C =111110550C C =115010=10521
5
32x a =n
b a )(+1+r r r n r n r b a C T -+=1a (1)()n x n N ++∈2x n =
（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个
【答案】B
【考点定位】排列组合.
【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.
6.（2015湖北理）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A. B ． C ． D ．
【答案】D
考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.
二、 填空题：
1.（2015安徽理）的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）
2. （2015北京理）在的展开式中，的系数为
．（用数字作答） 【答案】40
【解析】
试题分析：利用通项公式，，令，得出的系数为
考点：二项式定理
3．（2015福建理） 的展开式中，的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】
(1)n x +1221121029
2371
()x x
+5
x ()52x +3x 5152r r r r T C x -+=
⋅3r =3x 325240C ⋅=()52x +2x 80
试题分析： 的展开式中项为，所以的系数等于． 考点：二项式定理．
4、（2015广东理）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
【答案】．
【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入．
【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题．
5．（2015广东理）在的展开式中，
的系数为 【答案】．
【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．
【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题．
6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =
__________．
【答案】3
【解析】
试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4
()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．
考点：二项式定理．
7.(2015山东理)观察下列各式：
……
照此规律，当n N 时， .
【答案】
【考点定位】1、合情推理；2、组合数.
【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.
()5
2x +2x 2325280C x =2x 804015604024040391560A =⨯=15604)1(-x x
6()()44214411r r r r r r r T C
C x --+=-=-412r -=2r =x ()22416C -=60014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=∈012121212121n n n n n C C C C -----++++=14n
-。