最新初中数学规律探究题

归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

A ． 637B ．635C ． 531D ．739111121133114641⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1222332234432234()()2()33()464a b a ba b a ab ba b a a b ab ba b a a b a b ab b+=++=+++=++++=++++根据前面各式的规律，则6()__________________________________.a b+=考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。

其中，以图形为载体的数字规律最为常见。

猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为____________（用含n的代数式表示）．4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形．7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29 C．28 D．2610．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24 C．27 D．3011. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．第1个第2个第3个第4个14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。

比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。

这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

1. （张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2016= ．2．（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n C n的面积为．3．（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．4．（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为．5. 如图，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P n(x n，y n)均在反比例函数1yx=（x>0）的图象上，若△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A n1A n 都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是____________，点P n的坐标是___________．（用含n的代数式表示）P3P2P1O xyA3A2A16. 二次函数223y x=的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n-1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠A n-1B n A n=60°，菱形A n-1B n A n C n的周长为．C1C2C3(A0)A2A3B3B2B1A1Oyx1111111方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3，(如图所示)，以此类推…，若A 1C 1＝2，过点A ，D 2，D 3，…D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是________．……D 10C 10A 9C 9D 4C 4A 3C 3D 3D 2C 2A 2A 1C 1BD 1A8. 如图，将正△ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n 个边长为1的小正三角形，若m n ＝4725，则正△ABC 的边长是________．9. 设△ABC 的面积为1，如图1将边BC ，AC 分别2等分，BE 1，AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图2将边BC ，AC 分别3等分，BE 1，AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；……，依 此类推，则S n 可表示为__________（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．图2图1OE 2D 2E 1D 1OE 11A AD 3图3E 3E 2O D 2D 1E 1BA考点四：坐标系和表格中的规律 1．（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不 断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n +1（n 为自然数）的坐标为_____________（用n 表示）。

2．（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P 在y 轴上，且坐标为（0，-2）．点P 关于点A 的对称点为P 1，点P 1关于点B 的对称点为P 2，点P 2关于点C 的对称点为P 3，点P 3关于点A 的对称点为P 4，点P 4关于点B 的对称点为P 5，点P 5关于点C 的对称点为P 6，点P 6关于点A 的对称点为P 7…，按此规律进行下去，则点P 2016的坐标是 _____________。

．3.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2 016个点的坐标为____________．……4123yxO3214．（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是___________。

5．（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是____________。

12 A3，…，A n．将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，M n都在直线l：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，A n．则顶点M2 016的坐标为（________，________）．__________________________________________________M1M2M3A3A2xyA1O课后练习考点一：猜想数式规律1．(2015·湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31…7，11，15，19，23，27，31，35，39…第1个相同的数是7，第10个相同的数是() A．115 B．127 C．139 D．1512．(2015·浙江宁波)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n＋1，若b0＝1，则b2 015的值是() A．1 B．6 C．9 D．193．(2015·山东德州)一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为() A．8 B．9 C．13 D．154．(2013·山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是()A．M＝mn B．M＝n(m＋1) C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1) 5．(2014·贵州毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．6. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21…这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有________种不同方法．7．(2014·江苏扬州，18，3分)设a1，a2，…，a2 014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2 014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 014＋1)2＝4 001，则a1，a2，…，a2 014中为0的个数是________．8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2；12＝5＋7；6＝3＋3；14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5；16＝3＋13＝5＋11；10＝3＋7＝5＋518＝5＋13＝7＋11；…通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 9. 观察下列等式：第一个等式：1223111221222a ==-⨯⨯⨯⨯； 第二个等式：23234112322232a ==-⨯⨯⨯⨯； 第三个等式：34345113423242a ==-⨯⨯⨯⨯； 第四个等式：45456114524252a ==-⨯⨯⨯⨯． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______________=_________________________；（2）式子12320a a a a ++++=…___________________． 10. 下面是一个按某种规律排列的数阵：12第1行32 56第2行7223 101123第3行 13 14 15 41732 1925第4行… … … … … … … …根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n >3）行从左向右数第n -2个数是______________． 考点二：猜想图形规律 1．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．2. 观察下列图形规律：当n = 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 3784. 如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律．若前n 行点数和为930，则n ＝ ( )A．29 B．30 C．31 D．325. 图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，那么图（2）中的小正方形有___________块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是___________块．6．（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为()A．51 B．70 C．76 D．817．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()图1图2A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 0168．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()A．22 B．24 C．26 D．289. 观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“★”有()A．57个B．60个C．63个D．85个10. 观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是()A．38 B．46 C．61 D．6411. 如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．12. 观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有个“•”．13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有根火柴棒．（用含n的代数式表示）14．“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是．考点三:几何图形计算变化规律1.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再___________．依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为2.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝4，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，…，x n的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长x n＝________(用含n的式子表示，n≥1)．3.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n=________________．（用含n的式子表示）4.如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_____________。