函数的表示法练习题
1.2.2函数的表示法(习题)
函数的表示法 姓名 班级 一、选择题 1、下列表格中的 与y 能构成函数的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2、若()2,2,x R f x y x y x ∈=-=是这两个函数中的较小者，-2＜a ＜ 1则)(a f 为（ ） A ．不确定 B ．2 2x - C ．a D ．2 2x -或者a 3、设\ =+= )1(1 )(2 x f x x x f ，则（ ） A ．()f x B ．()f x - C ． () 1 f x D ． () 1 f x - 4、已知集合{} * A N ,B=21,m m n n Z ==-∈，映射:f A B →使A 中任一元素a 与B 中 元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（ ） A ．3 B ．5 C ．17 D ．9 5、若()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠????，则 12f ?? = ??? （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 6、若()29 x f x x -=，则方程()9f x x =的根是（ ） A ． 12 B ．1 2 - C ．1 D ．1- 7、已知()f x 是二次函数，且()()()01,122f f x f x x =-+=-+，则()f x 的表达式为（ ） A ．()2 31f x x x =-+- B ．()2 3 12 f x x x =-- -
C ．()213222f x x x = -+ D ．()21 222 f x x x =-+ 8、设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，???≥-<++=)(, )() (,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是 （ ） A ． ),1(]0,49[+∞- B ．),0[+∞ C ．),49[+∞- D ．),2(]0,4 9 [+∞- 9.函数2441()431x x f x x x x -≤?=?-+>?， ， ，的图象和函数23)(+-=x x g 的图象的交点个数是（ ） A ．0 B ．3 C ．2 D ．1 10．设f ：x →x 2 是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 等于( ) A ．{1} B ．Φ C ．Φ或{1} D ．Φ或{2} 二、填空题 11、一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度分别如图甲、乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口） 给出以下3个论断：①0点到3点至进水不出水②3点到4点不进水只出水③4点到6点不进水不出水，则一定能确定正确的论断序号是__________________。 12、设函数()()()22,02,2x x f x x x ?+≤? =?>?? ，且()08f x =，则0x =___ __。 13、已知函数()2 2 1x f x x =+，那么()()1122f f f ?? ++ ???()133f f ?? +++ ???()144f f ?? += ??? _ _。 14、函数()[]2 42,4,4f x x x x =-+∈-的值域是 。 丙
完整word版,2017高考一轮复习教案-函数及其表示
第一节函数及其表示 1．函数的概念及其表示 (1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 了解映射的概念． (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．分段函数及其应用 了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识点一函数与映射的概念 函数映射 两集合A， B 设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对 于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对 于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一 个映射 易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数． [自测练习] 1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()
知识点二 函数的有关概念 1．函数的定义域、值域 (1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示方法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． (2)误把分段函数理解为几个函数组成． 必备方法 求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ????1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． [自测练习] 2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(1，＋∞) 3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝ x 2－1与 g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1 C ．y ＝x 与y ＝(x )2 D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3 x 3
人教A版数学《函数的表示法》导学案
1．2．2函数的表示法（2课时） 一．教学目标 1．知识与技能 （1）明确函数的三种表示方法； （2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法： 学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程． 3．情态与价值 让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。 二．教学重点和难点 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 三．学法 学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 四．学习流程 （一）、知识连线 1、函数的三种表示法：__________ , __________ , __________ 。 2、什么是分段函数？分段函数表示的是_____个函数 3、设A 、B 是两个非空的_____，如果按照某种确定的_________，使对于集合A 中的___________，在集合B 中都有___________和它对应，那么就称对应f ：A →B 为_____________的一个映射。（观察：映射与函数的关系） （二）、知识演练 4、阅读分析课文中例3、4、 5、 6、7 5、练习课本P23第1，2，4题 6、 已知f ( x )= 求f ｛f [ f ( 3 1 ) ]｝的值 7、已知f ( x +1)=2x 2 -4x ，求f ( x ) x 1{ 2X (0＜x ＜1） （x ≥1）
8、设f ( 11+x )=112-x ,则f ( x )= __________ , f ( -3 )= _______ 9、若f ( x )= a x 3+cx x b +，其中a 、b 、 c 都是常数，且f (1)=10，则f ( -1)= _______ 10、画出下列函数的图像： （1） （2）y=|x-2| （3）y=x |x |+ x 11、设集合A={a ，b ，c }，B={1，0}，则从A 到B 的映射共有______个 12、在给定A →B 的映射f ：（x ，y ）→（x+y ，x-y ）下，集合A 中的元素（2，1）对应着B 中的元素______ （三）、知识提升 13、函数y=f ( x )的图像与直线x=a 有（ ）个交点 A 、1 B 、0 C 、至多有1 D 、可能有2 14、设函数f ( x )的定义域为R ，且满足下列两个条件： ①存在x 1≠ x 2，使f ( x 1 )≠ f ( x 2 )； ②对任意x ，y ∈R ，有f ( x+y )= f ( x ) f ( y )， 求f ( 0 )的值 （四）、归纳总结 1、通过本节你学习了哪些知识？ 2、在解决分段函数时应注意什么问题？ （五）、作业布置 x 1y={ x (0＜x ＜1） （x ≥1）
(一)函数的表示方法教案
2.1.2 函数的表示方法(一) 【学习要求】 1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数； 2.会根据具体条件求函数的解析式； 3.会在不同情境中用不同形式表示函数． 【学法指导】 学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 2.图象法：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 3.解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的，这种方法叫做解析法. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？ 探究点一函数的表示方法 问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？ 答：解析法、图象法、列表法． 问题2列表法是如何定义的？ 答：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 问题4 图象法是如何定义的？ 答：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 问题5我们在作函数y＝2x＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y＝2x＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？ 答：如果在函数y＝f(x) (x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，这种方法叫做解析法．(也称为公式法．) 问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？ 答：(1)用解析法表示函数的关系．优点：简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算. (2)用列表法表示函数关系．优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律． (3)用图象法表示函数关系．优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化；缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值． 例1某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)． 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
高一数学函数的表示法测试题及答案
高一数学函数的表示法测试题及答案 1．下列关于分段函数的叙述正确的有() ①定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；②尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；③若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则D1∩D2＝?. A．1个B．2个 C．3个D．0个 【解析】①②正确，③不正确，故选B. 【答案】 B 2．设函数f(x)＝x2＋2(x≤2)，2x(x>2)，则f(－4)＝________，若f(x0)＝8，则x0＝________. 【解析】f(－4)＝(－4)2＋2＝18. 若x0≤2，则f(x0)＝x02＋2＝8，x＝±6. ∵x0≤2，∴x0＝－6. 若x0>2，则f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4. 【答案】18－6或4 3．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－x≤x≤1}．对应关系f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围． 【解析】①当a≥0时，集合A中元素的象满足－2a≤ax≤2a. 若能够建立从A到B的映射， 则[－2a,2a]?[－1,1]， 即－2a≥－12a≤1，∴0≤a≤12. ②当a＜0时，集合A中元素的象满足2a≤ax≤－2a， 若能建立从A到B的映射， 则[2a，－2a]?[－1,1]， 即2a≥－1－2a≤1，∴0＞a≥－12. 综合①②可知－12≤a≤12. 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y＝x＋|x|x的图象，下列图象中，正确的是() 高?考￥资%源~网 【答案】 C 2．设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是() A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x 【解析】根据映射的概念，对于集合P中的每一个元素在对应法则f的作用下，集合Q 中有唯一的元素和它对应．选项A、B、D均满足这些特点，所以可构成映射．选项C中f：x→y＝23x，P中的元素4按照对应法则有23×4＝83>2，即83?Q，所以P中元素4在Q中无对应元素．故选C. 【答案】 C 3．设函数f(x)＝1－x2(x≤1)x2＋x－2 (x>1)，则f1f(2)的值为() A.1516 B．－2716 C.89 D．18
1.2 函数及其表示 教学设计 教案
教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域； 3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性. 2. 教学重点/难点 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 3. 教学用具 多媒体 4. 标签 函数及其表示 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题. 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点； 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
19.1.2 函数的图象 第2课时 函数的表示方法教案
第2课时函数的表示方法 1．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；(重点) 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(难点) 一、情境导入 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？ 二、合作探究 探究点一：函数的表示方法 【类型一】用列表法表示函数关系 (不超过50克)，它的长度会改变， (1) (2)当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式． (3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克． 解析：(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据函数值，可得所挂重物质量． 解：(1)5÷0.5×1＝10(克)， 答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； (2)函数的表达式：h＝10＋0.5x(0≤x≤50)； (3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30， 答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克． 方法总结：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等． 【类型二】用图象法表示函数关系 s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：
函数及其表示练习题
1.2 函数及其表示 一、 选择题 1、函数()y f x =的图象与直线x m =的交点个数为（ ） A ．可能无数个 B ．只有一个 C ．至多一个 D ．至少一个 2、设{}{} M=22,02x x N y y -≤≤=≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则 ()f x 的图象可以是（ ） 3、函数()x f x x =+ 的图象是如图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 4、已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（ ） A ．32x + B ．32x - C ．23x + D ．23x - 5、设函数()()221,1 1,22,1x x f x f f x x x ???-≤=???+->??? 则的值为（ ） A ． 15 16 B ．2716 - C ． 89 D ．18 6、一个面积为2 100cm 的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它
的高y 表示成x 的函数为（ ） A ．()500y x x => B ．()1000y x x => C ．()50 0y x x = > D ．()100 0y x x = > 7、函数( )1 3 f x x = -的定义域为（ ） A ．[)(]22+∞-∞- ，， B ．[)()2,33+∞ ， C ．[)()(]2,332+∞-∞- ，， D ．(]2-∞-， 8、设()() ()()1,0,00,0x x f x x x π+>?? ==??
《函数及其表示》教学设计
《函数及其表示》教案设计 函数是中学数学的核心内容，从常量数学到变量数学的转变。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。函数这一部分内容一直是高中数学的重点内容和难点内容,有的高中学生直到高三复习时还是不能理解函数的概念,学好函数的概念是学好函数其它知识的前提,函数学不好,后续知识的学习也会受到影响.故而对于刚入学的高一学生是否能学好函数对其能否学好后面的知识起着至关重要的作用.那么函数的概念课如何上?下面我就《函数及其表示》教案设计与各位交流一下: 由于本节课是讲函数的概念,我们采用核心概念教案法进行教案设计和教案活动,首先我们了解一些概念，中学数学核心概念是指中学数学概念中主要的中心的部分．而教案设计是应用系统方法,分析研究教案的问题和需求，确定解决它们的教案策略、教案方法和教案步骤，并对教案结果作出评价的一种计划过程与操作程序． 核心概念教案设计框架：（）内容和内容解读；（）目标和目标解读；（）教案问题诊断分析；（）教案支持条件分析；（）教案过程设计；（）目标检测设计。 一、教案内容与内容解读 内容: 本节课是新课标《数学》（人教版）第一章《集合与函数概念》第二节函数及函数表示第一课时。本节课主要内容是函数概念，是利用对应 ．．的观
点运用集合语言来揭示两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（即一对一、多对一的对应关系）,概念的内涵是：研究某一变化过程中两个变量间的依赖关系.外延是：和某一运动变化有关的两个变量之间的问题. <内涵外延定义> 在逻辑学的学术范围内，概念的逻辑结构分为“内涵”与“外延”。内涵是指一个概念所概括的思维对象本质特有的属性的总和。 外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。 内容解读: 函数是高中数学的一个核心概念，它是贯穿整个数学课程的一个基本脉络. 在本节课之前，学生已经学习了集合的有关知识，并且在初中，已经学习了函数概念．本节课就是在这个基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，函数知识是学好数学后继知识的基础和工具．同时，函数概念的教案是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题和解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律. 在函数教案前,对教师也有一定的要求,作为教师，我们应该知道函数概念形成的过程. 第一个阶段,函数概念是由具体的现实或科学问题中简单抽象出来的，从最初人们注意到一个变量对另一个变量的依赖关系， 到年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”，强调了函数要用公式来表示，
函数的表示方法1导学案人教A版必修1
1 §1.2.2 函数的表示法（1） 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图 象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1921 复习1： （1）函数的三要素是 、 、 . （2）已知函数21 ()1 f x x =-，则(0)f = ， 1 ()f x = ，()f x 的定义域为 . （3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. 复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数的三种表示方法 讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点. 小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※ 典型例题 例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数()y f x =. 变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）. 试用三种方法表示此实例中的函数. 反思： 例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？ 例2 邮局寄信，不超过20g 重时付邮资0.5元，超过20g 重而不超过40g 重付邮资1元. 每封x 克（0 2.1.2 函数的表示方法(二) 【学习要求】 1.进一步掌握求函数解析式的方法； 2.了解分段函数的定义，会求分段函数的定义域、值域； 3.学会运用函数图象来研究分段函数． 【学法指导】 通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 2.分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的 并 集(填“并”或“交”)． 3.分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎样的解析式表示这一函数关系？为解决这一问题，本节我们就来学习分段函数． 探究点一 待定系数法求函数解析式 问题1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？ 答： 若已知函数的类型，可用待定系数法求解． 问题2 用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？ 答：由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式． 例1 设二次函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式． 分析： 由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理． 解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)． 由f(x ＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x ＝2对称． ∴－b 2a ＝2，即b ＝－4a.① 又图象过点(0,3)，∴c＝3.② 由方程f(x)＝0的两实根平方和为10， 即x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③ 由①②③解得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. ∴f(x)＝x 2－4x ＋3. 小结： 已知f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax ＋b (a≠0)；已知f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝k x (k≠0)；已知f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，②顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a≠0)； ③双根式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0)． 跟踪训练1 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求函数f(x)的解析式． 解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)， 由f(0)＝0知c ＝0.∴f(x)＝ax 2＋bx. 又f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1， ∴a(x＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. 即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 故2a ＋b ＝b ＋1且a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12 ， ∴f(x)＝12x 2＋12 x. 探究点二 消去法求函数解析式 导引 有些求函数解析式的题目，已知条件为一方程，在方程中同时含有f(x)与f(－x)或f(x)与f(1x )，那么如何 1.2函数及其表示练习题 一．选择题 1 函数)2 3 (,32)(-≠+= x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A 3 B 3- C 33-或 D 35-或 2. 已知)0(1)]([,21)(2 2 ≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A 15 B 1 C 3 D 30 3． 函数2y =的值域是（ ） A [2,2]- B [1,2] C [0,2] D [] 4 已知2 211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A 21x x + B 2 12x x +- C 212x x + D 2 1x x +- 5．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( ) (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数 6. 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是 （ ） 7．已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ，若0)( A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．符号与a 有关 8. 已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 （ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[- 9. 已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 （ ） A ．x b c a c y --= B ．x c b a c y --= C ．x a c b c y --= D ．x a c c b y --= 10．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 11. （2010陕西文数）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （A ）y ＝[ 10x ] （B ）y ＝[ 3 10x +] （C ）y ＝[4 10 x +] （D ）y ＝[5 10 x +] 12.（2009海口模拟）已知函数()()2113,f x x x =+≤≤则 A ．()()12202f x x x -=+≤≤ B ．()()12124f x x x -=-+≤≤ C ．()()12202f x x x -=-≤≤ D ．()()12104f x x x -=-≤≤ 13.（2009江西理）函数 ln 1x y += 的定义域为 A ．()4,1-- B ．4,1- C ．()1,1- D ．(1,1]- 14.（2008山东）设函数()2 21, 1, 2, 1,x x f x x x x ?-≤?=?+->??则 ()12f f ?? ? ??? 的值为 A ． 1516 B ．2716- C ．8 9 D.18 15.（2008陕西) 定义在R 上的函数()f x 满足 ()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈= 则()3f -等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D ．9 16.（ 2009福建）下列函数中与函数y = 有相同定义域的是 （ ） A ．()ln f x x = B 。 ()1f x x = C 。 ()f x x = D 。 ()x f x e = 1.2.2函数的表示法（1）（教学设计） 教学目的： （1）明确函数的三种表示方法； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； （4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识． 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 教学过程： 一、复习回顾，新课引入 复习提问：函数的定义及其三要素是什么？ 函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、图像法、解析法 二、师生互动，新课讲解 这三种表示法各有什么优、缺点？ 在学生回答的基础上师生共同总结: 列表法图像法解析法 定义用表格的形式把两个变量间的 函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函 数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变 量的解析式表示出来的方法 优点不必通过计算就能知道两个变 量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局 部变化规律，进而可以预测 它的整体趋势 能叫便利地通过计算等手段研究 函数性质 缺点只能表示有限个元素的函数关 系 有些函数的图像难以精确 作出 一些实际问题难以找到它的解析 式 函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 例题选讲： 例1（课本P19例3）某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ． 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略） 注意： ○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○2解析法：必须注明函数的定义域； ○3图象法：是否连线； ○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 例2（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次 §2.2 函数的表示法教学设计 安徽省宿州市第二中学 柏长胜 教学目标： 1.使学生掌握函数的常用的三种表示法； 2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点； 3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题； 4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。 教学重点： 函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法 教学难点： 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。 教学过程： 一、新课引入 复习提问：函数的定义及其三要素是什么？ 函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、图像法、解析法 二、新课讲解 请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题： 1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？ 2. 这三种表示法各有什么优、缺点？ 函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 例1、 请画出下列函数的图像。 ,0 ,0x x y x x x ≥?==?-≤? 解：图像为第一和第二象限的角平分线， 如图2-5所示 图2-5 本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。 问1.如何作出函数1y x =-的图像？ 2.如何作出函数1y x =-的图像？ 3. 如何作出函数23y x =+-的图像？ 4.思考：如何由函数y x =的图像得到函数y x a b =++的图像？ 5.试求函数y x =与函数y=1的图像围成的图形的面积。 例2、 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表2-5: (多媒体课件显示) 画出图像，并写出函数的解析式。 分析：要让学生明白当信函质量020m < ≤时邮资M=1.20是信函质量m 的函数，是一种典型 的多对一的函数，可以通过多媒体动画演示让学生体会。 解：邮资M 是信函质量m 的函数，函数图像如图2-6所示 图2-6 函数的表示法训练题_题型归纳 1．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是() 解析：选C.结合函数的定义知，对A、B、D，定义域中每一个x都有唯一函数值与之对应；而对C，对大于0的x而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C. 2．若f(1x)＝11＋x，则f(x)等于() A.11＋x(x－1) B.1＋xx(x0) C.x1＋x(x0且x－1) D．1＋x(x－1) 解析：选C.f(1x)＝11＋x＝1x1＋1x(x0)， f(t)＝t1＋t(t0且t－1)， f(x)＝x1＋x(x0且x－1)． 3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝() A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3 解析：选B.设f(x)＝kx＋b(k0)， ∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1， k－b＝5k＋b＝1，k＝3b＝－2，f(x)＝3x－2. 4．已知f(2x)＝x2－x－1，则f(x)＝________. 解析：令2x＝t，则x＝t2， f(t)＝t22－t2－1，即f(x)＝x24－x2－1. 答案：x24－x2－1 1．下列表格中的x与y能构成函数的是() A. x 非负数非正数 y 1 －1 B. x 奇数0 偶数 y 1 0 －1 C. x 有理数无理数 y 1 －1 D. x 自然数整数有理数 y 1 0 －1 解析：选C.A中，当x＝0时，y＝1；B中0是偶数，当x＝0时，y＝0或y＝－1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x＝1N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确． 2．若f(1－2x)＝1－x2x2(x0)，那么f(12)等于() A．1B．3 C．15 D．30 解析：选C.法一：令1－2x＝t，则x＝1－t2(t1)， f(t)＝4t－12－1，f(12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x＝12，得x＝14， f(12)＝16－1＝15. 学大教育星沙校区教案 教师姓名 学生姓名 上课时间 学科 数学 年级 高一 计划课时 第（ ）课时 学管师 教研组长 教管主任签字 课题名称: 函数及其表示 （一）知识梳理 1．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________ (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (3)函数的三要素： 、 和 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：映射的概念 例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？ （1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±． 例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个 例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的 2019-2020学年高中数学 1.2.2《函数的表示法》导学案 新人教A 版 必修1 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、明确函数的三种表示方法，会根据不同的实际情境选择合适的方法表示函数； 2、通过具体实例，了解简单的分段函数及其应用 3、知道映射的定义； 【重点难点】 重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念 难点：分段函数的表示、求值及其图象 【知识链接】 我们在初中接触过的函数有些是用表格的形式呈现的，如小明从小学一年级至六年级每 年的身高与体重之间对应的函数关系，可以用一个表格的形式表示出来；有的可以用函数解 析式，如二次函数1232-+=x x y ；当然有的也可以用图象表示，如二次函数的图象是一条 抛物线. 【学习过程】 阅读课本19至20页的内容，尝试回答以下问题： 知识点二 分段函数 阅读课本21至22页的内容，尝试回答以下问题： 定义：例5中得出的票价与里程之间的函数关系式中对于不同范围内的x 对应不同的y 的表 达式，像这种在定义域的不同部分对应________________的函数称为分段函数. 注意：①虽然分段函数在定义域的不同部分对应不同的对应关系，但分段函数是一个函数， 不能误认为分段函数是“几个函数”； ②分段函数的定义域是各段定义域的并集 ③分段函数的值域是各段函数值域的并集 同步练习： 若函数?? ???≥<<--≤+=2,222,2,2)(2x x x x x x x f ， (1) 试求)]3([),3(),5(---f f f f 的值； (2) 若1)(=a f ，求a 的值； (3) 写出函数的定义域、值域； (4) 作出函数的图象. 知识点三 映射 阅读课本22页至23页的内容，尝试回答下列问题： 1、一般地，设B ,A 是_____________,如果按照某种确定的___________,使对于集合A 中的 ____________，在集合B 中都有______________________,那么就称____________为从集合 A 到集合 B 的一个_______.集合A 中的元素叫原象，集合B 中与A 中的元素相对应的元素 叫象. 2、与函数概念相比，在映射的概念中只是将函数概念中的__________换为____________,所 以可以说函数是一种特殊的映射，但映射不一定是函数. 同步练习：1、下列集合A 到集合B 的对应中，哪些是A 到B 的映射？ （1）B y A x x y x f B N ∈∈-=→==,,:,Z ,A 对应法则； （2）B x A x x y x f R B R A ∈∈=→==++,,1:,,； （3）{}{}B y A x x y x f B A ∈∈±=→--=--=,,,2,1,1,2,4,1,1,4：对应法则； （4）{}三角形平面内边长不同的等边=A ，{}平面内半径不同的圆=B ，对应法则 圆：作等边三角形的内切f . 2、已知在）（y x ,映射f 下的象是),(2y x y x -+，2.1.2(二)函数的表示方法教案
1.2函数及其表示练习题及答案
1.2.2函数的表示法(1)(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)
高中数学函数的表示法教案
函数的表示法训练题_题型归纳
函数及其表示教案1
2019-2020学年高中数学 1.2.2《函数的表示法》导学案 新人教A版必修1.doc