直线一级倒立摆的建模及性能分析

直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的成立 (1)2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5)3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6)相关理论的介绍 (6)倒立摆系统的性能分析 (7)1 直线一级倒立摆数学模型的成立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些要紧相关因素之间的精准的定量表示。

数学模型是分析、设计、预测和操纵一个系统的理论基础。

因此，关于实际系统的数学模型的成立就显得尤其重要。

系统数学模型的构建能够分为两种：实验建模和机理建模。

实验建模确实是通过在研究对象上加上一系列的研究者事前确信的输入信号，鼓励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手腕成立起系统的输入－输出关系。

机理建模确实是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手腕成立起系统内部的输入－状态关系。

关于倒立摆系统，由于其本身是不稳固的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在必然的困难。

可是通过警惕的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部份遵守牛顿运动定律，其电子部份遵守电磁学的大体定律，因此能够通过机理建模取得系统较为精准的数学模型。

为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量散布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。

将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，如此就能够够通过力学原理成立较为精准的数学模型。

咱们能够应用牛顿力学的分析方式或欧拉－拉格朗日原理成立系统的动力学模型。

关于直线一级倒立摆如此比较简单的系统，咱们采纳通俗易懂的牛顿力学分析法建模。

为了成立直线一级倒立摆的数学模型，采纳如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，I 为摆杆惯量， l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和P 为摆杆彼此作使劲的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向上的合力，咱们能够取得以下的方程：Mx F bx N =-- (1)分析摆杆水平方向上的受力，咱们能够取得如下的方程：()22sin d N m x l dtθ=+ (2)即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+- (3)综合（2-1）和（2-3），咱们能够取得以下的动力学方程：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-= (4)分析摆杆垂直方向上的合力，咱们能够取得如下的方程：()22cos d P mg m l dtθ-= (5)即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=-- (6)依照摆杆的力矩平稳方程，能够取得如下的方程：sin cos Pl Nl I θθθ--= (7)在（7）式中咱们令θ为摆杆与垂直向下方向的夹角，那么θπφ=+。

归并（6）与（7）咱们能够取得以下的动力学方程：()2sin cos I ml mgl mlx θθθ++=- (8)因为倒立摆在维持垂直向方向上的平稳时的φ很小，即1rad φ，那么能够进行做近似处置：cos 1θ=-，sin θφ=-，20d dt θ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

设u 代表被控对象的输入力F ，式（4）和式（8）经线性化后为：()()2I ml mgl mlxM m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩ (9)对式（2-7）进行拉普拉斯转变，取得以下的方程式：()()()()()()()()()22222I ml s s mgl s mlX s sM m X s s bX s s ml s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩ (10)在（10）式中推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组（10）的第一个方程能够取得：()()()22I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦(11)令v x =，那么有：()()()22s mlV s I ml s mglΦ=+- (12)将式（11）代入方程组（10）的第二个方程，能够取得：()()()()()()()22222I ml I ml g g M m s s b s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥+-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(13)整理后等到以下的传递函数：()()()()22432ml s s qU s b I mlM m mgl bmgls s ss qqqΦ=+++--(14)其中，()()()22q M m I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦。

设系统的状态空间方程为：()()()()()()x t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (15)对方程组（7）进行代数变换可得：()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=⎧⎪-++⎪=++⎪++++++⎪⎨=⎪⎪+-⎪=++⎪++++++⎩ (16)整理取得系统的状态方程为：()()()()()()()()()2222222222100000010000I ml b I ml x x m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m ml mlbI M m Mml I M m Mml I M m Mml u φφφφ-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++++-+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(17)1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(18)其中，x 为小车的位移，x 为小车的速度，φ为摆杆的摆角，φ为摆杆的角速 度，u 为输入力F ，y 为输出矩阵。

由（7）式的第一个方程：()2I ml mgl mlx φ+-= (19)关于质量均匀散布的摆杆有213I ml =，因此能够取得：2213ml ml mgl mlx φφ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(20) 化简后取得：3344g x l lφφ=+ (21)设u x =，那么有：0100000001000001033044u x x x x g ll φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(22)1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(23)其中，u 为小车的加速度。

2 直线一级倒立摆系统的实际模型实际系统模型的参数如表1：表1系统模型参数M 小车质量 m 摆杆质量 B 小车摩擦系数 m/sec L 摆杆长度 I摆杆惯量*m*m将上述参数带入1节中的各个方程式，能够取得系统相应的实际模型。

倒立摆系统中，摆杆角度和小车所受外力的传递函数如下：()()322.356550.088316727.9169 2.30942s sU s s s s Φ=+-- (24)之外界作使劲为输入的系统的状态方程如下：0-0.08831670.6293170.8831670-0.23565527.8258 2.35601000000550100x x u x x φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(25)1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(26)以小车加速度为输入的系统的状态方程如下：0100000100001000029.43x x x u x φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(27)1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(28)3 直线一级倒立摆系统的性能分析相关理论的介绍在取得倒立摆系统的实际模型后，咱们就能够够运用操纵理论的相关知识对其特性进行分析，其中最重要的是系统的稳固性、能控性和能观性。

在分析倒立摆 系统的性能之前，咱们有必要了解相关的定理。

定理1（稳固性判据）Lyapunov 第一法判定定理：关于线性定常系统()0,0,0x Ax x x t ==≥有：（1） 系统的每一平稳状态是在Lyapunov 意义下稳固的充分必要条件是，A 的所有特点值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特点值为A 的最小多项式的单根。

（2）系统的唯一平稳状态0e x =是渐进稳固的充分必要条件是：A 的所有特点值具有负实部。

定理2（能控性判据）n 阶线性定常持续系统X AX Bu =+状态完全能控当 且仅当系统的能控性矩阵：21n BABA BA B M -⎦=⎡⎤⎣ (29)满秩，()rank M n =。

定理3（能观性判据）n 阶线性定常持续系统()()x t AX Buy t CX=+⎧⎪⎨=⎪⎩ (30)状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵：()()()21TTTTTn V C CA CA CA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(31)满秩，即()rank V n =。

倒立摆系统的性能分析倒立摆系统的状态方程为：()()()()()()x t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (32)其中，00010029.43010001000,,,00001001000A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将A 的值带入特点方程{}det 0I A λ-=，通过计算能够取得系统的特点值：1,23,40, 5.42λλ==± (33)系统有双重特点根在原点，有一个特点根在复频域的右半平面上，有一个特征根在复频域的左半平面上，由定理1可知：直线一级倒立摆系统是不稳固的。

将A、B、C的值别离带入到M和V的表达式中，能够取得两个矩阵的秩rank （M）=rank（V）=4，与系统的阶数相同，由定理二、3可知：直线一级倒立摆系统是能控、能观的。