向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,…,a t匕R ,匕，k2,…,K匕R ,称匕耳十k a +…+ ka t为a^ a2,…,a t的—一个线性组合。
一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2+…+ k t a t=(a“ a2,…,q)亠。
这++占丿样的表示是有好处的。
2. 线性表示设aa, g R n，b R n，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2- ■■■■ k t a t则称b可由Q , a?, , a线性表示。
k2b = ki&+k2a2+■■■+k(at，写成矩阵形式，即b =(ai@, ■■■©) ■。
因此，b 可++<k t」由a,a2,…,a t线性表示即线性方程组(a i,a2,…,aj « =b有解，而该方程组有解++当且仅当r(q,a2, ,a t) ,a t,b)。
3. 向量组等价设^包，…,ad, b2,…,b s • R n，如果^总，…,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，…,b s线性表示，则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,b s线性表示。
如果向量组a,a2,…,a t和向量组b|,b2,…,b s可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。
⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。
t向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。
向量组I可由向s量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。
因此, j 二s s t t sa = ' X jjb j = ' X ji y kjc k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,rj 1j k a km j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。
线性代数第四章第二节
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
一 ,线性相关与线性无关的定义
1. 定义 定义 4 给定向量组 A: a1 , a2 , , am , 如果存
在不全为零的实数 k1 , k2 , , km , 使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无
关.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是 a = 0. 2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例. 如 的分量对应成比例.
向量组 A:
1 3 a1 = 1 , a 2 = 3 , 2 6
图 4.3
从几何上讲, 从几何上讲 若 4 维向量组所对应的平面组 中至少有三个平面共线, 中至少有三个平面共线 即至少有三个平面交于 同一直线则该向量组一定线性相关. 同一直线则该向量组一定线性相关
二 ,向量组线性相关的充要条件
定理 向量组线性相关的充要条件是该向量
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 组中至少有一个向量可由其余向量线性表示
图 4.1
(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的 几何意义是这三个向量共面. 几何意义是这三个向量共面. 如给定平面 π : x+y+z 上取三点: =3. 在 π 上取三点 M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三个向量: 作三个向量 z R3 M3 O M1 M2 x 3 3
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
线性相关与无关的判断方法
线性相关与无关的判断方法
1、定义法
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
3、线性重要性质
（1）向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，
α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。
（2）向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。
反之不一定成立。
（3）零向量可由任一组向量线性表示。
（4）向量组α1，α2，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。
（5）设α1，α2，……，αm线性无关，而α1，α2，……，αm，ß线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，且表示是唯一的。
第二节向量组的线性相关性与线性无关性
注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm线性无 关是指当系数k1，k2，…，km全为0时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际上，这种看法是错误的。 大家想一想，当系数k1 ，k2 ，…，km全为0时 ， k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1， α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联系。
写成向量的形式就是
a11 a12 a a 21 22 k1 k2 a a m,1 m,2 a1n a 2n kn 0 a m,n
写成分量的形式就是 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m 1,1k1 a m 1,2 k 2 a m 1,n k n 0 取其前面m个方程，即 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m,1k1 a m,2 k 2 a m,n k n 0
定义2 设α 1 ，α 2 ，…，α m是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0，则称向量组 α 1 ，α 2 ，…，α m线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α 1，α 2，…，α m 线性无关。
注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α ，β ， γ 三个向量构成，则 α ， β ， γ 线性相关的充要条件 是α ，β ，γ 共面。 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无关的 定义，下面我们将用肯定的表述来说明线性无关这个 概念。为此，我们先检查线性相关的定义。称 α 1 ， α 2 ，…， α m 线性相关是指存在不全为 0 的 m 个常数 k1 ， k2 ，…， km 使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0 , 这即是说：以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上， 若按向量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α 1 + k2 α 2 + … +km α m = 0 有非零解（ k1 ， k2 ，…，km）。
向量组的线性相关与线性无关
1 2 4 0 5 5 0 3 3 0 9 9
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 ， 0 0
r(A) =(a1 a2 am)秩2<3 （向量的个数） ，
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
判定定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例2．判断向量组 A: a1(1, 2, 0, 1)，a 2(1, 3, 0, 1)， a 3(1, 1, 1, 0)是否线性相关。
∴此向量组 线性相关
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判定向量组线性相关与线性无关的步骤：
a11 a12 a 设n个m维向量组 A： a1 ， 2 a 1m
a21 a22 a ， ， n a2m
an1 an2 anm
（1）比较向量组 A的个数n与向量的维数m
①当n＞m时，向量组 A线性相关（如例6）
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
11
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推论1：设n个n维向量为 a11 a12 a21 a22 a1 a a ， 2 ， ， n an1 an2
1 0 0 k1 0 若 k1e1 k2 e2 k3 e3 k1 0 k2 1 k3 0 k2 0 0 0 1 k 0 3
＝0，线性相关 （2）当n=m时，计算行列式|A| =| a1 a2 an | ≠0，线性无关 （如例4，例5） ＜ n ，线性相关 （3）当n＜m时，计算r(A)=秩（ a1 a2 an ） ＝ n ，线性无关 （如例1,例2,例3 ）
向量组的线性相关与线性无关
定义１ 给定向量组A :1,2 , ,m，对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这 个线性组合的系数.
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解 即存在一组不全为零的数 1，1，－1使
1 1 (1) 0
所以 , , 线性相关
例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
b2 2 3 , b3 3 1, 试证b1, b2 , b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 说明 增加方程个数相当于向量 j ( j 1, 2,L m)
增加分量，但向量组所含向量的个数不变
由于线性方程组的解与方程组中方程的次 序无关，由此我们得到如下命题
命题2 设有两个向量组
A : j (a1 j , a2 j ,L anj )T ( j 1, 2,L m), B : j (ap1 j , ap2 j ,L , apn j )T ( j 1, 2,L m),
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立）.
向量的线性相关与线性无关
向量的线性相关与线性无关向量是线性代数中的一个重要概念，它与线性相关与线性无关的关系密切相关。
本文将对向量的线性相关性和线性无关性进行详细介绍，并给出具体的例子。
在线性代数中，我们将一个非零向量集合中的向量称为线性相关的，如果存在一组不全为零的实数，使得这些实数与向量的乘积之和为零。
换句话说，对于线性相关的向量集合，存在一组非零解，使得线性组合等于零向量。
否则，向量集合则被称为线性无关。
接下来，我们可以通过一个例子来更好地理解这个概念。
假设我们有两个向量a和b，它们分别为[1, 2]和[2, 4]。
我们可以看到，向量b是向量a的倍数，即存在一个不为零的实数k，使得k * a = b。
因此，这两个向量是线性相关的。
这可以通过以下的等式来证明：2*[1, 2] = [2, 4]。
因此，我们称向量a和向量b是线性相关的。
那么如何判断一个向量集合是否线性无关呢？我们可以通过求解线性方程组来判断。
如果方程组的只有零解，那么向量集合是线性无关的。
我们可以使用矩阵来表示向量集合，其中每列是一个向量。
假设我们有三个向量a，b和c，它们分别为[1, 2, 3]，[2, 4, 6]和[1, 0, 1]。
我们可以构建一个矩阵A，它的列向量是a，b和c。
我们可以将其写成如下形式：A = [1, 2, 3][2, 4, 6][1, 0, 1]为了判断这三个向量是否线性无关，我们需要将其转化为一个线性方程组，并求解出该方程组的解。
将A与一个未知向量乘积等于零向量，我们可以得到一个线性方程组：A * x = 0。
其中x是一个未知向量，0是零向量。
将上述的线性方程组进行求解，我们可以得到如下的简化形式：x1 + x2 = 0x1 + x3 = 03x1 + 2x2 + x3 = 0通过求解上述线性方程组，我们可以发现只有一个解，即x1 = 0，x2 = 0，x3 = 0。
因此，该向量集合是线性无关的。
通过这个例子，我们可以得出以下结论：1. 如果一个向量是零向量，那么它是线性相关的，因为可以通过与任意实数相乘等于零向量。
向量组的线性相关与线性无关分析
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。
一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。
2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。
二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。
2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。
三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。
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向量组的线性相关性与线性无关性
在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性
与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性
线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过
线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量
是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两
个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性
线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数
c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，
v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以
发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系
线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，
那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这
对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法
判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是
通过求解线性方程组来判断。
对于一个向量组v1，v2，...，vn，我们可以将其表示为一个矩阵A，其中每一
列为一个向量。
然后，我们可以将线性方程组Ax = 0写成增广矩阵[A|0]的形式，
通过高斯消元法或矩阵的秩来求解。
如果方程组的解只有零解（即只有零向量满足方程组），那么向量组是线性无
关的；如果方程组有非零解，那么向量组是线性相关的。
除了求解线性方程组的方法，还有其他判断线性相关性与线性无关性的方法，
如行列式判别法、向量组的秩等。
这些方法在不同的情况下有着不同的适用性。
五、总结
线性相关性与线性无关性是线性代数中重要的概念，它们研究向量组内向量之
间的关系。
线性相关性指向量组中存在一组不全为零的系数使得线性组合为零向量，而线性无关性指向量组中任意向量不能由其他向量线性表示出来。
线性相关性与线性无关性是相互对立的，判断一个向量组的线性相关性与线性无关性可以通过求解线性方程组、行列式判别法、向量组的秩等方法。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，可以帮助我们解决各种问题。