职高数学高考试题及答案

职高数学高考试题及答案

题目一：选择题（每题4分，共25题）

1. 已知函数$f(x) = 2x^2 + 3x - 4$，则$f(-1)$的值等于（）。

A. -8

B. -7

C. -6

D. -5

2. 在等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_1 = 5$，$d = 2$，若$a_{10} = 23$，则$a_2$的值等于（）。

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

3. 函数$f(x) = a^x$（$a > 0$）的定义域为全体实数，当$a > 1$时，$f(x)$是（）函数。

A. 增函数

B. 减函数

C. 常数函数

D. 正值函数

4. 若方程$x^3 - mx^2 + (m - 4)x - 4 = 0$的一个实根是4，则$m$的值等于（）。

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

5. 在等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_5 - a_3 = 8$，若$a_2 = 7$，则$d$的值等于（）。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6. 抛物线$y = ax^2 + bx + c$的图象关于直线$x = 1$对称，则$a + b + c$的值等于（）。

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

7. 在等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_1 = 3$，$a_n = 17$，$S_n = 85$，则$n$的值等于（）。

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

8. 若$\log_2{x} = \log_{\frac{1}{2}}{y}$，则$x$与$y$的关系是（）。

A. $x = \frac{1}{y}$

B. $x = y$

C. $xy = 1$

D. $x + y = 0$

9. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，$a_2 = 5$，若$a_1 + a_2 +

\ldots + a_n = 2n^2 + n$，则$n$的值等于（）。

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

10. 在平面直角坐标系中，点$A(1, 2)$到直线$2x - y + 3 = 0$的距离

等于（）。

A. 2

B. $\sqrt{5}$

C. $\sqrt{10}$

D. 3

...（题目继续）

题目二：填空题（每空3分，共15小题）

1. 若$\sin{210^\circ} = \sin{(\alpha - 60^\circ)}$，则$\alpha

=$ _______。

2. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为3，公差为2，则$a_{10}

=$ _______。

3. 若$\log_2{x} + \log_2{y} = 10$，则$x \cdot y =$ _______。

4. 设函数$f(x) = \frac{3}{x-1}$，则$f(2) =$ _______。

5. 幂函数$y = a^x$的图象关于点$(2, 0)$对称，则$a =$ _______。

...（题目继续）

解析一：选择题

1. 题目要求计算函数$f(-1)$的值，只需将$x$的值代入函数$f(x)$中，得到$f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) - 4 = 2 - 3 - 4 = -5$，故选D. -5。

2. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 5$，公差$d = 2$，要求计算$a_2$的值。根据等差数列的通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入$a_1 = 5$和$d = 2$可得：$a_2 = a_1 + (2 - 1)d = 5 + 2 = 7$。故选A. 7。

3. 根据题目已知条件，函数$f(x) = a^x$的定义域为全体实数，且$a > 1$，我们知道当指数函数的底数大于1时，函数呈现增长的趋势。因此，当$a > 1$时，函数$f(x) = a^x$是增函数。故选A. 增函数。

4. 题目已知方程$x^3 - mx^2 + (m - 4)x - 4 = 0$的一个实根是4，要

求计算$m$的值。根据已知条件，将4代入方程，得到$4^3 - 4m^2 + (m - 4) \cdot 4 - 4 = 0$，化简得$64 - 4m^2 + 4m - 16 - 4 = 0$，继续化简$-4m^2 + 4m + 44 = 0$。由此可得$m = 6$，故选C. 6。

5. 已知等差数列$\{a_n\}$中$a_5 - a_3 = 8$，且$a_2 = 7$，要求计算公差$d$的值。根据等差数列的性质可得：$a_5 - a_3 = (a_2 + 3d) - (a_2 + d) = 8$，化简得：$(a_2 + 3d) - (a_2 + d) = 8$，继续化简得：$2d = 8$，因此$d = 4$。故选D. 4。

6. 若抛物线$y = ax^2 + bx + c$的图象关于直线$x = 1$对称，即抛物

线关于直线$x = 1$对称，那么可以通过设定关于$x = 1$的对称点，利

用对称性解方程组，从而求得$a + b + c$的值。具体步骤如下：设对称

点为$(1 + h, k)$，则对称性可得：$a(1 + h)^2 + b(1 + h) + c = a(1 - h)^2

+ b(1 - h) + c$。将方程两侧展开并相减消去相同项，化简得：$2ah +

2bh = 0$。由此可得：$h = -\frac{b}{a}$。将$h = -\frac{b}{a}$代入原方程，得：$a(1 - (\frac{b}{a}))^2 + b(1 - (\frac{b}{a})) + c = k$。化简得：$a + b + c = k$。由此可知，$a + b + c$的值等于对称点的$y$坐标。因此，$a + b + c$的值为$k$。故选B. 0。

7. 在等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_1 = 3$，$a_n = 17$，且$S_n =

85$，要求计算$n$的值。首先，根据等差数列的通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入$a_1 = 3$和$a_n = 17$可得：$3 + (n - 1)d = 17$，进一步

化简，得：$(n - 1)d = 14$。又知等差数列的前$n$项和公式$S_n =

\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，代入$a_1 = 3$和$a_n = 17$和$S_n = 85$，得：$\frac{n}{2}(3 + 17) = 85$，继续化简，得：$n = 10$。故选C. 7。

8. 若$\log_2{x} = \log_{\frac{1}{2}}{y}$，则$x$与$y$的关系是：对数性质$\log_a{b} = \frac{1}{\log_b{a}}$，根据该性质可知：$\log_2{x} = \log_{\frac{1}{2}}{y}$等价于$\log_2{x} =

\frac{1}{\log_y{\frac{1}{2}}}$。将$\frac{1}{\log_y{\frac{1}{2}}}$展开

可得：$\log_y{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}{y}}$。由此可得：$\log_2{x} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}{y}} =

\log_y{\frac{1}{2}}$。综上可知，$x = \frac{1}{y}$。故选A. $x =

\frac{1}{y}$。

9. 已知等差数列$\{a_n\}$中$a_1 = 3$，$a_2 = 5$，且$a_1 + a_2 +

\ldots + a_n = 2n^2 + n$，要求计算$n$的值。首先，可以通过求前$n$项和的通项公式进行求解。设等差数列的公差为$d$，则等差数列的前

$n$项和公式为$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。将$a_1 = 3$和$a_2 = 5$代入，得：$S_n = \frac{n}{2}(6 + (n-1)d) = 2n^2 + n$。变形化简可得：$3n + d \cdot n^2 - d = 4n^2 + 2n$。继续化简得：$4n^2 - n - d \cdot n^2

+ 3n - d = 0$。由此可得：$(4-d)n^2 + (3-n)n - d = 0$。根据题意，该等

差数列是有解的，因此，方程必有实根，即判别式$\Delta \geq 0$。根

据判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入$a = 4-d$，$b = 3-n$，$c = -d$，得：$(3-n)^2 - 4(4 - d)(-d) \geq 0$。继续化简得：$(3-n)^2 + 16(4-d)d \geq 0$。由此可得：$(3-n)^2 \geq -16(4-d)d$。由于左边为平方项，右边为非负数，因此，不等式永不成立，即左边平方项必需为0，即$(3-n)^2 = 0$。解得：$n = 3$。故选A. 3。

10. 已知点$A(1, 2)$到直线$2x - y + 3 = 0$的距离，要求计算该距离值。设直线$2x - y + 3 = 0$上任意一点为$P(x, y)$。为了求得直线

$AP$的距离，需要先求得直线$AP$的方程。由于直线$AP$与直线$2x

- y + 3 = 0$垂直，因此直线$AP$的斜率与直线$2x - y + 3 = 0$的斜率乘

积为-1。直线$2x - y + 3 = 0$的斜率为2，因此直线$AP$的斜率为$-

\frac{1}{2}$。设直线$AP$的方程为$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$，化简得：$2y - 4 = -x + 1$，进一步化简得：$x + 2y = 5$。由此可知直线

$AP$的方程为$x + 2y - 5 = 0$。已知点$A(1, 2)$到直线$AP$的距离公

式为：$d = \frac{|x_1 + 2y_1 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$，代入$(x_1, y_1) = (1, 2)$可得：$d = \frac{|1 + 2 \cdot 2 - 5|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-

1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。故选B.

$\sqrt{5}$。

...（题目继续）

解析二：填空题

1. 根据三角函数的周期性，$\sin{210^\circ} = \sin{(210^\circ -

180^\circ \times 1)} = \sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$。

2. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 3$，公差$d = 2$，根据等差

数列的通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入$a_1 = 3$和$d = 2$可得：$a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot 2 = 3 + 9 \cdot 2 = 21$。

3. 根据对数的性质$\log_a{x} + \log_a{y} = \log_a{xy}$，即

$\log_2{x} + \log_2{y} = \log_2{(xy)}$。代入$\log_2{x} + \log_2{y} =

10$可得：$\log_2{(x \cdot y)} = 10$。因此，$x \cdot y = 2^{10} = 1024$。

4. 设函数$f(x) = \frac{3}{x-1}$，要求计算$f(2)$的值。将$x = 2$代

入$f(x)$得到：$f(2) = \frac{3}{2-1} = 3$。

5. 已知幂函数$y = a^x$的图象关于点$(2, 0)$对称，即点$(2, 0)$在曲线$y = a^x$上，代入$(x, y) = (2, 0)$可得：$0 = a^2$。由于$a^2 = 0$