运筹学 单纯形法的迭代原理讲解
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于线性规划问题求解的数学方法，它的基本原理是通过不断地在可行解空间中移动，寻找到最优解的过程。
在实际应用中，单纯形法被广泛地应用于生产调度、资源分配、运输优化等领域，它的高效性和可靠性使得它成为了解决复杂实际问题的重要工具。
单纯形法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 初始可行解的构造。
在单纯形法中，首先需要构造一个初始的可行解。
这个可行解需要满足线性规划问题的约束条件，并且需要在可行解空间内。
构造初始可行解的方法有多种，常见的方法包括人工构造、单纯形表法等。
2. 迭代移动。
一旦得到了初始可行解，单纯形法就开始了迭代移动的过程。
在每一步迭代中，单纯形法会根据当前的可行解，寻找一个移动方向，并且沿着这个方向进行移动。
移动的目的是寻找到更优的解，直到找到最优解为止。
3. 优化目标的改善。
在每一步迭代中，单纯形法都会尝试改善优化目标的值。
优化目标通常是线性规划问题的目标函数值，单纯形法的目标是找到一个可行解，使得优化目标的值最小或最大。
4. 终止条件的判断。
单纯形法在迭代移动的过程中，需要不断地判断是否满足终止条件。
终止条件通常包括目标函数值不再改善、可行解空间已经被完全搜索等情况。
通过以上几个基本步骤，单纯形法可以在有限的迭代次数内找到线性规划问题的最优解。
它的高效性和可靠性使得它成为了解决实际问题的重要工具。
在实际应用中，单纯形法还可以通过一些改进的方法来提高求解效率，例如对初始可行解的选择、对移动方向的选择、对终止条件的判断等方面进行优化。
这些改进方法可以使得单纯形法更加适用于复杂的实际问题。
总的来说，单纯形法是一种强大的数学方法，它具有较高的求解效率和可靠性，可以被广泛地应用于各种领域的实际问题求解中。
通过深入理解单纯形法的基本原理，我们可以更好地应用它来解决复杂的实际问题，为各种决策问题提供科学的决策支持。
1-3 单纯形法原理
由于任意系数列向量均可由基向量组线性表示，则非基向 量中的 Pj 用基向量组线性表示为：
Pj a ijPi
i 1
2017/5/5
m
Pj a ijPi 0,
i 1
m
( j m 1,...,n )
12
设有 0，则
( Pj aij Pi ) 0
i 1
只要取
(0) (0) x x min i aij 0 l 为
正，于是非零分量的个数
m
，并可证得
P P2 ... Pl 1 Pl 1 ... Pm , Pj 1
线性无关，所以 X (1) 是新的基可行解。
2017/5/5
a12 a22
a1n a2 n
am 2 amn
1 0 0 0 1 0 0 0 1
9
由于该矩阵含有一个单位子矩阵，因此，这个单位阵就是一组 基，就可以求出一个基可行解：
X 0,,0, b1,, bm
令：X X (1) (1 ) X ( 2 )
0 1
则AX A(X (1) (1 ) X ( 2 ) ) AX (1) AX ( 2 ) AX ( 2 ) b
X C C 为凸集
引理：线性规划问题的可行解X＝(x1,x2,……xn)为基可行解的充要条件是 X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的（所组成的矩阵是非奇 异的）。
11
由构造初始可行基的方法知前m 个基向量恰好是一个单位
阵，所以约束方程组的增广矩阵为
P1 P2 ... Pm Pm1 ... Pj ... Pn b
1 0 ... 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... 0 ... 1 a1,m 1 ... ... a1, j ... ... a2,m 1 ... a2, j am,m 1 ... am , j ... a1,n b1 ... a2,n b2 ... ... ... ... am,n bm
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
单纯形法迭代原理
xm bm a mm1 xm 1 ... a mn xn
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2、最优性检验与解的判别
代入目标函数，有： Z c1 x2 c2 x2 ... cn xn c1 (b1'
j m 1 ' ' a x ) ... c ( b 1j j m m n j m 1 ' a mj x j ) n
1, 2 0, x1 , x2 均可换入。
一般选取 max( 1, 2 ) 对应的变量
（即选最大非负检验数对应的变量）
换入变量
x2
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x3 使换入的变量越大越好 x4 同时，新的解要可行。 x5 • 换出变量 选非负 i 的最小者对应的变量换出 x2 min( 8 / 2
均可作为换入变量
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3、基变换
Z大 xm k 大 • 换出变量确定 ' ' （在可行的范围内） x1 b1 a 1m k xm k 0
Z Z 0 m k xm k
x2 b2 a 2 m k xm k 0
'
'
........
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返回
1、初始基可行解的确定
• 观察法:直接观察得到初始可行基 • ≤约束条件: 加入松弛变量即形成 可行基。（下页） • ≥约束条件: 加入非负人工变量, 以后讨论.
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返回
1、初始基可行解的确定
不妨设 x1 , x2 , , xm为松弛变量， 则约束方程组可表示为
x1 a1m 1 xm 1 ... a1n xn b1 a2 m 1 xm 1 ... a2 n xn b2 x2 .......................................... xm amm1 xm 1 ... amn xn bm x1 , x2 ,..., xn 0
运筹学课件 单纯形法的迭代原理
运筹学教程
检验数σ1和σ2均大于0，所以表中的基可行解不是最优解。
k max{ j |
j
0}
σ1>σ2，选择最大正检验数对应的系数列为主元列， 主元列对应的非基变量X1为换入变量；
bi bl min | a ik 0 a ik a lk
，
xl-11, xl+11,…………xm1, xj1所对应的向量，
经过重新排列后加行b列形成的增广矩阵为：
p1 1 0 .... ....... . p l 1 0 0 pj a1 j a2 j a l 1 j a lj a l 1 j a mj p l 1 0 0 ... .......... . pm .... 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 . 1 bl 1 bl b l 1 . bm b b1 b2
5 x 2 15 5 x 2 x 3 15 6 x 1 2 x 2 24 6 x 1 2 x 2 x 4 24 st . st . x1 x 2 5 x1 x 2 x 5 5 x1 , x 2 0 x1 5 0
完成一次迭代，得到新的基可行解和相 应的目标函数值
运筹学教程
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或
主元列≤ 0（无界）
运筹学教程
例题：使用单纯形法求解线性规划问题
max Z 2 x 1 x 2
max Z 2 x 1 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5
运筹学教程
Cj CB 0 2 0 1 基 X3 X1 X5 x2 b 15 15/2 4 7/2 1 6/4
运筹学-第1章 3-单纯形法
选 XB = (x1 x4)T 令x2 = x3 = 0 则 初始基可行解：X = (3
0
0
4)T
5
（2）人工变量法（大M法） 若给定问题标准化后，系数矩阵中不存在m个线性无关的单
以alk为主 元进行初 等行变换
xm a mm 1 x m 1 amk x k a mn x n bm xj 0 j 1,2, , n
0 0 0 a1m1 a1k a1n b1 1 1 0 0 a2m1 a2k a2n b2 0 A 0 0 1 0 alm 1 alk aln bl 0 0 0 1 amm 1 amk amn bm
解就是原问题的最优解
若变化后的问题中含有非零的人工变量则元问题无可行
解
7
2.最优性检验和解的判别
x i bi a im 1 x m 1 , ,a in x n i 1, , m代入目标函数 Z
c1 x1 c2 x 2 c n x n c1 (b1 a1m 1 x m 1 a1n x n ) c2 (b2 a 2 m 1 x m 1 a 2 n x n ) cm (bm a mm 1 x m 1 a mn x n ) c m 1 x m 1 c n x n ci bi
（1）因为所有 Xj ≥0，当所有σ j<0 时，则 Z≤Z0,则该基可行解 对应最优解； （2）因为所有 Xj ≥ 0 ，当 σ j≤ 0 且存在 σ j ＝0 （ j=m+1,„,n) 时，则该线性规划问题有无穷多最优解； （ 3 ）对基可行解 X0, 若存在某个 σ k>0, 且所有 aik≤0(Pj≤0), i=1,2,„,m，则该问题无界（无界解）； （4）因为所有Xj≥0，当存在σ j>0时，则该基可行解不是最优 解，需要寻找另一个基可行解；
单纯形法的迭代步骤与解的讨论
解的最优性
在单纯形法的迭代过程中，通过比较检验数的大小来判断当前基本可行解是否最优。若所有非基变量对应的检验数均非正，则当前基本可行解为最优解。
当线性规划问题存在唯一最优解时，单纯形法一定能够找到该最优解。若存在多个最优解，单纯形法可能找到其中任意一个。
数值例子与计算过程展示
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅的阐述您的观点。
本例考虑一个线性规划问题，旨在最大化目标函数，同时满足一系列线性约束条件。
设决策变量为x1, x2, ..., xn，分别代表不同的资源或活动水平。
目标函数为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为各决策变量的系数，代表单位资源或活动的贡献。
约束条件包括m个线性不等式，形如ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi (i = 1, 2, ..., m)，表示资源或活动的限制。
迭代
根据一定的规则，选择进基变量和出基变量，进行基变换，更新单纯形表。
终止
当迭代过程中无法找到更优的解时，算法终止，当前单纯形表对应的解即为最优解。
单纯形法应用领域
如运筹学、管理科学、计算机科学等。
迭代步骤详解
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅的阐述您的观点。
01
02
03
计算结果分析
最优解解释
01
通过单纯形法迭代得到的最优解满足所有约束条件，并使目标函数达到最大值（或最小值）。
解的性质讨论
02
根据问题的不同，最优解可能是唯一的、不唯一的、无界的或不存在的。对于不同情况，需要具体分析并给出相应的解释和处理方法。
1-3 单纯形法原理
0
x1 x2
+ a 1 m +1 x m +1 + ⋯ + a 1 n x n = b1 + a 2 m +1 x m +1 + ⋯ + a 2 n x n = b2 ⋮ x m + a mm +1 x m +1 + ⋯ + a mn x n = bm xj ≥ 0 j = 1, 2 , ⋯ , n
α i不全为 0，使 ∑ α i Pi = 0, 设 α ＝（ α 1 , α 2 , ⋯ , α k ,0, ⋯ ,0 )
X (1 ) 令 (2) X x (j1 ) = x 0 + t α j j (2) = X 0 + tα 0 ⇒ x j = x j − tα j 0 = X − tα x (1 ) = x ( 2 ) = 0 j j
c1 x1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n = c 1 ( b1 − a 1 m + 1 x m + 1 − ⋯ − a 1 n x n ) + c 2 ( b 2 − a 2 m +1 x m +1 − ⋯ − a 2 n x n ) ⋮ + c m ( b m − a mm + 1 x m + 1 − ⋯ − a mn x n ) + c m + 1 x m + 1 + ⋯ + c n x n = =
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定理2 线性规划问题的基可行解X对应线性规划问题可行域的顶点 定理2：线性规划问题的基可行解 对应线性规划问题可行域的顶点。 对应线性规划问题可行域的顶点。 分两步： ）顶点→基可行解 分两步：1）顶点 基可行解 2）基可行解 顶点 ）基可行解→顶点 反证法： 反证法： 1）假设 0是可行域的顶点，X0不是基可行解，X0的前 个分量大于 ，其 个分量大于0， ）假设X 是可行域的顶点， 不是基可行解， 的前k个分量大于 余为0，因不是基可行解， 余为 ，因不是基可行解，则存在
单纯形法的原理(一)
单纯形法的原理(一)单纯形法（Simplex Method）什么是单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的方法。
它通过迭代的方式，逐步接近最优解。
在线性规划中，我们需要在一组线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
单纯形法是一种基于几何性质的方法，它通过在可行域内移动到较优区域，逐步逼近最优解。
线性规划问题的标准形式在介绍单纯形法之前，我们先来了解一下线性规划问题的标准形式。
线性规划问题可以写成如下形式：最大化目标函数：[Z = c_1x_1 + c_2x_2 + … + c_nx_n]满足约束条件：[a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n ≤ b_1][a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_n ≤ b_2]…[a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n ≤ b_m]其中，(x_1, x_2, …, x_n) 是决策变量，(c_1, c_2, …, c_n) 是目标函数的系数，(a_{ij}) 是约束条件的系数，(b_i) 是约束条件的右侧常数。
单纯形法的基本思想单纯形法的基本思想是通过在可行域内移动，逐步逼近最优解。
其算法步骤如下：1.初始化阶段：将线性规划问题转化为标准形式，并构造初始的基可行解。
2.优化阶段：根据当前的基可行解，计算出相应的目标函数值。
3.检验最优解：如果当前的基可行解是最优解，则停止算法；否则，继续下一步。
4.确定进入和离开变量：根据当前基可行解，确定进入变量和离开变量。
5.计算新的基可行解：通过计算和替换，得到新的基可行解。
6.回到步骤2：不断迭代，直到获得最优解。
单纯形法的关键概念在单纯形法中，有几个关键概念需要了解：1.基变量（Basic Variables）：在线性规划问题中，基变量是指与基矩阵中的列相对应的决策变量。
基变量的值通过基可行解来确定。
2.非基变量（Nonbasic Variables）：非基变量是指未在基可行解中出现的决策变量。
单纯形法迭代原理
单纯形法迭代原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法，其迭代原理是该算法能够通过不断调整顶点来逐步接近最优解的过程。
在线性规划问题中，我们需要在给定的一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
单纯形法的核心思想是通过不断移动顶点，逐步接近最优解。
下面我们来详细介绍单纯形法的迭代原理。
我们将线性规划问题转化为标准形式，即将约束条件和目标函数都写成等式形式。
然后，我们引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束。
这样，我们就得到了一个初始可行解。
接下来，我们需要选择一个入基变量和一个出基变量。
入基变量是指将其变为非基变量，而出基变量是指将其变为基变量。
为了选择出入基变量，我们需要计算各个非基变量的变化率，即目标函数的增长量与变量的增量之比。
我们选择变化率最大的非基变量作为入基变量，然后通过计算约束条件限制下的最小非负比值来确定出基变量。
一旦确定了入基变量和出基变量，我们就可以通过基变量列的调整来计算新的可行解。
具体来说，我们需要通过将出基变量对应的列变为单位向量，然后通过一系列列变换，使得入基变量对应的列变为零向量。
这样，我们就得到了一个新的可行解。
接下来，我们需要计算新的目标函数值。
如果新的目标函数值比旧的目标函数值更小（或更大，具体取决于求解最小化问题还是最大化问题），那么我们就继续迭代。
否则，我们就找到了最优解。
在每次迭代中，我们都可以通过计算目标函数的增长量和各个非基变量的变化率来确定出入基变量。
通过不断调整顶点，我们逐步接近最优解。
当无法找到更优的解时，算法终止。
需要注意的是，单纯形法并不一定能够找到最优解。
在某些情况下，算法可能陷入无限循环或者无界解。
为了解决这些问题，我们可以通过添加人工变量或者对偶单纯形法等方法来进行修正。
单纯形法迭代原理是一种通过不断调整顶点来逐步接近最优解的方法。
通过选择出入基变量，并通过基变量列的调整来计算新的可行解，我们可以逐步接近最优解。
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运筹学单纯形法的迭代原理讲解
单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法，其基本思想是通过迭代的方式逐步接近最优解。
下面是单纯形法的迭代原理的讲解：
1. 初始解的选择：首先需要选择一个初始解，通常选择的方法是构造一个基可行解，即使所有的约束条件都满足的解。
2. 判断最优性：在每一次迭代中，需要判断当前解是否为最优解。
首先，计算当前解对应的目标函数值。
然后，检查是否存在非基变量的系数大于等于0（对于最小化问题）或者小于等于0（对于最大化问题），如果存在这样的非基变量，则当前解不是最优解；如果不存在这样的非基变量，则当前解是最优解。
3. 生成新解：如果当前解不是最优解，则需要生成新的解。
首先，选择一个非基变量，使得目标函数的值可以通过增加（对于最小化问题）或减少（对于最大化问题）该变量的值来改善。
然后，需要计算这个非基变量能够增加或减少的最大量，称为变量的进步长度。
最后，通过调整基变量的值来生成新的解。
4. 更新目标函数和约束条件：在生成新解之后，需要更新目标函数和约束条件，以便于下一次迭代。
具体操作包括计算新解对应的目标函数值，计算新解对应的约束条件的值，调整目标函数和约束条件的系数。
5. 重复迭代：根据判断最优性的结果，进行下一次迭代。
如果当前解是最优解，
则算法结束；否则，继续进行下一次迭代。
通过不断重复这一迭代过程，直到找到最优解或者确定问题无解为止。
单纯形法的迭代过程一般会在有限次数内结束，并且能够得到最优解。