函数的单调性与导数 获奖教案

教材分析

“函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础.

由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性.

课时分配

本节内容用1课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.

教学目标

重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.

难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;

⒉如何用导数判断函数的单调性.

知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.

能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法.

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.

教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.

自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法.

考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.

易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性.

教具准备：多媒体课件,三角板

课堂模式：学案导学

一.引入新课

师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2x y =的单调性，如何进行？ 生：用定义法、图像法.

师： 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？

生：注意定义域.

师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？ 师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？

揭示并板书课题：函数的单调性与导数

【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.

师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值

等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，

我们可以对数量的变化规律有一个基本的了

解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函

数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数

是否有着某种内在的联系呢?

二．探究新知

师：如图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2

=-++的

() 4.9 6.510

h t t t

图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'

==-+

v t h t t

()()9.8 6.5的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

生：通过观察图像，可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()

h t是增函数．相应地，'

=>．

()()0

v t h t

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()

h t是减函数．相应地，'

v t h t

=<．

()()0

【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学生提供一个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题.

师：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线

的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；

（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增； 而x y 2/=，当0x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．

（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；

而2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；

（4）函数x

y 1

=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调

递减,而2/1x y -=，因为0≠x ,所以0/x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/

【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心.

三. 理解新知

师：如图，导数'0()f x 表示函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．

观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关

系？

生:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这

时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；