简谐运动方程拟合
13-4简谐运动的合成
1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos( t 1 )
y
y A2 cos( t 2 )
x cos t cos 1 sin t sin 1 A1
y cos t cos 2 sin t sin 2 A2
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
x x1 x2 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t )
载频
1
O
A1
调制频率 2
A2
A2比 A1每多转一周
合振动出现一次最强
2π 2T 1T 2π 拍的周期 T 2 1 2 1 2 1 拍的频率(简称拍频)
x x1 x2
x2
2 1
A1
x A cos( t )
x1
x
x
x A cos( t )
2 2 1 2 2
A1 , A2 , A 一起以 转动，
保持相对静止。
A2
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A
A1
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
2
x2
1
的具体象限要根据 1 , 2 确定。
x1
x
x
结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐运动,其合成运动仍为简谐运动.
14.3 简谐运动的合成
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
Amax = 2A1
t
Amin = 0
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大学物理学
第14章
(ω2 − ω1 )t + (ϕ2 −ϕ1 )
ω 2t + ϕ 2
v A ω2 2
ω
ω1 v A 1
v A
ω 2 > ω1
ω1t + ϕ1
o
x2
x1
x
x
ϕ1 = ϕ 2 = 0
∆ϕ = 2 π(ν 2 −ν 1 )t
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第14章
机械振动
振幅 A = A1 2 (1 + cos ∆ ϕ )
A=0
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机械振动
四 的合成
两个同方向不同频率简谐运动
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第14章
机械振动
频率较大而频率之差很小的两个同方 频率较大而频率之差很小的两个同方 较大而频率之差很小的两个 简谐运动的合成， 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍 加强时而减弱的现象叫拍.
x = x1 + x2 + L + xn
x = A cos( ω t + ϕ )
o
v 1 ϕ1 A
ϕ ϕ2
简谐运动方程
简谐运动方程简谐运动是一种周期性的运动，它的运动规律可以用简谐运动方程来描述。
简谐运动方程是一个二阶线性微分方程，它的一般形式为： $$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$$其中，$x$表示物体的位移，$t$表示时间，$\omega$表示角频率。
简谐运动方程的解析解为：$$x = A\cos(\omega t + \phi)$$其中，$A$表示振幅，$\phi$表示初相位。
简谐运动方程的解析解可以用来描述物体在简谐运动中的位移随时间的变化规律。
简谐运动方程的应用非常广泛，例如在机械振动中，弹簧振子、单摆等都可以用简谐运动方程来描述。
在电磁振动中，电磁波的传播也可以用简谐运动方程来描述。
在量子力学中，原子的电子在原子核周围的运动也可以用简谐运动方程来描述。
简谐运动方程的解析解可以用来计算物体在简谐运动中的位移、速度、加速度等物理量的变化规律。
例如，物体在简谐运动中的速度可以表示为：$$v = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$$物体在简谐运动中的加速度可以表示为：$$a = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)$$简谐运动方程的解析解还可以用来计算物体在简谐运动中的能量、功率等物理量的变化规律。
例如，物体在简谐运动中的能量可以表示为：$$E = \frac{1}{2}kA^2$$其中，$k$表示弹性系数。
物体在简谐运动中的功率可以表示为： $$P = \frac{1}{2}kA^2\omega\sin^2(\omega t + \phi)$$简谐运动方程是物理学中非常重要的一个方程，它不仅可以用来描述物体在简谐运动中的运动规律，还可以用来计算物体在简谐运动中的各种物理量的变化规律。
因此，学习简谐运动方程对于理解物理学中的许多现象和问题都非常有帮助。
简谐振动合成-Matlab
二、振动的合成实际生活中，一个系统往往会同时参与两个或更多的振动。
例如悬挂在颠簸船舱中的钟摆，两列声波同时传入人耳等。
一般的振动合成显然是比较复杂，下面仅讨论几种间单情况的简谐振动合成。
一、同方向同频率简谐振动的合成若两个同方向的简谐振动，频率都是，它们的运动方程分别为因振动是同方向的，所以这两个谐振动在任意时刻的和位移应在同一直线上，且等于这两个振动位移的代数和，即合位移仍为简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么合成后的振动仍与原振动方向相同但不再是简谐振动。
现设两简谐振动的振幅都为A，初相位为零，它们的振动方程分别为合成振动方程为若两个分振动的频率都较大且其差很小时，即，合振动可看作为振幅随时间缓慢变化的近似谐振动，振幅随时间变化且具有周期性，表现出振动或强或弱的现象，称拍，变化的频率称拍频，变化的振幅为变化的频率为三、相互垂直的简谐振动的合成李萨如图如果两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，他们的振动方程分别为合成后，可得质点的轨迹为椭圆方程若两分振动有不同的频率，且两频率之比为有理数时，则合成后的质点运动具有稳定、封闭的轨迹。
称其为李萨如图形。
程序编写我们已经在第一讲中体验了matlab的编程，可是你一定会生出这样的问号，辛辛苦苦在命令窗口写的一大堆代码怎么不保留？不用担心，matlab程序和其他编程工具一样，也有专门的文件格式，称m文件，文件名形式为“文件名.m”。
你可以用matlab自带的编辑器来输入你的程序代码，当然你也可以用其它编辑器或最经济的文本编辑器，不过别忘记添加文件名的后缀“.m”。
下面，请跟我一起用m文件编辑器来编写matlab程序。
例题：两个振动方向相同而频率不同的简谐振动方程分别为合成后的方程是请用matlab程序描述合成波和拍频现象。
编程：第一步：点击matlab图标，打开程序窗口。
第二步：选file—new—m-file,打开编辑器。
第三节 简谐运动的合成
2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
简谐运动的合成实验
简谐运动的合成实验一、 实验目的1. 了解简谐运动的合成理论实现方法。
2. 观察实验现象，了解简谐运动的合成的特点。
3. 学会利用旋转适量法分析简谐运动。
二、 实验原理.1. 两个同方向同频率简谐运动的合成：若两个同方向的简谐运动，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别是1ϕ和2ϕ，则它们的运动方程分别为x1=A1cos(ωt+1ϕ),x2=A2cos(2ϕω+t ).因为振动是同方向的，所以这两个简谐运动在任何时候的合位移x 仍在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2.。
合位移也可以用旋转矢量法求出。
如图1所示，两分振动的旋转矢量分别为A1和A2，开始时（t=0），它们与ox 轴的夹角分别为1ϕ和2ϕ，在ox 轴上的投影分别为x1及x2.由平行四边形法则，可得和矢量A=A1+A2。
由于A1、A2以相同的ω绕着o 点作逆时针旋转，它们的夹角（12ϕϕ-）在旋转过程中保持不变，所以矢量A 的大小也保持不变，并以相同的角速度ω绕着o 点作逆时针旋转。
从图1中可以看出，任意合矢量A 在ox 轴的投影x=x1+x2，因此和矢量A 即为合振动所对应的旋转矢量，而开始时矢量A 与ox 轴的夹角即为合振动的初相位ϕ。
由图可得合位移为x=Acos(ϕω+t )。
这就表明合振动仍然是简谐运动，其合振幅为A=)12cos(2122*21*1ϕϕ-++A A A A A A 。
合振动的初相位为tan ϕ=(A1sin )2sin 21ϕϕA +)\2cos 21cos 1ϕϕA A +。
图12. 旋转矢量法：从坐标原点O (平衡位置)画一矢量 ，使它的模等于谐振动的振幅A ，并令t=0时A 与x 轴的夹角等于谐振动的初位相φ0，然后使A 以等于角频率ω的角速度在平上绕O 点作逆时针转动，这样作出的矢量称为旋转矢量。
显然，旋转矢量 任一时刻在x 轴上的投影x=Acos(ωt+φ0)就描述了一个谐振动。
17.2简谐运动的动力学方程
2
dt
dθ ω= ) dt
dθ ml 2 = −mgθ dt
dθ g + θ =0 2 dt l
2
g ω= l
l T = 2π g
动力学解决问题的思路：分析系统受力， 根据系统初始条件，解出系统在任意时刻 的状态。 简 受到回复力的作用 谐 F = −kx 运 系统的初始条件 动 x0 v0 的 系 统
m T =2 π k
运动学
描述物体在空间中的运动和其随时 间的变化的一种学问。 具体的说 位移、速度 就是描质点的位移 速度 加速度 位移 速度、加速度 及其对时间的变化关系 对时间的变化关系。 对时间的变化关系
x = A cos(ωt + ϕ ) 解析法
υ = −ω A sin( ω t + ϕ )
a = −ω 2 x
f 弹 = −kx
弹簧的弹力
准弹性力举例
总结
简谐运动 ⇔ 回复力 F = − kx 动力学计算
d2x k + x =0 2 dt m
动力学方程
k ω= m
A = x +( )
2 0
ωv ϕ = arctan( − 0 ) ωx0 l 周期公式： 单摆 T = 2π 弹簧振子
g
x0,v0
v0
2
x = Acos(ωt +ϕ)
解
d 2x + ω dt 2
2
x = 0
x = A cos( ω t + ϕ )
质点作简谐运动
⇒
受到回复力
F = − kx
的作用
受到回复力
F = −kx
大学物理,机械振动16-4 简谐振动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
2 1
1t 1
A
1 A1
o
x2
x1
x
x
A12 A22 2 A1 A2 cos
1 2 0
2π ( 2 1 )t
20
( 2 1 )t ( 2 1 )
16.4 简谐振动的合成
A A12 A22 2 A1 A2 பைடு நூலகம்os
11
16.4 简谐振动的合成
* 多个同方向同频率简谐运动的合成
第16章 机械振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动，且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的，所以合振 动不再是简谐振动。 讨论
简谐运动的合成.ppt
2
1
(2k 1)π
2
1
小结
（1）相位差 2 1 2k π
A A A
1
2
(k 0，1，) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A A A A A
1
2
1
2
二 两个相互垂直的同频率的简谐
振幅
A
2 A1 cos2 π 2
1
2
t
Amax 2A1 Amin 0
x (2A1 cos2 π
2
2
1 t)cos2 π
2
2
1t
2π2 1 T π
2
2 1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2A1 A2
cos(2
1 )
x x1 x2
A
x tan
A1
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成后仍
为同频率的简谐运动
（1）相位差
2
1
2k π
(k
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
9-5 简谐运动的合成
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
2π
ν 2 ν1
2
T =π
1 T= ν 2 ν1
频( 变
ν =ν 2 ν1
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频 )
9-5 简谐运动
五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
2
0
x1
A 1
A1 sin 1 + A2 sin 2 tan = A1 cos 1 + A2 cos 2
两个同 两个同 动
同频 简谐运 简谐运动 为简谐运动
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9-5 简谐运动
讨论
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( 2 1 )
动
= 2 1 = 2k π
(k = 0, ± 1,)
动 强
A = A1 + A2
= 2 1 = (2k + 1) π
( k = 0, ± 1,)
动
A = A1 A 2
一般情况
A1 + A 2 > A > A1 A 2
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9-5 简谐运动
一 两个同方向同频率简谐运动的合成 x1 = A1 cos( ω t + 1 )
x 2 = A2 cos( ω t + 2 )
动
ω
A 2
x2
1
A
xx
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简谐运动方程拟合
研究简谐运动或者考察简谐运动的方式，经常是方程及其图像，今天我们就来看一看这方面的内容。
我们在前面已经说过了简谐运动的方程是x=Acos( ωt+φ)。
其中，A是振幅，也就是正子偏离平衡位置的最远距离，ω=2π/T，ω是圆频率，T是周期，φ是t=0时的相位，也就是初相。
关于这个方程，我们还要强调的一点是，它的横坐标是时间，纵坐标是位移，也就是正子偏离平衡位置的位移。
以一道例题来简单说明一下。
简谐振动的函数图像如下图所示，写出振动方程。
解析:首先我们要记住简谐运动的方程形式到底是什么？那就是x=Acos( ωt+φ)，根据图示，我们很容易看出振幅就是十厘米，所以A=10。
我们还可以从图中看出半个周期是4秒，所以周期T＝8s，ω=2π／T=π/4。
继续来看，当t＝0时，x＝－5cm ，则－5＝10cos(θ)，θ＝2π／3或者-2/3π，故振动方程为：x＝10cos（πt／4+120°）＝10cos（πt／4+2π／3）或者x＝10cos（πt／4-120°）＝10cos（πt／4-2π／3）。
根据以上描述，我们在写简谐运动振动方程的时候，一定要注意
几点，一是振动方程的多解性，这是由于初相和振动方向不定而造成的。
二是要注意振动方程，它描述的是一个质点，在不同的时刻所处的位置。
三是振动方向与波的传播方向在同一侧。
这个我们后续说明。