变系数KdV方程组的Backlund变换及其精确解
变系数KdV方程组的精确解
一类变系数KDV方程的Painlev é分析
一类变系数KDV方程的Painlev é分析
王英
【期刊名称】《甘肃科技纵横》
【年(卷),期】2009(38)1
【摘要】寻找可积模型是非线性物理中的重要问题之一,而Painlev e 奇性分析方
法已经成为研究非线性偏微分方程可积性的一个有力工具.本文研究一类变系数KDV方程的可积性,该方程在物理领域有重要的应用.本文运用Painlev e 分析方法得到了该方程通过Painlev e PDE检验时系数函数应满足的可积条件,将此类KDV 方程的可积性作了进一步的推广.
【总页数】1页(P205)
【作者】王英
【作者单位】兰州职业技术学院,甘肃兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类变系数自耦合KdV方程组的解析解 [J], 胡东坡;化存才
2.广义kdv方程,广义mkdv方程的Painlevé分析 [J], 张保才;李忠定;
3.一类变系数mKdV方程呼吸子和怪波的求解 [J], 昌霞; 谭家宁; 雷宇; 唐炳
4.广义变系数KdV方程的Painlevé分析和自B cklund变换 [J], 许晓革;魏光美
5.一类广义变系数mKdV方程的B cklund变换,Painlev检验及精确解（英文）[J], 沙安;李连忠
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组合KdV方程的精确解
６４ １０
科
学
技
术
与
工
程
１ 卷 １
方程 。
Ｄ（ ， ，” ， ）＝ ｕ ， … ０ （） ４
下非线 性代数 方程 组 ：
３ａ ｋ ０＋２Ｅ ＝０ ａ
・ ＋ 口 一 ＋ －～
这里 “ ’ 示 。 ”表 ｄ １２ 设式 （ ） 有如 下形式 的行 波解 ． ４具
来， 非线性科学 得 到 了迅 速发 展 ， 在 人 们认 识 到它 现
的发展必将对 自然 科学 各学 科 的发展 产 生不 可估 量 的影响 。随着非 线性科 学 的发展 ， 线性 方程 的求 解 非 已成为广大物 理学 、 学 、 球科 学 、 力 地 生命 科 学 、 用 应
数学和工程技术工作者 研究 的一个 重要 课题 。
， 成功 并 最近 ， Ｗａｇ 由 ｎ 等创 立了 （ ／ 展开 法 Ｇ’Ｇ）
众所周知 ， 它是最典型的非线 性色散波动方程 的代
表．因此 ， 研究 式 （ ）的 精 确 解有 重 要 的理 论 和 实 １
际价值 。
应用于求 解 非 线 性 发 展 方 程 的孤 立 波 解 。受 益 于
（） ２
该 方程 是 Ｋ Ｖ和 ｍ ｄ ｄ Ｋ Ｖ方 程 的 复合 。广 泛 应
式（） ２ 中的 Ｐ是 关 于变元 ｕ ， ， ， 多项式 。
１ １ 引入变 换 ．
…． 的
用 于等 离子体 物理 、 固体 物 理 、 子 物理 、 原 流体 力 学
２ １ 年 ５月 ２ 日收 到 ０１ ６
ｃ６ （ ）＝Ｃ ｘ （一Ａ ）一 ｅｐ （） ７
±
譬； 譬。
一
…
．
将 上述结 果代人 式 （ ） 式 （０ 并 由式 （ ） ８ 、 １） ７ 得
组合KdV与MKdV方程Backlund变换及其一类精确解
组合KdV与MKdV方程Backlund变换及其一类精确解张玉峰;张鸿庆
【期刊名称】《大连理工大学学报》
【年(卷),期】2001(041)004
【摘要】利用齐次平衡法得到了组合KdV和MKdV方程的Backlund变换,不仅扩充了有关文献的求解结果,并且给出了求组合KdV与MKdV方程解的一般方法,并由此得到了一类精确解. 通过对方程的特殊化,还可得到MKdV方程的Backlund 变换及求解公式.
【总页数】4页(P392-395)
【作者】张玉峰;张鸿庆
【作者单位】大连理工大学应用数学系;大连理工大学应用数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.组合KdV-mKdV方程的函数变换和精确解析解 [J], 闫振亚
2.一类KdV-mKdV方程的精确解 [J], 李玉
3.在加强改进演化方程方法下的(1+1)-维组合KdV-mKdV方程的精确解 [J], 刘名权
4.组合KdV和mKdV方程新的显式精确解 [J], 洪宝剑;卢殿臣
5.一类广义KdV-mKdV方程新的精确解 [J], 郭春晓;郭艳凤
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变系数kdv方程的多种孤波解
变系数 KdV 方程是一种非线性偏微分方程，用来描述浅水调和波的动态过程。
变系数 KdV 方程的形式为：
u_t + uu_x + u_xxx = 0
其中 u 是浅水调和波的海洋水位函数，t 是时间，x 是空间坐标。
变系数 KdV 方程的多种孤波解包括：
1、特殊的孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = A(t)sinx，其中 A(t) 为时间函数。
2、相对的孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = c1sinx + c2cosx，其中 c1 和 c2 是常数。
3、小孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = a(t)sin(kx+变系数 KdV 方程的多种孤波解还包括：
4、大孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = a(t)sin(kx+φ(t)) + b(t)cos(kx+φ(t))，其中 a(t)、b(t) 和φ(t) 都是时间函数。
5、常数孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = c1cos(kx+c2t)，其中 c1 和 c2 是常数。
6、扩展孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = a(t)sin(kx+φ(t)) + b(t)cos(kx+φ(t)) + c(t)sin(kx+φ(t))，其中 a(t)、b(t)、c(t) 和φ(t) 都是时间函数。
推广的F-展开法及变系数KdV和mKdV的精确解
推广的F-展开法及变系数KdV和mKdV的精确解
张金良;王明亮;王跃明
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2006(026)003
【摘要】该文首先推广了新近提出的F-展开法,利用该方法导出了变系数KdV和mKdV方程的类椭圆函数解;并在极限的情况下,得到变系数KdV和mKdV方程变波速和变波长的类孤子解以及其他形式解.
【总页数】8页(P353-360)
【作者】张金良;王明亮;王跃明
【作者单位】河南科技大学理学院,洛阳,471003;河南科技大学理学院,洛
阳,471003;兰州大学数学系,兰州,370000;河南科技大学理学院,洛阳,471003【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.某类变系数KdV-MKdV方程的精确解 [J], 田贵辰
2.圆函数展开法与缔合KdV-MKdV方程的精确解 [J], 史良马
3.应用F-展开法寻找KdV型方程精确解 [J], 王宁;李国放;刘奕阳;邱碧卿;;;;
4.修正的简单方程法与sine-Godon方程和广义的变系数KdV-mKdV方程的精确解 [J], 肖玲风;斯仁道尔吉;;
5.应用Riccati展开法求解广义KdV-mKdV方程的新精确解 [J], 欧阳坦;肖冰
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变系数广义KdV方程新的类孤波解和精确解
家感兴趣的方程之一 . 为了求解非线性偏微分方 程 ,文献 [ 1 ] 利用 B cklund 变换 , 得到了 ( 1 ) 式具有
PainlevΥ性质条件下的解 ; 文献 [ 2 ] 用截断展开方法
获得广义变系数方程新的精确类孤波解 ; 文献 [ 3 ] 用
Jacobi 椭圆函数展开法 , 获得不含外力项的变系数 KdV 方程的解 ; 文献 [ 4 ] 利用 Backlund 变换研究了广
2 3
31 变系数广义 KdV 方程 ( 1) 式的解
首先 ,将 ( 22) 式代入 ( 1) 式 ,得到关于
dv i ( i = 1 , dξ dv i , 合并 dξ
k i i
( 27)
3
β + 12 F1 Qx Q ξ β - 2 F2 Qx ξx 2 ( 3 F1 Q ξ x,x x ξx ξ ( 3β ) = 0, - 3 F2 Q x ,x )Π
2
( 30)
式中 F6 为 t 的任意函数 , F1 , F2 , F3 , F4 和 F5 是受
ξ ) , A = v8 = acn ( b
c =
2
a (1 - m ) , 2 6m
2
2
ξ - a 2
b
2
, a < 0.
( 18)
( 2 m2 - 1) a a ,β = 2 2 2 , 3m 12 b m
2
( 12)
2
ξ ) , A = v9 = a dn ( b
c =
a (- 1 + m )
2
6
, ( 13)
( 2 - m2 ) a a ,β = 2 , 3 12 b
式中 a , b 为实常数 . 4 ) 当 c = 0 , ( 4 ) 式的 v 有 Weierstress 椭圆函 数解 : a b 1 v15 = p (ξ, a , b) , A = , B = ,β = , 24 24 12 ( 19) 式中 a , b 为 Weierstress 椭圆函数不变量 . 为了利用 ( 4 ) 式作变换 , 将 ( 4 ) 式的 v 对ξ 求 导 ,得 2 ) 2 + 2 cv (ξ ) + 2A d v - v (ξ , 2 = β 2 dξ
一个变系数Huxley方程的自-BT和精确解
用齐次平衡原则导出了一个变系数huxley方程的自backlund变换bt利用bt获得了变系数huxley方程若干精确解
一个变系数Huxley方程的自-BT和精确解
一个变系数Huxley方程的自-BT和精确解
用齐次平衡原则导出了一个变系数Huxley方程的自-B(a)cklund变换(BT),利用BT获得了变系数Huxley方程的若干精确解.
变系数组合KdV方程的精确类孤子解
ｄ）。 （ “６）ｌ（ 是 ＝－４（ ｂ） －￣） 。一，￡ １一，） ，ｆＪ ６２）ｌ＝ ６（） （ ｎ“） ，ｆ６厂一 “） ｃ）， Ｊ ｃｔ， ｆ 一 （ （ ｍｔ （ ｋ－ （ ｔ ｌ ｆ ｍ（ ｋｔ Ｚ・ ｌ ｆ
其 中 ａ ， ｂ ， ｏ “ ， ｋ为常数 ， 并且
ｍ
… 。 一 一
ｏ，ｃ ＞ 。．
一 ’
ｓ
ｔｎ ａ
－ 一ｏ，ｃ － ４ ｏ ４一 ｏ， Ｃｃ
（ｖ ｉ）双 曲函数解
一
＋
ｓｎｈ ｉ
…
＿ ｏ，
４ 。≠ ｏ ＇
。，
一
＋
２２ ｃ
。
＿ ０，
４ 。≠ ｏ，
。 ，
ｅ
（） ｑ
￡
一 ．
重新分 类 ， 在合并 其相互 包 含 关 系 的基 础 上 ， 并 寻找 非 线 性 发 展 方程 类 孤 子 解 的途 径 ， 得 了 变 系数 组 合 获 Ｋｄ Ｖ方 程 的精确类 孤子解 ．
１ 改进 的代 数 方 法
考虑 变系数 非线性发 展方 程
Ｆ（ ， ， ， ， ） ０ ， “ 口 … 一 ， （） １
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ６ １４ ．
ＮＯ Ｖ． ２ Ｏ１１
变 系数 组合 Ｋｄ 方 程 的精 确 类 孤 子解 Ｖ
长 勒 ，斯仁 道 尔 吉
（ 内蒙 古 师 范 大 学 数 学科 学 学院 ． 内蒙 古 呼 和 浩 特 ０ ０ ２ ） １０ ２
摘
要： 利用一种改进的代 数方法 ， 研究了变系数组合 Ｋ Ｖ方程 ， ｄ 获得 了方程的精确类 孤子解 ， 中包括周 其
非线 性发 展方程 的求解是 数学 物理研 究 的重要课 题 之一 ， 目前 人们 已经发 现 了许 多 寻找非 线 性 发展 方
变系数(2+1)维Broer-Kaup方程的精确解
第20卷第1期原子与分子物理学报Vol.20，(.1200)年1月*+,-./.0123-45164718,*4-9815.*2543:+;/,*/0<=.，200)文章编号：1000>0)?@（200)）01>00A2>0)变系数（2B 1）维CDoED>F<GH 方程的精确解*张金良1，)，王跃明1**，王明亮1，2，方宗德)（1.河南科技大学数理系，河南洛阳@I10)A ；2.兰州大学数学系，甘肃兰州I)0000；).西北工业大学机电工程学院，陕西西安I100I2）摘要：利用齐次平衡原则，导出了变系数（2B 1）维CDoED>F<GH 方程的CJKLlG=M 变换（C7），并由该C7，求出了（2B 1）维CDoED>F<GH 方程的各种形式的精确解。
关键词：变系数（2B 1）维CDoED>F<GH 方程；齐次平衡原则；CJKLlG=M 变换（C7）；精确解中图分类号：11IN.2文献标识码：41引言本文考虑在统计物理、等离子物理及非线性光纤通讯等领域都有广泛应用的CDoED>F<GH 方程H yt =α（t ）［H xxy -2（HH x ）y -2G xx ］（1）G t =α（t ）［-G xx -2（GH ）x ］（2）在这里，α（t ）是t 的单变元函数。
对于方程（1）、（2）的常系数形式，已有很多人做过研究。
文献［1～)］利用推广的齐次平衡原则，讨论其局域相干结构，由此得到了方程（1）、（2）的一些特殊形式的解，如多9DoOPo=解，多,GOH 解，振荡型9DoOPo=解，圆锥曲线孤子解，运动和静止呼吸子解和似瞬子解。
本文首先利用齐次平衡法［@Q A ］，推到出方程（1）、（2）的C7，然后利用所得到的C7，我们可以给出类似于文献［1］所给出的局域相干结构以及多种孤子解外，还可以借助于C7，得到其他形式的精确解。
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杭 州 电 子 工 业 学 院 学 报
第 ２ 卷第 １ ２ 期
２０ ０２年 ２目
Ｊ Ｌ ， Ｌ Ｏ Ｉ＆ ． Ｏ ＂ 酵 盯兀玎Ｅ Ｏ Ｏ ＴＮＫ Ｆ ｔ ＮＣ ￣ Ｌ ２ Ｆ Ｅ ｖＴ Ｒ Ｎ Ｃ 日 Ｌ￣ ＯＩ Ⅱ Ｒ Ｇ ｖ 置． ｌ ｄ №
２０ ０２年 （） ５
Ｕ ｆ ＋ ３ ＋ ｆ Ｄ＋ ｆ （ 蠢 ） ｆ Ｕ＝ ｆ （ｆ ｆ） ｆ （ Ｄ （ ＋ ＋。 （） ６ Ｕ ＋ｏ 吼 ＋ １ ＝ １ （ ＋ 程 ＋ （啦 ＋０Ⅱ ） ｆ ０ １ ｆ １Ｐ ‘ ＋ …
（） ７
程组 的变 系数情 形 。
本文分两部分 ， 在第一部分非线性 变换里 ， 由齐次平衡原则推导出方程组式 １式 ２的 Ｂ ｄ ｄ 先 、 ￣ｌｍ ｔ
变换， 然后在第二部分变速孤立波解里 ， 利用 Ｂｋ ｎ 变换 ， 出一组变系数 Ｋ Ｖ方程组的变速孤立渡 ｃｌ ｄ ｕ 求 ｄ
解， 且显示 ａｔ，（ 可相应的改变孤立波的波速。 （）口 ｔ ）
Ｖ＝
吼＋ （ 阳 （ｆ ＋ｆ ３ ）
） ｇ 午 ＋ ｒ’ 一 ＋３＇ｑ ＋ｆ ’坪 ｆｇ ｆ＇ ｇ￣ 胛
（） ８ （） ９
Ｕ Ｖ ＝，
Ｖ ｇ ＋ Ｏ（程 ＋ （ ＝ ｌｇ ％ ｆ １ ０
＋ （ ＋ｌｑ Ｏｏ ） ｇＤ ’一 （
（２ １）
式 中 ： ｘｔ， （，） （ ｘ ｔ的偏导 数的低次 幂项 。现令式 １，２中 项 的系数 为零 ， Ｍ（，）Ｎ ｘｔ为 Ｄ ，） （ １１ 得到 函数 ｆ ｆ３ １） （４ １）
当函数 ａｔ，（ 满足线性关系： （）Ｂｔ ）
ａ） 音 ｔ （＝ （ ｔ ）
式 中： ｏ ｔ且不 为零 时 ， １ ，４ 如下形式 的解 ： ８＝ｃｒ ， ｏ 式 ３１有 ｆ ４岬 ｇ 一ｌ ＝１ ＝ ｎ 将式 １ 代人式 １ 和 １ ６ １ ２中， 并注意到 ａ ｔ，（ 的线性关系式 １， （ 口ｔ ） ） ５经整理后得到 ： Ｕ ＋ 。 ｔＵ １ｔＶ （） ＝ｆ （ ＋ ｔ ｃ 一３（） ） ６ （） Ｕ 一６（）Ｖ ＋ａｔｕ ３ （柙 ４ （） … ａｔ Ｄ ％ｑ
式 中 ：（）８ｔ为 ｔ 。ｔ，（） 的单 变元 函数。
文献 １ 采用行波约化方法， 并借助于 Ｒｃａ 方程 ， ｉ ｔ ｃｉ 得到了方程组式 １式 ２ 、 的孤立波解 ， 但文献仅考 虑 ， 为常数 的情形 ； ３ 本文采用近年发展起来的齐次平衡方法Ｌ ， ２ 也可称为齐次平衡原则， 。Ｊ 讨论该方
收 稿 日期 ：０ １ ０ ５ ２０ —１—２
作者 简介： 张金 良（９ ６ ， ， １６ 一）男 河南南阳人 ， 讲师 ， 硕士 ， 计算 数学
维普资讯
６ ０
杭 州 电 子 工 业 学 院 学 报 Ｕ ＝ｆ 吼＋ｆ０ （ （） ｆｐ Ｄ ＋，
中图分类号 ： １５ ２ ０７ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：∞１ １６ ２０ ）１ ０９— ３ １ —９４ （０ ２０ —０５ ０
０ 引 言
考虑变系数 Ｋ Ｖ方程组： ｄ
Ｕ ＋缸（） Ｌ 一郎（） ＋ｄ ｔｕ ＝０ ， ｔＵ １ ｔ、 （） Ｖ ＋ｄ ｔ（Ｕ ） ０ ｔ （）３ Ｖ ＋Ｖ ＝ （） １ （） ２
ｌ 非线性变换
由齐次平衡原则 ， 令方程组式 １式 ２ 、 有如下形式的解 ： Ｕ＝ｆ ＋ｆ
Ｕ＝ ｇ％ 。
（） பைடு நூலகம்
（） ４
其中 ｆ 均为 的单变元函数 ， ， ｇ 即为 ｆ ） ， ＝ ｘＹｔ （ 培（ ）且 （ ，， 待定 。 ）
由式 ３ ４可得 ： ，
Ｆｂｍ ｅ．
变 系数 Ｋ Ｖ方程 组 的 Ｂｔ ｌｎ ｄ ￣ｋｕ ｄ变换 及 其精确 解 ｃ
张金 良 胡晓敏。王明亮’ ， ，
（ １洛 阳工学院应 用数 学 乐， 河南 洛 阳 ４ １３ ￣ ７０９ ２杭 州电子 工业 学院文理 学院， ． 浙江 杭州 ３０ ３ ； ．兰州大 学数学系， 肃 兰州 ７００ ） １０７ ３ 甘 ３００
（） １ ５
（６ １）
＋２）％ 一（ ‰＋（ ） 券 ） ｆ ｒ ２） ５） ＋ （ ‰） （Ｊ 吼ｔ ｘ ＋ ｄ％ ａ吼 ｔ ｔ
Ｖ＋ａ）ｖ＋（Ｖ 一 ｆ （ ＋ａ） ３ ｔｒ ａ） （Ｌ￣ ｔ ＝ 号 ４ｔ （
一
（ １ ７ ）
３（ 程 ） ６（ ａｔ 一 ｆ２ ＋Ｄ吼一 ｃｔＤＤ ） 。 （ ２（ （ （ ｔ）
＋ 程 ） １
（ｏ １）
将式 ５ ０ —１ 代人方程组式 １式 ２的左端， 、 合并 （ ｘ ｔ Ｄ ， 的各阶偏导数的同次幂 ， （ ） 得到下式 ： Ｕ ＋６ （ Ｕ ｐｔ¨ ａ ｔＵ ＝（（） ＋ ａｔ／ ６ （）’） ＋Ｍ（，） ￣ ｔ Ｕ 一６（） ＋ （） ） ｎｔ ６（）（一 口 ｔ ｘｔ
（ １ １）
Ｖ ＋３（）ｖ ＋ｄｔＶ ＝（（） ＋３（） ） ＋Ｎ ｘｔ 。ｔＵ （） ｄｔ ｔｆ （ ， ） （ ）ｇ ） （ ，（ 满足 的 Ｏ Ｅ方程 组 ： Ｄ Ｄ ｄｔ ＋６（）ｆ一６（）＇ ＝ （） ａｔｆ １ｔ ｇ ０ ３ ｇ￣ ｄＬ （） ＋ ａｔｆ ３ （）ｇ＝０
摘要： 利用齐冼平衡原则 ， 推导出变系数 Ｋ Ｖ方程 组的 Ｂ ｅ ｕｄ变换 ， ｄ ａｌ ｎ ｄ 并借助于该 变换 ， 出了变 求 系数 Ｋ Ｖ方程组的精 确解 ， ｄ 并且得 出方程 的变系数不改变孤立渡的形 状 ， 却改变孤立波的波速 。
关键词 ： 变系数 Ｋ Ｖ ｄ 方程组 ； 齐敬平衡原则 ；ａ ｌ ｄ Ｂｅ ｕ 变换 ； ｋｎ 精确解