专升本基础班练习题7多元函数积分学.doc
第7讲多元函数积分学练习题
1、根据二重积分的性质比较积分"（尤+），）2姑与。
（尤+），）3姑的大小，其中。
是由X
轴、D D
y轴与直线x + y = 1所围成.
2、利用二重积分的性质估计下列积分的值：
（1）Jg + "l）db,其中。
是矩形0＜心,0少＜2；D
(2)JJ(9-x2-y2)^<7,其中。
是圆域：x2 + y2<3. D
3、化二重积分JJ7（x,），）db为二次积分（分别列出对两个变化量先后次序不同的两个二
次D
积分）.其中积分区域D为
（1）由直线y = x及抛物线）==4尤所围成的区域;
（2）由x轴及半圆周x2 + y2 = R\y＞ 0）所围成的区域;
4、改变下列二次积分的积分次序;
（1）小
arctan —Jcr,X
(2) El dx^~x2f(x. y)dy + 抽户g y )dy ；
5、计算下列积分:
(3) |J(x 2 + y 2)dxdy D : x < 1, y < 1 ； D
(4) J xsin y 3dy.
7、利用极坐标计算下列二重积分.
（1） \\e x2+y2dxdy ,。
是由圆周疽+）,2 = 4所围成的区域; D
圆周x 2 + y 2 =4,必+)，2 = 1及直线y = O,y = x 。
是由
(1) JJ(x +
6y)dxdy D D : y = = 5x,x = 1所围成的区域; (2) \^x^ydxdy jjxy[yclxdy
D : y = y =必所围成的区域;
6、将下列直角坐标形式的累次积分变化为极坐标形式的累次积分:
所围成的在
第一卦限内的区域;
(3)JJln(x2 +)」+ V)dxdy ,。
是由x2 + y2 = 1所围在第一卦限中的区•
域; D
(4)ff dxdy—,。
是由圆x2 + y2 < 1所围成的区域. 必+工+y
(5)jjjl-亍-)3cr D是由0 X2 + y2 = x所围成的区域.
D。
《多元函数积分学》练习题参考答案
∫ ∫
2 1 2
dx ∫ dy ∫
2
4− x 1 4− y 1
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
2 4− y 1
（B） （D）
∫
2 1 2 1
dx ∫
4− x
x
2
f ( x, y ) dy
1
∫
dy ∫ f ( x, y ) dx
y
2 4− y 1 1
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
0 < r < R, 顺时针 ，沿 L 与 L1 围成 D ，
I =� ∫=
L
L + L1
− ⎟ dσ − � � ∫ −� ∫ = =∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂x ∂y ⎠
L1 D
⎛ ∂Q
∂P ⎞
L1
y dx − x dy y dx − x dy = ∫∫ 0dσ − � 2 2 ∫ L1 x + 4y r2 D
） ． （ D） I 4
（ A） I 1 解：由对称性 I 2 =
（B） I 2
（C） I 3
∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D2 D1
I 4 = ∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D4
在 D1 上， y cos x > 0 ，所以 I1 = 在 D3 上 y cos x < 0 ， 所 以 I 3 =
则 f ( x, y ) = xy +
1 8
P105-练习 3 计算 I = 解
2 2
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 1 dσ ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 ．
多元函数积分学典型习题解答与提示
第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示习 题 7-11．（1）2σ=⎰⎰DV x yd ； （2）|sin |σ=⎰⎰DV xy d 。
2．提示：利用σσ=⎰⎰Dd 。
3．（1）小于零； （2）零； （3）大于零； （4）大于零。
4．（1）利用估值不等式(),σσσ≤≤⎰⎰Dm f x y d M 易于发现，当(),x y 在边界时，函数1++x y 取得最小值和最大值，已知01,02≤≤≤≤x y ，故114≤++≤x y ，即1,4==m M ，122σσ==⨯=⎰⎰Dd ，所以()218σ≤++≤⎰⎰Dx y d ；（2）提示，()()11max ,,min ,100102====M f x y m f x y ，200σ=， 故10051原积分2≤≤。
5．（1）0； （2）0； （3）124=I I 。
习 题 7-21．（1）3223a ； （2）9； （3）12； （4）0。
2．（1）83；（2）16；（3）令=DI ，1022⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰I dx ，=t ，则21,2=-=-x t dx tdt ，()()()0122418212415I t t t dt tt dt =--=-=⎰⎰； （4）22222211arctan ⎤⎤==⎥⎥++⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰y y y D yy yx dxdy dx dy dy x y x y y()2111arctan arctan ln 1424ππ⎤⎡=-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y dy y y y y1ln 2122=-； （5）111111+-+++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xx yx yx y x x Dedxdy dx e dy dx e dy1111110[][]+++-----=+⎰⎰x y x x y x x x e dx e dx()()01211211+---=-+-⎰⎰x x e e dx e e dx0121121101122+---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e1=-e e。
专转本第七章多元函数微积分76共34页文档
(i,i)i (i1,2,..n.)
可看i作 个第 小块的质。 量通 的过 近求 似n和 值 个， 小再
区域的直径中 (记 的作 )最 ，大 取值 和的极限 地，便
得出薄片的质M量，即
y
n
Ml i0m(i,i)i. i1 o
(i,i )
D
也就是说，在直角坐标系下，有
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
二重积分的性质
二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及 到的所有二元函 假数 定均 在被 区 D上域可积。
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，
即 k (fx,y)dkf(x,y)d(k•为常 ) 数
D
D
性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重
它的z 顶 f(x,是 y)这 , 曲 f(x 里 ,y)面 0 且 D 上 在连续
种立体叫做曲 现顶 在柱 要体 计。 算上 体述 的曲 体 V。 顶 积柱 由于曲顶柱f体 (x,y的 )是高 变量，它的直 体接 积用 不能
体积公式来计算，但可采用这样的思想方法
（1）分割 用一组 D 分 曲 n个 成 线 小 网 闭 1, 把 2区 , n,域
中，若用平的 行直 于线 坐网 标 D， 来 轴那 划么 分除了
边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭
区域。任取一小区域 ，则它的边 x和 长 y的 为矩形，
面积 为 xy,因此，二重元 积d 素 分 也 的 常 面 记 积 作
d dxd,y相应的二重积分也作 可记
f (x, y)dxdy
•
i
x
第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)
类似地，当 x固定在 x 0，而 y 在 y 0处有改变量 y ，如 极 限 lim
y0
存在，则称此极限为函
z f ( x, y )在点（ x 0 ，y 0 ）处对 y 的偏导数，记为
则称二元函数 z f ( x , y) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )处连续．如果 f ( x , y) 在区域 D 内的每一点都连续, 则称 f ( x , y) 在区域 D 上连续． 注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念 二、偏导数与全微分 引例 一定量理想气体的压强 P，体积 V，热力学 度 T 三者之间的关系为 RT P (R 为常量 ).
第七讲 多元函数微分学 §1 多元函数微分学 一、多元函数的概念 人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变 量的函数，称这种函数为多元函数。
2
RT
定量理想气体的压强 p V （R是常数） 1.二元函数的定义 设有三个变量 x, y和 z,如果当变量 x, y在它们的
(V , T ) V 0, T T
x 0 0 y
xy 1 1
,
f y
x 0 0 y
,zy
x 0 y 0
或f y ( x 0 , y 0 )
.
lim
lim
xy 1 1
t 11
2
lim f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
dPT常数
第七讲 多元函数微分学
e x cos y
x 1 o y x 2 yo 2
求 极 限 例4 求极限 lim
xy
l i m
解： 这里 就不能直 接带入 x 0, y 0
多元函数积分练习题
多元函数积分练习题在多元函数积分练习中，我们将探讨如何计算多元函数的积分。
多元函数是指具有多个变量的函数，而积分是一种数学运算，用于求解函数在某个区域上的面积、体积或总和等概念。
在本文中，我们将提供几个多元函数积分的练习题，以帮助读者加深对该概念的理解。
练习题1：计算函数 $f(x,y)=\exp(x^2+y^2)$ 在区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\}$ 上的积分。
解答：首先，我们可以将该积分分解为两次单变量积分的形式，即：$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}e^{x^2+y^2}dydx$$对于第一步积分，我们需要将 $e^{x^2+y^2}$ 视为关于 $y$ 的函数，将 $x$ 视为常数，进行积分。
这里我们使用换元法，令 $u = x^2 + y^2$，则 $du = 2ydy$。
首先计算积分的下限，当 $y=0$ 时，$u=x^2$；当 $y=1$ 时，$u=x^2+1$。
进而，对于第一次积分，我们有：$$\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x^2+1}e^udu dx$$接下来，对于第二步积分，我们需要将 $x^2$ 和 $x^2+1$ 视为常数，将 $u$ 视为变量进行积分。
这里我们可以直接计算积分 $e^u$，而无需再次进行换元。
对于第二次积分，我们有：$$\int_{0}^{1} \left(e^{x^2+1}-e^{x^2}\right)dx$$将上述两次积分结果相乘，我们得到最终的积分结果为：$$\int_{0}^{1} \left(e^{x^2+1}-e^{x^2}\right)dx$$练习题2：计算函数 $f(x,y)=xy^2$ 在区域 $D=\{(x,y)|1\leq x\leq 2, 0\leq y\leq3\}$ 上的积分。
解答：我们可以直接计算该函数在给定区域上的积分。
首先，我们计算函数 $f(x,y)=xy^2$ 在区域 $D$ 上的积分。
第十一章 多元函数的积分学(最全)word资料
第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．第十一章调用外部程序组件概览在ABAP/4 中，有多种使事务模块化的选项可供选择。
这些选项包括所有可以调用程序外部代码组件的方法。
这些外部组件可以是功能模块、其它事务、对话模块或报表。
内容嵌入程序调用.................................................................................................................................. １外部程序和滚动区 ..................................................................................................................... １外部程序和LUW 处理 ............................................................................................................... １调用功能模块.................................................................................................................................. ２访问功能库.................................................................................................................................. ２进行调用 ..................................................................................................................................... ２使用功能模块接口 ..................................................................................................................... ２处理例外情况 ............................................................................................................................ ３调用其它事务.................................................................................................................................. ４转到事务 ..................................................................................................................................... ４调用事务 ..................................................................................................................................... ４调用与调用程序共享SAP LUW 的事务 ................................................................................... ４调用对话模块.................................................................................................................................. ４运行时执行对话模块.................................................................................................................. ４用事务作为对话模块.................................................................................................................. ４提交报表........................................................................................................................................... ５向报表传送数据......................................................................................................................... ６保存或打印报表......................................................................................................................... ７在程序间传送数据........................................................................................................................... ７用SPA/GPA 参数传送数据...................................................................................................... ７详细信息，参见：嵌入程序调用(页１)调用功能模块(页２)调用其它事务(页４)调用对话模块(页４)提交报表(页５)在程序间传送数据(页７)嵌入程序调用外部程序组件由系统进行维护，对所有程序都可用。
[专升本类试卷]河北专接本数学(多元函数积分学)模拟试卷3.doc
[专升本类试卷]河北专接本数学（多元函数积分学）模拟试卷3一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 设D1：一1≤x≤1，一1≤y≤1，则(x2+y2)dxdy=( )．2 设区域D是单位圆x2+y2≤1在第一象限的部分，则二重积分=( )．3 设D是平面区域0≤x≤1，0≤y≤2，则二重积分=( )．（A）；（B）1；（C）4；（D）2．4 设，x+y=1围成的，则I1，I2的大小关系为( )．（A）I1=I2；（B）I1＞I2；（C）I1＜I2；（D）I1≥I2．5 设D={(x+y)｜x2+y2≤a2}，若，则a=( )．二、填空题6 设D是平面区域x2+y2≤1，则二重积分=__________．7 设I=，交换积分次序后I=__________．8 交换积分次序∫01dy∫0y f(x，y)dx+∫12dy∫02—y f(x，y)dx=__________．9 设D是平面区域一1≤x≤1，0≤y≤2，则二重积分=__________．10 设L是正向曲线x2+y2=R2，则曲线积分∮L xy2dy—x2ydx=__________．三、综合题11 计算xe xy dxdy，其中D是由0≤x≤1，一1≤y≤0围成的区域．12 计算(3x+2y)dxdy，其中D是由两条坐标轴及直线x+ky=2围成的闭区域．13 计算，其中D是由1≤x≤2，3≤y≤4围成的区域．14 计算xcos(x+y)dxdy，其中D是顶点分别为(0，0)，(π，0)和(π，π)的三角形闭区域．15 计算∫13dx∫x—12siny2dy．16 计算(x2+3x2y+y3)dxdy，其中D是由0≤x≤1，0≤y≤1围成的区域．17 计算(1—2x—3y)dxdy，其中D是由直线2x+3y=1与两坐标轴围成的区域．18 计算xy2dxdy，其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域．19 计算(x+6y)dxdy，其中D是由y=x，y=5x，x=1围成的区域．20 计算xydxdy，其中D是由直线y=x一1与抛物线y2=2x+6所围成的闭区域。
专升本（国家）-专升本高等数学（一）分类模拟多元函数微积分学（三）.doc
专升本（国家）-专升本⾼等数学（⼀）分类模拟多元函数微积分学（三）.doc专升本⾼等数学(-)分类模拟多元函数微积分学(三)⼀、选择题dz1、⼆元函数z=(l+2x)3y ,则⽯等于 ____________A. 3y (l+2x)3y_1 B ? 6y (l+2x) 3y_1C ?(l+2x)3y ：Ln(：L+2x)D ? 6y (l + 2x)3ydz2^ 设z=cos (x 3y 2),则⼱，等于 ___________A. 2x 3ysin (x 3y 2) B ? -sin (x'y ：) C ? ⼀2x 3ysin (x 3y 2) D ? 3x 2y 2sin (x 3y 2)剽3> z=5xy ,则处 IA ?50B ?25 C. 501n5 D. 251n5] afgQ4、已知f (xy, x+y) =x 3+y 3,则 “⼯°，等于A ? 3y 2-3x-3yB ? 3y 2+3x+3y C. 3x 2-3x-3yD ? 3x?+3x+3y(In y)x dr ⼗亍(In y)^{dy(In yY\n (In y)dz+丄(In y)T }dyC ?(：Lny) x ln (lny) dx+ (lny) x_1dy(In v )JIn (In ^y)dr+ —(In y)T ~[dy D . y6、函数z=x 2+y 3在点(1, -1)处的全微分dz | (i, -i )等于 ____________A. 2dx-3dyB. 2dx+3dyC. dx+dy D ? dx-dyA. (1GW2 B ?5、设⼄=(lny) J 贝Ijdz 等于 _________7、设f(x, 为 _________ y)为⼆元连续函数, p (D )drdy = J dj*jV (x ，5?)dx 则积分区域可以表⽰(L2)等于A.B.c.D?8^设f(x, y)为连续函数，⼆次积分A J^cLrJ f(x.y)dyc.W f(x,y)dx交换积分次序后等于^cU?J^/(jr ，5r)dy (dx|" /(\r^y)dyB.D. J 。
专升本数学对应章节练习题
专升本数学对应章节练习题一、极限的概念与运算1. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]2. 判断极限的存在性：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\]\[\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\]二、导数与微分1. 求导数：\[y = x^3 - 3x^2 + 2, \quad y' = ?\]\[y = \sin x + e^x, \quad y' = ?\]2. 导数的应用：\[f(x) = x^2, \quad f'(2) = ?\]\[f(x) = \ln x, \quad f'(1) = ? \]三、积分1. 计算不定积分：\[\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\]\[\int \frac{1}{x} \, dx\]2. 计算定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 \, dx\]\[\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \]四、多元函数微分法1. 求偏导数：\[z = x^2 + y^2, \quad \frac{\partial z}{\partial x} = ?\]\[z = xy, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = ?\]2. 应用偏导数：\[z = x^2y, \quad \text{在点} (1,1) \text{处的全微分} dz = ? \]五、无穷级数1. 判断级数收敛性：\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]2. 求级数和：\[S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\]六、常微分方程1. 求解一阶微分方程：\[\frac{dy}{dx} = 2x, \quad y|_{x=0} = 1\]2. 求解二阶微分方程：\[y'' + 4y = 0, \quad y|_{x=0} = 0, \quad y'|_{x=0} = 1\]通过以上练习题，可以对专升本数学中的重要概念和运算进行复习和巩固，帮助学生在考试中取得好成绩。
多元函数的积分学;微分方程
多元函数积分学；微分方程 试题1. 求22()Dx y dxdy +⎰⎰，D y ≤≤.2. 设(,)f x y 为有界闭区域{}222(,)D x y x y a =+≤上的连续函数，求201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰.3.求I=)Dy d σ⎰⎰，D ：由224x y +≤和22(1)1x y ++≥围成.4.求I=110xdx --⎰⎰.5.交换212(,)xdx f x y dy -⎰的积分次序.6.交换积分次序：111422104(,)+(,)yydy f x y dx dy f x y dx ⎰⎰⎰.7.求22max(,)xy De dxdy ⎰⎰，其中：{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤.8.设区域222:D x y R +≤，求2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰.9.设区域{}22:(,)1,0D x y x y x +≤≥，求I=2211Dxydxdy x y+++⎰⎰.10.设(,)f x y 为连续函数，222()(,)x y t F t f x y dxdy +≤=⎰⎰，求()F t '.11.求Dσ,其中D 是由直线0)y a a =->和直线y x =-所围成的区域.12.设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >，试证：21()()()bb a af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.13.设()f x 在[,]a b 上连续， 试证：11()()=()()()bybn n aaady y x f x dx b t f t dt n N n -+--∈⎰⎰⎰.14.求Dσ,其中D 为22+1x y =的上半圆与222x y y +=的下半圆所围成的区域.15.设{}22=(,)0,0D x y x y x y +≤≥≥,22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数，求22[1]Dxy x y dxdy ⋅++⎰⎰.16.设(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中：{}=(,)01,01D x y x y ≤≤≤≤，求：I=(,)xyDxyf x y dxdy ''⎰⎰.17.求2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞==++∑∑.1.求方程tan cos y y x x '+=的通解.2.求方程22x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.3.求方程2ln xy y x x '+=满足119x y ==-的特解.4.解方程2223(36)(64)0y yx dy y x x dx +++=.5.设()f x 有连续的导函数，且对任意常数a 和b ，有2()()()a b f a b e f b e f a +=+，(0)f e '=，求()f x .6.求方程30xy y '''+=的通解.7.求方程20yy y '''+=满足初始条件01x y ==，012x y ='=的特解.8.求方程21y y '''=+的通解.9.解方程4dy y dx x=+(0,0)y x >≠.10.求方程22420250d x dxx dt dt-+=的通解.11.求方程(4)61280y y y y ''''''-+-=的通解.12.求方程(4)5360y y y ''+-=的通解.13.求方程424220d x d xx dt dt++=的通解.14.求方程(4)0y y -=的通解.15.求方程8252cos y y y x '''++=之通解.16.求方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解，其中1a >.17.设线性无关的函数1y ，2y ，3y 均为二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 为任意常数，试说明1122123(1)c y c y c c y ++--为非齐次线性方程的通解.18.设12(sin cos )x y e c x c x =+为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，求方程.19.设123cos 2sin 2x y c e c x c x =++123(,,c c c 常数)为某三阶常系数线性齐次微分方程的通解，求该方程.20.设2sin x ，2cos x 是方程()()0y p x y q x y '''++=的解，12,c c 为常数，则不能构成该方程通解的是（ ）A ．2212cos sin c x c x + B. 12cos 2c c x + C. 2212sin 2tan c x c x + D. 212cos c c x +21.求方程2322cos x y y y x xe x '''-+=-+的通解.22.若连续函数()f x 满足关系式：20()=()ln 22x tf x f dt +⎰，求()f x 表达式.23.设()y y x =在(,)-∞+∞内有二阶导数，且0y '≠，()x x y =是()y y x =的反函数，试求微分方程232(sin )()0d x dxy x dy dy++=的通解.24.求方程222420d y dyxx y dx dx++=(0)x >的通解.25.设1()y x x =，22()x y x x e =+，23()(1)x y x x e =+是二阶常系数线性方程12()y a y a y f x '''++=的三个特解，求该方程的通解及该方程.27.设1y ，2y 为一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，12y y λμ+ 为该方程的解，12y y λμ-为该方程对应的齐次方程的解，求λ和μ的值.28.设()y y x =为二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++=满足初始条件(0)(0)0y y '==之特解，求20ln(1)lim()x x y x →+.30.设()y y x =满足20()()xty t dt x y x =+⎰，求()y x .。