各类常微分方程模型分析
常见微分方程模型
设N(t)为t时刻的人口，则在[t,t+△t]时间内人口的增长 量为： N(t+△t)-N(t) ≈rN(t). △t 设t=t0时的人口为N0，则可以建立模型：
dN (t ) rN (t ) dt N (t 0 ) N 0
该初值问题的解为：
N (t ) N0er (t t 0)
称之为Logistic模型
上述模型的解为：
Nm N (t ) 1 ( N m / N 0 1)e r (t t 0)
模型分析： （1）仍然用1790年至1980年的美国人口进行分析， 发现人口误差非常小。当然随着时间的增加，误差会 大些，这是因为Nm随着科技的提高会不一样。 （2）人也属于生物，故上述两种模型也适用于类似环 境下单一物种生存的其他生物模型，如数目增长，池 塘鱼的增长等。 （3）欲建立更精确的模型，应根据成员的年龄分组及 把成员性别分开。
可算出白铅中铅的衰变率 y0 ，再于当时的矿物 比较，以鉴别真伪。 矿石中铀的最大含量可能 2~3%，若白铅中铅210 每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超 过 4%。
测定结果与分析
画名 Emmaus的信徒们 洗足 钋210衰变原子数 镭226衰变原子数
8.5 12.6
0.82 0.26
间的年代：
真正的年代＝
c
14
年 1.4 900
3、 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜
捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所
常微分方程模型及差分模型
相关Matlab知识
若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时 返回一空的sym对象. 这时，用户可以用命令 ode23或ode45求解方程组的数值解. • 例1：解常微分方程： • （注：【程序】『输出结果』） • （1）求 y ay b 的通解； • 【>> s=dsolve('Dy=a*y+b')】 • 『s = -b/a+exp(a*t)*C1』
2010-7-25 Anna 90
常用数值解指令
• • • •
• • • •
ode45：四、五阶Runge-kutta法 ode23：二、三阶Runge-kutta法 [t,y]=ode45(odefun,tspan,y0) 例：解微分方程
y y 2t / y, y 0 1, 0 t 4
2010-7-25 Anna 4
对微分方程的研究方法
dx f t, x , f : I D R Rn Rn dt
•ห้องสมุดไป่ตู้解在很广泛的条件下存在，但能用有限解 析式表达者很少. • 另辟它径： • 1、求数值解（近似解）； • 2、定性方法分析.
2010-7-25 Anna 5
1790-1900年 指 数 增 长 模 型 拟 合 图 形
1820
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1860
1880
1900 Anna
0 1750
1800
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82000
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Anna
常微分方程模型.ppt
历史背景:
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史
学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经
有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有 历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕 迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证 据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他 在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
历史背景:
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定 为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的 回答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心 绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后， 他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以 后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到 满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪 造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
故 T ln 2
2N0 N0erT
r
模型检预验测
假比如较人历口年数的真人能口保统持计每资3料4.，6年可增发加现一人倍口，增那长么的人实口际数情将况
与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符251，0年例，如人，口19达61年2×世10界14人个，
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型 微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等各个领域。
本文通过介绍常见的微分方程模型，帮助读者了解微分方程的基本概念和应用方法，并通过举例说明，使读者更加清楚地理解微分方程的实际应用。
一、常微分方程的基本概念 常微分方程是指未知函数与其导数之间的关系式，通常使用符号形式表示。
其中，未知函数是关于一个自变量的函数。
2. 方程类型 常微分方程包括一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是一阶导数的微分方程。
高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是高于一阶导数的微分方程。
1. 简单增长模型 简单增长模型常用于描述物种的繁殖或种群的增长过程。
假设种群数量是一个未知函数N(t)，t表示时间。
简单增长模型的一阶常微分方程形式为dN/dt = kN，其中k是增长率常量。
举例：假设某个种群的初始数量是100个，增长率为0.05个/年，求10年后的种群数量。
解法：将初始条件代入简单增长模型方程，得到dN/dt =0.05N。
然后解这个一阶常微分方程，得到N = 100e^(0.05t)。
代入t = 10，可求得10年后的种群数量为N = 100 * e^(0.05*10)。
2. 简谐振动模型 简谐振动模型常用于描述弹簧振子或电路中的振荡状态。
假设振动的位移或电流是一个未知函数x(t)，t表示时间。
简谐振动模型的二阶常微分方程形式为d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中ω是振动的角频率。
举例：某个弹簧振子的质量为1kg，弹簧的劲度系数为4N/m，初始位移为1m，初始速度为0m/s，求振子在t = 2s时的位移。
解法：将初始条件代入简谐振动模型方程，得到d^2x/dt^2 + 4x = 0。
然后解这个二阶常微分方程，得到x = 1 * cos(2t)。
代入t = 2，可求得振子在t = 2s时的位移为x = 1 * cos(4)。
微分方程的经典模型
模型分析
问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重 （记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数， 我们就能找到一个含有的
dW 微分方程。 dt
模型假设
W0 ； 1.W ( t ) 表示 t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 2. W ( t ) 关于 t 连续而且充分光滑；
模型建立
游击作战模型的形式：
，
(t) f (x, y) x (t) g(x, y) y x(0) x , y(0) y 0 0
, 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x ,y ) c x y
g (x ,y )dxy
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K K0 ，则乙的兵力减少到
甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， K0
K0 胜。而当
a
时
时，甲方获
时，双方战平。
2 2 bx ay 0 甲方获胜的充要条件为 0 0
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
2 2 r p x r p y x x 0 y y 0
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x ( t) f( x ,y ) x u ( t) y ( t) g ( x ,y ) y v ( t) x ( 0 )x , y ( 0 )y 0 0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
得：
其解为：
i(t) i0e
k0t
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律 无限增加，显然与实际不符
一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型
计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型引言微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然界中的各种现象和规律。
微分方程模型是一类特定形式的微分方程，常用于解决实际问题。
本文将介绍几个常见的微分方程模型，并讨论它们在不同领域中的应用。
1. 简单增长模型简单增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率。
这个模型可以应用于人口增长、细菌繁殖等问题。
例如，在人口学中，我们可以使用简单增长模型来预测未来人口数量的变化趋势。
2. 指数衰减模型指数衰减模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数衰减的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=−rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示衰减率。
这个模型可以应用于放射性元素的衰变、药物的消失等问题。
例如，在医学中，我们可以使用指数衰减模型来预测药物在人体内的浓度随时间的变化。
3. 指数增长模型指数增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数增长的规律。
它可以用以下形式表示：dN dt =rN(1−NK)其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率，K表示系统的容量。
这个模型可以应用于生态学中研究种群数量随时间变化的问题。
例如，在生态学中，我们可以使用指数增长模型来研究某种生物在特定环境下的种群动态。
4. 鱼类生长模型鱼类生长模型描述了鱼类体重随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dW dt =rW(1−WK)其中，W表示鱼类的体重，t表示时间，r表示生长速率，K表示饱和重量。
这个模型可以应用于渔业学中研究鱼类养殖和捕捞的问题。
例如，在渔业学中，我们可以使用鱼类生长模型来预测鱼类的生长轨迹和最优捕捞量。
5. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间变化的规律。
它可以用以下形式表示：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)表示物体在位置x处、时间t时的温度，α表示热扩散系数。
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于自然科学和工程领域。
它描述了物理现象、社会问题和自然现象的变化规律，能够帮助我们理解和预测各种现象的发展趋势。
下面将介绍一些常见的微分方程模型。
1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是最简单且常见的微分方程之一。
它可以描述许多实际问题，比如放射性衰变、人口模型等。
一阶线性微分方程的一般形式可以写为dy/dt = f(t) * y + g(t)，其中f(t)和g(t)是已知函数，y是未知函数。
2. 指数衰减模型指数衰减模型是描述某种变化过程的常见微分方程。
它可以用来描述放射性物质的衰变、人口增长的趋势等。
指数衰减模型的一般形式是dy/dt = -ky，其中k是常数。
这个方程表示y的变化速率与y本身成比例，且反向。
3. 扩散方程扩散方程是描述物质或能量传递过程的微分方程。
它可以用来研究热传导、扩散现象等。
扩散方程的一般形式是∂u/∂t = D ∇²u，其中u是未知函数，D是扩散系数，∇²是Laplace算子。
这个方程表示u 的变化率与u的二阶导数成正比。
4. 多体问题多体问题是描述多个物体之间相互作用的微分方程模型。
它可以用来研究天体运动、分子碰撞等问题。
多体问题的方程通常包括牛顿第二定律和对应的初始条件，如F = ma和相关的速度、位置初值条件。
5. 随机微分方程随机微分方程是考虑了随机因素的微分方程模型。
它可以用来研究金融市场的波动、生态系统的不确定性等。
随机微分方程的方程形式通常会引入一个随机项，如dy/dt = f(t, y) dt + g(t, y) dW，其中dW是布朗运动，表示随机项。
以上介绍的是一些常见的微分方程模型，它们在理论和实际应用中都具有重要的地位。
通过研究这些模型，我们可以深入理解各种现象背后的数学规律，并且为实际问题提供解决方案。
微分方程模型不仅有助于推动数学的发展，还在科学研究、工程设计和技术创新等领域中发挥着重要作用。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
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各类常微分方程模型分析常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是数学中的一个重要分支，是描述物理、化学、生物等自然界现象的一种数学工具。
而ODE模型就是从ODE方程构建出来的数学模型，是理解自然现象、预测未来趋势、设计优化控制策略的基础。
本文将介绍几种常见的ODE模型及其应用，希望能够对读者深入理解ODE模型的构建和分析提供启发和帮助。
一、指数增长模型
指数增长模型是ODE中最简单的一种，它描述的是某个物种数量在到达一定条件后呈指数增长趋势的现象。
常见应用是在生态学和人口学领域中，例如病毒感染人群数量、野生动物种群数量等的变化趋势。
其ODE方程形式如下：
$$\frac{dN}{dt}=rN$$
其中，$N$表示物种数量，$t$表示时间，$r$表示物种增长率。
解析解为：
$$N=N_0*e^{rt}$$
其中，$N_0$表示初始数量。
二、洛伦兹模型
洛伦兹模型是ODE中的一个著名模型，由美国数学家洛伦兹
于1963年提出，它描述的是某个系统中两个变量之间的交互作用，例如空气中湍流的运动。
其ODE方程形式如下：
$$\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)$$$$\frac{dy}{dt}=x(\rho-z)-
y$$$$\frac{dz}{dt}=xy-\beta z$$
其中，$x,y,z$为三个变量，$\sigma,\rho,\beta$为常数。
洛伦兹模型的解决方式是数学上的数值计算方法，例如欧拉方法、改进的欧拉方法、梯形法、龙格库塔法等。
三、容器模型
容器模型是ODE中的一个典型模型，它描述的是容器内流体的动力学行为，例如饮水机里水的流动、石油管道中石油的流动等。
其ODE方程形式如下：
$$\frac{dV}{dt}=Q_{in}-Q_{out}$$
其中，$V$表示容器内的液体体积，$t$表示时间，$Q_{in}$表示进入容器内的流量，$Q_{out}$表示从容器内流出的流量。
容器模型的解决方式一般为解析求解或数值计算方法，具体取决于模型是否可以被求解。
四、生态系统模型
生态系统模型是ODE中应用广泛的一个模型，它描述的是生
态系统中不同种群之间的相互依赖和影响，例如捕食-被捕食种群
之间的关系、植物和人类活动之间的关系等。
其ODE方程形式一般为多项式，其中不同生态因素之间的影
响系数需要通过实验或者经验数据进行测定。
生态系统模型的求解方式一般为数值计算方法，如龙格库塔法。
综上所述，ODE模型在自然界现象的描述和预测中具有重要的应用价值。
通过对ODE模型的构建和求解，可以更好地理解和处
理自然界中的复杂现象，为解决实际问题提供有效的理论基础和
研究方法。