等腰三角形培优辅导精选
等腰三角形大题培优专练
2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.5等腰三角形大题培优专练（提升篇）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________一、解答题1．（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：DE⊥CE．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．(1)求证：BD=DE；(2)若AB=AC，求∠CAD的度数．3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使得BD=AC，连接AD，再延长AB至E，使得BE=CD，连接DE．求证：△BED≌△CDA．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，(1)求证：△ADC≌△FDB；(1)如图1，求证：AD=AE；(2)如图2，当∠DAE=∠C=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（△ABC除外）．8．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，连接NB．(1)若∠ABC=65°，求∠NBC的度数．(2)若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长；9．（2020秋·浙江温州·八年级校考期中）在正方形网格中，已知格点（即小正方形的顶点）A、B组成的线段AB，请分别按下列要求作图：(1)在图1中作一个面积为2的△ABC（点C在格点上），且有一个内角为钝角；(2)在图2中作一个等腰△ABC（点C在格点上）．10．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，CE平分∠ACB，EC=EA．(1)求∠A的度数；(2)若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．11．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）如图，B、C分别在AD、AE的垂直平分线上，DE=12，∠ABC=50°，∠ACB=70°.求：(1)△ABC的周长；(2)∠DAE的度数.12．（2022秋·山西晋中·八年级校考期中）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：(1)DE=DB+EC；(2)若AB=3，AC=2，则△ADE的周长为________．13．（2021秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC、∠ACB的平分线交于点M，过M作DE∥AC，分别交AB、BC于点D、E．求证：AD+CE=DE．14．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）已知：如图，点②AB=AE，③AC=AD，④（只写一组）.15．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点∠ABD=∠DBC，AB=DB，(1)BM=BN；(2)BM⊥BN．16．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考开学考试）如图，点AD=BC，∠ADE=∠BED．(1)尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；(2)证明：CF⊥DE．17．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，BA⊥AF于点A，ED⊥DC于点D，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．(1)求证：AF=DE；(2)若OP平分∠EOF，求证：OP垂直平分EF．18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE=AD，连接CE，∠BAC=∠DAE=100°．(1)试说明BD=CE；(2)若DE=DC，求∠CDE的度数．19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知：在△ABC中，AB=AC，点D、点E在边BC上，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当∠BAC=90°,∠DAE=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有顶角为45°的等腰三角形．20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC,E是BA延长线上的点．(1)过点A在射线BE右侧作AD∥BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB=AC，求证：AD平分∠CAE．21．（2022春·河南焦作·八年级校考期中）已知命题：“等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．”为了探究该命题是否正确，小明采用分类讨论思想，从直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三个角度进行思考，先对前两种情况画出了图形，写出了已知、求证并给出了证明在探究在钝角三角形中是否正确时遇到了困难，请你补全图形，写出已知、求证，并给出证明．22．（2023秋·吉林长春·八年级东北师大附中校考开学考试）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0<x<60)．①如图②，当DE⊥BC时，x的值为___________；②当△DEF是等腰三角形时，直接写出x的值．23．（2021秋·福建莆田·八年级校考期末）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD=DE，连接AE．(1)若∠BAE=44°，求∠C的度数．(2)若AC=7cm，DC=5cm，求△ABC的周长．24．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，点D是AB边上一点，且CD=CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F，过点C作CG⊥BD，垂足为点G．(1)求证：∠BCD=2∠ABF；(2)判断△BCF的形状，并说明理由．25．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC．(1)若AD=AE，求证：BD=CE；(2)若BD=CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC．26．（2021春·上海松江·七年级校考期中）如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．(1)说明BG与CF相等的理由；(2)说明∠BGD与∠DGE相等的理由．27．（江苏省泰州市部分农村学校在△ABC中，AB=AC=4(1)当∠BDA=110°时，∠DEC=(2)当DC为何值时，△ABD≌△(3)在点D的运动过程中，若△(1)在线段AB上找一点P，使AP=AN，连接DP．求证：DP=DM；(2)若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积．29．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，AB=5．(1)求证：△ADE是等腰三角形；(2)求线段DE的长．30．（2022秋·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，∠ADC=70°，且AD平分∠BAE．(1)求证：BD=DE；(2)若AB=CD，求∠ACD的大小．。
初二等腰三角形培优学案同步讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。
即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。
即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
考点一：等腰三角形的性质例1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16C．20 D．16或20例2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°例3、一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有可能值．例4、如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为．例5、如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．考点二：等腰三角形的判定例1、△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．无法确定例2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个例3、如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②∠DFB=∠EFC；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的是．（填序号，错选、漏选不得分）例4、如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°（如图）附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．实战演练➢课堂狙击1、等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cmC．20cm D．16cm或20cm2、如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40° B．30°C．70° D．50°3、如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°4、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②③5、如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1= 度，图中有个等腰三角形．6、如图，AD是直角三角形△ABC斜边上的中线，把ADC沿AD对折，点C落在点C′处，连接CC′，则图中共有等腰三角形个．7、如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠A n+1A n C n= °．（用含n的代数式表示）8、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．9、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．➢课后反击1、已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55° B．70°，40°C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对2、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）A．42° B．60°C．36° D．46°3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44° B．66°C．88° D．92°4、如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（）A．40° B．50°C．60° D．不能确定5、如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个6、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为．7、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：．8、如图，∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现只用4根等长的小棒将∠BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角θ的取值范围是．9、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．直击中考1、【2015•长沙】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：22、【2016•山东】如下图中，将△ABC沿BD对折，使得点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°．（1）求∠BDC的度数；（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）重点回顾1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
培优专题等腰三角形(含答案)
9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
等腰三角形一对一辅导讲义
教学目标1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明．重点、难点1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。
考点及考试要求1、等腰三角形的性质2、等腰三角形的证明教学内容第一课时等腰三角形知识梳理1、已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。
2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。
3、请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。
5、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。
求证：∠DBC=21∠A。
课前检测AB CD图2-5AB CD （1）等腰三角形的定义等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC），相等的两边叫做腰（AB和AC），另一边叫底边（BC），两腰的夹角叫做顶角（A∠），腰和底边的夹角叫做底角（C∠∠和B）（2）等腰三角形的性质等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。
或“在一个三角形中，等边对等角”。
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。
简称等腰三角形三线合一。
注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理（3）等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。
第二课时等腰三角形典型例题题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是底角：顶角=1:2还是顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。
中考数学培优：等腰三角形存在性问题
中考数学培优：等腰三角形存在性问题【例题讲解】例题1.如图，直线l 1、12相交于点A ,点B 是直线外一点,在直线l 1、12上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形.满足条件的点C 有个.【提示】①以B 为圆心,线段BA 长为半径作圆,与l 1、12交点即为满足条件点C ；②以A 为圆心,线段BA 长为半径作圆，与l 1、12交点即为满足条件点C ；③作线段AB 的垂直平分线，与l 1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,在坐标轴上取一点C ,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C 最多有个。
2、已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴上取一点C ,使得AC =BC ,求出C 点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB 的解析式为y =43x +4,当y =0时,x =－3,则A (－3.0);当x =0时,y =4,则B (0,4)。
设C 点坐标为(x .0),在Rt △AOB 中,由勾股定理得5==,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =。
①当以AB 为底时,AC =BC ,则3+x 整理得6x =7,解得x =76,则(76,0);②当以BC 为底时,可得AC =AB ,则35x --=,解得x =2或－8,则C (2,0)或(－8,0);③当以AC 为底时,可得AB =BC ,整理得x 2=9,解得x =±3,则C (3,0)或(－3,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点C 的坐标是(76,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x =－4与x 轴交于点E ,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点A ,交直线x =－4于点B ,过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD :BD =1：3.(1)求点A 的坐标；(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D 作DF ⊥x 轴于点F .由题意可知OF =AF 则2AF +AE =4①∵DF ∥BE ,∴△ADF ∽△ABE ,∴12AF AD AE AB ==,即AE =2AF ②①与②联立解得AE =2,AF =1.∴点A 的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y =ax 2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A 点(－2,0),∴对称轴为直线x ＝202-+＝－1∵B 、C 两点关于直线x =－1对称B 点横坐标为－4,∴C 点横坐标为2,∴BC ＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB >90°,OB >AB =OC .∴当△OBC 是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB =BC 时设B (－4,y 1),则16+y 12=36解得y 1=±(负值舍去).将A (－2,0),B (－4,)代入y =ax 2+bx得420164a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为yx 2x ②当OC =BC 时设C (2,y 2),则4+y 22=36解得y 2=±负值舍去)将A (－2,0),C(2,代入y =ax 2+bx ,得42042a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此抛物线的解析式为y =22x 2x 例题4.如图甲,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm,BC =3cm.如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm /s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题：(1)设△APQ 的面积为S ,请写出S 关于t 的函数表达式？(2)如图乙,连接PC ,将△POC 沿QC 翻折,得到四边形PQP 'C ,当四边形PQP 'C 为菱形时,求t 的值；(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P 作PH ⊥AC 于H ,∵∠C =90°,∴AC ⊥BC ,∴PH ∥BC ,∴△APH ∽△ABC ,∴PH AP BC AB =,∵AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴535PH t -=,∴PH ＝3－35t ，∴△AQP 的面积为:S =12×AQ ×PH =12×t ×(3－35t )=23518()1025t --+∴当t 为52秒时,S 最大值为185cm 2.(2)如图2,连接PP ',PP '交QC 于E ,当四边形PQP 'C 为菱开时,PE 垂直平分QC ,即PE ⊥AC ,QE =EC ,∴△APE ∽△ABC ,∴AE AP AC AB =,∴AE =(5)44455AP AC t t AB ⋅-⨯==-+∴QE =AE －AQ =45t -+4－t =95t -+4，QE =12QC =12(4－t )=12-t +2∴95t -+4＝12-t +2，∴解得:t ＝2013，∵0＜2013＜4.∴当四边形PQP 'C 为菱形时,t 值是2013秒;(3)由(1)知,PD =335t -+,与(2)同理得:QD =AD －AQ =945t -+∴PQ ==在△APQ 中,①当AQ =AP ,即=5－t 时,解得:t 1=52，②当PQ =AQ ,t 时,解得:t 2=2513,t 3=5.③当PQ =AP－t 时,解得:t 4=0,t 5=4013∵0<t<4,∴t 3=5,t 4=0不合题意,舍去,∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时,△APQ 是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt △ABC 中,AC =6,AB =8,D 为边AB 上一点,连接CD ,过点D 作DE ⊥DC 交BC 与E ,把△BDE 沿DE 翻折得△DE B 1,连接B 1C(1)证明:∠ADC =∠B 1DC ；(2)当B 1E /∥AC 时,求折痕DE 的长；(3)当△B 1CD 为等腰三角形时,求AD 的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE =∠B 1DE ,∵DE ⊥DC ,∴∠ADC =180°－90°－∠BDE =90°－∠BDE ,∠B 1DC =90°－∠B 1DE ，∴∠ADC =∠B 1DC(2)解延长B 1E 交AB 于F .∵B 1E ∥AC ,∠A =90°,∴B 1F ⊥AB ,∴∠EB 1D +∠BDB 1=90°.∵∠B =∠EB 1D ,∴∠B +∠BDB 1=90°,∴∠BGD =90°,在△BDC 和△B 1FD 中,111B EB D BGD B FD BD DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△B 1FD .∴DF =DG ,在△ADC 和△GDC 中,90ADC CDG A DGC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△ADC ≌△GDC ,∴DG =AD .∴DF =AD =DG ,设DF =AD =DG =x ,∴BF ＝8－2x ,∵EF ∥AC ,∴△BFE ∽△BAC ,∴EF BF AC AB =,∴EF ＝1232x -，∵△EFD ∽△ACD ,∴DF EF AC AD=,∴12326x x x -=，解得:x =3,∴BF =3,EF ＝32，∴DE.(3)解设AD =x ,则CD,BD =8－x ，∵△B 1CD 是等腰三角形,①当B 1D =B 1C 时则∠B 1DC =∠B 1CD ,∴DB 1=BD =8－x ,如图2过B 1作B 1F ⊥CD ,则DF =CF =12CD=2,∵∠ADC =∠B 1DC ,∠B 1FD =∠A =90°,∴△CDA ∽△B 1DC ,∴1B D DF CD AD =,2x =，∴3x 2－16x +36=0,此方程无实数根.∴B 1D ≠BC .②B 1D =CD 时，∴B 1D =CD =BD =8－x .∴(8－x )2=x 2+6，∴x ＝74,∴AD ＝74.③当CD =BC 时如图2过C 作CH ⊥DB ,则DH =B 1H =12DB 1=12BD =12(8－x )在△ACD 和△CHD 中，90ADC CDH A CHD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴△ACD ≌△CHD ,∴AD =DH =x∴x ＝12(8－x ),∴x =83,∴AD =83,综上所述:当△B 1CD 是等腰三角形时AD 的长为74或83.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=43，AB=AC，AH⊥BC 于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=20.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.3(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。
北师大版新版等腰三角形培优
北师大版新版等腰三角形培优在数学的世界里，等腰三角形是一个非常重要的几何图形。
对于北师大版新版教材中关于等腰三角形的知识，我们一起来深入探究，进行培优拓展。
等腰三角形，顾名思义，至少有两边相等的三角形。
相等的这两条边被称为腰，另一边则称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形具有许多独特的性质。
首先，等腰三角形的两底角相等。
这一性质在解决很多角度计算问题时非常有用。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，那么根据两底角相等的性质，很容易算出每个底角的度数为（180 80）÷ 2 ＝ 50 度。
其次，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。
这一性质在证明线段相等、角相等以及线段垂直等问题中经常被用到。
比如，已知一个等腰三角形，顶角平分线与底边相交于点 D，那么我们可以直接得出 AD 既是顶角的平分线，又是底边上的中线和高。
在实际解题中，我们常常需要灵活运用这些性质。
比如，有这样一道题：在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，BD 是 AC 边上的中线，且BD 将三角形 ABC 的周长分为 15 和 6 两部分，求三角形 ABC 的各边长。
我们可以设 AB ＝ AC ＝ 2x，BC ＝ y。
因为 BD 是中线，所以 AD ＝ CD ＝ x。
根据题意，我们可以得到两个方程：2x ＋ x ＝ 15 且 x ＋y ＝ 6，或者 2x ＋ x ＝ 6 且 x ＋ y ＝ 15。
通过解这两个方程组，我们可以求出三角形的各边长。
除了这些基本性质，等腰三角形还有很多重要的定理。
比如，等边对等角定理，即如果一个三角形的两条边相等，那么它们所对的角也相等。
反之，等角对等边定理，即如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等。
再来看一个稍难一点的题目：在三角形 ABC 中，AB ＝ AC，点 D 在 BC 上，且 AD ＝ BD，AC ＝ CD，求角 B 的度数。
等腰三角形的判定同步培优题典(解析版)
专题3.4等腰三角形的判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•肥城市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD 的平分线，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．2个【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．【解析】共有5个．∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=12∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：C．2．（2019秋•河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是锐角三角形C．△ABC是等腰三角形D．∠A和∠B互余【分析】根据等腰直角三角形的判定解答即可．【解析】∵在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45，∴∠C＝90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A和∠B互余故选：B．3．（2019秋•东海县期中）△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】发现∠ABC与∠C分别是∠BAD与∠EBC的余角，得到二角相等，根据等腰三角形的判定可得答案．【解析】∵∠EBC+∠C＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD∴∠BAD＝∠CAD，∠CAD+∠C＝90°∠BAD+∠ABC＝90°∴∠ABC＝∠C∴AB＝AC∴为等腰三角形．故选：A．4．（2020春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．【解析】①、∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确；④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．5．（2020•海门市一模）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据题意可得，以点B为圆心，BA长为半径画圆，圆与格点的交点即为符合条件的点C．【解析】如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，所以所有符合条件的点C的个数是6个．故选：C．6．（2020春•阜宁县期中）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1cm、2cm、3cm B．3cm、3cm、4cmC．1cm、3cm、1cm D．2cm、2cm、4cm【分析】根据三角形的三边关系即可作出判断．【解析】根据三角形的三边关系可知：A.1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意；B.3+3＞4，能构成三角形，而且是等腰三角形，符合题意；C.1+1＜3，不能构成三角形，不符合题意；D.2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意．故选：B．7．（2020•衡水模拟）在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点DA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①②③分别从能否判定△ABD≌△ACD来分析，④从辅助线本身作法来分析即可．【解析】①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，则由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故①正确；②取BC边的中点D，连接AD，则∠B＝∠C，BD＝CD，AD＝AD，无法判定△ABD≌△ACD，故没法证明AB＝AC，故②错误；③过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故③正确；④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法错误，故④错误．综上，正确的有①③．故选：B．8．（2019秋•新泰市期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的定义得到∠DBF＝∠CBF，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠CBF，推出△BDF 是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，于是得到DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；根据三角形的内角和和角平分线的定义得到∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；推出DF不一定等于EF，故④错误．【解析】∵BF是∠AB的角平分线，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，∴∠FBC+∠FCB=12（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误；故选：C．9．（2019秋•江油市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．【解析】延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：A．10．（2019秋•西青区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（）A．6B．7C．8D．9【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．【解析】∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵FG＝2，ED＝6，∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝8，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•田家庵区期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个．【分析】以A点为顶点的等腰三角形可作3个，以B点为顶点的等腰三角形可作3个，以AB为底边的等腰三角形可作2个．【解析】如图，△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个．故答案为8．12．（2019秋•永定区期末）如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为124°或76°或28°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解析】∵∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝28°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝28°，∴∠OEC＝180°﹣28°﹣28°＝124°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC=12（180°﹣28°）＝76°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝28°；故答案为：124°或76°或28°．13．（2019秋•樊城区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为70°或40°或20°．【分析】分三种情形分别求解即可；【解析】如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°14．（2019秋•来凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P共有6个．【分析】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【解析】①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故答案为：6．15．（2019秋•江油市期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有9个．【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．【解析】①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．16．（2018秋•恩施市期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH，添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管5根．【分析】因为每根钢管的长度相等，可推出图中的5个三角形都为等腰三角形，再根据外角性质，推出最大的∠0BQ的度数（必须≤90°），就可得出钢管的根数．【解析】如图所示，∠AOB＝15°，∵OE＝FE，∴∠GEF＝∠EGF＝15°×2＝30°，∵EF＝GF，所以∠EGF＝30°∴∠GFH＝15°+30°＝45°∵GH＝GF∴∠GHF＝45°，∠HGQ＝45°+15°＝60°∵GH＝HQ，∠GQH＝60°，∠QHB＝60°+15°＝75°，∵QH＝QM，∴∠QMH＝75°，∠HQM＝180﹣75°﹣75°＝30°，故∠OQM＝60°+30°＝90°，不能再添加了．故答案为5．17．（2019春•盐湖区校级月考）在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．【分析】由已知条件，根据题意，分两种情况讨论：①∠B是顶角；②∠B是底角，③∠B＝∠C＝50°，利用三角形的内角和进行求解．【解析】①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．18．（2018秋•宿松县期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD 为等腰三角形，则∠ADC的度数为20°或70°或100°．【分析】分三种情形分别求解即可．【解析】如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝70°．②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝100°．③当AC＝AD″时，∠AD″C＝20°，故答案为：70°或100°或20°三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．【解析】（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．20．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，∴BD＝AD，即△ABD是等腰三角形；（2）∵点E是AB的中点，∴AE＝EB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．21．（2019秋•嘉祥县期末）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系EF＝BE﹣CF．【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．【解析】（1）EF＝BE+CF，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF；（2）不成立，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．故答案为EF ＝BE ﹣CF ．22．（2019秋•确山县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数．【分析】（1）由AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ，BE ＝CF ，BD ＝CE ．利用边角边定理证明△DBE ≌△CEF ，然后即可求证△DEF 是等腰三角形．（2）根据∠A ＝40°可求出∠ABC ＝∠ACB ＝70°根据△DBE ≌△CEF ，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF 的度数．【解答】证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，在△DBE 和△CEF 中{BE =CF ∠ABC =∠ACB BD =CE，∴△DBE ≌△CEF ，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）∵△DBE ≌△CEF ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B =12（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠DEF＝70°23．（2020•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC 即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝EF．24．（2019秋•永城市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABF=∠CBF=12∠ABC．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论．（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF=12∠ABC．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE，∴△BCE是等腰三角形．∵F为BE的中点，∴CF平分∠BCD，即CG平分∠BCD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．∵CG平分∠BCD，∴∠GCD=12∠BCD=64°．∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，∴∠CGD＝46°．。
培优专题讲解-等腰三角形(含解答)-
等腰三角形专题练习题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．练习11．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°1-22．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？1-33．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，•连结CD，则∠BDC=________．1-4例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．练习21．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？1-6 1-7 1-82．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）A．BD>BA B．BD<BA C．BD=BA D．无法确定3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？例3已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．练习31．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．1-102．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？1-113．已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．1-12例4已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？练习41．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？1-142．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，•说明CE与AC+CD相等的理由．1-153．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，•以BD•为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）1-16例5已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？练习51．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、•AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE•是BD的几分之几？1-193．已知：如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，•那么AH是BD的________倍．1-20答案:例1分析AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β，1-1∵MN=AN ， ∴∠AMN=∠MAN=β． 设∠ABC=γ， 在△ABC 中， ∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，由于∠BCA=∠CAB=2α+β， ∴4α+2β+γ=180°． 在△ABM 中，β=α+γ，∴4α+2β+（β-α）=180°． 即3（α+β）=180°． ∴α+β=60°，故∠MAC=60°．例2 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的． 解：延长AD 到F ，使AF=EF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠A=60°． ∴△AEF 是等边三角形． ∴EA=EF ，∠AEF=∠A=60°． 又∵EH 垂直平分BD ， ∴EB=ED ，∠EBD=∠EDB ． ∴△EAD ≌△EFB ． ∴AD=BF ．又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE ， ∴AD=CE ．例3 分析 要说明一个三角形是等边三角形，•只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN ，且∠MBN=60°即可． 解：在△ABE 和△DBC 中，∵∠ABE=60°+∠DBE ，∠DBC=60°+∠DBE ， ∴∠ABE=∠DBC ． ∵AB=BD ，BE=EC ． ∴△ABE ≌△DBC ． ∴AE=DC ，∠MEB=∠NCB ．又∵M 、N 分别是AE 和DC 的中点， ∴ME=NC ，又△BEC 为等边三角形， ∴BE=BC ．∴△MBE ≌△NBC ，BM=BN ．∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°．1-51-9∴△BMN 为等边三角形．例4 分析 说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，•常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解． 解：在BC 上截取BF=BE ，BD=BA ，连结FE 、DE ，∵AB=AC ，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，又BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2=12∠ABC=20°． ∵BF=BE ，∴∠BEF=∠5=80°． 在△BAE 和△BDE 中， BA=BD ，∠1=∠2，BE=BE ． ∴△BAE ≌△BDE ． ∴AE=DE ，∠3=∠A=100°． ∴∠4=180°-∠3=180°， ∴∠4=∠5，DE=FE ，AE=FE ． 又∠6=∠5-∠C=80°-40°=40°， ∴∠6=∠C ，∴FE=FC ．故AE+BE=FC+BF=BC ．例5 分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．解：延长CE 到F ，使EF=CE ，连结BF ，CE 是AB 的中线，∴AE=EB ． 又∠FEB=∠AEC ，∴△EBF ≌△EAC ，∴∠EBF=∠A ． BF=AC=BD ．在△FBC 和△DBC 中， FB=BD ，BC=BC ．∴∠FBC=∠FBE+∠EBC ． =∠A+∠ACB ． ∠DBC=∠A+∠ACB ．∴∠FBC=∠DBC ． ∴△BCF ≌△BCD ．∴CF=CD=2CE ，故CE=12CD ．练习11．解：设∠DEC=x ， ∵AD=AE ， ∴∠ADE=∠AED ．∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x ）1-131-17∵AB=AC，∴∠B=∠C∴2x=30°，x=15°，故选C．2．解：∵AB=BB′，∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．又∠CBB′=∠DBB′，∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．∵AA′平分∠EAB．∴∠A′AB=12（180°-x）．又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x∴12（180°-x）=180°-8x．∴x=12°，故∠ACB=36°．3．解：如图，作△AED≌△BAC，连结EC．则∠AED=∠BAC=20°，∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°．又∵AB=AE=AC，∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°．∴∠EDC=12（180°-∠DEC）=70°．∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．练习21．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°．在Rt△DEB与Rt△FEC中，∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．∵∠FDA=∠BDE，∴∠FDA=∠F，故AD=AF．2．解：以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．则∠1=∠2=∠3=60°．∴AE=ED=AD．∵∠DAC=15°，∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°．∴∠DAC=∠EAB．又∵DA=AE，AB=AC，∴△EAB≌△DAC．∴∠EBA=∠DCA=15°．∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．∴∠BEA=∠BED．又∵EB=EB，AE=ED．∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．故选择C．3．解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，∴△ADC≌△BDE．∴AC=BG，∠G=∠EAF，又∵BE=AC，∴BE=BG．∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．练习31．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．又∵BD=AF=CE，∴△ABD≌△BCE≌△CAF．∴∠1=∠2=∠3．∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．即∠CAK=∠ABG=∠BCH．又∵AB=BC=CA，∴△ABG≌△BCH≌△CAK．∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．即∠KGH=∠GHK=∠GKH．故△GKH是等边三角形．2．解：由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知：CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，故△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．又DM=12AD，EN=12BE，∴△DCM≌△ECN．∴∠DCM=∠ECN，CM=CN．又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．∴△CMN是等边三角形．3．解：连结BP．∵△ABC与△CDP均为等边三角形，∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．∴∠1=∠2，∴△ADC≌△BPC．∴∠CBP=∠DAC=60°．∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，∴R、B、P三点共线．又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，∴R、A、Q三点共线．而AQ=AE=AD=BP，∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．练习41．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC，即12AB·CF=12AB·PD+12AB·PE．∴CF=PD+PE．2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，∴△AEC≌△ADB．∴CE=BD．又∵BD=BC+CD=AC+CD．∴CE=AC+CD．3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．∴△ABE≌△CBD．∴AE=CD．又∵AB=AC，∴AD=AC+CD=AB+AE．练习51．解：∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．2．解：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，∴△BEC≌△BEF．∴BC=BF，CE=EF，∴CE=12 CF．又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4，∴∠2=∠5，且AB=AC．∴Rt△AFC≌Rt△ADB．∴CF=BD．故CE=12 BD．3．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∠DAC+∠C=90°．又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°．∴∠DAC=∠EBC．在△AEH和△BEC中，∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．又BC=2BD，故AH=2BD．。
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E D
C A H F 等腰三角形培优辅导
知识要点
1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直
线是它的对称轴，
3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。
（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。
⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
5、等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。
7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高.角平分线，中线。
或者或者构造等腰三角形。
”遇到中线常延长中线，构造全等三角形。
遇到线段和差，常截取线段等于已知线段。
构造等腰三角形
典型例题
1、如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，
①求证：△BCE ≌△ACD ；
②求证：CF=CH ；
③判断△CFH 的形状并说明理由．
2、如图,△ABC 中,D 在BC 延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF 平分∠ACB,交AB 于F,求证:(1)CE ⊥CF;(2)CF ∥AD.
3. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数 4.已知：如图在△ABC 中AB=AC,D 是AC 上一点，过D 作DE ⊥BC
于E,与BA 的延长线交于F.求证：AD=AF 5如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ． （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形．
6、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，求证：BC=3AD. 辅助线类题目解析：
7.已知△ABC 中AB=AC,D 是AB 上一点,E 是AC 延长线上一点,且
BD=CF,DE 交BC 于F 求证:DF=EF
23.如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一
点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
20.如图， △ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=CD A
B D E x A
B C
D F。