卷积积分的定义
卷积分
-T0
T0 h(-T0/2- τ)
-T0 -2T0 0 2T0 A2
T0
-T0
T0
卷积与相关
（7） t= -T0时，y( -T0)=A T0
2
x(t)
y(t) 2A2T0
-T0
T0 h(-T0- τ)
-T0 -2T0 0 2T0 A2
T0
-T0
T0
卷积与相关
x(t)
（8） t= -3T0/2时，y( -3T0/2)=3A2T0/2
-T0 -2T0 0 2T0 A2
T0
-T0
T0
卷积与相关
x(t)
（5） t= 2T0时，y(2T0)=0
y(t) 2A2T0
-T0
T0 h(T0/2- τ)
-T0 -2T0 0 2T0 A2
T0
-T0
T0
卷积与相关
（6） t= -T0/2时，y( -T0/2)=3A T0/2
2
x(t)
y(t) 2A2T0
x(t)
(1)反折； 反折； 反折 (2)平移； 平移； 平移
0 t (4)积分
h(t)
(3)相乘； 相乘； 相乘 (4)积分。 积分。 积分
t
0
t (1) (1)反折
x(t)
h(-τ)
0 x(t) h(t1 -τ)
0
τ
(2)平移
(3)相乘
h(t1 -τ)
tτ
00
0
τ
卷积与相关
4 含有脉冲函数的卷积 • 设 h(t)=[δ(t-T)+ δ(t+T)] • 卷积为
卷积与相关
• 例 三角脉冲频谱计算
x(t) h(0-τ)
卷积积分
f 2 ( ) f1 (t )d
f 2 (t ) f1 (t )
2.分配律：
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
3.结合律：
[ f1 (t ) f 2 (t )] f 3 (t ) f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )]
0 0
t
t
1 2 t 6e e d 6e [ e ]0 0 2 3e t (e 2t 1) 3(e t e 3t )U (t )
t t 2 t
2.
i'L (t ) 3(e
(t 2)
e
3( t 2 )
)U (t 2)
例2. 已知一LTI网络，冲击响应为 h(t ) e tU (t ) ，求当输入
例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。
解： （1）写出表达式：
f (t ) { h(t ) {
A 0 0
t
0t a
其余
f(t)
t<0
A 0 a
B
h(t)
Be
Be-t
0 t
t>0
t
(a)
f(t) A 0 a A 0
（ b）
f(t)
(C)
（ d）
a t
（2）计算卷积积分：
f ( ) ( t )d
f (t )
或写为
f (t ) ( )d ( )
f (t )
推论：
任意波形激励下的动态响应与卷积积分
任意波形激励下的动态响应与卷积积分湖北民族学院信息工程学院湖北恩施445000摘要：在一二阶电路分析中，卷积积分具有十分重要的意义，特别是在一些内部网络未知的电路结构中，由于给出描述电路系统的微分方程十分的困难，目前只能通过实验获得相应的数据和单位冲激响应的曲线，据此响应，利用卷积积分的方法即可求解出电路中对任意波形激励信号的响应。
在我们的学习过程中，最常见的就是由电阻、电容、电感组成的RC、RL一阶电路网络和RLC二阶电路网络，而这些网络结构在零状态下产生的响应的求解已非常清晰，但是对于复杂的冲激波形的响应，用现有的方法求解显得十分棘手，而本文将通过探究卷积积分的性质及计算方法，分别浅析一阶、二阶电路在此类输入状态下的响应。
关键词：卷积积分一阶电路二阶电路一、引言：由于至今我们分析的电路主要是线性电路，且线性电路满足齐次性、可加性和延时性，任意波形的时间函数)(t f可以被看成是一系列强度不同的、时间上依次延迟dt的冲击函数叠加。
在前面的学习中我们基本了解了用微分方程描述动态电路的基本方法，并对不同动态元件的初始条件进行了讨论，在分析一阶二阶电路的过程中，分别讨论了RC电路和LC电路的各种状态的响应，但是以前所分析的各种情形都是相对独立的，而卷积积分作为时域电路分析的一种基本工具在分析电路响应状态的过程中有着极其广泛的应用，卷积积分对于信号处理、控制理论和动态电路分析均具有重要意义，因此，本文将综合一、二阶电路的各种响应状态将卷积积分的方法做一个初步的探究。
二、卷积积分：2.1 先看卷积积分(Convolution)的定义：设有两个时间函数f1(t)和f2(t)（在t<0时均为零），则f1(t)和f2(t)的卷积通常用f1(t)*f2(t)表示，并定义ξξξd f t f t f t f t)()()(*)(20121-=⎰，称为)(1t f 与)(2t f 的卷积。
当)(t δ作用于电路时，其对应的冲激激励的响应设为)(t h ；当)(t A i δ作用于电路时，那么其对应的冲激响应应为)(t h A i ；如果)(t δ延迟i t 秒作用，那么其对应的延迟冲激响应为)(i t t h -；则)(i i t t A -δ作用于为)(i i t t h A -。
卷积的数学意义
卷积的数学意义
卷积是一种线性变换，广泛应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域。
它的数学意义可以从多个角度理解。
从函数的角度来看，卷积可以看作是两个函数之间的积分运算。
具体地，设两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积h(t)定义为：
h(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ
从向量的角度来看，卷积可以看作是两个向量之间的加权平均。
具体地，设两个向量a和b，它们的卷积c定义为：
c[i] = ∑a[j]b[i-j]
从矩阵的角度来看，卷积可以看作是一个矩阵与一个向量之间的运算。
具体地，设一个矩阵A和一个向量x，它们的卷积y定义为： y[i] = ∑A[i,j]x[j+k]
其中k为卷积核的大小。
从信号处理的角度来看，卷积可以看作是滤波器对信号的响应。
具体地，设一个信号x和一个滤波器h，它们的卷积y定义为：
y[n] = ∑h[k]x[n-k]
从图像处理的角度来看，卷积可以看作是图像的特征提取。
具体地，设一个图像I和一个卷积核k，它们的卷积J定义为：
J[i,j] = ∑k[m,n]I[i+m,j+n]
其中m和n为卷积核的大小。
总之，卷积是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们理解信号、图像和矩阵之间的关系，从而应用于实际问题的求解。
6.10卷积积分求任意激励下的零状态响应
→ e ( 0 ) ph ( t ) ∆ τ → e(∆ τ ) ph ( t )∆ τ
第k个矩形脉冲 个矩形脉冲
e( k∆τ ) p( t − k∆τ )∆τ
→ e( k∆τ ) ph ( t − k∆τ )∆τ
e(t )
e(0) o ∆τ 2∆τ ∆ r(t) ∆ k∆τ (k+1)∆τ ∆
t k∆τ : 脉冲作用时刻 ∆
kHale Waihona Puke =0 NN= ∑ e( k∆ τ )
k =0 N
1 [ε ( t − k∆ τ ) − ε ( t − ( k + 1)∆ τ )]∆ τ ∆τ
单位脉冲函数的延时
= ∑ e( k∆ τ ) p( t − k∆ τ ) ∆ τ
k =0
若 单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t ) 则 第1个矩形脉冲 e( 0) p( t )∆τ 个矩形脉冲 第2个矩形脉冲 e(∆ τ ) p( t )∆ τ 个矩形脉冲
t'
τ
f1(t-τ)
1
2
f1(τ ) f2(t-τ )
0 t
1 t'
-1
0 t
f2(τ) f1(t-τ)
1
t’
τ
τ
-1
2 1 0 t
τ
f1(t)* f2(t)
f1(t)* f2(t)
积
0 t 1 t’
τ
0
t 1 t’
τ
由图解过程确定积分上下限： 由图解过程确定积分上下限：
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = 2[ε ( t ) − ε ( t − 1)] * e − t
t 0
f 2 (t ) = e− t ε (t )
积分变换第4讲卷积定理与相关函数
解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i
1{1 2i iw
d（w）} |www0
1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ i
w
1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n
G(w)
1
Dt
F (w nDw)
n
(Dw
2 Dt
)
33
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
卷积积分(Convolution)的定义(精)
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
2
1
0 0 1
t0
0 t 1
f (t ) 0
f (t ) 2e ( t )d 2 2e t
0 1 0 t
t t
t
t 1
1
f (t ) 2e ( t )d 2e ( t 1) 2e t
2
1 -1 0 0
e-
t0
0 t 1 t 1
e(k ) ph (t k )
e( t )
t k : 脉冲作用时刻 2 r( t ) k (k+1) t t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
e(0)
o
t
t ：观察响应时刻
0
2
N
k (k+1)
t
激励 e( t )
f (t ) 0
f (t ) 2e d 2 2e t
0 t t 1 t
t-1
t
1
t t
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
积分变量（激励作用时刻）
例1. iS R iC C + uC
已知：R=500 k , C=10 F , uC(0)=0
iS 2e t (t ) mA
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卷积积分的定义
卷积积分是数字信号处理中最常见的数学运算之一，其定义可以简单地描述为：将一个信号与另一个信号“褶积”在一起，以求出它们之间的关系或者产生的效果。
在实际应用中，卷积积分广泛用于信号处理、图像处理和通信工程等领域，是数字信号处理基础重要的处理运算。
首先，我们来看一下离散信号的卷积积分，以了解其定义和运算步骤。
假设有两个离散信号f[n]和g[n]，它们的长度依次为M和N。
那么它们的卷积积分定义为：s[n] = ∑(f[k]g[n-k])，k从0到M-1
上式表示的是，将g[n]相对于f[n]做移位运算，按其对应的系数f[k]进行加权之后，再将所有元素相加，就可以得到卷积积分结果s[n]。
这个过程实际上是一种加权和计算，位于g[n]的每一个系数都和f[n]的相应系数进行乘积，然后将它们相加以得到最终的卷积积分结果。
卷积积分运算可以理解为一个滑动窗口，它在f[n]中移动，并将窗口大小限定为g[n]的长度。
随着滑动窗口移动，计算得到的结果被放置到s[n]中，这个过程一直持续到窗口完全移出f[n]。
在计算过程中，g[n]每移动一次，窗口中的每个元素将会和f[n]的相应元素进行乘积，然后将它们相加来得到s[n]中的一个元素。
需要注意的是，在卷积积分的定义中，n的取值是从0到M+N-2，这是因为卷积积分的长度为(M+N-1)。
如果n的取值超过了这个范围，那么最终的结果将会是无效和不必要的。
除了离散信号卷积积分之外，连续信号卷积积分也是数字信号处理中常见的一种运算。
其计算过程与离散信号相似，只是在信号中，连续时间变量t所涉及的积分替换掉离散时间变量n：
s(t) = ∫ f(τ)g(t-τ)dτ，τ从负无穷到正无穷
上式表示的是，将g(t)相对于f(t)做移位运算，按其对应的函数f(τ)进行加权之后，再将所有元素相加，就可以得到连续信号卷积积分结果s(t)。
这个过程和离散信号的卷积积分类似，只是积分替换了离散信号中的累加。
在这个过程中，窗口在t轴上平移，并在g(t)一侧乘上
f(τ)。
通过这种方式来求出两个函数之间的卷积积分。
需要注意的是，在计算连续信号的卷积积分时，t的取值范围应当根据具体问题进行设定，通常与信号的时域长度有关。
总体来说，卷积积分算法在数字信号处理领域中非常重要，是许多信号处理操作的基础。
通过掌握卷积积分的基本原理以及具体计算方法，我们可以更好地处理数字信号、图像和音频等数据。
本文只是简要介绍了卷积积分的
定义和运算步骤，在实际操作中还需要更多的知识和技能。
感兴趣的读者可以进一步学习和探索数字信号处理的深度和广度，并将其应用于实际。