人教课标版高中数学选修4-4第一讲 坐标系二 极坐标系习题4
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
数学选修4-4课后训练：4-1-2 极坐标系 含解析 精品
极坐标系练习1．点M的极坐标为25,π3⎛⎫⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．2．点A的极坐标为π2,3⎛⎫--⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．3．点P的直角坐标为，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．4．已知两点的极坐标π3,2A⎛⎫⎪⎝⎭，π3,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为________．5．直线l过点π7,3A⎛⎫⎪⎝⎭，π7,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．6．在极坐标系中，若π3,3A⎛⎫⎪⎝⎭，7π4,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则△ABO的面积为__________．7．点π5,3A⎛⎫⎪⎝⎭在条件：(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为π4,6⎛⎫⎪⎝⎭，求点M在直角坐标系中的坐标．9．在极坐标系中，(1)求7π5,36A⎛⎫⎪⎝⎭，43π12,36B⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离；(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭；(2)π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭；(3)(5，π)．参考答案1. 答案：5,22⎛- ⎝⎭解析：255cosπ32x ==-，25sin π3y ==所以点M 的直角坐标为52⎛- ⎝⎭.2. 答案：(－1解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ⎛⎫===⨯-=- ⎪⎝⎭，2πsin 2sin23y ρθ====.所以点A 的直角坐标为(－1．3. 答案：⎛ ⎝解析：ρ==tan θ==， 又点P 在第一象限，得π6θ=，因此点P 的极坐标是π6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3， 即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，5π6ACx ∠=(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以ππ5π6.212OAB -∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636AOB ∠=-=， 所以△ABO 的面积为 12|OA |·|OB |·sin ∠AOB 15π34sin 261134322⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．(2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )，则π2cos 4cos 6x ρθ-===∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．10. 解：(1)πcos 14x ==，πsin 14y ==，所以点π4⎫⎪⎭，的直角坐标为(1,1)．(2)π6cos33x⎛⎫=⋅-=⎪⎝⎭，π6sin3y⎛⎫=⋅-=-⎪⎝⎭所以点π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-．(3)x＝5·cos π＝－5，y＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．。
高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A版选修4_4
——教学资料参考参考范本——高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A版选修4_4______年______月______日____________________部门一、基础达标1.点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为( ) A.(，) B.(，－) C.(2，2)D.(－，)解析 x ＝ρcos θ＝，y ＝ρsin θ＝－. 答案 B2.点M 的直角坐标为，则点M 的极坐标可以为( ) A. B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－π2 解析 ∵ρ＝＝，且θ＝，∴M 的极坐标为. 答案 C3.下列各点与表示极坐标系中同一点的是( ) A. B.(2，π) C.D.(2，2π)解析 与极坐标相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k∈Z)，只有适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于( ) A.9 B.10 C.14D.2解析 ∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ，B ，则A 、B 两点间的距离为________. 解析 由公式|AB|＝＋ρ－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）)， 得|AB|＝＝＝. 答案56.平面直角坐标系中，若点P 经过伸缩变换后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P 经过伸缩变换后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6＝3. 答案 37.在极轴上求与点A 距离为5的点M 的坐标. 解 设M(r ，0)，∵A，∴＝5， 即r2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4 解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点，在极轴下方，点在极轴上方，故选D. 答案 D9.点M 到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M 到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin＝3. 答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析 如图，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP＝，∠xOQ＝.答案 或⎝⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ，B ，C ，D ，求它们的直角坐标. (2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B ，C(－1，－)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ，B ，C(－，－)，D(2，－2).(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A ，B ，C.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ，B(2，π)，C.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ，B(2，π)，C 得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝. ∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形.(2)由上述可知，AC＝2OAsin＝2×2×＝2.∴S△ABC＝×(2)2＝3(面积单位).三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系.由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.同理，得|OE|＝2|OG|＝300m，所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(300，0)，C，D，E，F(300，π)，G.。
高中数学第一讲极坐标系与平面直角坐标系的互化同步测试新人教A版选修4-4
极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。
例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。
2019-2020学年人教A版高中数学选修4-4练习：第1讲坐标系二极坐标系 Word版含答案
二 极坐标系一、基础达标1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)D.(－2，2)解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，－π2解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.答案 C3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3B.(2，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)解析 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析 由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）， 得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案56.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案 37.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.解 设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫4，7π4D.⎝⎛⎭⎪⎫4，17π4解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在极轴下方，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4在极轴上方，故选D.答案 D9.点M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2，－2)，D (23，－2).(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位). 三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，34π.。
人教版数学选修4-4课后练 1.2 极坐标系 课末 Word版含答案
第一讲 1.2
1．已知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，π3，下列所给出的能表示该点的坐标的是( D ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3B ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，4π3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3D ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，－5π3 解析：M (ρ，θ)也可以表示为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，M (5，π3)也可以表示为(5，π3
＋2k π)(k ∈Z )，故选D ． 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( B )
A ．(ρ，θ)
B ．(ρ，－θ)
C ．(ρ，θ＋π)
D ．(ρ，π－θ)
解析：在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点的极径不变，极角关于极轴对称．故选B ．
3．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，2π3. 解析：ρ＝x2＋y2＝错误!＝2，tan θ＝错误!＝－错误!，因为点M 在第二象限，所以取θ＝错误!，
故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. 4．(2016·湖北黄冈检测)在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π3，(3,0)，O 为极点，求： (1)|AB |；(2)求△AOB 的面积．
解析：(1)△AOB 中，|OA |＝2，|OB |＝3，∠AOB ＝π3
由余弦定理得 |AB |＝
|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos π3＝ 22＋32－2×2×3×12＝7.
(2)S △AOB ＝12
|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝
1
2×2×3×
3
2＝
33
2.。
选修4-4 1.2 极坐标系
2 3 5 2
2 3
5 3 2
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A ( 3,
6
)
B ( 2,
2
)
C (1, 3 4
2
)
3 D ( , ) 2 4
E ( 2,
)
例2. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 极 坐 标 下 ， 任 意 两 点 P1 ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 在
之间的距离可总结如下： P1 P2
o
x
1 2 2 1 2 cos( 1 2 )
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
tan
1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以 因此, 点M的极坐标为( 2,
7 6 )
7 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 ) B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
5
2
( , ) 关于极轴的对称点为
( , 2 )
关于极点的对称点为
关于过极点且垂直与极 为( , )
( , )
轴的直线的对称点
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π4)，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．1、【详解】 （1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√12+12=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22ty =4+√22t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。
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同步测控
1.点P 的直角坐标为（-2，2），那么它的极坐标可表示为（ ） A.（2，
4π） B.（2，43π） C.（2，45π） D.（2，4
7π
）
解析：方法一：因为点P （-2，2）在第二象限，与原点的距离为2，且OP 的倾斜角为
4
3π
,故选B.方法二：代入坐标互化公式直接求解. 答案：B
2.极坐标系中，与点（3，3
π
-）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ）
A.（3，
32π） B.（3，3π） C.（3，3
4π） D.（3，65π）
解析：关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数（或再相差2kπ,k ∈Z ）.
答案：B
3.将点P 的极坐标（2，34π
）化为直角坐标是_______________. 解析：因为x=2cos 34π=-1,y=2sin 3
4π
=-3,所以直角坐标为（-1，-3）.
答案：（-1，-3）
4.极坐标系中，点A 的极坐标是（3，
6
π
），则 （1）点A 关于极轴对称的点的极坐标是；_______________ （2）点A 关于极点对称的点的极坐标是；_______________ （3）点A 关于直线θ=
2
π
的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ＞0，θ∈［0，2π)） 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.
关于极轴对称 关于极点对称
关于θ=
2
π
对称 答案：（1）（3，611π）（2）（3，6
7π）（3）（3，65π
）
5.已知两点的极坐标A （3，
2π）、B （3，6
π），则｜AB ｜=_____________，AB 与极轴正方向所夹的角为_____________.
解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得｜AO ｜=｜BO ｜=3，
∠AOB=
3π，即△AOB 为正三角形.所以直线AB 与x 轴的夹角为6π,则AB 与极轴的正方向所夹的角为2π+3π=6
5π
.
答案：3
6
5π 6.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D （2，6
π），E （4，43π），
F （3.5，
3
5π
）所在的位置.
思路分析：关键是确定点的极径ρ和极角θ.
解：由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为（1，0），（4，
2π），（5，3
4π
）.
点D ，E ，F 的位置如上图所示.
7.中央气象台在2004年7月15日10:30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440千米的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0,0≤θ＜2π).
思路分析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标.
解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为1千米）建立极坐标系，则台风中心所在位置的极坐标为A （440，
4
7π）. 我综合，我发展
8.已知点A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）的极坐标满足条件ρ1+ρ2=0且θ1+θ2=π，则A 、B 的位置关系是_____________.
解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设B(x 2,y 2),则x 2=ρ2cosθ2=-ρ1cos(π-θ1)=ρ1c osθ1,y 2=ρ2sinθ2=-ρ1sin(π-θ1)=-ρ1sinθ1,∴A 、B 关于x 轴对称，即在极坐标系内，A 、B 关于极轴对称. 答案：关于极轴对称
9.在极坐标系中，已知两点A （3，3
π
-
），B （1，
3
2π
），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，根据A ，O ，B 位置关系直接求解. 解：∵∠AOB=
3
2π-（3π
-）=π，∴A ，O ，B 三点共线.
∴A 、B 两点间的距离为｜AB ｜=3+1=4. 10.已知A 、B 两点的极坐标分别为（1，
3π）、（2，3
2π
），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，由余弦定理求AB 的长. 解：∵｜OA ｜=1，｜OB ｜=2，∠AOB=32π-3π=3
π， ∴由余弦定理得 ｜AB ｜2=12+22-2×1×2cos 3
π
=3. ∴｜AB ｜=3，
即A 、B 两点间的距离为3. 11.在极轴上求与点A （24，
4
π
）距离为5的点M 的坐标. 思路分析：题目要求的点M 在极轴上，可设点M （r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的，A 、M 两点之间的距离为5，所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M （r,0）, ∵A(24,
4
π)， ∴｜AM ｜=4
cos
28)24(2
2
π
r r -+=5,
即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.
∴M 点的坐标为（1，0）或（7，0）.
12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来
.
解：如下图所示，以AB 所在直线为极轴，点A 为极点建立极坐标系
.
则教学楼A （0，0），体育馆B （60，0），图书馆C （120，3π），实验楼D （603，2
π
），办公楼E （50，
4
3π
）. 我创新，我超越
13.在直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为极点，以x 轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）.
思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论.
解：由直角坐标的平移公式⎩
⎨⎧-='-=',,
00y y y x x x
得⎩⎨
⎧=-=-,sin ,cos 00θρθρy y x x 即⎩
⎨⎧+=+=;sin ,
cos 00θρθρy y x x
⎪⎩
⎪
⎨
⎧--=-+-=.tan ,)()(0020202x x y y y y x x θρ 14.如图,求A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）、C （ρ3，θ3）围成的△ABC 的面积.
思路分析：根据已知条件知OA 、OB 、OC 的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公式S=
2
1
absinθ间按求S △ABC . 解：S △ABC =S △ABO +S △BCO -S △ACO
=2
1ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+21
ρ2ρ3sin(θ3-θ2)
-21ρ1ρ3sin(θ3-θ1)=2
1
［ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)］.。