高考数学大题规范解答-(一)函数实际应用答题模板

对函数实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．

“大题规范解答——得全分”系列之(一)

函数实际应用题答题模板

[典例] (2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的

容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右

两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．

(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r .

[教你快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r ，圆柱的母线为l ，以及容器的体积――――――→可根据体积公式建立关系式

4πr 33＋πr 2l ＝80π3―――――――→利用表面积公式求球及圆柱的表面积S 球＝4πr 2，S 圆柱＝2πrl

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→求y 关于r 的函数表达式，求y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域――――――――――→求总造价y ，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4πr 2c ，圆柱型部分的造价为2πrl ×3

3．建联系，找解题突破口 总造价y ＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即y ＝4πr 2c ＋2πrl ×3―――→应消掉l 只保留r 由4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3――――→故可得建造费用y ＝160πr

－8πr 2＋4πcr 2―――――――→由l ≥2r 可求r 的范围即定义域 0

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→建造费用y ＝160πr

－8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0，2] 2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→求该容器的建造费用最小时的r ――――――――――→建造费用最小，即y 最小问题转化为

当r 为何值时，y 取得最小值

3．建联系，找解题突破口

分析函数特点：含分式函数―――――――→可利用导数研究函数的最值

y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝8π[(c －2)r 3－20]r

2，0

320c －2时，y ′＝0320(02]2c -?????????→与，的系，求极值讨论区间关 分

320c －2≥2和0< 320c －2

<2两种情况讨论，并求得结论 [教你准确规范解题]

(1)设容器的体积为V ，由题意，知V ＝4πr 3

3

＋πr 2l ， 又V ＝80π3，所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3

，(2分) 由于l ≥2r ，因此0

所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ????803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 2

3，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，

所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．(5分) (2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝8π[(c －2)r 3－20]r 2

，03，所以c －2>0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2

＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r 2

(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．(8分) ①当092

时， 当r ＝m 时，y ′＝0；

当r ∈(0，m )时，y ′<0；

当r ∈(m,2)时，y ′>0，

所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．(10分)

②当m ≥2，即3

时， 当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减，

所以r ＝2是函数y 的最小值点．(11分)

综上，当392时，建造费最小时r ＝ 320c －2

.(12分)

[常见失分探因]

易忽视条件l ≥2r ，从而误认为r >0，导致定义域错误.

易忽视导数为零的点与定义域的关系，即忽视对c 的取值的讨论而造成解题错误.

易忽视将问题“返本还原”，即没将函数的最小值还原为建造费用最小而草率收兵.

————————————————[教你一个万能模板]———————————— 第一步 认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关