实数系基本定理的等价性证明

实数系基本定理的等价性证明

摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性

在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理.

在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余

的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的.

六个定理的顺序：

① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明：

③?⑥?④?⑤?①?②?③ 1 闭区间套定理?有限覆盖定理[]1 闭区间套定理 若闭区间列][{}n n b a ,满足： ①[]n n b a ,?[]11,++n n b a ，n =1,2,3,…； ②∞

→n lim ()n n a b -=0 ；

则存在唯一ξ，使得∞

→n lim n a =∞

→n lim n b =ξ，ξ是所有区间的唯一公共点.

有限覆盖定理 若开区间所成的区间集E 覆盖一个闭区间[]b a ,，则总可从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[]b a ,.

证明 用反证法 设[]b a ,不能被E 中有限个区间所覆盖.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E 中有限个区间所覆盖，把这一区间记为

[]11,b a .再等分[]11,b a ，记不能被E 中有限个区间所覆盖的那个部分区间为

[]22,b a .照这样分割下去，得到一个区间列][{}n n b a ,，这区间列显然适合下面两

个条件：

（i ） 每一[]n n b a ,皆不能被E 中有限个区间所覆盖；

（ii ） []b a ,?[]11,b a ?[]22,b a ?…；

（iii ）n b -n a =

n

a

b 2-→0； 有条件（ii ）及（iii ），于是由闭区间套定理，必有唯一点ξ∈[]b a ,使n a →ξ，

n b →ξ.按覆盖概念及定理所设条件，在E 中至少存在一个开区间，设为)(βα,，使

ξ∈)(βα, 即 α＜ξ＜β 有数列极限的性质知道，?正整数N ，当n ＞N 时，有 α＜n a ＜n b ＜β 即当n ＞N 时，有

[]n n b a ,?)(βα,

也就是用E 中一个区间)(βα,就可覆盖所有形如[]n n b a ,﹙n ＞N ﹚的区间，与（i ）矛盾. 定理证毕

2 有限覆盖定理?致密性定理[]2 致密性定理 有界数列必有收敛的子列.

证明 设{}n x 为有界数列，a 是它的一个下界，b 是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立：

（i ） α∈[]b a ,，使在α的任何邻域中都有{}n x 的无穷多项；

（ii ）对任何x ∈[]b a ,，都存在x 的一个邻域()x x x x δδ+-,，使其中只含{}n x 的有限多项.

如果（ii ）成立，则开区间族)[]({}b a x x x x x ,,∈+-δδ构成[]b a ,的一个开覆盖.于是由有限覆盖定理知，其中必有有限子覆盖.由于每个区间中都只含{}n x 的有限多项，故有限个开区间之并也只含{}n x 的有限多项.但另一方面又应该包含

{}n x 的所有项，矛盾.这表明（ii ）不能成立，即必是（i ）成立.

考察α的邻域序列?????? ?

????+-n n 1,1αα.由（i ）知，每个邻域中都含有{}n x 的

无穷多项.首先在区间()1,1+-αα中取一项，记为1n x ，然后因??? ?

?

+-21,21αα中

含{}n x 的无穷多项，故可在其中取得下标大于1n 的一项记为2n x ，一般地，当

k n x ∈??? ??+-k k 1,1αα取定之后，由于??? ?

?

+++-11,11k k αα中含有{}n x 的无穷多项，

故又可在其中取得下标大于k n 的一项记为1+k n x 。这样就可以得到子列{}

k n x ，满足条件

k n x a -＜

k

1

，k =1,2,3,… 当然有∞

→n lim k n x =α，即{}

k n x 是收敛的子数列. 定理证毕

3 致密性定理?柯西收敛原理

柯西收敛原理 数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：ε?＞0，?正整数N ,当

n m ,≥N 时，有

m n x x -＜ε 证明 首先证明条件的必要性：

设n x →a ，则ε?＞0，?正整数N ，当k ≥N 时，有 a x k -＜

2

ε

从而当n m ,≥N 时，有

m n x x -≤a x n -+m x a -＜2ε+2

ε

=ε 其次，证明条件的充分性：

首先，证明满足条件的任何数列必有界，从所设条件，取ε=1必?正整数0N ，当n m ,≥0N 时，有

m n x x -＜1 特别的，当n ＞0N 且m =0N +1时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ≥0N 时，有

n x ≤10+-N n x x +10+N x ＜1+10+N x

这就证明了{}n x 的有界性，由致密性定理知，必有收敛的子列{}

k n x ，设∞

→n l i m

k n x =a ，

根据子列收敛定义，ε?＞0，?正整数K ，当k ＞K 时,有 a x k n -＜ε

取一正整数0k =()1,1max ++N K ,于是0k ＞K 且0k n ≥1+N n ≥N +1＞N ，因此当n ＞N 时，有已知条件有0k n n x x -＜ε，所以

a x n -≤0k n n x x -+a x k n -0＜ε+ε=2ε

即 ∞

→n lim n x = a

定理证毕

4 柯西收敛原理?确界原理

确界原理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 单调有界定理 单调数列有极限.

证明 设S 是有上界的集合，取实数1b ，使对所有x ∈S ，都有x ＜1b .取1a ∈S 并考察区间[]11,b a 的中点

211b a +.若211b a +是S 的上界，则令2a =1a ，2b =2

11b

a +；

若

211b a +不是S 的上界，则令2a =2

11b

a +，2

b =1b .于是总可得到区间[]22,b a ，使得2b 是S 的上界.[]22,b a 中有S 的点且2b -2a =

2

1

1a b -. 再对闭区间[]22,b a 进行同样的处理，又可得到闭区间[]33,b a ?[]22,b a ，使得3b 是S 的上界，[]33,b a 中有S 的点且3b -3a =

222a b -=2

1

12a b -. 继续这个过程，可以得到一个闭区间的序列][{}n n b a ,，满足下列条件：

（i ）[]n n b a ,?[]11,++n n b a ，n =1,2,3,…；

（ii ）n b -n a =

1

1

12

--n a b ，n =1,2,3,…； （iii ） 对每个n ∈N , n b 是S 的上界且[]n n b a ,?S ≠?； 由（i ）和（ii ）知，当m ＞n 时，有 n m b b -=n b -m b ＜n b -n a =

1

1

12

--n a b . 可见，数列{}n b 为柯西列. 由柯西收敛原理知{}n b 收敛.设∞

→n lim n b =M .

对任何x ∈S 和任何n ∈N ，均有x ≤n b ,所以有x ≤M ，即M 是S 的上界. 另一方面，ε?＞0，由于∞

→n lim ()n n a b -=0，故有0n ，使得0n b -0n a ＜ε.又因0

n b ≥M ，故有

0n a ＞0n b -ε≥M -ε.

由（iii ）知[]

00,n n b a 中有S 的点，这表明M -ε不是S 的上界，所以M 是S 的上确界. 定理证毕

5 确界原理?单调有界定理 单调有界定理 单调数列有极限.

证明 设{}n y 是单调增加的有界数列，则必有上确界sup =β{}n y .由上确界的定

义有：（i ）n y ≤β﹙n =1,2,3,…﹚. （ii ）ε?＞0,在{}n y 中至少有一数N y ，有N y ＞β-ε，但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ≥N 时，有n y ≥N y ，从而n y ＞β-ε，也就是说，当n ≥N 时，有 0≤β-n y ＜ε 所以 n y →β

同理 单调减少有界数列的极限就是它的下确界.

定理证毕

6 单调有界定理?闭区间套定理 证明 由条件①可得

1a ≤...≤1-n a ≤n a ＜n b ≤1-n b ≤ (1)

显然{}n a 单调增加有上界1b ，{}n b 单调减少有下界1a ，由单调有界定理知

{}n a 与{}n b 都收敛.

设∞

→n lim n a =ξ则

∞

→n lim n b =∞

→n lim )([]n n n a a b +-=∞

→n lim ()n n a b -+∞

→n lim n a =ξ

由于ξ是{}n a 所构成数集的上确界，也是{}n b 所构成数集的下确界.于是有 n a ≤ξ≤n b ，n =1,2,3,…

即ξ属于所有闭区间[]n n b a ,.

若另有实数ξ'所有闭区间[]n n b a ,，则也有 n a ≤ξ'≤n b ，n =1,2,3,… 令n ∞→,由极限的夹逼性得到

ξ'=∞

→n lim n a =∞

→n lim n b =ξ

此及说明满足定理结论的实数ξ是唯一的. 定理证毕

通过以上的证明，说明了上述六个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其他的定理.所以，这六个定理中的每一个都可以称为实数系的基本定理.

参考文献

[1] 陈传璋.金福临.朱学炎.数学分析.上册.第二版.高等教育出版社，1983.7.

[2] 李成章.黄玉民.数学分析.上册.第二版.科学出版社，2007.