2018版高中数学人教B版必修四课件：2-2-1 平面向量基本定理 精品

在唯一的一对实数 a1，a2，使 a＝a1e1＋a2e2. 2.基底 把 不共线 向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 {e1 ， e2}.a1e1＋a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1，e2}的 分解式.
3.直线的向量参数方程式 已知 A、B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点(如图所示)，对直线 l 上 → → → 任意一点 P，存在唯一的实数 t 满足向量等式OP ＝(1－t)OA＋tOB，反之， → 唯一 对每一个实数 t，在直线 l 上都有 的一个点 P 与之对应.向量等式 OP → → ＝(1－t)OA＋tOB叫做直线 l 的向量参数方程式，其中实数 t 叫做参变数， 简称 参数 .
→ → → BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.
∵A，P，M 和 B，P，N 分别共线，
→ → ∴存在实数 λ，μ，使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，
→ → BP＝μBN＝2μe1＋μe2. → → → 故BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
→ → → 而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2， λ＋2μ＝2， 由平面向量基本定理，得 3λ＋μ＝3，
1→ CA， 3 → 1→ → → AP＝ AB，若AB＝a，AC＝b， 3 → → → 试用 a，b 将MN、NP，PM表示出来.
→ → → 1→ 2 → 1 2 解 NP＝AP－AN＝ AB－ AC＝ a－ b， 3 3 3 3
1→ 2→ 1 2 → → → MN＝CN－CM＝－ AC－ CB＝－ b－ (a－b) 3 3 3 3
→ → → → → → → ∵OE＝λOA，∴CE＝OE－OC＝λOA－OC
＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
→ → → → ∵CE与CD共线，∴存在实数 m，使得CE＝mCD，
5 即(λ－2)a＋b＝m－2a＋3b，
5 即(λ＋2m－2)a＋1－3mb＝0.
4.线段中点的向量表达式
→ → → 1 OP ＝ (1 － t ) OA ＋ tOB 在向量等式 中， 若 t＝ ， 则点 P 是 AB 的中点， 2
→ 1 → → 且OP＝2(OA＋OB)，这是线段 AB 的中点的向量表达式.
要点一 用基底表示向量
例1 → 1→ → 如图所示，设 M，N，P 是△ABC 三边上的点，且BM＝ BC，CN＝ 3
→ → GH＝－2e1＋5e2，HG＝2e1－5e2，a＝－2e1.
2.0能不能作为基底？
答 由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底.
3.平面向量的基底唯一吗？ 答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组
基底.
[预习导引]
1.平面向量基本定理
不平行 的向量，那么该平面内的任一向量 a，存 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个
第二章——
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1
[学习目标]
1.理解平面向量基本定理及其意义. 2. 了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这 组基底来表示其他向量. 3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式. 4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
4 λ ＝ ， 5 解得 μ＝3. 5
→ 4→ ∴AP＝ AM，∴AP∶PM＝4∶1. 5
规律方法
(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用
三点共线.注意方程思想的应用.
(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵
活应用，熟练பைடு நூலகம்握.
跟踪演练 2 如图，已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D → → → 是将OB分成 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA＝a，OB ＝b.
→ → (1)用 a，b 表示向量OC，DC；
解 (1)∵A 为 BC 的中点，
→ 1 → → → ∴OA＝ (OB＋OC)，OC＝2a－b. 2
→ → → → 2→ DC＝OC－OD＝OC－ OB 3
2 5 ＝2a－b－ b＝2a－ b. 3 3
→ → (2)若OE＝λOA，求实数 λ 的值.
λ＋2m－2＝0， ∵a，b 不共线，∴ 5 1－ m＝0， 3
→ 1→ 1→ ∵CN＝ CD＝ OD， 3 6
→ → → 1→ 1→ ∴ON＝OC＋CN＝ OD＋ OD 2 6
2→ 2 ＝ OD＝ (a＋b). 3 3
1 → → → 1 MN＝ON－OM＝ a－ b. 2 6
要点二 平面向量基本定理的应用
例2 如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且 AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值. → → → → → 解 设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，
平面向量基本定理
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破
当堂训练，体验成功
[知识链接]
→ 1.如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示向量AB， → → → → CD，EF，GH，HG，a.
答
通过观察，可得：
→ → → AB＝2e1＋3e2，CD＝－e1＋4e2，EF＝4e1－4e2，
路是设c ＝xa ＋yb ，其中 x ，y∈R，然后得到关于 x，y 的
方程组求解.
跟踪演练1
→ → 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为边的平行四边形.又 1 1 → → → BM＝ BC，CN＝ CD，试用 a、b 表示OM，ON，MN. 3 3 → 1 → 1→ 1 → → 1 解 BM＝ BC＝ BA＝ (OA－OB)＝ (a－b)， 3 6 6 6 → → → 1 5 ∴OM＝OB＋BM＝ a＋ b. 6 6
2 1 ＝－ a＋ b， 3 3
1 → → → → PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝ (a＋b). 3
规律方法
(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加
法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义， 解题时要注意解题途径的优化与组合. (2) 将向量 c 用 a ， b 表示，常采用待定系数法，其基本思