有限元板壳单元上课讲义
N x L x 1 L x 1 L x 2 L x 2 L x 3 L x 3 2 1 b 1 L x 1 b 2 L x 2 b 3 L x 3 （8-26）
类似地有
N y2 1 c1 L y1c2 L y2c3 L y3
对式（8-26）和式（8-2）二阶求导
x [ B ] e B 1B 2B 3 e
式中
2N x 2
i
[Bi
]
2Ni y 2
2
2
N
i
xy
i 1,2,3
（8-24） （8-25）
[ B ]矩阵是插值函数 N i 的二阶导数。N i是Li(i1,2,3)
的函数，它们对x和y的偏导数按复合函数求导法则
12(12)
1
0
1
（8-12）
0 0
则
2
M D b
（8-13）
式中 Db ——弹性薄板的应力应变转换矩阵，它等于
平面应力问题中的 D 与 t 3 12 的乘积。
根据 Db 与 D 之间的关系，不难由（8-13）和
（8-10）式求出
1t23zM
（8-14）
板上下表面 ( z t ) 的应力
结构是否为板壳问题，需要确定厚度与其它方位尺 寸的比值，如果 1/80≤t≤1/10可以归结为板（薄壳）问题， 若介于1/10 ~ 1/5 之间属于厚壳问题，若大于 1/5 则不属 于板壳结构问题。
板壳单元的力学模型取为结构单元的中性面，即以 各中性面来代表为不同厚度的板或壳单元的组合体，以 此来模拟结构体。在工程有限单元法的软件设计中，常 常将板壳结构划分成薄板、厚板以及壳单元。
8.3.2 位移向量
根据薄板理论，薄板结点位移如图8-4所示。
图8-4 薄板结点位移示意图
单元任一结点位移列向量为
（8-19）
单元结点位移列向量
e [ w 1x 1 w y 1 2x 2 w y 2 3x 3y 3 ] T （8-20）
单元内任意点的位移w用结点位移插值表示如下
w N e N 1N 2 N 3 e （8-21）
其中，[N 1 ] 、[N 2 ] 和 [ N 3 ] 为插值函数，是 13的行
阵
[N1] [N11 N12 N13]
[N2]
[N21
N22
N23]
[N3] [N31 N32 N33]
插值函数具体形式如下
（8-22）
N11 L1 L12L2 L12L3 L1L22 L1L23
N12 b3(L12L2 12L1L2L3)b3(L12L3 12L1L2L3)
2N 1
x 2 42
b 1
b 2
b 1
b 3
H
b
2
b 3
2N 1
y 2 42
c 1
c 2
c1
c 3
H
c
2
c 3
2N 1 xy 42
c 1
c 2
c 3
H
b 1
b
2
b 3
（8-27） （8-28）
式中 [ H ] 为二阶微分算子。
2
L1L1
H
2
第八章 关于板壳单元
8.2 薄板基础理论知识
如图8-1所示平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直 于中性面。其中 t 为板厚。当板受有垂直于板中性面的 外力时，板的中性面将发生弯扭变形，从而变成一个曲 面。板变形的同时，在板的横截面上将存在内力——弯 矩和扭矩。
图8-1 平板弯曲
对于薄板弯曲问题采用如下假设： a. 板的法线没有伸缩； b. 板的法线在板变形后仍垂直于中性面；
等，因此 M =xy M yx 。内力列向量为
图8-2 薄板微元体内力与应力示意图
M x
M =
M
y
（8-11）
M xy
M 是 对中性面力矩的合成（见图8-2），即
M 1 2 1 2zd z 1 2 1 2z2D d z 1 t2 3D
引用记号
1 0
Db
t3 D
12
Et3
2
mt62 M
（8-15）
综上所述，薄板的中性面挠度w 是基本的未知量。
由w即可计算出位移、应变、应力及内力。
8.3 3结点三角形薄板单元
8.3.1坐标变换
图8-3为一个任意形状的3结点三角形板单元，结点 编号 1、2、3 按右手法则排序。图8-3（a）为单元直角
坐标系 ( x , y ) , 图8-3（b）为单元自然坐标系 ( , ) 。
L2L1 2
L3L1
2
L1L2 2
L2L2 2
L3L2
2
L1L3
2
L2 2
L3
L3L3
由式（8-23）可得
2L2 2L3 2L1 2L3 2L1 2L3
有限元板壳单元
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892220 Fax:(025)4895966 E-mail:nuaacw@
第八章 关于板壳单元
8.1 板壳结构
板壳结构是指板的厚度t与其它两个方向的尺寸相
比小得多。板壳结构的板可以是平板也可以是单曲面或 双曲面板，同时可以承受任意方向上的载荷，也就是既 有作用在平面内的载荷，又作用有垂直于平面的载荷。 一般板壳结构处于三维应力状态。
c. 板内各点没有平行于中性面的位移； d. 垂直于板面挤压应力可以不计。
x 图8-2所示为板的一个微元体。为方便计，取 和
y的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截面上的正应
力与z 坐标成正比，并可合成为一个力偶，从而构成该横
截弯面矩上M的y弯，矩 x（y 和单位yx宽合度成上扭的矩弯M矩xy ）和MMx。yx 。同由理于，剪 应y 合力成互
（8-23）
N13
c3(L12L2
1 2L1L2L3)
c2(L12L3
12L1L2L3)
其中，b2 y3 y1，c2 x1x3，b3 y1y2，c3 x2 x1。
8.3.3 应变位移转换矩阵
为了建立单元刚度矩阵，需要建立位移应变转换矩
阵 [ B ] ，即建立 与单元结点位移 e的关系式。
将式（8-21）代入式（8-5），可得
（a）单元直角坐标系 （b）单元自然坐标系 图8-3 3结点三角形板单元坐标系
单元坐标变换
x y
3
i 1
Li
xi
yi
式中 L i 为面积坐标。
L1 L2
L3 1
（8-16） （8-17）
面积坐标 L i 具有插值函数的性质，即
Li(j,j) 1 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi jj时 时i,j1,2,3 （8-18）
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有限元课程PPT第5章
基函数矩阵
形变列阵（广义应变列阵）
（5-17）
写成5块 其中
（5-18）
2．单元刚度矩阵和单元荷载向量 虚功方程 （5-19） 左半中 ，
单元刚度阵
（ 5-20 ）
其中
称为单元刚度矩阵元素（块） （5-21）
（具体表达式可见华东水利学院弹性力学问题的有限单元 法（1974版）） 虚功方程右半
在三个方向的分量，左上标 为初始态， 这里 为
表示壳单元状态,
为最终态。
方向余弦的增量， （5-66）
分量
能通过节点K处的旋转来表达，一个有效的方法 的单位向量 （5-67） 和 ：
是定义两个正交于
其中ey为y方向的单位向量（对于特殊情形 可简单地用 ）这样得 （5-68） 令 和 和 为关于 为小角度 （5-69） 将式（5-56）代入（5-52），得到 和 的正交向量 ，
（5-46） 据假定,可认为
（5-47）
（5-48）
总势能
（5-49） K为剪应力非均匀修正系数，将式（5-35）、（5-34）代 入（5-36）中，可得
（5-50） 其中 （5-51）
（5-52）
，是独立的，能如等参元那样求解。 变分， （5-53） （5-54） 例： 如图, 4节点的板，根据四节点等参元坐标转换关系
Int. J. Num Mech. Eng V.5,N2, 277~288,1972）一文中建议 对单元曲率修匀。 修匀只要对形函数的导数进行修匀即可，形函数 阶导数 的二
在角点上往往有奇异性，只有采取高阶数值积
分才能有较好的收敛性。为了得到计算既简单，收敛性又 好的单元，可用修匀后的导数， 代替 ， 是组系统代替薄壳。 （一）局部坐标系中的单元刚度阵 特点是薄壳应力状态是平面应力状态+弯曲应力状态的 组合，刚度阵也可由此组合，局部坐标系x，y轴取在单元 所在平面内 组合后的单元节点位移和节点力分别 为（第i点）
有限元讲稿 ppt课件
ANSYS
通用程序 应用举例
2020/12/27
1
ANSYS通用程序应用举例
❖1.ANSYS软件的功能 ❖2.ANSYS的输入方式 ❖3.应用举例(重点)
2020/12/27
2
1.ANSYS软件的功能
❖ 一个典型的ANSYS分析过程包括以下三个步 骤： 创建有限元模型
施加载荷求解
查看分析结果
2020/12/27
2020/12/27
图1 矩形示意图
7
(ii)建立实体板
在主菜单中选择Preprocessor| Modeling|Create|Areas|Circle| Solid Circle，弹出如图2对话框。
在对话框中输入参数： x=80,y=50,radius=50; 单击Apply; x=0 ,y=20,radius=20; 单击Apply; x=0,y=80,radius=20; 单击Apply; 在绘图区将显示如图3左侧图形！
5?
单击
图4 Add Areas对话框
2020/12/27
图5 布尔加法运算后结果
10
（iv）生成孔洞圆实体
在主菜单中选择 Preprocessor|Modeling| Create|Areas|Circle|SolidCircle, 在弹出的对话框中依次输入： x=80,y=50,Radius=30,单击 Apply； x=0,y=20,Radius=10,单击 Apply； x=0,y=80,Radius=10,单击 Apply； 得到图6所示图形。
（i）确定分析类型
在主菜单中选取Solution| Analysis Type|New Analysis,在 菜单中确定分析类型为Static,单 击OK。
通用程序 应用举例
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1
ANSYS通用程序应用举例
❖1.ANSYS软件的功能 ❖2.ANSYS的输入方式 ❖3.应用举例(重点)
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2
1.ANSYS软件的功能
❖ 一个典型的ANSYS分析过程包括以下三个步 骤： 创建有限元模型
施加载荷求解
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图1 矩形示意图
7
(ii)建立实体板
在主菜单中选择Preprocessor| Modeling|Create|Areas|Circle| Solid Circle，弹出如图2对话框。
在对话框中输入参数： x=80,y=50,radius=50; 单击Apply; x=0 ,y=20,radius=20; 单击Apply; x=0,y=80,radius=20; 单击Apply; 在绘图区将显示如图3左侧图形！
5?
单击
图4 Add Areas对话框
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图5 布尔加法运算后结果
10
（iv）生成孔洞圆实体
在主菜单中选择 Preprocessor|Modeling| Create|Areas|Circle|SolidCircle, 在弹出的对话框中依次输入： x=80,y=50,Radius=30,单击 Apply； x=0,y=20,Radius=10,单击 Apply； x=0,y=80,Radius=10,单击 Apply； 得到图6所示图形。
（i）确定分析类型
在主菜单中选取Solution| Analysis Type|New Analysis,在 菜单中确定分析类型为Static,单 击OK。
有限元教案_壳单元
x cos( x , x) cos( x , y ) cos( x , z ) x x y = cos( y , x) cos( y , y ) cos( y , z ) y = φ y z cos( z , x) cos( z , y ) cos( z , z ) z z
16
4节点单元的节点位移变换公式为：
{δ }
(e)
= [T ]{δ }
(e)
[T]为变换矩阵，表达式为：
λ 0 0 0 0 λ 0 0 [T ] = 0 0 λ 0 0 0 0 λ
17
同理有单元节点力变换公式：
{F }
(e)
= [T ]{ F }
(e)
壳的整体坐标下的单元刚度方程：
δ ep = (δ 1pT
δ i p = (ui
δ 2pT
δ 3pT
δ 4pT )T
v i )T
7
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
对平板弯曲状态单元刚度方程为：
方程中角标b代表平板弯曲，其他矩阵符号的含义与平面应 力状态相似。
8
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
4
5
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
在平面壳体单元变形和受力可看作两状态叠加的基本 假定下,平面的单元刚度矩阵,角标p代表平面应力
k δ
ep
ep
=F +F
ep
ep E
平面应力状态的单元 结点位移
单元结点力 单元等效结点荷载矩阵
6
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
有限元讲义3-1
[
]
试中，[B]称为三角板单元的应变矩阵或几何矩阵。
四、根据物理方 由物理方程 程求应变
{σ} = [D]{ε} = [D][B]{q}
（4.3-8）
弹性矩阵[D]是常数矩阵，[B]也是常数矩阵,因此，当节点位移 求出后，就可以算出三角板单元的应力（常数值）。 在单元内，应变和应力均为常数值，一般是与实际情况不相符 合的，当单元划分相当小时，也只能说是近似的。 五、单元力的平衡方程 在弹性力学中，应力与体积力之间的平衡关系是由平衡微分方程来 体现；应力与表面力之间的平衡关系由静力边界条件来体现，以上可 统称为应力与外力之间的平衡方程。这种平衡关系在整个弹性体内是 逐点满足的。 在有限元法中，应力与外力之间的平衡关系不是逐点满足的，而是 在单元整体意义上满足平衡。通常用虚功方程代替平衡方程。
四、根据物理方程求应力
{σ} = [D][B]{q}
五、矩形板单元刚度矩阵的导出
− − [K] = ∫∫∫V [B]T [D][B]dV = t ⋅ ∫∫S [B]T [D][B]dxdy= t ⋅ ∫a a ∫b b[B]T [D][B]dxdy
（4.4-11）
vi = a5 − aa6 − ba7 + aba 8 v j = a5 + aa6 − ba7 − aba 8 vk = a5 + aa6 + ba7 + aba 8 vl = a5 − aa6 + ba7 − aba 8
（4.4-2）
写成矩阵形式并求出多项式系数，有
1 1 1 1 1 1 u 1 1 a1 − i − a a a a u a2 1 1 1 1 j = 1 − u a3 4 − b b b b k a4 1 1 1 1 ul − − ab ab ab ab
第四章 空间问题有限单元法2 有限单元法与程序设计 教学课件
k0 kc 0
k0c kcc
e
0 c
e
RR0c
e
其中
是单元中需要凝聚掉的自由度，
c
是0 单元中需要保留，也即将
参加总刚集成的自由度。
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理
a) 凝聚自由度法
从方程的第二式可得：
c kcc1Rckc00
代回第一式可得：
6l
k e
2l
2
6l
4l
2
0
12EI l3
0
6EI l2 4EI l
EA l 0
0 EA l
0
12E l3
I
6E l2
I
0
12EI l3
0
6EI
l2
2EI
l
0
6E l2
I
4EI
l
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
3、平面杆单元的坐标变换
设局部坐标 x轴和总体坐标 x轴间的夹角为
将位移函数带入总势能方程
EI 2
l 0
d 2w dx2
2
dx
l
q(x)wdx
0
j
Pj wj
k
M
k
dw dx
k
并对势能取驻值得：
[k]e[]e {R}e 0
其中： [k ]e
1 0
EI l3
d2N
d 2
T
d2N
d 2
d
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 c）单元平衡方程
1、桁架结构－平面、空间 2、刚架结构－平面、空间 3、拱－特殊的平面刚架
11第4章板壳问题有限元
w S1 w ，
w n
S1
（ 4-1-5）
其中 n 表示边界的法线方向。特例情况下， S1 为固支边，则 w S 0 ，
1
w 0 n S1
146
2 、 在边界 S 2 上，给定位移 w 和力矩 M n ，即
w S w ， M n
2
S2
M n
（ 4-1-6）
特例情况下， S 2 为简支边，则 w S 0 ， M n
2 2
（常曲率和常扭率）项，因为将它们代入式（ 4-1-1）可以得
2 w 2 2 4 x 2 w 2 2 6 y
2
2 w 2 5 x y
（ 4-2-3）
因此，在板弯曲单元的挠度函数中存在常数项、一次项和二次项，就可以满足完备性条件。 （2 ）协调条件： 以单元 1-2 边为例，该边上 y 为常数，挠度 w 是 x 的三次函数
如平板的表面上作用有 z 向的分布荷载 q ， 则从以上各式可以得到经典薄板理论的系统总位能泛函 表达式
1 w T D qw dxdy Q wdS M n dS b n S3 S2 S3 2 n
{M } [Db ]{ }
式中， [ Db ] 为板弯曲弹性矩阵，对于各向同性材料有
（4-1-3）
1 0 Et [D b ] 1 0 2 12(1 ) 1 0 0 2
3
（4-1-4）
为建立平板弯曲问题的能量泛函，还要考虑荷载和边界条件。关于边界条件有三种情况： 1 、 在边界 S1 上，给定位移 w 和截面转角 ，即
2 4 w T e ] z [B i ]{ z[ B ]{ } i} x y i 1
(完整版)第九章板壳结构有限元
单元数 （1/4板）
2×2 4×4 6×6 理论解
四边固定
板中心挠度 wD/PL2
边中点弯矩 M/P
0.00614
-0.1178
0.00580
-0.1233
0.00571
-0.1245
0.00560
-0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实 际中广泛应用。单元的结点位移仍然 为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角
θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 y
位移模式应包含9个参数。
θx1 1
θy1
z
w1
x 3
2
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试： Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法
四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。 利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然 十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成， 完成这项工作首先需要将其转化为一个2×2的正方形，对于 矩形单元，这项操作并不困难。
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 建立的形函数形式如下：
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：
式中：
薄板矩形单元
结点载荷向量的计算： 假设板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为 积分展开，得
如果承受的分布荷载随位置（x,y）变化，积分工作量较大
薄板矩形单元
应用实例
谭继锦有限元法课件之八 5概述薄板单元
F
e
B D B dxdy y
T e
5-11 5-12 5-13
F
e
K
e e
e T
其中： K = B D B dxdy
K
e
就是单元节点位移与单元节点力之间的转换矩阵， 也就是矩形板单元的刚度矩阵。
第五章 板壳问题的有限元法 同时，采用曲面单元来描述壳体的真正几何形状，还可以 同时 采用曲面单元来描述壳体的真正几何形状 还可以 用较少的单元数目来代替复杂形状的壳体，并能得到具有 相当精度的结果 因此就有基于Mindlin理论为基础的曲面 相当精度的结果，因此就有基于 壳体单元。
理论基础 单元类型 3节点三角形单元 Kirchhoff理论 任意四边形单元 4节点的Huges-Liu g 单元 （薄 薄 壳单元，大位移， 大转动， Mindlin理论 大应变） 4节点的Belytschko-Lim - Tsay y薄壳单元 薄壳单元（薄壳单元， 薄壳单元 大位移，大转动） 冲压成型分析及碰 撞问题分析 常规的结构分析 适用问题
第五章 板壳问题的有限元法 本章介绍薄板单元及薄板弯曲的有限元法，薄壳单元及 薄壳问题的有限元法。通过板壳单元理论和板壳单元介绍， 掌握板壳问题的有限元法。 掌握板壳问题的有限元法
第 节 概述 第一节
与平板相对应，由两个曲面为界限所围成的物体，当两 曲面间的距离远小于物体的其它尺寸时，这种结构物称为壳 体。两曲面之间的距离，称为壳体的厚度，平分厚度的曲面 称为中曲面，一般工程上以壳体厚度与中曲面的曲率半径比 值小于1/20被认为是薄壳。
e
T i
T j
有限元课程讲稿--板壳单元--13页
2
4、内力
M
M M
x y
M
xy
h 2
h 2
z
dz
h2 12
D
2w x2
2w y 2
2w
T
2
xy
Df
[Df ]薄板弯曲弹性矩阵
12 z h2
M
第2节 矩形12自由度单元
矩形单元结点位移、结点力列阵
i wi xi yi T (i 1,2,3,4)
w1 y1 b x1
1
二次项： L2i , L2j , L2k,LiLj , LjLk , Lk Li ,
三次项： L3i , L3j , L3k , L2i Lj , L2jLk , L2k Li , LiL2j , LjL2k , Lk L2i , LiLjLk 在构成位移函数时，我们首先删去项 Li L j Lk。因为它本身和它的一阶偏导数在单元节点处恒为零，对于 确定九个待定系数毫无帮助，故可删去。为了保证所构造的位移函数既能使面积坐标对称出现，又具有刚体位移和
K1 1
b2 3D[15( a2
0
a2 b2
0)
(14
4
a2 b2
) 0 0 ]
K1 2
3Db(2
3
a2 5
b2
) 0r
15
a2 b2
r
5 0s
K1 3
3Da (2
3
5
b2 a2
)r 0
15
b2 a2
r
5s
0
K21
3Db(2
3
a2 5
b2
) 0s
15
a2 b2
s
5 0r
Ve
第5章 板壳问题的有限元法
16
协调性要求 协调单元 满足协调性要求的单元称为 满足协调性要求的单元称为协调单元 收敛的充要条件 w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
+ α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3 + α11 x 3 y + α12 xy 3
− 2
h
M xy = ∫ h2 τ xy zdz
− 2
h
{M } = ∫
2 −h 2
h
h {σ }zdz = [D p ]{κ } = [D ]{κ } 12
薄板弯曲的弹性矩阵
11
3
薄板弯曲的应变能 弹性应变能 T 1 1 U = ∫ (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dV = ∫ {ε } {σ }dV 2V 2V ⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎪ ∂2 ⎪ ∂ w ⎪ {σ } = D p {ε } = D p {κ }z {ε } = z ⎨ − 2 ⎬ = z{κ } ∂y ⎪ ⎪ T 1 ∂2w ⎪ U = ∫ {κ } [D p ]{κ }z 2 dV ⎪ 2V ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭ T 1 = ∫ {κ } [D ]{κ }dS
∂w 法向导数θ x = ∂y 是x的三次函数，假定
θx = γ1 + γ 2x + γ 3x + γ 4x
2
3
由节点1和节点2处只能提供 θx1,θx2 两个相邻单元在边界上的法向导数的连续性 不能保证。 这种位移函数的矩形单元为非协调单元。
协调性要求 协调单元 满足协调性要求的单元称为 满足协调性要求的单元称为协调单元 收敛的充要条件 w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
+ α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3 + α11 x 3 y + α12 xy 3
− 2
h
M xy = ∫ h2 τ xy zdz
− 2
h
{M } = ∫
2 −h 2
h
h {σ }zdz = [D p ]{κ } = [D ]{κ } 12
薄板弯曲的弹性矩阵
11
3
薄板弯曲的应变能 弹性应变能 T 1 1 U = ∫ (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dV = ∫ {ε } {σ }dV 2V 2V ⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎪ ∂2 ⎪ ∂ w ⎪ {σ } = D p {ε } = D p {κ }z {ε } = z ⎨ − 2 ⎬ = z{κ } ∂y ⎪ ⎪ T 1 ∂2w ⎪ U = ∫ {κ } [D p ]{κ }z 2 dV ⎪ 2V ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭ T 1 = ∫ {κ } [D ]{κ }dS
∂w 法向导数θ x = ∂y 是x的三次函数，假定
θx = γ1 + γ 2x + γ 3x + γ 4x
2
3
由节点1和节点2处只能提供 θx1,θx2 两个相邻单元在边界上的法向导数的连续性 不能保证。 这种位移函数的矩形单元为非协调单元。