含绝对值的不等式的解法

含绝对值的不等式的解法
一、 基本解法与思想
解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：
1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}
a x a x x -<>或,
不等式a x <的解集是{}
a x a x <<-;
当0<a 时，不等式a x >的解集是{}
R x x ∈
不等式a x <的解集是∅;
3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}
c b ax c b ax x -<+>+或,
不等式c b ax <+的解集是{}
c b ax c x <+<-;
当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}
R x x ∈
不等式c bx a <+的解集是∅;
例1 解不等式32<-x
（二）、定义法:即利用(0),
0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
去掉绝对值再解。

例2。

解不等式
2
2
x x x x >
++。

（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 解不等式125x x -++<。

(“零点分段法”)
三、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 () (A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3
四、典型题型 1、解关于x 的不等式10832
<-+x x
2、解关于x 的不等式
23
21>-x
3、解关于x 的不等式212+<-x x
4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈
5、解关于x 的不等式1312++<--x x x
6、解关于x 的不等式521≥++-x x
五、巩固练习
1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .
2、已知a ∈R ，若关于x 的方程2104
x x a a ++-
+=有实根，则a 的取值范围
是 ． 3、不等式
12
1≥++x x 的实数解为 ．
4、解下列不等式
⑴ 4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+；
⑶ |21||2|4x x ++->； ⑷ 4|23|7x <-≤ ；
⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2
（a R ∈）
5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）
.A 8 .B 2 .C 4- .D 8-
6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）
.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 7、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；
()
2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围
是 ；
()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -+
+<的解集不是空集，则a 的取值范围
是 ； 8、不等式x x
3102
≤-的解集为（ ）
.A
{|2x x ≤≤
.B
{}|25x x -≤≤
.C
{}|25x x ≤
≤ .
D {
}|
5x x ≤≤
9、方程
x
x x x
x x 32322
2
++=
++的解集为 ，不等式
x
x x
x ->
-22的
解集是 ； 10、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）
.A )21
,
(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),2
1(+∞ .D )21
,0(
11、不等式3529x ≤-<的解集是
.A ()(),27,-∞-+∞ .B []1,4 .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7-
12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值
13、 解关于x 的不等式：
①解关于x 的不等式31<-mx ； ②a x <-+132)(R a ∈
14、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）. .A (0,2) .B (2,0)(-
.C (4,0)- .D (4,2)(0,2)--
15、 设集合{}
22,A x x x R =-≤∈，{
}2
1,2
≤≤--==x x y y B ，则
(
)R
C A B 等于 ( ) .A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .
D ∅
16、不等式211x x --<的解集是 ．
17、设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈。