含参量反常积分答案
§2 含参量反常积分
一 一致收敛性及其判别法
设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分
(,)c
f x y dy +∞
⎰
（1）
都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有
()(,),c
x f x y dy x I φ+∞
=∈⎰
， （2）
称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。
如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。
首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。
定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。
总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。
都有
(,)()c
f x y dy x φε+∞
-<⎰，
即
(,)c
f x y dy ε+∞
<⎰
则称含参量反常积分（1）在I 上一致收敛于()x φ，或简单地说含参量积分（1）在I 上一致收敛。
定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分（1）在I 撒谎能够一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数M c >，使得当1
2
,M A A
>时，对一切x I ∈，
都有
1
2
(,)A f x y dy A
ε<⎰. （3）
由定义1，我们还有以下含参量积分一致收敛的判别准则. 定理19.8 含参量积分
(,)c
f x y dy +∞
⎰
在I 上一致收敛的充分且必要条件是
lim ()0,A F A →+∞
=
其中()(,).A
x I F A SUP
f x y dy +∞∈=⎰
例1 证明含参量反常积分
sin c
xy
dy y
+∞
⎰
在[],δ+∞上一致收敛（其中0δ>），但在()0,+∞内不一致收敛。
证 作变量代换u xy =，得
sin sin ,x A
xy
u dy du y u
A +∞
+∞=⎰
⎰ 其中0A >.由于0
sin u du u
+∞
⎰
收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当'
A M >时，就有
'
sin .u
du u A ε+∞
<⎰
取A M δ>,则当M
A δ
>
时，对一切0x δ≥>，由（5）式有
sin A
xy
dy y
ε+∞
<⎰
， 因此lim ()0,A F x →+∞
=从而由定理19.8，（4）式在[),δ+∞上一致收敛，又因为
0sin sin lim ,0A
A u
u du du u u
++∞
+∞→=⎰
⎰
(0,)
(0,)sin sin sin ()sup
sup 2
x A
x x xy
u u F A dy du du y u
u A π
+∞
+∞+∞
∈+∞∈+∞==≥=⎰
⎰⎰
（其中
sin 2
u dy u π
+∞
=⎰
将在本节例6中证明），所以由定理19.8，（4）式在()0,+∞上不一致收敛。
若对任意[],a b I ⊂，含参量反常积分（1）在[],a b 上一致收敛，则称（1）在I 上内闭一致收敛，以上论述证明了含参量反常积分（4）在()0,+∞上内闭一致收敛。
关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理。
定理19.9 含参量反常积分（1）在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列
{}n
A （其中1
c A =）
，函数项级数 1
11
(,)()n n n n n A f x y dy x A u +∞
∞===∑∑⎰ （6）
在I 撒谎能够一致收敛。
证 [必要性] 由（1）在I 上一致收敛，故对任给0ε>，必存在M c >，使当
'''
M A A >
>.由（7）对一切x I ∈,总有
11
()()(,)(,)m n m n n m A A x x f x y dy f x y dy A A u u ++++=
++⎰⎰
=
1
(,)m n A f x y dy A ε+<⎰
这就证明了级数（6）在I 上一致收敛。
【充分性】 用反证法。
假若（1）在I 上不一致收敛，则存在某个正数0
ε
，使得对
于任何实数M c >，存在相应的
'''
M A A
>
>和'
I x ∈，使得
''
''0(,).A
f y dy A
x ε≥⎰
一般地，取
{}
1
2(1)max ,(2)n n n M
A -=≥，则有221n n n A A M ->>及n I x ∈，使得
2210(,).n
n n A f y dy A x ε-≥⎰ （8）
由上述所得到的数列
{}n
A 是递增数列，且lim n
x A
→∞
=+∞.现在考察级数
1
1
1
()(,)n n
n n n A x f x y dy A u +∞∞
===∑∑⎰
由（8）式知存在正数
ε
，对任何正整数N ，只要n N >，就有某个
n
I x
∈，使得
21
220()(,).n n
n
n
n A f y dy A
u x x ε+=≥⎰
这与级数（6）在I 上一致收敛的假设矛盾。
故含参量反常积分（1）在I 上一致收敛。
下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法。
由于它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿，故从略。
魏尔斯特拉斯M 判别法 设有函数()g y ，使得 [)(,)(),(,),.f x y g y x y I c ≤∈⨯+∞ 若
()c
g y dy +∞
⎰
收敛，则(,)c
f x y dy +∞
⎰
在I 上一致收敛。
狄利克雷判别法 设
（i ） 对一切实数N c >，含参量正常积分
(,)N
c
f x y dy ⎰
对参量x 在I 上一致有界，即存在正数M ，对一切N c >及一切x I ∈，都有
(,)N
c
f x y d y M ≤⎰
.
(ii)对每一个x I ∈,函数(,)g x y 为y 的单调函数，且当y →+∞时，对参量
,(,)x g x y 一致地收敛于0。
则含参量反常积分 (,)(,)c
f x y
g x y dy +∞
⎰
在I 上一致收敛。
阿贝尔判别法 设 （i ）
(,)c
f x y dy +∞
⎰
在I 上一致收敛。
（ii ）对每一个x I ∈，函数(,)g x y 为y 的单调函数，且对参量,(,)x g x y 在I 上一致有界。
则含参量反常积分
(,)(,)c
f x y
g x y dy +∞
⎰
在I 上一致收敛。
例2 证明含参量反常积分
2
cos 1xy dx x
+∞
+⎰
（9）
在(,)-∞+∞上一致收敛。
证 由于对任何实数y 有
2
2
cos 111xy x
x
≤
++
及反常积分
2
1dy x
+∞
+⎰
手来呢。
第五节含参变量的积分与反常积分
a
a
8
例4 证明积分
e yx sin xdx在y的区间[c, )上一致收敛 . 0
解 当 y [c, )时
e yx sin x e yx e cx
而 e cx dx 是收敛的， 0
所以
e yx sin xdx
0
在 y的区间 [c, )上一致收敛 .
9
含参变量的反常积分的性质
0
x
解
由
b
e
xydy
e ax
ebx ,
原式
dx
b e xydy
a
x
0
a
因为在0 x ,a y b上，有
e xy eax
(a 0)
且 eaxdx (a 0)收敛，所以 exydx一致收敛。
0
0
由定理5.6得
dx
b
e xydy
b
dy
e xydx
0
a
a0
b 1 e xy dy
F ( y) f ( x, y)dx a
在[c, d ]上有连续的导数，且求导与积分可交换次 序。
即
F ( y) d dy
b
f ( x, y)dx
a
b
a f y ( x, y)dx
例1 设F ( y) 1arctan xdx ( y 0)， 求F ( y)
0
y
解
F( y)
1
0 1
b1 dy
ln b
a y 0
ay
a
11
5 .3 反常重积分
1、无界区域的二重积分
定义5.2 设（ ）是一无界闭区域， f C (( )),
任作一有界闭区域序列 ( 1 ), ( 2 ), ,( n ) , 使 ( n ) ( )(n 1,2,)，
数学分析习题及答案 (22)
习 题 15.2 含参变量的反常积分1. 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛： （1）⎰∞++022cos dx yx xy ，0>≥a y ； （2）⎰∞+-+02sin dx e x x xαα，00αα≤≤； （3）⎰∞+04cos sin xdx x x α，b a ≤≤α。
解 （1）因为≤+22cos yx xy 221a x +，而 ⎰∞++0221dx a x 收敛，所以由Weierstrass 判别法，⎰∞++022cos dx yx xy在),[+∞a 上一致收敛。
（2）12sin 0≤⎰A xdx ，即0sin 2Axdx ⎰关于],0[0αα∈一致有界；αα+-x e x关于x 单调，且由xx e x 1≤+-αα，可知当+∞→x 时，αα+-x e x 关于],0[0αα∈一致趋于零。
于是由Dirichlet 判别法，可知⎰∞+-+02sin dx e x x xαα在],0[0αα∈上一致收敛。
（3）由分部积分法，4421cos sin cos cos 4AA x x x xdx d xx αα+∞+∞=-⎰⎰ 444223cos cos 1sin cos 1cos cos 442A A Ax x x x x x dx dx x x x αααα+∞+∞+∞=---⎰⎰, 其中22cos cos 1Ax x x Aα+∞≤； 再由224),max(cos sin x b a xx x ≤αα及3341cos cos xx x x ≤α，可得到 422max(,)sin cos 1max(,)AAa b x x dx a b dx x x Aαα+∞+∞≤=⎰⎰与4332cos cos 112AA x x dx dx x x A α+∞+∞≤=⎰⎰。
当+∞→A 时，上述三式关于α在],[b a 上一致趋于零，所以原积分关于α在],[b a 上一致收敛。
2．说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛：（1）⎰∞++02)1(sin dx x x x αα，+∞<<α0； （2）⎰101sin 1dx x x α，20<<α。
含参变量的反常积分
充分性 若 0, N c, M A1 , A2 N ,
则令 A2 , 得
A2 A1
f ( x , y )dy .
c
M
f ( x , y )dy .
这就证明了 I ( x )
f ( x , y )dy 在 J 上一致收敛.
*例2 证明含参量的反常积分
( y)
1
g( A1 , y ) A g( A1 , y ) A
魏尔斯特拉斯(Weierstrass) M 判别法
设有函数 F(x), 使得
f ( x , y ) F ( x ) , a x , y .
若 F ( x )dx 收敛, 则
对A, A a ,
A
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx 2 M .
于是, A1 , A2 A, y , 由积分第二中值定理，
A
A2
1
f ( x , y ) g ( x , y )dx
或简单地说含参量积分(1)在 上一致收敛.
注1 由定义, I ( y ) 充要条件是
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛的
( A) sup
y
a
A
f ( x , y )dx 0 ( A ).
注2 由定义, I ( y )
f ( x , y )dx 在 上不一致收敛
若I ( y)
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛, 则
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
f ( x, y )dy
在[a, b) 上不一致收敛.
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证明: 用反证法.
假设原积分在[a, b) 上一致收敛, 则对 0, M c, 当 A, A M 时对一切 x [a, b) 恒有
A
A
f ( x, y )dy .
A A
由假设 f 在[a, b] [ A, A] 上连续，所以 f ( x, y )dy 是 x 的连续函数 . 在上面不等式中令 x b , 得到当 A A M 时,
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二、一致收敛性的判别法 定理19.7 （一致收敛的柯西准则）
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上. 反常积分
c
f ( x, y )dy 在[a, b] 上一致收敛
的充要条件是 : 对任给正数 , 总存在某一实数 M M ( ) c, 使得当
c d
都收敛 , 则 I I ( x) 是 [a, b] 上的函数. 含参量无 界函数反常积分在[a, b] 上一致收敛的定义为: 若对 0, 总存在某正数 ( ) d c, 使得当 0 时 , 对一切 x [a, b], 都有
d
d
f ( x, y )dy
A
A
f (b, y )dy .
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而 是任给的，因此
c
f ( x, y )dy 在x b 处收
c
敛, 这与假设矛盾. 所以积分 [a, b) 上不一致收敛.
f ( x, y)dy 在
§19.2.含参量反常积分
在 (, ) 上一致收敛.
证 因为，有
cos xy 1 | | 2 1 x 1 x2
并且反常积分
所以
y
0
1 dx 2 1 x
收敛
0
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 2 1 x
2015年11月23日星期一 13
yx 练习2、试证 e sinxdx(0 c y )一致收敛 . 0
f ( x , y )dy
都收敛， 由反常积分收敛的定义，
即 0, N ( , x) c, 使得 M N ,
M c
M
lim
|
M
f ( x , y )dy I ( x )
c
f ( x , y )dy I ( x ) |
如果存在一个与 x I无关的
其中 N 与 x 有关.
A
0
sin xy dy在 （ 0， ） 内 不 一 致 收 敛 . y
2015年11月23日星期一
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9×
练习1 试 证
0
xe xy dy
(1)在[ , )上 一 致 收 敛 (其 中 0)； （2） 在(0, )内 不 一 致 收 敛 .
证： (1)
设含参量反常积分 两个条件之一，则
c
f ( x,y ) g( x,y )dy ( x I )满足如下 f ( x,y ) g( x,y ) dy 在I上一致收敛：
c
⑴（Abel判别法） ; f ( x, y)dy在I上一致收敛
c
g( x, y)对x I关于y单调，且在 I上一致有界 .
微积分(数学分析)习题及答案.doc
统计专业和数学专业数学分析（3）练习题一 填空题1. 函数 xy xyz +=arcsin 的定义域是 . 2. 函数y x z -=的定义域是 .3. 设 )ln(),(22y x x y x f --=，其中 0>>y x ，则),(=-+y x y x f .4. 设 yx xy y x y x f tan ),(22-+=，则 =),(ty tx f .5. 设2R E ⊂为 点集，则E 在2R 中至少有一个聚点.6. 32),,(yz xy z y x f +=，则 =-)1,1,2(gradf 。
7. xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(0P 处沿方向→l （其中方向角分别为00060,45,60）的方向导数为=→)(0P u l.8. ,y x z =其中,0>x ,0≠x 则=dz 。
9. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微，则 =-∆df f 。
10. 若函数 ),(y x f 在区域D 上存在偏导数，且,0==y x f f ，则),(y x f 在区域上为 函数。
11. 由方程1(,)sin 02F x y y x y =--=确定的隐函数)(x f y =的导数'()f x = . 12. 设243340x y x y +-=, 则dy dx= . 13. 平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 .其雅可比行列式(,)(,)x y r θ∂=∂ .14. 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(θϕr 之间的变换公式为 . 其雅可比行列式(,,)(,,)x y z r ϕθ∂=∂ .15. 设平面曲线由方程0),(=y x F 给出, 它在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为切线： , 法线： .16. 设空间曲线由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x L ),(),(),(:给出, 它在点0000000(,,)((),(),())P x y z x t y t z t =处的切线和法平面方程为 切线： ,法平面： . 17. 设空间曲线L 由方程组(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ 给出, 若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法平面，其方程分别为切线： , 法平面： .18. 设曲面由方程0),,(F =z y x 给出，它在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲面在0P 处有切平面与法线，它们的方程分别是切平面： , 法线： . 19. 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ的限制下，求目标函数 ),,,(21n x x x f y = 的极值.其拉格朗日函数是 , 其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数.20. 若(,)f x y 在矩形区域R 上连续, 则对任何[]0,x a b ∈, 都有0lim (,)dcx x f x y dy →=⎰.21. （可微性）若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则⎰=dcdy y x f x I ),()(在[]b a ,上可微，且(,)dcd f x y dy dx =⎰ .22. （可微性） 设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,⨯=上连续，()()x d x c ,为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在[]b a ,上可微，且'()F x = .23. (两个累次积分的关系)若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则(,)bdacdx f x y dy =⎰⎰ .24. 含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A (其中c A =1)，函数项级数 在[]b a ,上一致收敛. 25. 设有函数)(y g ，使得.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f 若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上 .26. （连续性）设),(y x f 在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分⎰+∞=cdyy x f x I ),()(在[]b a ,上 ，则)(x I 在[]b a ,上 .27. （可微性）设),(y x f 与),(y x f x 在区域[][)+∞⨯,,c b a 上连续。
§19.2含参变量的反常积分
一般地, 取M n max n, A2 n1 , (n 2), 则有
A2 n A2 n1 M n及xn [a, b], 使得 :
A2 n
A2 n 1
f ( xn , y)dy 0
()
由上述所得到的数列 An 是递增的,且 lim An n
n
f ( x, y)dy A
n 1
An 1
An 1 逐项求导 I ( x) f ( x, y )dy n1 An n 1
An 1 An
An
注: 其中 un ( x)
f ( x, y )dy
Ak 1 Ak
n 1
An 1 An
f ( x, y )dy lim
n
n
f ( x, y )dy
c
lim
k 1 An 1
n c
f ( x, y )dy
f ( x, y)dy
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 例 2 证明 0 1 x 2
证 : y (, ), 有 :
1 而 dx收敛, 2 0 1 x
由M 判别法,
cos xy 1 , 2 2 1 x 1 x
cos xy dx在(, )内一致收敛. 0 1 x 2
sin u du u
取A0 N 1 N , 取x0
2( N 1)
(0, ), 使 :
sin u p A0 x0 u du 2 0 . A0 (此时,0 A0 x0 ) 2 所论积分在(0, )非一致收敛.
四、含参量无界函数的反常积分解读
c), 函数项级数
n1
An1 An
f (x
,
y ) dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
I( x) c f ( x, y)dy
(1)
都收敛，则 I( x) 是 J 上的函数.
称(1)为定义在 J上的含参量 x 的无穷限反常积分,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
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注1 由定义, I( x)
f ( x, y)dy在 J上一致收敛的
高等数学随堂讲义含参量反常积分
(A) sup xJ
A f ( x, y)dy
0 ( A ).
注2 由定义, ( x)
f ( x, y)dy在 I 上不一致收敛
c
的充要条件是
使得
0 0, M c, A M及 x0 J ,
A
f ( x0 ,
y)dy
0
.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
含参量无界函数的反常积分
魏尔斯特拉斯 M 判别法
设有函数 g(y), 使得
f ( x, y) g( y) , (x,y) I [c, ) .
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在 I 上一致收敛.
c
c
证
由于
c
g(
y)dy
收敛,
N
c,A1 ,
A2
N,
因此
A2 g( y)dy . A1
是 x 的连续函数. 在上面不等式中令 x b , 得到当
A A M 时,
A
A f (b, y)dy .
而 是任给的, 因此 f ( x, y)dy 在 x b 处收敛, c
这与假设矛盾. 所以积分 f ( x, y)dy 在 [a, b) 上 c
不一致收敛.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
1 1 x2
,
及反常积分
0
1
dx x2
收敛,
故由魏尔斯特拉斯M判
别法, 含参量反常积分(10)在 (, ) 上一致收敛.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
例4 证明含参量反常积分
数学分析 Ch12 反常积分与含参积分习题
第十二章反常积分习题12.1 反常积分的概念和计算⒈物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。
一个带电量+q 的点电荷产生的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为F kqr =2（k 为常数），求距电场中心x 处的电位。
解⎰+∞==xx kqdr rq kU 2。
⒉证明：若⎰+∞a dx x f )(和⎰+∞a dx x g )(收敛，k k 12和为常数，则[]⎰+∞+a dx x g k x f k )()(21也收敛，且⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+aaadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121。
证 设⎰+∞a dx x f )(⎰+∞→=Aa A dx x f )(lim ，⎰+∞a dx x g )(⎰+∞→=Aa A dx x g )(lim ，则 []⎰+∞+a dx x g k x f k )()(21[]⎰+=+∞→AaA dx x g k x f k )()(lim 21 ⎰+∞→=AaA dx x f k )(lim1⎰+∞→+AaA dx x g k )(lim2⎰⎰+∞+∞+=a a dx x g k dx x f k )()(21。
⒊计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：⑴ e sin -+∞⎰205x xdx ;⑵ e cos -+∞⎰302x xdx ;⑶ 112x x dx ++-∞+∞⎰;⑷122220()()x a x b dx +++∞⎰)0,0(>>b a ;⑸ ⎰∞+∈0)(e 2R a dx x ax ;⑹ )(ln 12R ∈⎰∞+p dx xx p;∞ xq 图⑺ 11232()/x dx +-∞+∞⎰;⑻ 120(e e )x x dx +-+∞⎰; ⑼ 1140x dx ++∞⎰； ⑽ ln xx dx 12++∞⎰。
解（1）e sin -+∞⎰205x xdx ⎰∞+--=025cos e 51x d x ⎰∞+--=025cos e 5251xdx x⎰∞+--=025sin e 25251x d x ⎰∞+--=025sin e 25451xdx x ， 所以e sin -+∞⎰205x xdx 295=。