人教版高中数学必修三 第四章 线性回归方程 Word版含解析

重点列表：

重点详解：

1．变量间的相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关

(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________．

(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________.

※ (3)相关系数

r ＝

∑∑∑===----n

j j

n i i

n

i i

i

y y

x x y y x x 1

2

1

2

1

)()()

)((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个

变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝

∑=--n

i i i

x y

1

2)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回

归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，.

(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程

为a x b y

ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧

-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,

)())((ˆ1

2

21

121x b y a

x

n x

y x n y

x x x y y x x b n

i i

n

i i

i n i i n

i i i

【答案】

1．相关关系 非确定性

2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法

重点1：相关关系的判断 【要点解读】

在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断：

(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．

(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系

【例题】下列变量之间的关系不是．．

相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量

解：由函数关系和相关关系的定义可知，A 中Δ＝b 2－4ac ，因为a ，c 是已知常数，b 为自变量，所以给定一个b 的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b 之间是一种确定的关系，是函数关系．B ，C ，D 中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A .

【评析】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的．

重点2：线性回归方程有关概念 【要点解读】

样本中心点一定在回归直线上 【考向1】样本中心点

【例题】为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1，l 2，已知两人得到的试验数据中，变量x 的平均值都等于s ，变量y 的平均值都等于t ，那么下列说法正确的是( ) A ．直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t ) B ．直线l 1和l 2相交，但交点不一定是(s ，t ) C ．必有直线l 1∥l 2 D ．直线l 1和l 2必定重合

【评析】回归方程一定通过样本点的中心(，y )；中心相同的样本点的回归方程不一定相同． 【考向2】线性回归直线的理解

【例题】由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到回归直线方程a x b y

ˆˆˆ+=，那么下面说法错误．．

的是( ) A ．直线a x b y

ˆˆˆ+=必经过点(，y ) B ．直线a x b y

ˆˆˆ+=至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点 C ．直线a x b y

ˆˆˆ+=的斜率＝∑∑==--n

i i

n

i i

i x

n x

y x n y

x 1

2

21

D ．直线a x b y ˆˆˆ+=和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑=+-n

i i

i a x b y 1

2)]ˆˆ([是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的

重点3：散点图 【要点解读】

根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型 【考向1】正相关与负相关

【例题】(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

图1

图2

A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关

B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故选C.

【评析】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关． (2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)： 施化肥量15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)将上述数据制成散点图；

(Ⅱ)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 解：(Ⅰ)散点图如下：

(Ⅱ)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长，不会一直随化肥施用量的增加而增长．

【评析】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图，散点图可以直观地观察两个变量间的关系．

【考向2】散点图的画法及相关关系识别

【例题】(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量x与y的关系依次为________(正相关记作①；负相关记作②；不相关记作③)．

(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm，℃)，并作了统计：

(Ⅰ)试画出散点图；

(Ⅱ)判断两个变量是否具有线性相关关系．

解：(Ⅰ)作出散点图如图所示．

(Ⅱ)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系．

难点列表：

求线性回归直线方程的步骤

(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；

(2)求系数b ^

：公式有两种形式，b ^

＝

∑n

i ＝1

（x i －x －

）（y i －y －

）

∑n i ＝1

（x i －x －

）

2

＝

∑n

i ＝1

x i y i －nx － y

－

∑n

i ＝1x 2i －nx －

2，根据题目具体情

况灵活选用；

(3)求a ^

：a ^

＝y －

－b ^x －

； (4)写出回归直线方程．

说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式

的哪种形式求b ^

.

难点1：求回归方程及用回归方程进行估计 【要点解读】

(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．

(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值．

(3)用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细小心，分层进行(最好列出表格)，避免因计算而产生错误． 【考向1】求线性回归方程

【例题】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；

(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)散点图如下：

(2)由系数公式可知，＝4.5，y ＝3.5， ＝

66.5－4×4.5×3.5

86－4×4.5

2

＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

所以线性回归方程为y

ˆ＝0.7x ＋0.35. (3)x ＝100时，y

ˆ＝0.7x ＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．

【评析】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，y ，

∑=n

i i i y x 1

，∑=n

i i x 1

2

;(3)代入公式求，再利用x b y a

ˆˆ-=求，（4）写出回归方程. 【考向2】利用线性回归方程进行预测

【例题】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得

∑=10

1

i i

x

=80,

∑=10

1

i i

y

=20,

∑=101

i i

i y x =184,∑=10

1

2

i i

x

=720.

(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，

b ＝

∑∑==--n

i i

n

i i

i

x

n x

y x n y

x 1

2

21，x b y a -=，

其中，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^

.

解：(1)由题意知n ＝10，＝

1

n ∑=n

i i

x

1＝80

10

＝8， y ＝1n

∑

=n

i i y 1＝20

10＝2，又

∑=n

i i

x

1

2- n 2 =720 -10×82=80，

∑=n

i i

i y x 1

-n y x ＝184－10×8×2＝24，

由此得b ＝24

80

＝0.3，

a ＝y －

b ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.

(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 难点2：非线性相关转化为线性相关 【要点解读】

通过观察散点图，分析其函数模型，然后转化成线性相关 【考向1】非线性相关转化为线性相关

【例题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回

归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．

(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^

＝

解题指导] 切入点：回归分析中对散点图的理解，回归方程的求法和应用；关键点：通过换元把非线性回归方程转化为线性回归方程求解．

解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．

c ^＝y －d

^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，

年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

【趁热打铁】

1．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( ) A ．点分布在从左下角到右上角的区域 B ．散点图在某方形区域内 C ．散点图在某圆形区域内

D ．点分布在从左上角到右下角的区域

2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系

B ．都可以用一条直线通过近似表示两者关系来估计总体的均值

C ．都可以作出散点图

D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 3．下列命题：

①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；

③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究． 其中正确的命题为( )

A ．①③④

B ．②④⑤

C ．③④⑤

D ．②③⑤

4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )

A ．r 2

B ．r 4

C ．r 4

D ．r 2

5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^

＝0.67x ＋54.9.

A ．67

B ．68

C ．69

D ．70

6．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1

D ．r 2＝r 1

7．某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，得到售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表：

y

ˆ＝－3.2x ＋a ，则a ＝______．

8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

9．假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元

)有如下统计资料：

已知

∑=5

1

2

i i

x

=90，

∑=5

1

i i

i y x ＝112.3.

(1)求，y ；

(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？

10．某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．

(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人； (2)随机抽取8位同学的数学、物理分数对应如表：

相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．

第四章

1解：正确的只有D 选项．故选D.

2解：任两个变量均可作出散点图，从散点图上看有相关关系的才具有分析的价值，无相关关系的则作不出什么结论．故选C.

4解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r 2

5解：＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，由于y ^

＝0.67x ＋54.9必过点(，y )，∴y ＝0.67×30＋

54.9＝75，因此图表中的模糊数据为75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.故选B.

6解：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，故r 2＜0＜r 1.故选C. 7解：价格的平均数＝

9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数y ＝11＋10＋8＋6＋5

5

＝

8，由y

ˆ＝－3.2x ＋a 知b ＝－3.2，所以a ＝y －b ＝8＋3.2×10＝40.故填40. 8解：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高的对应数据可列表如下：

＝173，y ＝176，∴＝

∑∑==---3

1

2

1

)()

)((i i

i i i

x x

y y x x

＝3×6

（－3）2＋32

＝1，＝y －＝176－173＝3. ∴回归直线方程为y

ˆ＝x ＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．故填185.

10解：(1)按性别比例分层抽样，应选男生15×8

40＝3(人)，选女生25×8

40＝5(人)．

(2)以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标作散点图如图所示．

从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩线性正相关．

设y与x的线性回归方程是yˆ＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出≈0.65，≈34.5，

所以y与x的回归方程是yˆ＝0.65x＋34.5.