【教学】高三数学总复习124线性回归方程教学案新人教版必修1
【关键字】教学
12.4线性回归方程
一、知识导学
1．变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达
2．能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系
当a,b使
取得最小值时，就称为拟合这n对数据的线性返回方程，将该方程所表示的直线称为返回直线.
4．线性返回方程中的系数满足：
由此二元一次方程组便可依次求出的值：
（*）
5．一般地，用返回直线进行拟合的一般步骤为：
（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；
（2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出，并写出线性返回方程.
二、疑难知识导析
1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系.
2．用最小二乘估计方法计算得到的使函数达到最小
3．还有其他寻找较好的返回直线的原则（如使y方向的偏差和最小，使各点到返回直线的距离之和最小等）
4．比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系.
5．“最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线在垂直方向上的距离的平方和最小的直线，用这个方法，的求解最简单
三、经典例题导讲
问y与x的(样本)相关系数r是多少?这是否说明y与x没有关系?
错解：
所以相关系数r=0,即y与x没有关系.
错因：相关系数r=0并不是说明y与x没有关系，而是说明y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.
正解：
所以相关系数r=0,即y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.
此题中y与x之间存在着的二次相关关系的.
[例2]某工厂在2004年的各月中，一产品的月总成本y（万元）与月产量x（吨）之间有如
x 4.16 4.24 4.38 4.56 4.72 4.96 5.18 5.36 5.6 5.74 5.96 6.14 y 4.38 4.56 4.6 4.83 4.96 5.13 5.38 5.55 5.71 5.89 6.04 6.25 若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本.
分析：可将此问题转化为下面三个问题：
（1）画出散点图，根据散点图，大致判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系；（2）求出月总成本y与月产量x之间的线性返回方程；
（4）若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本.
错解：省去第一步，即把判断判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系的过程舍去，想当然其具有线性相关关系，直接代入公式，求出线性返回方程.
错因：此题的月总成本y与月产量x之间确实是有线性相关关系，若不具有则会导致错误.因此判断的过程不可少.
正解：（1）散点图见下面，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明x与y有较强的线性相关关系.
（2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，线性返回方程是：y=0.9100x+0.6477.
（3）当x=6.0时，y=0.9100（万元），即该产品1月份的总成本的估计值为6.11万元.
[例3]变量与有线性返回方程，现在将的单位由变为的单位由变为，则在新的返回方程中. .
错解：0.1
错因：由且的值变为原来的，的值变为原来的可得的值应为原来的.
正解：0.01
40 60 100 130 150 180 200 220 240
高度
s(cm)
353 387 505 552 579 648 659700 725
时间
t(ms)
（1）画出s关于t的散点图，这些点在一条直线附近吗？
（2）设，画出s关于x的散点图，这些点在一条直线附近吗？
（3）求出s关于x的线性返回方程.
解：（1）高度s关于时间t的散点图见下面，从图中可以看到这些点似乎在一条直线附近，也好像在一条抛物线附近
50
7090110130150170190210230250300
400
500600
700
t
y
（2）高度s 关于x 的散点图见下面，从图中可以看到这些散点大致在一条直线附近
50
7090110130150170190210230250100000
200000
300000400000500000
x
y
（3）可以求得s 关于x 的线性回归方程是s=0.0004901x －18.8458 父亲身高（x ） 60 62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿子身高（y ）
63.5 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70
（2）求出y 与x 之间的线性回归方程；
（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高. 解：（1）散点图见下面：
6466687060
62
64
66
68
70
72
74
（2）从散点图可以看出，这些点都分布在一条直线附近，可求得线性回归方程为
98.354645.0+=∧
x y
（3）当73=x 时，9.6998.35734645.0≈+⨯=∧
y
所以当父亲的身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸. 四、典型习题导练
1．回归直线方程的系数a,b 的最小二乘估计使函数),(b a Q 最小，Q 函数指（ ）.
A ．
2
1
)(∑=--n
i i i
bx a y
B.∑=--n
i i i bx a y 1
C ．2)(i i bx a y -- D.i i bx a y --
2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论在儿子的身高y 与父亲的身高x 的线性回归方程bx a y +=∧
中，b （ ）.
A ．在（－1，0）内 B.等于0 C ．在（0，1）内 D.在[1，+∞]内
3．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下： 温度x 0 10 20 50 70 溶解度 y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
则由此得到的回归直线的斜率是 （保留4位有效数字）
4．下面的数据是年龄在40至60岁的男子中随机抽取的6个样本，分别测定了心脏功能水平y （满分100），以及每天画在看电视上的平均时间x （小时） 看电视平均时间x 4.4 4.6 2.7 5.8 0.2 4.6 心脏功能水平y
52
53
69
57
89
65
则x 与y 的样本相关系数为 . 5．某地区近年来冬季的降雨量x(cm)与次年夏季空气中碳氢化合物的最高平均浓度y （ppm ），的观测数据如下表： 年份 n 1988 1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
x 28
22 31 23 58 33 21 20 45 31 23 16 14
y 4.5 4.1 4.8 4.2 4.6 3.6 3.1 2.8 3.4 2.6 2.3 2.2 2.0 6．每立方米混凝土的水泥用量x （单位：kg ）与28天后混凝土的托压强度（单位：kg/cm 2
）x 150
160
170
180
190
200
210
220
230 240
250
260
Y
56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7
（1）y 与x 是否具有线性相关关系？
（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程.
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高三数学回归课本(教师)整合版
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2 高三数学回归课本材料 必修1：集合与函数 1、(P14:10)对于集合,A B ，我们把集合{},x x A x B ∈?且叫做集合A 与B 的差集，记做 A B -，若A B -=?，则集合A 与B 之间的关系是 .B A ? 2、（P37：7）下列说法正确的是____________________(2)(3) （1）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R 上的增函数； （2）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R 上不是减函数； （3）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间[)+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数. （4）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间()+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数. 3、(P40: 4)对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是__________________(2) （1）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数；(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； （3）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)不是奇函数； 4、(P29:10)已知集合A=R,B={-1,1},对应法则f ：当x 为有理数时，f(x)=－1；当x 为无理数时，f(x)=1.该对应 _______是___________(填是或不是)从集合A 到集合B 的函数 5、(P32:6)已知A={1，2，3，4},B={1，3，5}则_____________是从集合A 到集合B 的函数 答案不唯一，如0)(x x f = 引申题：直线x a =和函数()y f x =的图像的公共点可能有 个. 0或1 6、(P55:11)对于任意的R x x ∈21,,若函数f(x)=x 2， 则 )2(2)()(2121x x f x f x f ++与的大小关系为________；)2 (2)()(2 121x x f x f x f +≥+ 引申题：(P71:12)对于任意的),0(,21+∞∈x x ,若函数f(x)=lgx ，则 结论又如何呢？ 7、(P94：19)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是{}1,4，则函数的定义域为 _____ {}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,2------------ 引申题(P33：13)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是[1,4]，则这样的函数有___________个. 无数 8、(P94:22)如果f(x)=x+1，则(((())))n f f f f f x 个 ＝ . x+n
高三数学教案 线性回归方程(1)
第1页 共4页 课题：§2.3.1线性回归方程（1） 一．教学任务分析: （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. (2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． (3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程进行预测. 二．教学重点与难点： 教学重点：回归直线方程的求解方法． 教学难点：回归直线方程的求解方法. ↓ ↓ ↓ 1．创设情景，揭示课题 6 个数对所表示的点在坐标系内标出，得到散点图. 从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近. 如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线. 如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之间的关系.
第2页 共4页 2.最小二乘法 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小. 即: 用方程为?y bx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么，怎样衡量直线?y bx a =+与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个?y 的值: 26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越接 近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和: 222222 22(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172 Q a b b a b a b a b a b a b a b a ab b a =+-++-++-++-+ +-+-+-=++--+ (,)Q a b 是直线?y bx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线?y bx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) . 先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当1403820 21286a b -=- ?时, Q 取得 最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当140460 12 b a -=-时, Q 取得最 小值.因此,当14038202128614046012 a b b a -?=-???? -?=-??时，Q 取得最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为? 1.647757.5568y x =-+.当5x =-时,?66y ≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 3.线性回归方程的求解方法 当,a b 使1122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称 ?y bx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.
线性回归方程[高考数学总复习][高中数学课时训]
线性回归方程 1.下列关系中，是相关关系的为 （填序号）. ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 答案 ①② 2.为了考察两个变量x 、y 之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两人的试验中发现变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ,变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ,那么下列说法中正确的是 （填序号）. ①直线l 1,l 2有交点（s ,t ) ②直线l 1,l 2相交，但是交点未必是(s ,t ) ③直线l 1,l 2由于斜率相等，所以必定平行 ④直线l 1,l 2必定重合 答案 ① 3.下列有关线性回归的说法，正确的是 （填序号）. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系 ②散点图能直观地反映数据的相关程度 ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 ④任一组数据都有回归直线方程 答案 ①②③ 4.下列命题： ①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示； ③通过回归直线y ?=b ?x +a ?及回归系数b ?,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. 其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③ 5.已知回归方程为y ?=0.50x -0.81,则x =25时，y ?的估计值为 . 答案 11.69 例1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2） 你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而 基础自测
【教学】高三数学总复习124线性回归方程教学案新人教版必修1
【关键字】教学 12.4线性回归方程 一、知识导学 1．变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达 2．能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系 当a,b使 取得最小值时，就称为拟合这n对数据的线性返回方程，将该方程所表示的直线称为返回直线. 4．线性返回方程中的系数满足： 由此二元一次方程组便可依次求出的值： （*） 5．一般地，用返回直线进行拟合的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； （2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出，并写出线性返回方程. 二、疑难知识导析 1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系. 2．用最小二乘估计方法计算得到的使函数达到最小 3．还有其他寻找较好的返回直线的原则（如使y方向的偏差和最小，使各点到返回直线的距离之和最小等） 4．比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系. 5．“最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线在垂直方向上的距离的平方和最小的直线，用这个方法，的求解最简单 三、经典例题导讲 问y与x的(样本)相关系数r是多少?这是否说明y与x没有关系? 错解： 所以相关系数r=0,即y与x没有关系. 错因：相关系数r=0并不是说明y与x没有关系，而是说明y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.
2021_2022学年新教材高中数学第7章统计案例§1一元线性回归学案北师大版选择性必修第一册202
§1 一元线性回归 1.1 直线拟合 1.2 一元线性回归方程 学 习 任 务 核 心 素 养 1．通过实例掌握回归分析的根本思想方法．(难点) 2．会利用最小二乘法求线性回归方程，并能用线性回归方程进展预报．(重点) 通过线性回归方程的应用，培养数学建模与数据分析素养． 圆的周长l 与半径r 是什么关系？父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？这两个问题有什么不同？ 1．变量之间的相关关系 (1)变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y 与身高x ．一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性． (2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将成对数据(x i ，y i )所对应的点描出来，这些点构成的图称为散点图． (3)在两个变量X 和Y 的散点图中，假如所有点看上去都在一条光滑的曲线附近波动，此时就可以用这条曲线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为曲线拟合；假如所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用这条直线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为直线拟合． 2．最小二乘法 如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用∑n i ＝1 [y i － a ＋bx i ]2来刻画这
些点与直线Y ＝a ＋bX 的接近程度，使得上式达到最小值的直线Y ＝a ＋bX 就是要求的直线，这种方法称为最小二乘法． 3．线性回归方程 假设成对数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归方程为Y ＝a ＋bX ，如此 b ^＝ ∑ n i ＝1x i －x y i －y ∑ n i ＝1 x i －x 2 ＝ ∑n i ＝1 x i y i －n x －y － ∑n i ＝1 x 2i －n x 2 ，a ^＝y －b ^ x ． 在线性回归方程Y ＝a ＋bX 中，当一次项系数b 为正数时，其散点图有什么特征？ [提示]在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势． 1．思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞) (1)正方体的体积V 与其边长a 是函数关系．( ) (2)西瓜藤的长短与西瓜的产量不是函数关系．( ) (3)散点图可以粗略地判断两个变量是否具有线性相关关系．( ) (4)在求线性回归方程之前，应先判断这两个变量是否具有线性相关关系．( ) [答案](1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．根据下表中的数据，得到的回归方程为Y ＝bX ＋9，如此b ＝( ) X 4 5 6 7 8 Y 5 4 3 2 1 A ．D [由题意可得x ＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝1 5×(5＋4＋3＋2＋1)＝3，∵回归方程 为Y ＝bX ＋9且回归直线过点(6，3)，∴3＝6b ＋9，解得b ＝－1．] 3．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据： 天数X /天 3 4 5 6 7 繁殖个数Y /万个 3 4 c
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习67---线性回归分析与统计案例
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习 专题67 线性回归分析与统计案例 一、单项选择题 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m ， 如下表：则哪位同学的试验结果体现A ，B 两变量有更强的线性相关性( ) A ．甲 B ．乙C ．丙 D ．丁 2．某工厂某产品产量x(千件)与单位成本y(元)满足回归直线方程y ^ ＝77.36－1.82x ，则以下说法中正确的是( ) A ．当产量为1千件时，单位成本为75.54元 B ．当产量为2千件时，单位成本为73.72元 C ．产量每增加1 000件，单位成本约下降1.82元 D ．产量每减少1 000件，单位成本约下降1.82元 3．(2021·郑州质 检)某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^.若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力约为( ) A ．9.2 B ．9.5C ．9.8 D ．10 4．(2021·济宁邹城市模 拟)2020年初，新型冠状病毒(COVID －19)引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构 采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，
每周治愈的患者人数如下表所示： 可得y关于x的二次回归方程为y ^ ＝6x2＋a，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为( ) A．5 B．4C．1 D．0 5．(2021·长春质 检)某学校为了采取治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表： 则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为( ) A．0.1% B．0.5%C．99.5% D．99.9% 附：K2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） ，其中n＝a＋b＋c＋d. 6．(2021·衡水中学模 拟)某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机 动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点，得到广大用户的青睐，该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示． 根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为y ^ ＝6.5x＋t，则可以预测2022年该型号无人机的销量大约为( ) A．50万件B．54.5万件C．55万件D．58万件
高中数学《一元线性回归模型及其应用》教案
8．2 一元线性回归模型及其应用 第一课时一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 【课前预习】 新知探究 恩格尔系数(Engel’s Coefficient)是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额． 一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 问题恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 提示为了对两个变量线性相关关系进行预测，我们通常建立一元线性回归模型进行预测． 1．一元线性回归模型 我们称
⎩⎨⎧Y ＝bx ＋a ＋e ，E （e ）＝0，D （e ）＝σ 2 为Y 关于x 的一元线性回归模型，其中Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量；a 和b 为模型的未知参数，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差． 2．线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心(x － ，y － )，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将y ^＝b ^x ＋a ^称为Y 关于x 的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^，a ^叫做b ，a 的最小二乘估计(least squares estimate )， 其中 拓展深化 [微判断] 1．两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差．(×) 提示 产生随机误差的原因有多种，测量工具和测量精度仅仅是其中的一个方面． 2．线性回归方程最能代表观测值x ，y 之间的线性关系，且回归直线过样本点 的中心(x － ，y － )．(√) [微训练] 1．(多选题)下列有关回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^叙述正确的是( ) A ．反映y ^与x 之间的函数关系 B ．反映y 与x 之间的函数关系 C ．表示y ^与x 之间不确定关系 D ．表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线
2021年高三数学上 18.3《线性回归方程》学案 沪教版
2019-2020年高三数学上 18.3《线性回归方程》学案 沪教版 【目标引领】 1． 学习目标： 了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。 2． 学法指导： ①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性． ②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误． ③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识． 【教师在线】 1． 解析视屏： 1．相关关系的概念 在实际问题中，变量之间的常见关系有两类： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S 与其边长之间的函数关系（确定关系）； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系） 相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 2．求回归直线方程的思想方法 观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？ 引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下： 设所求的直线方程为，其中a 、b 是待定系数。 则ˆ(1,2,,)i i y bx a i n =+=⋅⋅⋅⋅，于是得到各个偏差。
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教 学案 引言 本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标 人教版高考数学考试。以下是教学案的详细内容。 目标 1. 复并巩固高三数学的核心知识点。 2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。 3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵 活应用知识。 教学内容 教学内容主要包括以下部分： 1. 数系与代数 - 实数与复数 - 集合与命题
- 数列与数列极限 - 等差数列与等比数列 2. 函数与方程 - 函数与方程基本概念 - 一次函数与二次函数 - 指数与对数 - 三角函数与三角方程 3. 解析几何与向量 - 平面与空间几何 - 二次曲线与常平面 - 直线与平面的位置关系 - 向量与向量运算 4. 概率与统计 - 随机事件与概率 - 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查 - 相关与回归分析
教学方法 为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法： 1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。 2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练 题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。 3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的 研究兴趣和数学思维。 4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论 和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。 教学评估 为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法： 1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识 点的理解和掌握情况。 2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。
最新版-高中数学必修一教案【优秀4篇】
高中数学必修一教案【优秀4篇】 高中数学必修一教案篇一重点难点教学： 1.正确理解映射的概念； 2.函数相等的两个条件； 3.求函数的定义域和值域。 一。教学过程： 1. 使学生熟练掌握函数的概念和映射的定义； 2. 使学生能够根据已知条件求出函数的定义域和值域； 3. 使学生掌握函数的三种表示方法。 二。教学内容： 1.函数的定义 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么称：fAB为从集合A到集合B 的一个函数(function)，记作： (),yfxxA 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域(range)。显然，值域是集合B的子集。 注意： ① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”; ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x. 2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域。 3.映射的定义 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意 一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
4. 区间及写法： 设a、b是两个实数，且a (1) 满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]; (2) 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b); 5.函数的三种表示方法①解析法②列表法③图像法 高中数学必修一教案篇二一、教学目标 1、知识与技能 （1）理解对数的概念，了解对数与指数的关系； （2）能够进行指数式与对数式的互化； （3）理解对数的性质，掌握以上知识并培养类比、分析、归纳能力； 2、过程与方法 3、情感态度与价值观 （1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神； （2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程； （3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质、 二、教学重点、难点 教学重点 （1）对数的定义； （2）指数式与对数式的互化； 教学难点
2020届高三数学一轮复习 《回归分析》学案
《回归分析》学案 【考纲要求】 1．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用． 【知识梳理】 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 2．回归方程 两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ， 其回归直线方程为$$y a bx =+$．其中,a b 为回归系数，计算公式 $11222 11()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧ --- ⎪ ⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$ 其中11 11,n n i i i i x x y y n n ====∑∑，(,)x y 称为样本点的中心． 3．线性回归模型 (1)表达式y bx a e =++. (2)基本概念：①a 和b 为模型的未知参数． ②e 是y 与bx a +之间的误差，称为随机误差．$()e y y y bx a =-=-+$． 4．衡量回归方程的预报精度的方法 (1)残差平方和法：①µi e 称为相应于点(,)i i x y 的残差．µµ()i i i i e y y y bx a =-=-+，1,2,i n =⋅⋅⋅,． ②残差平方和 µ21 ()n i i i y y =-∑越小，模型的拟合效果越好． (2)残差图法： 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． (3)利用相关指数2 R 刻画回归效果：其计算公式为：µ 2 2 1 2 1 ()1() n i i i n i i y y R y y ==-=- -∑∑； 其几何意义：2 R 越接近于1，表示回归的效果越好．
高三数学一轮复习学案：第99课时--线性回归方程--回归分析
第99课时 线性回归方程 回归分析 [复习巩固] 1、某次考试后，老师算出了全班60个人的数学成绩平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来60个人的分数一起，算出这61个分数的平均值为N ，则M ：N 为______ 2、某工厂生产一批产品，它们来自于甲、乙、丙、丁四个车间，为了检验这批产品的质量，决定采用分层抽样法，共抽取了160件。如果甲、乙、丙、丁四个车间抽取的个体数组成一个公差为20的等差数列且已知乙车间共生产了1200件产品，则这批产品共有_____件。 3、某人5次上班途中所花的时间（分钟）分别x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为_________ 4、已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，方差为2，则一组新数据2x 2x n -1的平均数和方差分别为__________，__________。 5、如图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是_____分。 [要点梳理] 1、两个变量间的相关关系 以散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，则称两个变量之间具有线性相关关系。这条直线叫回归直线。 2、线性回归方程 具有线性相关关系的两个变量，其线性回归方程y a bx =+，其中a =_____，b =_____。 系数a ，b 叫做回归系数，相应的直线叫回归直线。 3、最小二乘法 4、相关系数，相关关系的判断 三、基础练习 1、线性回归方程表示的直线恒过下面四点中的__________ A 、（0，0） B 、（x ，0） C 、（0，y ） D 、（x ，y ） 2、设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有如下表格 又y 与x 呈线性相关关系其回归方程为__________
2023高考数学一轮复习(基础版)第47讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用
第47讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用 A 组 夯基精练 一、 单项选择题(选对方法，事半功倍) 1. (2021·威海一模)某产品的研发投入费用x (单位：万元)与销售量y (单位：万件)之间的对应数据如下表所示： 根据表中的数据可得经验回归方程y ＝2.27x －a ，决定系数R 2≈0.96，以下说法正确的是( ) A. 第四个样本点对应的残差e ∧ 4＝－1，回归模型的拟合效果一般 B. 第四个样本点对应的残差e ∧ 4＝1，回归模型的拟合效果较好 C. 销售量y 的多少有96%是由研发投入费用引起的 D. 销售量y 的多少有4%是由研发投入费用引起的 2. 已知变量x 与变量y 的取值如下表所示，且2.5＜m ＜n ＜6.5，则由该数据算得的经验回归方程可能是( ) A. y ∧ ＝0.8x ＋2.3 B. y ＝2x ＋0.4 C. y ∧ ＝－1.5x ＋8 D. y ∧ ＝－1.6x ＋10 3. (2021·上饶一模)在对具有线性相关关系的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据： 由表中数据求得y (6,1.9)，(8,3)，(10,3.9)这四个样本点中，距离回归直线最近的点是( ) A. (4,1.3) B. (6,1.9) C. (8,3) D. (10,3.9) 4. 某水产销售店近期订购了一批咸鱼，销售五天后，准备重新制定一个合
理的价格，这五天的销售情况统计如下： 销售单价x /元 9 9.5 10 10.5 11 销售量y /kg 305 280 250 240 225 已知销售量y 与销售单价x 呈线性相关，若该批咸鱼的进价为5元/kg ，那么为了获得最大收益，该批咸鱼的销售单价应定为( ) A.9.75元 B. 10.25元 C. 10.75元 D. 11.25元 二、 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的) 5. 下列说法正确的是( ) A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 C. 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D. 在经验回归直线方程y ∧ ＝0.1x ＋10中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位 6. (2021·梅州三模)5G 技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．目前，我国加速了5G 技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G 手机销量，如下表所示： 月份 2020年 6月 2020年 7月 2020年 8月 2020年 9月 2020年 10月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y /部 52 95 a 185 227 若y 与x 线性相关，由上表数据求得线性经验回归方程为y ＝44x ＋10，则下列说法正确的是( ) A. 5G 手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
高三数学(理)正态分布、线性回归、复数 知识精讲 人教版
高三数学（理）正态分布、线性回归、复数 知识精讲 人教版 一. 本周教学内容： 正态分布、线性回归、复数 二. 重点、难点： 1. 正态分布，N （2 ,σμ） R x e x f x ∈=--22 2)(21 )(σμσπ （μ、σ为参数，σ>0） （1）曲线在x 轴上方。 （2）关于μ=x 对称。 （3）μ=x 时y 最大。 （4）↓+∞↑-∞),(),(μμ 2. 线性回归 应验证 样本相关系数 3. 复数 ),(R b a C bi a z ∈∈+= Z n i i i i i i n n n n ∈-=-===+++34241441 1 【典型例题】 [例1] 标准正态分布N （0，1），2221)(x e x f -= π，R x ∈的性质 解：R x e x f y x ∈= =-2221)(π （1）偶函数 （2）0=x π 21 max =y （3）↑-∞)0,(↓+∞),0( （4）)(1)()(000x x x P x -Φ-=<=Φ （5）)()()(a b b x a P Φ-Φ=<<),(2σμN 转化为 )1,0(2N （6）)()()(σμ ξ-Φ=<=x x P x F [例2] 一台自动包装机向袋中装糖果，标准是每袋64g ，但因随机性误差，每袋具体重量有波动，据以往资料认为袋装糖果的重量ξ服从正态分布)5.1,64(2N 。试问随机抽一袋糖果，其重量超过65g 的概率是多少？ 解：)5 .16465()65(->=>t P P ξ )67.0(>=t P )67.0(1)67.0(1Φ-=<-=t P 2514.07486.01=-=
2019-2020年高三数学 1.6线性回归(第二课时)大纲人教版选修
2019-2020年高三数学 1.6线性回归(第二课时)大纲人教版选修课题 线性回归(二) 教学目标 一、教学知识点 1.加深理解两个变量之间的相关关系、线性回归、线性回归分析等基本概念. 2.深入理解相关性检验、样本相关系数、概念及意义、作用. 3.进一步理解并掌握一元线性回归分析、回归直线方程. 二、能力训练要求 1.会用公式求一元线性回归方程=bx+a,其中 ∑ ∑ = = - - = n o i n i i i x n x y x n y x b 1 2 2 1, x b y a- =. 2.会用样本相关系数公式 ) )( ( 1 2 2 1 2 2 1 ∑ ∑ ∑ = = = - - - = n i i n i i n i i i y n y x n x y x n y x r求出样本相关系数. 3.会用有关公式对两个变量进行相关性检验. 三、德育渗透目标 1.培养学生收集信息、处理信息的动手操作能力(如统计数据,列表求值,进行相关系数r 的检验分析),培养学生分析问题和解决问题的能力. 2.培养学生函数与方程、数形结合等数学思想方法,培养学生的辩证唯物主义观点. 3.培养学生的情感、意志、刻苦耐劳、科学求是求实的非智力因素,要有科学方法和态度. 教学重点 线性回归分析中,回归直线方程和样本相关系数及相关性检验是本节课的教学的重点内容.在具体问题里是先进行相关性检验,通过检验确认两个变量具有线性相关关系后,再求其线性回归方程.否则,所求的线性回归方程是无意义的.相关性检验是一种假设检验,这种检验的统计假设是两个变量不具有线性相关关系. 教学难点 相关性检验是本节课的教学难点,相关系数检验法中规定,|r|越接近于1,表明相关程度越好；|r|越接近于0,表明相关程度越差.由于教材中,未明确提出要检验的统计假设是什么,而且所用的显著性水平只有0.05,对0.01等显著性水平课本中采用了回避的做法. 教学方法 启发式的教学方法,启发性教学原则是建构主义观点的一种重要的教学原则,让学生通过讨论来达到主动建构的目标. 教具准备 幻灯机(或实物投影仪) 教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课我们学习了线性回归中的有关概念和回归直线方程、回归直线等.请同学们回顾这些基本内容.
高三数学 1.6线性回归(第一课时)大纲人教版选修
高三数学 1.6线性回归(第一课时)大纲人教版选修 课时安排 2课时 从容说课 本节主要是研究线性回归的概念及线性回归的回归直线.通过大家都熟悉的例子引入线性回归的概念.如在实际生活中,变量之间的关系,除了如同圆面积S=πR2这类确定性关系外,还有一类“相关”关系.例如,人的下身长与总身高这两个变量之间虽然不可能建立一个精确的解析式,但这两个变量有着密切的关系,一般说来,下身长的人长得也高.又如,中学毕业班学生毕业考试的成绩与高考成绩之间虽然不可能建立精确的解析式,但它们的关系也非常密切,一般说来,毕业考试成绩好的学生高考成绩也好.为了深入考察这一情形,可以再举一些例子加以说明,用坐标系将对应(x i,y i)的这些数组标出,从直观上看,如果所有的点都在某条直线上,那么用这条直线去代表这一组点,反映它们的变化趋势,自然是再好不过了.这时,对于这一组点,这样的一条直线具有最好的代表性.另一个极端是如果所有的点都不在某条直线上,且这条直线远远偏离这些点,我们自然会认为,用这条直线去代表这一组点,代表性极差.然后取一条直线让这些点到这条直线的距离的总和较小,但这样做比较困难,可以通过假定直线=bx+a去模拟,这条直线称为回归直线.然后再返回到实际问题,通过实际问题的求解,概括出求回归直线方程的具体步骤,这一点可由学生来完成,培养学生的概括能力是十分重要的.本节可以安排两课时. 第十一课时 课题 § 1.6.1线性回归(一) 教学目标 一、教学知识点 1.理解变量之间的相关关系的概念、线性回归的概念及相关性检验等概念. 2.了解线性回归的基本思想和方法. 3.理解并掌握一元线性回归分析、回归直线方程. 二、能力训练要求 1.会用配方法来求回归直线方程. 2.能灵活运用线性回归方程解决有关实际问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生辩证唯物主义观点(动与静、数与形、分与合等辩证观),培养学生数形结合、函数与方程的数学思想. 2.培养学生分析问题、解决问题的能力,收集信息和处理信息的能力. 3.培养学生具有“学生活的知识、学生存的技能、学生命的意义”的新学生观. 教学重点 线性回归的基本思想和方法是本节课的重点内容,我们研究的是回归分析中最简单,也是最基本的一种类型——一元线性回归分析,它不仅有着广泛的直接应用,而且是进一步学习回归分析的基础.例如,多元线性回归分析的原理与一元线性回归分析的原理是一样的,一些非线性回归问题可以转化成线性回归问题来进行解决. 教学难点 回归直线方程是本节课的教学的难点.我们是用配方法来求回归直线方程的.配方法在解决一些涉及二次多项式的问题时有着重要的作用,用配方法进行这种推导虽然看上去较为复杂,但解决问题的思路却是较为清楚的.
8.2一元线性回归模型及其应用(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选
一元线性回归模型及其应用 一、一元线性回归模型与函数模型 一元线性回归模型：我们称⎩⎨⎧ Y ＝bx ＋a ＋e ， E e ＝0，D e ＝σ2为Y 关于x 的一元线性回 归模型，其中，Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量；a 和b 为模型的未知参数，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差． 二、最小二乘法和经验回归方程 最小二乘法：我们将y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^ ，a ^叫做b ，a 的最小二乘估计， 其中b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i －x y i －y ∑i ＝1 n x i －x 2 ，a ^ ＝y －b ^ x . (1)经验回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过点(x ，y )． (2)b ^ 的常用公式b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 . 三、利用经验回归方程进行预测
(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图． (2)求经验回归方程，注意运算的正确性． (3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差． 四、残差及残差分析 1．残差：对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 五、对数函数模型y ＝c 1＋c 2ln x 对数函数模型y ＝c 1＋c 2ln x 的求法 (1)确定变量，作出散点图． (2)根据散点图，做出y ＝c 1＋c 2ln x 的函数选择． (3)变量置换，令z ＝ln x ，通过变量置换把问题转化为＝1＋2z 的经验回归问题，并求出经验回归方程＝1＋2z . (4)根据相应的变换，写出＝1＋2ln x 的经验回归方程． 六、残差平方和与决定系数R 2 1．残差平方和法 残差平方和 i ＝1n (y i －i )2越小，模型的拟合效果越好． 2．决定系数R 2 可以用R 2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R 2越大，模型拟合效果越好，R 2越
第42讲 回归直线方程(解析版)-【高考艺术生专用】2022年高考数学复习(,全国通用版)
第42讲 回归直线方程 一、单选题 1．（2021·陕西王益·高一期中）下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆ525y bx =+.，则b 等于（ ） A ．1- B ．0.9- C ．0.8- D ．0.7- 【答案】D 【详解】 由于回归直线必经过点() ,x y ，而 2.5x =， 3.5y =， ∴3.5 2.5 5.5ˆ2b =⨯+，∴0.7b =-. 故选:D . 2．（2021·河南许昌·（文））下表是某产品1~4月份销量（单位：百件）的一组数据，分析后可知，销量y 与月份)(17x x <<之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是0.6ˆˆ=-+y x a ，则预测5月份的销量是（ ） A ．2 B ．1.5 C ．2.5 D ．1.6 【答案】A 【详解】 由数表得1234 4.543 2.5 2.5, 3.544 x y ++++++= ===， 由此得样本点的中心(2.5,3.5)，并且该点在回归直线0.6ˆˆ=-+y x a 上， 则有ˆ3.50.6 2.5a =-⨯+，解得ˆ5a =，即回归直线方程为0.65ˆy x =-+， 当5x =时，0.6552ˆy =-⨯+=， 所以预测5月份的销量是2. 故选：A 3．（2021·安徽黄山·高二期末（文））如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程ˆˆy bx a e =++（单位：亿元），其中，ˆ0.8b =，2a =，0.5e ≤．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ）
A ．9亿元 B ．9.5亿元 C ．10亿元 D ．10.5亿元 【答案】D 【详解】 因为ˆˆ0.82y bx a e x e =++=++，所以当10x =时， 8210100.510.5y e e =++=+≤+=． 故选：D ． 4．（2021·云南保山·（文））某种产品的投入x （单位：万元）与收入y （单位：万元）之间的关系如表： 若已知与的线性回归方程为 6.517.5y x =+，那么当投入为4万元时，收入的随机误差为（ ）万元．（随机误差＝真实值－预测值） A ．-4.5 B ．4.5 C ．3.5 D ．-3.5 【答案】D 【详解】 取4x =，得 6.517.543.5y x =+=， ∴当投入为4万元时，随机误差4043.5 3.5=-=-， 故选：D ． 5．（2021·河北运河·沧州市一中）下表记录了某产品的广告支出费用x （万元）与销售额y （万元）的几组数据： ） A ．30 B ．26 C ．23 D ．20 【答案】D 【详解】 解：由已知可得：1 (2356)44x =+++=， 代入ˆ72y x =+，得30y =， 154045304t ∴+++=⨯， 解得：20t =，