倒立摆研究报告(DOC)
倒立摆实验报告根轨迹
倒立摆实验报告根轨迹摘要：本实验通过倒立摆实验，研究了倒立摆系统的根轨迹特性。
实验中使用了倒立摆系统，通过对系统阻尼比和控制增益的调节，观察了根轨迹的变化情况。
实验结果表明，当阻尼比和控制增益适当选择时，系统表现出稳定性和良好的控制性能。
引言倒立摆（Inverted Pendulum）是一种非线性控制系统，由垂直放置的杆和单个质点组成。
倒立摆系统在实际应用中具有广泛的应用前景，例如在无人平衡车、自行车倒立控制等领域。
倒立摆系统的稳定性和控制性能是非常重要的研究问题。
而根轨迹法是一种分析控制系统稳定性和性能的常用方法。
本实验旨在通过根轨迹的分析，研究倒立摆系统的稳定性和控制性能。
实验流程和方法本实验使用了一个由伺服电机、倒立摆、放大器和数据采集系统组成的倒立摆平台。
首先，调节倒立摆系统保持平衡的位置，通过控制器控制倒立摆的角度。
随后，分别调节系统的阻尼比和控制增益，观察根轨迹的变化情况。
实验中使用示波器记录了系统的输出响应，并利用MATLAB进行数据分析和根轨迹的绘制。
实验结果与分析根据实验记录的数据和MATLAB分析，我们得到了不同阻尼比和控制增益下的根轨迹曲线。
以下是实验中的一些典型结果和分析。
1.高阻尼情况下的根轨迹当系统的阻尼比较高时，根轨迹近似于一个稳定的圆。
这是因为高阻尼抑制了系统的振荡，使系统的相对稳定，并且响应速度较快。
然而，高阻尼比可能会导致系统的超调响应过大，因此在选择阻尼比时需要综合考虑。
2.低阻尼情况下的根轨迹当系统的阻尼比较低时，根轨迹呈现出振荡的特点。
这是由于低阻尼下系统的振荡现象不易被抑制。
可以观察到，随着阻尼比的减小，根轨迹呈现出越来越多的振荡周期，并且在左右对称分布。
低阻尼情况下，系统可能会出现很大的超调和震荡，因此需要适当增加控制增益以提高控制性能。
3.不同控制增益下的根轨迹图形显示，控制增益的选择对根轨迹起着重要作用。
当增益较小时，系统表现出较慢的响应速度，并且具有较大的超调。
倒立摆实验报告自动化仓库货物搬运
倒立摆实验报告：自动化仓库货物搬运（）一、引言随着我国经济的快速发展，物流行业日益繁荣，自动化仓库成为现代物流体系的重要组成部分。
自动化仓库货物搬运系统作为仓库管理的核心环节，其效率和稳定性直接影响到整个物流系统的运行。
倒立摆作为一种先进的自动化搬运技术，具有结构简单、响应速度快、控制精度高等优点，逐渐成为自动化仓库货物搬运领域的研究热点。
本实验报告以倒立摆实验为研究对象，探讨其在自动化仓库货物搬运中的应用前景。
二、实验目的1.研究倒立摆系统在自动化仓库货物搬运中的运动特性及稳定性。
2.分析倒立摆系统在不同工况下的控制策略及性能。
3.探讨倒立摆系统在实际应用中的可行性及优化方向。
三、实验原理倒立摆系统是一种典型的非线性、强耦合、不稳定系统，其基本原理如图1所示。
倒立摆由摆杆、质量块和驱动电机组成，通过控制电机的旋转速度，使摆杆在垂直平面内做往复运动，实现质量块的搬运。
图1倒立摆系统原理图四、实验方案1.实验设备：倒立摆实验平台、驱动电机、编码器、数据采集卡、计算机等。
2.实验步骤：a.搭建倒立摆实验平台，确保设备正常运行。
b.编写倒立摆系统控制程序，实现摆杆的运动控制。
c.采集倒立摆系统运动过程中的数据，包括摆杆角度、角速度、电机电流等。
d.分析倒立摆系统在不同工况下的运动特性及稳定性。
e.根据实验结果，优化控制策略，提高倒立摆系统的性能。
五、实验结果与分析1.倒立摆系统运动特性分析：通过实验观察到，倒立摆系统在运动过程中存在明显的非线性现象，如摆杆角度和角速度的周期性波动。
在初始阶段，摆杆角度波动较大，随着控制策略的优化，摆杆角度逐渐稳定在平衡位置附近。
此外，倒立摆系统在不同工况下的运动特性也存在差异，如在负载变化、外界干扰等因素影响下，摆杆角度波动幅度增大，稳定性降低。
2.倒立摆系统稳定性分析：实验结果表明，倒立摆系统的稳定性受到多种因素的影响，如控制参数、外界干扰等。
在控制参数合适的情况下，倒立摆系统可以保持较好的稳定性。
倒立摆实验报告
专 业 实 验 报 告 实验名称倒立摆实验 实验时间 姓名 学号一、实验内容1、直线一级倒立摆建模1.1 受力分析针对直线一级倒立摆，在实际的模型建立过程中，可忽略空气流动阻力和其它次要的摩擦阻力，则倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，如图所示。
图1 小车系统各参数定义：M ：小车质量m ：摆杆质量β：小车摩擦系数l: 摆杆转动轴心到杆质心的长度I ：摆杆惯量F ：加在小车上的力X ：小车位置Ф：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角摆杆受力和力矩分析图2 摆杆系统摆杆水平方向受力为：H摆杆竖直方向受力为：V由摆杆力矩平衡得方程：cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩&&&&&& （1） 代入V 、H ，得到摆杆运动方程。
当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程：1.2 传递函数模型以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令，进行拉普拉斯变换得到传递函数：22()()mlG sml I s mgl=+-（2）倒立摆系统参数值：M=1.096 % 小车质量，kgm=0.109 % 摆杆质量，kg0.1β=% 小车摩擦系数g=9.8 % 重力加速度，l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，mI= 0.0034 % 摆杆转动惯量，以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为：20.02725()0.01021250.26705G ss=-（3）1.3 倒立摆系统状态空间模型以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量：(,,,)x x xθθ=&&（4）由2()I ml mgl mlxθθ+-=&&&&得出状态空间模型01001000000013300044xxxxxgglμθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&（5）μθθθ'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11&&xxxy（6）由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式：（7）111()()n n n n f s sI A BK s a s a s a --=--=++++L （11）设期望特征根为***12,,,n λλλL ，则期望特征多项式为：***1111()()()n n n n n f x s s s b s b s b λλ--=--=++++L L （12）由*()()f s f s =求得矩阵K 。
倒立摆创新实践报告
一、倒立摆系统介绍1、倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
GIP 系列倒立摆系统是固高科技有限公司，为全方位满足各类电机拖动和自动控制课程的教学需要，而研制、开发的实验教学平台。
GIP 系列的主导产品由直线运动型、旋转运动型和平面运动型三个子系列组成。
虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:非线性: 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制，倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
不确定性: 主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中,一般通过减少各种误差，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
耦合性:主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，倒立摆控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
开环不稳定性: 倒立摆的稳定状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。
约束限制:由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。
为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出，容易出现小车的撞边现象。
倒立摆作为典型的快速、多变量，高阶非线形不稳定系统，一直是控制领域研究的热点。
它不但是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法在一般工业过程中亦有着广泛的应用。
对倒立摆控制系统的研究可归结为非线形多变量绝对不稳定系统的研究。
早期的倒立摆控制律大多采用状态反馈，近年来，随着智能控制理论的发展，有人开始将模糊控制算法，神经网络用于倒立摆的控制。
倒立摆实验设计报告.doc
倒立摆实验设计报告组长：熊圣（学号5100309623）组员：黄旭（学号5100309666）杜文曾（学号5100309660）周航（学号5100309167）一、课程设计目的针对具体的设计对象进行数学建模，然后运用经典控制理论知识设计控制器，并使用Matlab进行仿真分析。
通过本次课程设计，建立理论知识和实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。
二、控制对象分析1、倒立摆系统简介支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。
相反，支点在上而重心在下的则称为顺摆。
在日常生活中，摆以不同的形式存在着。
由倒立摆和其它元件组成的元件称为倒立摆系统。
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
此为倒立摆控制器的设计目标。
倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车和摆杆的实际位置信号，和期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。
直流电机通过皮带带动小车运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力u 平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。
为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
2、倒立摆数学模型的建立理想条件下的动力学分析在忽略了空气流动以及各种摩擦力之后，可将倒立摆系统抽倒立摆模型vFMvNPbx’x X’’mg NPθI θ’’摆杆和小车受力分析各物理量的表示： 3、数学模型的推导 小车水平方向的合力：M ''x =F - b 'x - N摆杆水平方向的合力：N=m 22dtd(x+ sin θ) 代入得，水平方向运动方程：(M+m)''x + b 'x + m l ''θcos θ- m l 2')(θsin θ=F 摆杆垂直方向的合力： P –mg=m 22dtd (lcos θ)即：P –mg =- m l ''θsin θ- m l 2')(θcos θ 力矩平衡方程：-P lsin θ- Nl cos θ=I ''θ注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。
倒立摆系统__实验设计报告
倒立摆系统__实验设计报告一、实验目的本实验旨在通过对倒立摆系统的研究与实验，探讨倒立摆的运动规律，并分析其特点和影响因素。
二、实验原理与方法1.实验原理倒立摆是指在重力作用下，轴心静止在上方的直立摆。
倒立摆具有自然的稳定性，能够保持在平衡位置附近，且对微小干扰具有一定的抵抗能力。
其本质是控制系统的一个重要研究对象，在自动控制、机器人控制等领域有广泛的应用。
2.实验方法（1）搭建倒立摆系统：倒立摆由摆杆、轴心和电机组成，摆杆在轴心上下运动，电机用于控制倒立摆的运动。
（2）调节电机控制参数：根据实验需要，调节电机的参数，如转速、力矩等，控制倒立摆的运动状态。
（3）记录数据：通过相机或传感器等手段，记录倒立摆的位置、速度、加速度等相关数据，用于后续分析。
（4）分析数据：根据记录的数据，分析倒立摆的运动规律、特点和影响因素，在此基础上进行讨论和总结。
三、实验步骤1.搭建倒立摆系统：根据实验需要，选取合适的材料和设备，搭建倒立摆系统。
2.调节电机参数：根据实验目的，调节电机的转速、力矩、控制信号等参数，使倒立摆能够在一定范围内保持平衡。
3.记录数据：利用相机或传感器等设备，记录倒立摆的位置、速度、加速度等相关数据。
4.分析数据：通过对记录的数据进行分析，研究倒立摆的运动规律和特点，并探讨影响因素。
5.总结讨论：根据实验结果，进行总结和讨论，对倒立摆的运动规律、特点和影响因素进行深入理解和探究。
四、实验设备与器材1.倒立摆系统搭建材料：包括摆杆、轴心、电机等。
2.记录数据设备：相机、传感器等。
五、实验结果与分析通过实验记录的数据，分析倒立摆的运动规律和特点，找出影响因素，并进行讨论和总结。
六、实验结论根据实验结果和分析，得出倒立摆的运动规律和特点，并总结影响因素。
倒立摆具有一定的稳定性和抵抗干扰的能力，在控制系统中具有重要的应用价值。
七、实验感想通过参与倒立摆系统的搭建和实验，深入了解了倒立摆的运动规律和特点，对控制系统有了更深刻的理解。
倒立摆实验报告
倒立摆实验报告机自82组员：李宗泽李航刘凯付荣倒立摆与自动控制原理实验一. 实验目得：1、运用经典控制理论控制直线一级倒立摆，包括实际系统模型得建立、根轨迹分析与控制器设计、频率响应分析、PID 控制分析等内容、２、运用现代控制理论中得线性最优控制LQR方法实验控制倒立摆3、学习运用模糊控制理论控制倒立摆系统4、学习MATLAＢ工具软件在控制工程中得应用５、掌握对实际系统进行建模得方法,熟悉利用MATＬＡB 对系统模型进行仿真,利用学习得控制理论对系统进行控制器得设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察与分析，非常直观得感受控制器得控制作用。
二、实验设备计算机及MATＬAB、ＶC等相关软件固高倒立摆系统得软件固高一级直线倒立摆系统,包括运动卡与倒立摆实物倒立摆相关安装工具三．倒立摆系统介绍倒立摆就是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术得有机结合,其被控系统本身又就是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合得非线性系统，可以作为一个典型得控制对象对其进行研究。
倒立摆系统作为控制理论研究中得一种比较理想得实验手段，为自动控制理论得教学、实验与科研构建一个良好得实验平台,以用来检验某种控制理论或方法得典型方案,促进了控制系统新理论、新思想得发展。
由于控制理论得广泛应用,由此系统研究产生得方法与技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中得垂直度控制、卫星飞行中得姿态控制与一般工业应用等方面具有广阔得利用开发前景．倒立摆已经由原来得直线一级倒立摆扩展出很多种类,典型得有直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆与复合倒立摆等，本次实验采用得就是直线一级倒立摆。
倒立摆得形式与结构各异,但所有得倒立摆都具有以下得特性: １）非线性2）不确定性3) 耦合性4) 开环不稳定性5）约束限制倒立摆控制器得设计就是倒立摆系统得核心内容,因为倒立摆就是一个绝对不稳定得系统,为使其保持稳定并且可以承受一定得干扰,需要给系统设计控制器，本小组采用得控制方法有:ＰID控制、双PIＤ控制、ＬＱR控制、模糊PIＤ控制、纯模糊控制四.直线一级倒立摆得物理模型:系统建模可以分为两种:机理建模与实验建模。
倒立摆实验报告
倒立摆实验报告倒立摆实验报告引言：倒立摆是一种经典的力学实验，通过研究倒立摆的运动规律，可以深入理解物理学中的一些基本概念和原理。
本实验旨在通过搭建倒立摆模型并观察其运动过程，探究摆动周期与摆长、质量等因素之间的关系，并分析影响倒立摆稳定性的因素。
一、实验器材和原理实验器材：1. 木质支架2. 杆状物体（作为摆杆）3. 重物（作为摆锤）4. 弹簧5. 电子计时器实验原理：倒立摆实验基于牛顿第二定律和能量守恒定律。
当摆杆倾斜一定角度时，重力将产生一个力矩，使摆杆产生转动。
而弹簧的作用则是提供一个恢复力，使摆杆回到竖直位置。
通过调整摆杆长度、质量和弹簧的初始拉伸量，可以控制倒立摆的运动。
二、实验步骤1. 搭建实验装置：将木质支架固定在平稳的桌面上，将摆杆固定在支架上，并在摆杆的一端挂上重物。
2. 调整初始条件：调整摆杆的长度和重物的位置，使摆杆处于平衡位置。
同时，将弹簧的一端固定在摆杆上。
3. 测量实验数据：使用电子计时器记录倒立摆的摆动周期，重复多次测量，取平均值。
4. 改变实验参数：分别改变摆杆的长度、重物的质量和弹簧的初始拉伸量，再次进行测量和记录。
5. 数据分析：根据实验数据，绘制摆动周期与摆杆长度、重物质量、弹簧初始拉伸量之间的关系曲线，并进行分析和讨论。
三、实验结果与讨论根据实验数据，我们可以得出以下结论：1. 摆动周期与摆杆长度成正比：当摆杆长度增加时，摆动周期也随之增加。
这是因为较长的摆杆需要更多的时间来完成一次摆动。
2. 摆动周期与重物质量无直接关系：在一定范围内，重物质量的增加并不会显著影响摆动周期。
这是因为重物的质量只会影响倒立摆的稳定性，而不会改变其运动速度。
3. 弹簧初始拉伸量对摆动周期的影响：当弹簧的初始拉伸量增加时，摆动周期减小。
这是因为较大的初始拉伸量会提供更大的恢复力，使摆杆回到竖直位置的速度更快。
通过实验结果的分析，我们可以得出以下结论：1. 摆杆长度是影响倒立摆运动周期的主要因素。
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基于LQR控制的二级倒立摆系统研究作者：牛娟031210308王晨琳031210307王鹤彬031210312 学院：自动化指导老师：王晶、陆宁云摘要倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。
本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。
首先简要介绍了倒立摆以及倒立摆的几种常见控制方法，着重介绍了最优控制理论，其次对二级倒立摆系统进行了数学建模，最后对线性二次型最优控制原理进行了分析并使用MATLAB进行了仿真。
关键词：二级倒立摆，最优控制目录一、绪论 (3)1.1、倒立摆系统简介 (3)1.2、倒立摆系统的控制算法 (3)1.3、小结 (4)二、直线倒立摆的建模 (4)2.1、直线二级倒立摆的建模 (4)2.2、直线二级倒立摆的定性分析 (6)三、基于MATLAB的LQR仿真 (9)3.1、最优控制（LQR）简介 (9)3.2、线性二次型最有调节器原理 (9)3.3、MATLAB仿真 (10)3.4、SIMULINK仿真 (11)四、结束语 (13)4.1、小结 (13)4.2、未解决问题展望 (13)五、附录 (13)一、绪论1.1、倒立摆系统简介倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。
许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。
在控制理论发展的过程中，某种控制理论的正确性及可行性需要通过设计一个控制器去控制一个典型的控制对象去加以验证。
倒立摆系统正是这样一种比较典型的控制对象。
最简单的倒立摆可由一个可在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链组成。
倒立摆的种类繁多，分类方法也多种多样：按结构来分有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆；按级数来分有一级摆，二级摆，三级摆乃至更高级摆；按运动轨道来分有水平轨道倒立摆，倾斜轨道倒立摆；按控制电机数目来分有单电机倒立摆，多电机倒立摆。
本文所研究的是直线二级倒立摆系统。
正因为倒立摆是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的不稳定的系统，必须采取有效的控制方法才能使其稳定在平衡位置附近。
倒立摆的控制过程能有效地反映许多控制中的关键问题，如系统的非线性问题，鲁棒性问题，跟踪问题等等。
因此，对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论意义。
倒立摆的研究也具有深厚的工程背景。
任何重心在上，支点在下的控制问题都可近似化为一种倒立摆模型。
例如，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制，飞机着陆时的稳定控制，机器人行走过程中的平衡控制，各类伺服云台的稳定控制等等。
因此对倒立摆的研究也具有重要的应用价值。
1.2、倒立摆系统的控制算法从上世纪五十年代起，国外科学家开始了对倒立摆系统的研究。
1966 年Schaefer 和cannon 就应用Bang—Bang 控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。
此后，各国科学家提出了各种不同的控制方法实现对倒立摆的控制。
早期的倒立摆控制大多采用状态反馈，随着智能控制理论的发展，人们逐渐将模糊控制算法、神经网络理论等智能控制理论用于控制倒立摆。
目前，倒立摆常见的控制方法有如下几种：(1)经典控制理论的方法一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入两输出的非最小相位系统，提供了用经典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法。
根据对系统的力学分析，用牛顿第二定律，建立倒立摆非线性的运动方程，并进行线性化，拉氏变换，获得传递函数，从而得到零、极点分布情况，使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器。
为此，引入适当的反馈，使得闭环系统特征方程的根都位于左平面上。
由于经典控制理论本身的局限性，只能用来控制一级倒立摆，于复杂的二级、三级倒立摆却无能为力。
(2)现代理论控制方法用现代控制理论方法的前提是倒立摆在平衡点附近，偏移小，系统可以近似用线性模型来描述。
将倒立摆系统的非线性化的模型在系统平衡点附近进行近似线性化处理得到线性化的模型，然后再利用线性系统控制器设计方法得到控制器。
用这类控制方法对于一、二级倒立摆进行稳定控制，可以得到较好的效果，但对于三级及三级以上的倒立摆系统，有很大局限性。
现代控制的典型方法有：状态反馈控制、LQR控制算法等。
(3)神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与适应严重不确定性的系统的动态特性，所有定量与定性的信息都等势分布贮存在网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性。
但神经网络控制方法的局限性在于缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则。
神经网络的权系数常采用反向传播算法来学习，BP算法是沿着梯度下降来指导搜索，易于陷入局部极小值点，且求解精度不高。
(4)模糊控制理论是智能控制中常用的一种算法，其产生于二十世纪六十年代，是美国加利福尼亚U.C.Berkkley学校的自动控制理论专家扎德教授首先提出的，主要是为了克服过程本身的不确定性、不精确性。
因此在处理复杂系统的大时滞、时变及非线性方面显示出了极大的优越性。
经典的模糊控制器利用模糊集合理论，其设计不依靠对象精确数学模型。
模糊控制的方法对一级、二级倒立摆有较好的控制效果。
多级倒立摆是一个多变量系统，一般采用多个模糊控制器来实现。
但这样的控制方法，控制器多，控制规则复杂，可调参数也多，实现困难。
1.3、小结本文主要研究二级倒立摆的数学模型的建立与分析，对倒立摆系统进行LQR仿真。
就以下几个问题进行了论述。
(1)二级倒立摆的数学模型的建立与分析。
在建模部分，首先采用拉格朗日方程推导数学模型，对系统的可控性可观性进行分析。
(2)二级倒立摆的控制原理及方法的研究。
本文主要研究用线性二次型最优控制对系统的稳定性进行控制。
(3)利用 Matlab 进行仿真，分析仿真结果。
(4)对论文所作的工作进行总结，并提出该研究课题未来可能的发展方向。
二、直线倒立摆的建模2.1、直线二级倒立摆的建模本章利用拉格朗日方程方法建立了直线二级倒立摆系统的微分方程，并在平衡位置附近进行线性化处理，推导出两种直线二级倒立摆系统的状态方程和输出方程，然后应用线性系统相关理论对直线二级倒立摆系统进行了定性分析。
为了数学模型上的推导和处理问题方便，们忽略了系统的一些次要因素，具体可表示为以下几个假设：1、摆杆1、2都是在运动中不变形的刚体，没有在与滑轨成垂直方向上的前后运动2、带轮与传动带之间无相对滑动，动带无伸长现象3、忽略导轨与车轮之间的摩擦，摩擦阻力等4、假设杆的质心在均质杆的中点所采用的系统参数如下表：利用拉格朗日方程推倒运动学方程： =-L T V其中L 为拉格朗日算子，T 为系统动能，V 为系统的势能小车的动能：20012∙=T m x杆1的动能：221111111m v 22θ∙=+T J杆2的动能：222222211m v 22θ∙=+T J连接块的动能：23331m v 2=T 系统的总动能：：0123=+++T T T T T系统的势能：11131111222m cos 2m cos (2cos gcos )m θθθθ=+++V gl gl gl l 其中：1=v 2=v 、3=v21111/3m =J l 、22221/3m =J l 111sin θ=+x x l 、111cos θ=y l211222sin sin θθ=++x x l l 、211222cos cos θθ=+y l l 3112sin θ=+x x l 、3112cos θ=y lF==u x根据拉格朗日定理已知：()∙∂∂∂-=∂Ld L x u dx x11()0θθ∙∂∂∂-=∂Ld Ldx 22()0θθ∙∂∂∂-=∂Ld Ldx 得出：120123112131222221211213111213121211213112122221222222(m m m m )(m 2m l 2m l )(m 2m l 2m l )(4/3m 4m l 4m l )2(m 2m l 2m l )g 24/3θθθθθθθθ+++++++=++++++=++++=x l m l ul x l m l l l m l x m l l m l m l g 在角度很小的情况下进行线性化：sin cos 1θθθ≈≈直线二级倒立摆系统表示为状态空间方程形式为11221122000100000001000000010000000100.01340.00210000.08600.00560.00350000.0325x x u x x θθθθθθθθ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭1212312100000010000001000x y y x y θθθθ∙∙∙⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2.2、直线二级倒立摆的定性分析在建立系统的数学模型后，需要对系统的特性进行进一步的分析，主要的是系统的稳定性、能控性、能观性。
2.2.1、能控性：考虑连续定常系统∙X =ΑΧ+ΒU （1.1）若存在无约束的分段连续控制函数()u t ，在有限时间间隔0,t t tf ⎤⎡∈⎣⎦内，能使系统从任意状态(0)x t 转移至(tf)0x =，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
定理1（能控性判据）：对系统式（1.1），其状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵1n S b Ab A b -⎡⎤=⎣⎦的秩为n 。
等价于S 的行列式的值不等于零。
该系统的能控性矩阵为： 0 1.0000 0 0 0 0 0 0.0860 0 0.0012 0 0 0 0.0325 0 0.0006 0 0 1.00=S 00 0 0 0 0 0 0.0860 0 0.0012 0 0 0 0.0325 0 0.0006 0 0 0⎛⎫⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪矩阵的秩为：rank(c S )=62.2.2、能观性：对于系统式（1.1），若已知输入()u t 及有限时间间隔0,t t tf ⎤⎡∈⎣⎦内测量到的输出(t)y ，能唯一确定初始状态(0)x t ，则称系统是完全能观测的，简称系统能观测。
定理2（能观性判据）：对于多输入多输出连续定常系统∙X =ΑΧ+ΒUY =C Χ+DU其状态完全能观测的充分必要条件是能观测性矩阵10n C CA Q CA -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为n 。
该系统的能观性矩阵为：1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 =O Q 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0.0134 0.0021 0 0 0 0 0.0056 0.0035 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0134 0.0021 0 0 0 0 0.0056 0.0035 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0000 0 0 0 0 0.0001 0.0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭矩阵的秩为：rank(O S )=6 本文研究的系统既能控又能观。