电子科大固体物理第三章

V ( x + a) = V ( x)
三维： k (r ) = uk (r + R) u
二、布洛赫波函数
ℏ2 2 − 2m ∇ + V (r ) ψ k (r ) = Ekψ k (r )
ψ (r ) = u (r ) exp(ik ⋅ r )
第三章 晶体中的电子状态
固体中的电子问题是复杂的多体问题。近似物理模型：
德鲁特－洛伦兹模型（1900）
特点：原子为球形、构成点阵 遵守经典力学 运用气体分子运动论 解释：魏德曼－弗兰兹定律 困难：不能解释自由电子的比热
索末菲自由电子模型（1928）
特点：用量子力学来处理 解释：电子比热小 困难：不能解释材料间电导差别
哈密顿量H＝无微扰项H0＋微扰项H′ 无微扰时电子的波函数和能量
1 Ψ k (0) = exp(ikx) L
ℏ2k 2 E= 2m
微扰时电子的波函数与能量 能量：
E = E0 + E
一级修正
E
(1) k / kk L
(1)
+E
/
(2)
+…
= H = ∫ Ψ ( x)(∑
0 0* k n
2π n Vn exp(i x)) ⋅ Ψ 0 ( x)dx = 0 k a
a
能带具有对称性 E (k ) = E (− k ) 每个能带中只能容纳2N个电子
六、能带的三种表示图
扩展能区图
周期能区图
简约能区图
第四节 紧束缚近似
一、基本思想 电子的共有化几率小，基本被某一原子束缚，其 他原子的作用当作微扰
二、电子波函数 1、孤立原子的电子波函数φ
φ (r − R) → E0
2、晶体的电子波函数 N个简并态的线性组合
ψ k ( r ) = ∑ Clφ ( r − Rl )
l
Cl = exp(ik ⋅ Rl )
ψ k ( r ) = ∑ exp(ik ⋅ Rl )φ ( r − Rl )
由孤立原子组合形成晶体电子波函数 是布洛赫波函数
三、能量
E=
* ˆ ψ k Hψ k dτ ∫ * ψ kψ k dτ ∫
0 2
]
1 E0 = ∫ EdN = N 3 1 EF 0 3 0 2 ∫0 CE dE = 5 EF N
5π 2 K 2 T 2 3 0 B E ≈ E F [1 + ] 0 2 5 12(E F )
2 2 2 φ K ( r ) = 0u K ( r ) exp(ik2⋅ r ) 2 ˆ F=≈ ℏ F ∇1 − π (K)B T ] E H E [ +V r 0 2 2m 12(E F )
ϕ1 ( x ) = 0 ϕ 2 ( y) = 0 ϕ 3 (z) = 0
Ψ 分离变量： ( x, y, z) = ϕ1 ( x )ϕ 2 ( y)ϕ 3 (z)
电子波函数： Ψ = ASinK x xSinK y ySinK Z z
nxπ Kx = L
Ky = n yπ L
Kz = nzπ L
能量：
E ( K ) = ℏω
分子
h2 2 ˆ Hℓ = − ∇ + Va r − Rℓ 2m
(
)
ˆ ˆ H − H ℓ = V ( r ) − Va r − Rℓ
E= 1 * ˆ ψ k Hψ k dτ N∫ 1 ik ⋅( R − R ) = E0 + ∑∑ e ℓ m ⋅ ∫ φ * r − Rm N ℓ m
(
)
(
ˆ ) ( H − H )φ ( r − R ) dτ
u (r + R) = u (r )
布洛赫定理
三、布洛赫电子与自由电子 1、波函数 自由电子 Ψ k (r ) = Aeik ⋅r
Ψ k (r ) = u (r )eik ⋅r 布洛赫电子
行进的平面波
被周期函数调幅的平面波 2、晶体中各处电子出现的几率 自由电子
Ψ = A2
2
与位置无关
2 2
布洛赫电子 各原胞相应位置出现几率相同
二级修正
E (k2 ) = ∑ /
k
/
/ H kk /
2
E0 − E0/ k k
H =∫ Ψ
/ kk 0
L
(0)∗ k
1 L / 2π n / H Ψ dx = ∫ ∑ Vn exp[i (k − k + ) x]dx L 0 n a
/ (0) k/
2π n 2π n / / Vn , k − k + a = 0, k = k − a = 0, k − k / + 2π n ≠ 0 a
0..............当0〈 x, y, z〈 L.......... V= ∞.............当x, y, z ≤ 0或x , y, z ≥ L
一、波函数与能量
ℏ2 2 − ∇ Ψ ( x , y, z) = EΨ ( x , y, z) 2m
驻波解 边界条件：在x=0和x=L处：
h2 2 ˆ H =− ∇ +V (r ) 2m
晶体的哈米顿量
分母
* ψ kψ k dτ = ∑∑ exp[ik ⋅ ( Rℓ − Rm )] ⋅ ∫ φ * ( r − Rm )φ ( r − Rℓ ) dτ ∫ ℓ m
忽略所有的交迭
* ψ kψ k dτ = ∑ ∫ φ * ( r − Rm )φ ( r − Rm ) dτ = N ∫ m
ℓ ℓ
Rℓ − Rm = − ρ m
E = E0 + ∑ exp(−ik ⋅ ρ m ) ∫ φ * ( r − ρ m ) ⋅ V ( r ) − Va ( r ) φ ( r ) dτ
m
φ * ( r ) V ( r ) − Va ( r ) φ ( r ) dτ = −α ∫
1 f (E) = E − EF exp( ) +1 K BT
费米能级以下满 以上空
1 f (E) = 2
f (E) > 1 2
T≠0
E = EF
E < EF
EF被占据的 几率是1/2 低于EF被占据的 几率大于1/2 高于EF被占据的 几率小于1/2
E > EF
1 f (E) < 2
1 f (E) = E − EF exp( ) +1 K BT
将V（x）展开
V( x ) = V0 + ∑
n /
2πn 2πn / Vn exp(i x ) = ∑ Vn exp(i x) a a n
V( x ) = V0 + ∑ / Vn exp(i
n
2πn 2πn x ) = ∑ / Vn exp(i x) a a n
ℏ2 d 2 2π n / H =− + ∑ Vn exp(i x) = H 0 + H ′ 2 a 2m dx n
洛赫能带论 （1928）
特点：变多体问题为单电子问题 解释：材料间存在电导差别， 预言半导体存在 困难：对某些过渡金属化合物不适合
第一节
索末菲自由电子模型
思想：金属中的电子不受外力作用， 思想：金属中的电子不受外力作用， 没有相互作用，不能逸出金属。 没有相互作用，不能逸出金属。
电子在边长为Ｌ的立方体中运动，方势阱为
系数行列式
E − Ek0 −V
* n
−V E−E
0 k′
=0
1 0 E = [ Ek + Ek0′ ± ( Ek0 − Ek0′ ) + 4(Vn ) 2 2
k=
nπ nπ , k′ = − a a
E± = Ek0 ± Vn
∆En = E+ − E− = 2 Vn
能带
禁带
讨论：
能带与禁带 能量不连续产生禁带，导致能带出现
0 ∞ 1
绝对零度时，不可 1 T =能所有的电子都处 0 E N = C ∫ E 2 dE 于最低的能量状态。 0 电子也具有相当大 2 ℏ2 0 2 EF = (3nπ ) 3 的动能。 2m
F
E F ≈ E F [1 −
室温下 EF0 F0π 2 K 2 T 2 ≈E
B
T >0
12(E F )
能量也是量子化的
二、能态密度 定义： ( E ) = lim ∆G = dG D
∆E → 0
∆E
dE
每一个能量状态在 K 空间占的体积是
2π 3 ( ) L
状态密度： ( 2π ) −3
L
2π −3 能级数目： dZ = ( ) ⋅ 4π K 2 dK L
V 2m 3/ 2 1/ 2 dZ = ( 2 ) E dE 2 4π ℏ
φ * ( r − ρ m ) V ( r ) − Va ( r ) φ ( r ) dτ = −γ ∫
E = E0 − α + ∑ exp(−k ⋅ ρ m )(−γ )
m
E = E0 − α − γ ∑ exp(−k ⋅ ρ m )
m
第五节
电子的准经典运动
∂ω 1 ∂E (k ) 1 = = ∇ k E (k ) vk = ∂k ℏ ∂k ℏ
nπ 禁带出现的位置： = k a
与晶体结构有关
禁带宽度： ∆En = Eg = E+ − E− = 2 Vn 与周期势场有关
产生禁带的原因 当
nπ k= a
2a 时，波长为 λ = n
满足布拉格条件，遭到全反射，入射波干涉 从而形成驻波 。电子的速度为零。
五、能带的性质
能带具有周期性 E (k ) = E (k ') = E (k + 2π n)