2017年高考押题卷理科数学(1)及答案解析
π
A．
3
B． 2π 3
C． π
D． 4π 3
8．已知抛物线 y2 2 px p 0 ，过点 C 4,0 作抛物线的两条切线 CA ，
CB ， A 、 B 为切点，若直线 AB 经过抛物线 y2 2 px 的焦点， △ CAB 的
面积为 24 ，则以直线 AB 为准线的抛物线标准方程是（
）
A． y2 4x
【解析】 P
C15 C13 C28
C23 C28
9
．故选 D ．
14
5．【答案】 B 【解析】 此三视图的几何体如图：
BC CD 2 ， AB AC 5 ， BD 2 2 ， AD 3 ， S△ABC S△BCD 2 ，
S△ ACD
5，
cos ABD
AB 2 BD 2 AD 2 2AB BD
10 ， sin ABD
9．【答案】 D
201 到 355 在 B 房间，从 356 到 500 在 C 房间，求 B 房间被抽中的人数是多少？ （ 3）从动作个数不低于 80 的机器人中随机选取 2 个机器人，该 2 个机器人中动作个数不低于
90 的机器
人数记为 ，求 的分布列与数学期望．
19．（本小题满分 12 分）已知正方体 ABCD A1B1C 1D1 的棱长为 1， S 是 A1C1 的中点， M 是 SD 上的点，
f1
f 3 ，F 3
f3
f 3 2f 3
2f 1
2π
．故选 B ．
3
8．【答案】 D
【 解析 】 由抛 物线 的对称 性知 ， AB x 轴， 且 AB 是 焦点弦 ，故 AB 2 p ， 所以
S△ KAB
1
p
2p
4
2
2
24 ，解得 p
12 （舍去）或 4 ，所以焦点坐标为 2,0 ，直
线 AB 的方程为 x 2 ，所以以直线 AB 为准线的抛物线标准方程是 y2 8x ．故选 D ．
2
3a a2 402 2a 40 cos120 ， 整 理 得 ： a2 2 0a 8 0 0 0， 解 得 a 40 或
a 20 （舍），所以 AB 40 ．故选 D ．
7．【答案】 B
【解析】 因为 y f x 为偶函数，所以 f
x f x ，所以 f x f x ，所
以 y f x 为偶函数， 又 y f x 2 是偶函数， 所以 f x 2 f x 2 ，当 x 1 时，
请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分 10 分）已知在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
2
x1 t
线 C1 的参数方程为：
2
，曲线 C2 的极坐标方程： 2 1 sin 2
8，
2 y2 t
2
（ 1）写出 C1 和 C2的普通方程；
8 个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这
8
个地方中任选 2 个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（
）
3
A．
28
15
B．
28
3
C．
7
5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（
）
4
A．
3
B． 7 5
C． 5 5
9
D．
14 D． 7 2 5
（第 5 题图）
（第 6 题图）
）
A ． 66
B． 42
C． 169
D． 156
4．世界最大单口径射电望远镜 FAST 于 2016 年 9 月 25 日在贵州省黔南州落成启用， 它被誉为 “中国天眼 ”，
从选址到启用历经 22 年， FAST 选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方
分配给工作人员．若分配给某个研究员
3 10
，
10
10
S△ ABD
1
2
5 2 2 3 10 3 ，∴ S 7 10
5 ．故选 B ．
6．【答案】 D
【解析】根据题意可得， 设 AB a ，则 BD 3a ，BC a ，在 △ DBC 中， BCD 120 ，
CD 40 ， 由 余 弦 定 理 得 BD 2 BC 2 CD 2 2BC CD cos BCD ， 即 ：
3
（ 1）若不等式 f x ≥- x a 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（ 2）若对于实数 x， y，有 x
y
1≤1 ， y
1 ≤ 2 ，求证 : f
x
≤
2
．
3
33
3
理科数学（一）答案
第I 卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】 B
的方法抽取一给容量为 50 个机器人样本．试验小组对 50 个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直
方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题：
分组 [50 ， 60) [60 ， 70) [70 ， 80) [80 ， 90) [90 ， 100]
机器人数
10 10
6
频率 0.08
（第 14 题图）
15．若 x ， y 满足约束条件
x≥1 x y 3≤ 0 ，设 x2 y2 4x 的最大值点为 A ，则经过点 A 和 B ( 2, 3) 的 x y 3≤ 0
直线方程为 _______________ ．
16．已知数列 an 满足 an 1
an
n d,
N*
k
（k
n qa n ,
sin A sin B， sin C ，
m n 3sin A sin B ． （ 1） 求 C 的 值 ； （ 2 ） 求 sin A sin B 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况．现
委托某工厂生产 500 个机器人模型，并对生产的机器人进行编号： 001， 002， …… ， 500，采用系统抽样
6．如图，在三棱锥 A BCD 中，AB 面 BCD ， ACB 45 ， ADB 30 ， BCD 120 ，CD 40 ， 则 AB （ ）
A ． 10
B． 20
C． 30
D． 40
7．已知函 数 y f x ， 满足 y f
x 和y
f x 2 是 偶函数 ，且 f 1
π
，设
3
F x f x f x ，则 F (3) （ ）
（ 2）若 C1 与 C2 交于两点 A，B，求 AB 的值．
20．（本小题满分
12 分）已知椭圆
x2 C： a2
y2 b2
1 1（ a＞ b＞0）的离心率为 ，其中一个顶点是双曲线
2
2
2
x y 1 的焦点，
9 16
（ 1）求椭圆 C 的标准方程；
23．（本小题满分 10 分）已知函数 f x
2 x 1，
理 科 数 学（一）
本试题卷共 6 页， 23 题 ( 含选考题 ) 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1．已知复数 z 是一元二次方程 x2 2 x 2 0 的一个根，则 z 的值为（
本卷包括必考题和选考题两部分。第
13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13．共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务．现从
6 辆黄色共享单
车和 4 辆蓝色共享单车中任取 4 辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是
且 SD⊥ MC ． （ 1）求证： SD⊥面 MAC （ 2）求平面 SAB 与平面 SCD 夹角的余弦值．
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f x x2e ax 1（ a 是常数）， （ 1）求函数 y f x 的单调区间； （ 2）当 x 0,16 时，函数 f x 有零点，求 a 的取值范围．
3 12
取得最小值时，
D． 2
12．已知函数 f x
x2lBiblioteka x，有下列四个命题；x
①函数 f x 是奇函数；
②函数 f x 在 ,0 0, 是单调函数；
③当 x 0 时，函数 f x 0 恒成立；
④当 x 0 时，函数 f x 有一个零点，
其中正确的个数是（ A ．1
） B．2
C． 3
D．4
第Ⅱ卷
B． y2 4x
C． y2 8x
D． y2 8x
9．根据右边流程图输出的值是（
A ． 11
B． 31
） C． 51
D． 79
10．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 A1D1 a, A1B1 2a ，点 P 在线
段 AD1 上运动， 当异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大时，则三棱锥 C PA1D1
3．【答案】 D
【解析】 因为 S3 6 ，所以 a2 2 ，因为 a9 a11 a13 60 ，所以 a11 20 ，所以公差
d a11 a2 2 11 2
，
所
以
a1 2 a 21 d01
2 ， 2所 2 以
S13
13(a1 a ) 1 1 a32 3 a ( 1156 ．2 故选) D ．
2
2
4．【答案】 D
的体积为（
2017年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则( )A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
山东省2017届高考押题金卷数学(理)试卷(含答案)
山东省2017高考押题金卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集U=R，A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|log3x≥1}，则A∩B=（）A．{3} B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2. 已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．B．（0，1] C．[0，1] D．3. 若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．4. 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．5. 二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（）A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．6. 如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．7设△A n B n C n 的三边长分别是a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ∈N *，若b 1＞c 1，b 1+c 1=2a 1，b n+1=，则（ ）A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n ﹣1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n ﹣1}为递减数列，{S 2n }为递增数列8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （a ，b ，c ，*d N ∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ） A ．227 B ．6320 C ．7825D ．109359. 已知偶函数f （x ）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1），且．当0＜x ＜1时，（1﹣x 2）ln（1﹣x 2）f'（x ）＞2xf （x ），则满足f （x ）＜0的x 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．10. 如图1，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．37B．47C．114D．1314二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．12. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．13. 给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．14. 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．15. 直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0），与f（x）图象的对称轴x=相邻的f（x）的零点为x=．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=1，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．17. （本小题满分12分）一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AB1、A1C1的中点．（1）求证：MN⊥AB1，MN∥平面BCC1B1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．18．（本小题满分12分）为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：学生编A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．19. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=ln （2ax+1）+3x 3﹣x 2﹣2ax （a ∈R ）．（1）若x=2为f （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若y=f （x ）在[3，+∞）上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当a=﹣21时，方程f （1﹣x ）=x b 3)x 1(3+-有实根，求实数b 的最大值．20. （本小题满分13分）已知12F F ，是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点12P ⎛- ⎝⎭，在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=u u u u r u u u u r．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）圆O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B，当OA OB λ⋅=u u u r u u u r ，且满足2334λ≤≤时，求OAB V 的面积S 的取值范围． 21. （本小题满分14分）已知n 为正整数，在数列}{n a 中，,12,111+==+n n a a a 在数列}{n b 中，,11a b =当2≥n 时，.111121-+•••++=n n n a a a a b （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求nn n n a b a b 111+-++ 的值；（3）当2≥n 时，证明：.223)1()1)(1(2121n n n b b b b b b ->⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++山东省2017高考押题金卷 数学理word 版参考答案1【答案】A【解析】A={x|x 2﹣4x+3≤0}={x|1≤x ≤3}，B={x|log 3x ≥1}={x|x ≥3}， 则A ∩B={3}， 故选：A 2【答案】D【解析】∵函数，∴函数f （x ）的图象如下图所示：∴函数f （x ）在[﹣1，k ）上为减函数，在[k ，a]先减后增函数， 当﹣1＜k ≤，x=时，，由于当x=1时，﹣x 3﹣3x+2=0，当x=a （a ≥1）时，﹣a 3﹣3a+2≤2，可得1≤a故若存在k 使得函数f （x ）的值域为[0，2]， 则a ∈[1，]，3【答案】C【解析】依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥， =3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C4【答案】B【解析】如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．∴该多面体的体积V=23﹣﹣=7．故选：B．5【答案】C【解析】（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）r a r C7r x7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3 a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．故选：C．【解析】∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得： =﹣，∴，化为c2=7a2，∴=．故选B．7【答案】B【解析】b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，由题意，b n+1+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴b n+1﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．8【答案】A【解析】由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的过剩近似值，即4716155π<<,第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即47631520π<<,第四次用“调日法”后得11022=357是π的更为精确的过剩近似值，即3122107π<<,故选A.9【答案】C【解析】令g（x）=，则g′（x）=，∵当0＜x＜1时，（1﹣x2）ln（1﹣x2）f'（x）＞2xf（x），∴＞0，即g（x）=在（0，1）上为增函数，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由函数f（x）为偶函数，且．故当x∈时，f（x）＜0，故选：C10【答案】D11【答案】1【解析】设z=a+bi，则==i，∴1﹣a﹣bi=﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．12【答案】20【解析】执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．13【答案】6【解析】画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．14【答案】【解析】设M点到抛物线准线的距离为d，则⇒p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为，渐近线为，所以，由题设可得，解得．故答案为：15【答案】[4，16]【解析】直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．16【解答】解：（Ⅰ）==由与f（x）图象的对称轴相邻的零点为，得，所以ω=1，即令，函数y=sinz单调增区间是，k∈Z，由，得，k∈Z，设，，易知，所以当时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．（Ⅱ），则，因为0＜C＜π，所以，从而，解得．因为与向量共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，c2=a2+b2，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=217【解答】（1）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB1=4∴CA，CB，CC1两两垂直以C为原点，CA，CB．CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）∴，∴∴MN⊥AB1，∵，∴∴MN∥BC1，∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1；∴MN∥平面BCC1B1；（2）解：过A作AH⊥BC1于H，连接CH，则CH⊥BC1，∴∠AHC是二面角A﹣BC1﹣C的平面角在直角△BC1C中，CH=BCsin∠CBC1=4sin45°=2在直角△ACH中，AC=3，CH=2，∴AH=，∴cos∠AHC==∴二面角A﹣BC1﹣C的余弦值为18【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4 5P∴=．19【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p （x ）=lnx+1+2x ﹣3x 2，则．当时，p'（x ）＞0，所以p （x ）在上单调递增； 当时，p'（x ）＜0，所以p （x ）在上单调递减；因为p （1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x 0）=0，∴当0＜x ＜x 0时，g′（x ）＜0，所以g （x ）在（0，x 0）上单调递减； 当x 0＜x ＜1，g′（x ）＞0，所以，g （x ）在（x 0，1）上单调递增； 又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g （x ）＜0，又g （1）=0． 因此当x=1时，b 取得最大值0．… 20【答案】（Ⅰ）因为20PM F M +=u u u u r u u u u r，所以 M 是线段2PF 的中点，所以OM 是12PF F V 的中位线，又12OM F F ⊥，所以112PF F F ⊥,所以1c =，又因为22222111{2a b a b c +==+121222222111,.{12c OM F F PF PF a ba b c =⊥∴⊥∴+==+，解得2222,1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=. （Ⅱ）因为直线:l y kx m =+与O e 211m k =+，即221m k =+联立221{2x y y kx m+==+得()222124220k x kmx m +++-=.设()()1122A x y B x y ，，，因为直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，所以212122242201212km m x x x x k k -∆>+=-⋅=++，，， ()()2212122212m k y y kx m kx m k -⋅=+⋅+=+，212122112k OA OB x x y y k λ+⋅=⋅+⋅==+u u u r u u u r ，又因为2334λ≤≤，所以222133124k k +≤≤+ 解得2112k ≤≤.1211122S AB x =⋅⋅=-=， 设42u kk =+，则324u S ≤≤==，单调递增，所以()324S S S ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭23S ≤≤21.【gkstk 答案】21【答案】 解：（1∵1121,1n n a a a +=+=∴()21213,12,14,121n n a a a a a +=+=+=+=+ ∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列。
2017年高考押题卷理科数学(一)含解析
理 科 数 学（一）本试题卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 是一元二次方程2220x x -+=的一个根，则z 的值为（ ）A ．1BC ．0D ．22．已知集合{}|14x x A =<<，集合{}|2,B y y x x A ==-∈，集合2|ln 1x C x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则集合B C =（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x -<≤3．已知等差数列{}n a ，36S =，9111360a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．66B ．42C ．169D ．1564．世界最大单口径射电望远镜FAST 于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，FAST 选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员．若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（ ）A ．328B ．1528C ．37D ．9145．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）A ．43B．7 C．5+D．7+（第5题图） （第6题图）6．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面BCD ，45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，120BCD ∠=︒，40CD =，则AB =（ ）A ．10B ．20C ．30D ．407．已知函数()y f x =，满足()y f x =-和()2y f x =+是偶函数，且()π13f =，设()()F x f x=+()f x -，则(3)F =（ ） A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π38．已知抛物线()220y px p =>，过点()4,0C -作抛物线的两条切线CA ，CB ，A 、B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦点，CAB △的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =- C ．28y x =D ．28y x =-9．根据右边流程图输出的值是（ ） A ．11B ．31C ．51D ．7910．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a （第9题图）11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+π0,,02ωϕ⎛⎫⎡⎤>∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的周期为π，将函数()f x 的图像沿着y 轴向上平移一个单位得到函数()g x 图像．设()1g x <，对任意的ππ,312x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭恒成立，当ϕ取得最小值时，π4g ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ） A ．12B ．1C ．32D ．212．已知函数()2ln xf x x x=-，有下列四个命题； ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在()(),00,-∞+∞是单调函数；③当0x >时，函数()0f x >恒成立； ④当0x <时，函数()f x 有一个零点， 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
押题1数学(理)答案.docx
2017高考押题1理科数学试题参考答案及评分标准13. 6 14. -7115. 3016. (2,1)317. 【解析](I) V O, =1,色=%+加一1,二⑦=22 , ^3=52 —1,由。
3=52 —1 = 9,得 2 = 2, ........................................ 3 分 于是a n = a n _x + 2兀一 1,即a n -a n _x =2n-\,a n _x 一a n _2 = 2n-3,— Q“_3 = — 5, a, — & = 3.以上各式累加得G ”=] +(Z)(% + 2)»2 . .......................................... §分“ 2(II) 由(I)得乞=(一 1)"・(勺 + n) = (一 1)" • 71(/7+ 1)，故= —Ix2 + 2x3 —3x4 + 4x5 —5x6+ 6x7 — ••• —(2M —1)・2M + 2AZ ・(2M + 1)二2(—1 + 3) + 4(—3 + 5) + 6(—5 + 7) + ・・・ + 2川(一2〃 + 1 + 271 + 1) 9 分=2(2 + 4 + 6 + …+2力=2 • *；+ 乃=2斥 + 2斤 ............................. 12 分18. 【解析】(I)该技术指标值的平均数为4.5x —+ 5.5x —+ 6.5x —+ 7.5X —= 6.3.……3分30 30 30 30 (II)该条生产线生产的产品为合格品的概率是吐鱼二电.……6分 30 5(III) 随机变量X 的所有可能取值为160,70,-20.44 16 4 1 8 1 1 1P(X=160) = -x- = —； P(X=70) = C* x-x- = —； P(X=-20) = -x- = — .......................... ............ 9 分5 5 25 - 5 5 25 5 5 25所以随机变量X 的分布列为：=++=12 分19.【解析】（I ）菱形ABCD 中，ZABC = 60°,则AABC 和△ACQ 都是正三角形，取BC 中点M,连接EM, AM ,因为M 为BC 的中点，所以在ZVIBC 中，BC 丄AM , .............................. 2分因为EB = EC ,所以BC 丄ME, ................................ 3分又因为MEHAM=M ,所以BC 丄平面MAE, ............................ 4分 又AEu 平面MAE,所以BC 丄EA.同理DC 丄E4,又因为BCACD=C,所以E4丄平面ABCD. ................................ 6分（II ）以0为原点，以0A,08所在直线分别为兀轴，y 轴，以过点0且平行于E4的直线为Z 轴建立空间直角坐标系.则 0（0,0,0）, B （0,7i,0）,D （0,-VJ,O ）,F （-1,0,3）.设比=心＞0）,则 E （l,0,a ）, ........... 7 分 ・•.丽=（一1,0,3）,丽=（0,2巧,0）,而=（一1"，一a ）,即°,令 z = ],得 〃 = (_d,0,l),\-x+ \l3y-az = 0•••直线F0与平面BED 所成角的大小为45。
北京市2017届高考押题金卷数学(理)试卷(含答案)
北京市2017高考押题金卷理科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R ，A={x|x 2﹣4x+3≤0}，B={x|log 3x ≥1}，则A ∩B=（ ）A ．{3}B ．{x|＜x ≤1}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}2. 已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1+a 5=90．若（1﹣x ）m 展开式中x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．103已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．4.设x R ∈，则“x>21”是“0122>-+x x ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．46.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是A. B. C. D.7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8.已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2] D．[e﹣1，2）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是．10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B 的人数为．12.直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．13.已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为．14.若函数,,则不等式的解集是______.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题满分13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.16. （本小题满分13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17.（本小题满分13分）如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===o 侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD V为等腰直角三角形，90APD ∠=o . （Ⅰ）求证：;AD PB ⊥（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数()()2=-33x f x x x e +的定义域为[]-2t ，，设()-2=f m ，()f t n =.（Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]-2t ，上为单调函数；（Ⅱ）求证：m n <； （Ⅲ）若不等式()()()72ln 1xf x x k x x k e +->-为正整数对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明14ln.9x<（解答过程可参考使用以下数据ln7 1.95ln8 2.08≈≈，）19.(本题满分14分)已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．20.（本小题满分 14 分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k ≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．试卷答案1A【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}，则A∩B={3}，故选：A2D【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，可得=45，即可求出m．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．3D【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据，得•（+2）=0，代入数据求出cosθ的值．【解答】解：设单位向量，的夹角为θ，∵，∴•（+2）=+2=0，即12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴与夹角的余弦值为﹣．故选：D．4.A 5B【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD==．故选：B．6D【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，所以有两个不同的解，令,,由得x>2，由得x<2,所以当x=2时，函数取得极小值，所以a>7A【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面积=故选A8A【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A9. 【gkstk答案】（﹣4，2）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k 的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．10.6【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．故答案为：6．11.10【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．12.±【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．13.或【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，∴|AC|=2n，在直角三角形ABC中，tan∠BAC==，∴k AB=k AF=．∴直线l 的倾斜角为．根据对称性，直线l 的倾斜角为，满足题意．故答案为或．14. 【gkstk 答案】(1,2)15. 【gkstk 答案】(1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0， 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.16.解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得a=0.0375， 因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）． （2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，，．所以随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P．17. 解：（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、．PA PD =Q ，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =Q ，且60DAB ∠=︒， ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PG BG G =I ,AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分（Ⅱ） ∵侧面PAD⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥Q ，PG ∴⊥底面ABCD ． PG BG ∴⊥．∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直， 故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,),(,0,0),P a A a 3,0)B a ，(,0,0)D a -，)0,23,23(a a C -．…………………………………………………7分3(,,0)2BC a ∴=-u u u r．,)PB a ∴=-u u u r设000(,,)n x y z =r是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=r u u u r 且0n PB ⋅=r u u u r ．000030,20.ax az ⎧--=⎪∴⎨-=0000,.x y z ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩取0y =(n =-r． …………………………………………9分又Q 平面PAD的法向量1,0)n GB ==u r u u u r，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos 13n n n n θ⋅===⋅r u r r u r , 所以平面PAD 与平面PBC．……………………13分 18. 解：（Ⅰ）因为xxxe x x e x e x x xf ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2………………1分 令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x <<所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分 要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤所以t 的取值范围为(2,0]- …………………………………………………4分 （Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减， 所以()f x 在1x =处取得极小值e 又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -………………………6分 从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………8分 （Ⅲ）()72(ln 1)xf x x k x x e+->-等价于241(ln 1)x x k x x ++>-即14ln 0k x k x x+++->………………………………………9分 记1()4ln k g x x k x x+=++-，则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x++--'=--=， 由()0g x '=，得1x k =+，所以()g x 在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增， 所以()(1)6ln(1)g x g k k k ≥+=+-+()0g x >对任意正实数x 恒成立，等价于6ln(1)0k k +-+>，即61ln(1)0k k+-+>………………………………11分 记6()1ln(1)h k k k =+-+， 则261()01h x x x =--<+，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减， 又(6)2ln 70h =->，13(7)ln807h =-<， 所以k 的最大值为6………………………………………12分 当6k =时，由2416(ln 1)x x x x ++>-令3x =，则14ln 39<………………………………………13分19解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b 2=a 2﹣c 2=1， 故椭圆方程为；…（4分）（2）如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （1，0），且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x1=，x1x2=，则丨PQ丨=•，于是，…（7分）同理：．则S=丨PQ丨丨MN丨=，令t=k2+，T≥2，S=丨PQ丨丨MN丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值．当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．20.解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．。
2017届高考押题金卷(全国卷Ⅰ)数学(理)试卷(含答案)
绝密★启封前2017高考押题金卷（全国卷Ⅰ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分.考试时间为120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.若集合2{|0},{|(0,1)},xM x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集，则下列选项错误的是 A ．M N M =I B ．M N R =U C ．R M C N ϕ=I D ．R C M N R =U 2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（） A ．1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P （A|B ）是（ ）A. B. C. D.4.曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x)d x D ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x)d x5.按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为 A ．10000立方尺 B ．1 1000立方尺 C ．12000立方尺D ．13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于A.91B.103 C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且02=++OC OB OA ，那么（A ） AO OD =u u u r u u u r （B ） 2AO OD =u u u r u u u r （C ） 3AO OD =u u u r u u u r D 2AO OD =u u u r u u u r把a 的右数第i 位数字赋给t是 否输入6?i >1i i =+输出b0b =1i =12i b b t -=+⋅9.已知点P （x,y)满足41x y y xx +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A ．2B ．26C ．25D ．410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30o ，则双曲线C 的离心率是A.2B.2C.3D. 311数列{a n }的通项公式为an=11(1)n n++，关于{a n }有如下命题：P1：{a n }为先减后增数列；P2：{a n }为递减数列； P3：*,n n N a e ∀∈>P4：*,n n N a e ∃∈<其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是（）AB.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. (4y x的展开式中33x y 的系数为。
2017年高考全国1卷理科数学试题含答案解析
1 2017年高考全国1卷理科数学试题解析
一1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则
A ．{|0}A
B x x =< B ．A B =R
C ．{|1}A
B x x => D ．A B =∅ 【答案】A
【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|A B x x x x
=<< {|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.
2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
14 B ．π8 C ．12 D ．π
4
【答案】B
【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2
a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是2
21ππ248
a a ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142
p <<，故选B. 3．设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ；。
2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)(可编辑修改word版)
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1 }，则 A ． A B = {x | x < 0} C ． A B = {x | x > 1}B ． A B = R D ． A B = ∅2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ． 14C． 123.设有下面四个命题B ． π8D ． π4p ：若复数 z 满足 1∈ R ，则 z ∈ R ； 1zp 2 ：若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ；p 3 ：若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ；p4：若复数 z ∈R，则 z∈R .其中的真命题为A.p1 , p3B.p1 , p4C.p2 , p3D.p2 , p44.记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和．若a4 +a5 = 24 ，S6 = 48 ，则{a n } 的公差为A．1 B．2 C．4 D．85.函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f (1) =-1，则满足-1 ≤f (x - 2) ≤ 1的x 的取值范围是A．[-2, 2]B．[-1,1]C．[0, 4]D．[1, 3]6．(1+ 1)(1+x)6展开式中x2的系数为x2A．15 B．20 C．30 D．357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．168.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000 和n=n+2C．A ≤1 000 和n=n+1D．A ≤1 000 和n=n+29.已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ 2π)，则下面结论正确的是1 23⎨ ⎩A. 把 C 1 π 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6到曲线 C 2B. 把 C 1 π上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 12 到曲线 C 2C. 把 C 1 1 π 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得26到曲线 C 2D. 把 C 1 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 π个单位长度，12得到曲线 C 210.已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点， 直线 l 2 与 C 交于 D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011.设 xyz 为正数，且2x = 3y = 5z ，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4， 8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22， 依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数 N ：N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2017全国卷1理科数学试题解析纯word版(完美版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)理科数学一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1、已知集合A={x|x<1}，B={x|3x <1}，则( ) A ．A∩B={x|x<0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x>1} D ．A∩B=∅ 解析：A={x|x<1}，B={x|3x <1}={x|x<0}，∴A ∩B={x|x<0}，A ∪B={x|x<1}，选A ．2、如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2=4，圆的面积为π×12=π，图中黑色部分的概率为π2．则此点取自黑色部分的概率为π24=π8．故选B ． 3、设有下面四个命题，其中正确的是( )p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：p 1:设z=a+bi ，则1z =1a+bi =a –bia 2+b 2∈R ，得到b=0，所以z ∈R ．故p 1正确； p 2:若z 2=–1，满足z 2∈R ，而z=i ，不满足z 2∈R ，故p 2不正确；p 3:若z 1=1，z 2=2，则z 1z 2=2，满足z 1z 2=R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确； p 4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确；故选B ．4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24，S 6=6a 1+6×52d=48，联立求得⎩⎨⎧2a 1+7d=24①6a 1+15d=48②①×3–②得(21–15)d=24，∴6d=24，∴d=4，∴选C ．当然，我们在算的时候引用中间项更快更简单：a 4+a 5=24→a 4.5=12，S 6=48→a 3.5=8，∴d=4．5、函数f(x)在(–∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=–1，则满足–1≤f(x–2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[–2,2] B ．[–1,1] C ．[0,4] D ．[1,3]解析：因为f(x)为奇函数，所以f(–1)=–f(1)=1，于是–1≤f(x–2)≤1等价于f(1)≤f(x–2)≤f(–1)． 又f(x)在(–∞,+∞)单调递减，∴–1≤x–2≤1，∴1≤x≤3．故选D ．6、(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：(1+1x 2)(1+x)6=1·(1+x)6+1x 2·(1+x)6．对(1+x)6的x 2项系数为C 26=6×52=15， 对1x 2·(1+x)6的x 2项系数为C 46=15，∴x 2的系数为15+15=30．故选C ．7、某多面体的三视图如图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16 解析：由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，∴S 梯=(2+4)×2÷2=6，S 全=6×2=12．故选B ．8、右面程序框图是为了求出满足3n –2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A>1000和n=n+1B ．A>1000和n=n+2C ．A≤1000和n=n+1D ．A≤1000和n=n+2解析：因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“”中不能输入A>1000，排除A 、B ．又要求n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为偶，故选D ．9、已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+2π3)，首先曲线C 1、C 2统一为一三角函数名，可将C 1：y=cosx 用诱导公式处理．y=cosx=cos(x+π2–π2)=sin(x+π2)．横坐标变换需将ω=1变成ω=2，即y=sin(x+π2)C 1上各点横坐标缩短为它原来的一半→y=sin(2x+π2)=sin2(x+π4)→y=sin(2x+2π3)=sin2(x+π3)．注意ω的系数，在右平移需将ω=2提到括号外面，这时x+π4平移至x+π3，根据“左加右减”原则，“x+π4”到“x+π3”需加上π12，即再向左平移π12．10、已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的交点，过F 作两条互相垂直l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB|+|DE|的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10解析：设AB 倾斜角为θ．作AK 1垂直准线，AK 2垂直x 轴，易知⎩⎨⎧|AF|·cos θ+|GF|=|AK 1|(几何关系)|AK 1|=|AF||GP|=P 2–(–P2)=P． ∴|AF|·cosθ+P=|AF|．同理|AF|=P 1–co sθ，|BF|=P 1+cosθ，∴|AB|=2P 1–cos 2θ=2Psin 2θ．又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2+θ，|DE|=2P sin 2(π2+θ)=2P cos2θ，而y 2=4x ，即P=2． ∴x|AB|+|DE|=2P(1sin 2θ+1cos 2θ)=4sin 2θ+cos 2θsin 2θcos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 2θ≥16，当θ=π4取等号，即|AB|+|DE|最小值为16，故选A ．11、设x ，y ，z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：取对数：xln2=yln3=zln5，x y =ln3ln2>32，∴2x>3y ．又∵xln2=zln5，则x z =ln5ln2<52．∴2x<5z ，∴3y<2x<5z ，故选D ．12、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440 B ．330 C ．220 D ．110解析：设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为n(1+n)2，由题，N>100，令n(1+n)2>100→n≥14且n ∈N +，即N 出现在第13组之后．第n 组的和为1–2n 1–2=2n–1．n 组总共的和为2(1–2n )1–2–n=2n –2–n ．若要使前N 项和为2的整数幂，则N –n(1+n)2项的和2k –1应与–2–n 互为相反数，即2k –1=2+n(k ∈N+，n≥14)．∴k=log 2(n+3)．∴n=29，k=5．∴N=29×(1+29)2+5=440，故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1、已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=________．解析：|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+2·|a ||2b |·cos60°+(2|b |)2=22+2×2×2×12+22=4+4+4=12，∴|a +2b |=12=23．2z=3x –2y 的最小值为_______．2x +y +1=0由z=3x –2y 得y=32x –z2，求z 的最小值，即求直线y=32x –z2的纵截距的最大值 当直线y=32x –z2过图中点A 时，纵截距最大由⎩⎨⎧2x+y=–1x+2y=1解得A 点坐标为(–1,1)，此时z=3×(–1)–2×1=–5．3、已知双曲线C ：x 2a 2–y 2b 2=1，(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN=60°，则C 的离心率为_______． 解析：如图，|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ．∵∠MAN=60°，∴|AP|=32b ，|OP|=|OA|2–|PA|2=a 2–34b 2，∴tanθ=|AP||OP|=32ba 2–34b 2，又∵tanθ=ba ，∴32ba 2–34b 2=ba ，解得a 2=3b 2，∴e=1+b 2a 2=1+13=233．4、如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为_______．解析：由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD ⊥BC ，OG=36BC ，即OG 的长度与BC 的长度或成正比．设OG=x ，则BC=23x ，DG=5–x ．∴三棱锥的高h=DG 2–OG 2=25–10x+x 2–x 2=25–10x ．又∵S △ABC =23·3x·12=33x 2，∴V=13S △ABC ·h=3x 2·25–10x=3·25x 4–10x 3， 令f(x)=25x 4–10x 3，x ∈(0,52)，f'(x)=100x 3–50x 4．令f'(x)>0，即x 4–2x 3<0，x<2．∴f(x)≤f(2)=80，∴V≤3×80=45，∴体积最大值为415cm 3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17–21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA ． (1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．解析：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.(1)∵△ABC 面积S=a 23sinA 且S=12bcsinA ，∴a 23sinA =12bcsinA ．∴a 2=32bcsinA ．∵由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ，由sinA≠0得sinBsinC=23．(2)由(1)得sinBsinC=23，cosBcosC=16．∵A+B+C=π，∴cosA=cos(π–B –C)=–cos(B+C)=sinBsinC –cosBcosC=12． 又∵A ∈(0,π)，∴A=60°，∴sinA=32，cosA=12．由余弦定理得a 2=b 2+c 2–bc=9 ①由正弦定理得b=a sinA ·sinB ，c=a sinA ·sinC ，∴bc=a 2sin 2A ·sinBsinC=8②由①②得b+c=33．∴a+b+c=3+33，即△ABC 的周长为3+33．2、(12分)如图，在四棱锥P –ABCD 中，AB ∥CD 中，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，求二面角A –PB –C 的余弦值．解析：(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ．又∵AB ∥CD ，∴PD ⊥AB ． 又∵PD∩PA=P ，PD 、PA ⊂平面PAD ．∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ．∴平面PAB ⊥平面PAD ． (2)取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ，∵AB ∥CD ∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OE ∥AB ． 由(1)知，AB ⊥平面PAD ，∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ．∴OE ⊥PO ，OE ⊥AD ．又∵PA=PD ，∴PO ⊥AD ．∴PO 、OE 、AD 两两垂直 ∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O –xyz ．设PA=2，∴D(–2,0,0)、B(2,2,0)、P(0,0,2)、C(–2,2,0)，∴PD =(–2,0,–2)、PB =(2,2,– 2)、BC =(–22,0,0)设n =(x,y,z)为平面PBC 的法向量由⎩⎨⎧n ·PB =0n ·BC =0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x+2y –2z=0–22x=0．令y=1，则z=2，x=0，可得平面PBC 的一个法向量n =(0,1,2)． ∵∠APD=90°，∴PD ⊥PA ． 又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ．∴PD ⊥AB ，又PA∩AB=A ，∴PD ⊥平面PAB即PD 是平面PAB 的一个法向量，PD =(–2,0,–2)． ∴cos<PD ,n >=PD ·n |PD ||n |=–223=–33．由图知二面角A –PB –C 为钝角，所以它的余弦值为–33．3、(12分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程方法的合理性：②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得1619.97i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数x 为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除(μ–3σ,μ+3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ<Z<μ+3σ)．0.997416≈0.9592，0.008≈0.09．解析：(1)由题可知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026．P(X=0)=C 016(1–0.9974)0·0.997416≈0.9592，P(X≥1)=1–P(X=0)≈1–0.9592=0.0408， 由题可知X~B(16,0.0026)，∴E(X)=16×0.0026=0.0416． (2)①尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合理．②(μ–3σ=9.97–3×0.212=9.334，μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，∴(μ–3σ,μ+3σ)=(9.334,10.606)∵9.22∉(9.334,10606)，∴需对当天的生产过程检查，因此剔除9.22．剔除数据之后：μ=9.97×16–9.2215=10.02．σ2=[(9.95–10.02)2+(10.12–10.02)2+(9.96–10.02)2+(9.96–10.02)2+(10.01–10.02)2+(9.92–10.02)2+(9.98–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.26–10.02)2+(9.91–10.02)2+(10.13–10.02)2+(10.02–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.05–10.02)2+(9.95–10.02)2]×115，∴σ=0.008≈0.09．4、(12分)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(–1,32)，P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A 、B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．解析：(1)根据椭圆对称性，必过P 3、1，椭圆必不过P 1，所以过P 2、P 3、P 4三点将P 2(0,1)、P 3(–1,32)代入椭圆方程得a 2=4，b 2=1．∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．(2)①当斜率不存在时，设l ：x=m ，–y A )，k P2A +k P2B =y A –1m +–y A –1m =–2m =–1 得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l ：y=kx+b(b ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立⎩⎨⎧y=kx+b x 2+4y 2–4=0，整理得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2–4=0．∴x 1+x 2=–8kb 1+4k 2，x 1x 2=4b 2–41+4k 2．则k P2A +k P2B =y 1–1x 1+y 2–1x 2=x 2(kx 1+b)–x 2+x 1(kx 2+b)–x 1x 1x 2=8kb 2–8k –8kb 2+8kb1+4k 24b 2–41+4k 2=8k(b –1)4(b+1)(b –1)=–1．又b ≠1，∴b=–2k –1，此时△=–64k ，存在k 使得△>0成立．∴直线l 的方程为y=kx –2k –1．当x=2时，y=–1．所以l 过定点(2,–1)．5、(12分)已知函数f(x)=ae 2x +(a –2)e x –x ． (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．解析：(1)由于f(x)=ae 2x +(a –2)e x –x ，故f'(x)=2ae 2x +(a –2)e x –1=(ae x –1)(2e x +1) ①当a≤0时，ae x –1<0，2e x +1>0．从而f'(x)<0恒成立． f(x)在R 上单调递减②当a>0时，令f'(x)=0，从而x 综上，当a≤0时，f(x)在(–lna,+∞)上单调递增 (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在R 上单调减，故f(x)在R 上至多一个零点，不满足条件．当a>0时，f min =f(–lna)=1–1a +lna ．令g(a)= f min =1–1a +lna(a>0)，则g(a)在(0,+∞)上单调增，而g(1)=0．故当0<a<1时，g(a)<0．当a=1时g(a)=0．当若a>1，则f min =1–1a +lna=g(a)>0，故f(x)>0恒成立，从而f(x)无零点，不满足条件．若a=1，则f min =1–1a +lna=0，故f(x)=0仅有一个实根x=–lna=0，不满足条件．若0<a<1，则f min =1–1a +lna<0，注意到–lna>0．f(–1)=a e 2+a e +1–2e >0．故f(x)在(–1,–lna)上有一个实根，而又ln(3a –1)>ln 1a =–lna ．且f(ln(3a –1))=e 的ln(3a –1)次方·(a·e 的ln(3a –1)次方+a –2)–ln(3a –1)=(3a –1)·(3–a+a –2)–ln(3a –1)=(3a –1)–ln(3a –1)>0．故f(x)在(–lna,ln(3a –1))上有一个实根．又f(x)在(–∞,–lna)上单调减，在(–lna,+∞)单调增，故f(x)在R 上至多两个实根．又f(x)在(–1,–lna)及(–lna,ln(3a –1))上均至少有一个实数根，故f(x)在R 上恰有两个实根． 综上，0<a<1．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．1、[选修4–4：坐标系与参考方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x=3cosθy=sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x=a+4ty=1–t (t 为参数)．(1)若a=–1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．解析：l 的方程为．曲线C 的标准方程是x 29+y 2=1，联立方程⎩⎨⎧x=3y=0或C 与l 交点坐标是(3,0)和(–2125,2425)． (2)直线l 一般式方程是x+4y –4–a=0C 上点P (3cosθ,sinθ)．则P 到l 距离d=|3cosθ+4sinθ–4–a|17=|5sin(θ+φ)–4–a|17，其中tan φ=34．依题意得：d max =17，解得a=–16或a=8．2、[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=–x 2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x –1|． (1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a=1时，f(x)=–x 2+x+4，是开口向下，对称轴x=12的二次函数．g(x)=|x+1|+|x –1|=⎩⎪⎨⎪⎧2x(x>1)2(–1≤x ≤1)–2x(x<–1)， 当x ∈(1,+∞)时，令–x 2+x+4=2x ，解得x=17–12．g(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减．∴此时f(x)≥g(x)解集为(1,17–12]．当x ∈[–1,1]时，g(x)=2，f(x)≥f(–1)=2；当x ∈(–∞,–1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(–1)=f(–1)=2．综上所述，f(x)≥g(x)解集[–1,17–12]．(2)依题意得：–x 2+ax+4≥2在[–1,1]恒成立．即x 2–ax –2≤0在[–1,1]恒成立．则只须⎩⎨⎧12–a ·1–2≤0(–1)2–a(–1)–2≤0，解出：–1≤a≤1．故a 取值范围是[–1,1]．。