2015年浙江省数学竞赛试题及答案
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2，b =是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点)”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A.解答：当a =2，b =C ：22221x y a b+=经过)；当曲线C ：22221x y a b+=经过点)时，即有22211a b+=，显然2,a b =-=“a =2，b =是“曲线C ：22221x y a b+=经过点)”的充分不必要条件。
2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m > 答案：B.解答：由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m <<。
3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．A ．B ． 12 C ．D答案：C.解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为1n =(1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =-。
因此123cos ,3n n <>=，即二面角第3题图1A 1M -CD 1-A。
4．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．A ． 1B ． 54C ． 75D ． 2 答案：C.解答：由,a b 满足的条件知13ba ≤≤，所以2372252a b ba ba+=-≤++，当13(,)(,)22a b =取等号。
5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( D )．A ． 12B ． 13C ． 14D ． 15 参考答案：D.解答：如图5-1所示，图5-1 图5-2（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,A P R C Q R B Q R ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==.又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.AB P H过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABCBC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设1,(01),(0)2B C C R x x B R Q παα==≤≤∠=<<,则90.CPRPRC BRQ α∠=-∠=∠= 在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ D )．A ．32-B ．512- C ．940- D ．1160- 答案：D.(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)k k a x x x x x x ==-<⇔+++>+++∑，所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞，经检验只有1160x =-符合题意。
7． 若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( C )． A ．1617 B ． 365C ． 265D ． 19653答案：C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a ，面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2πθθ<<。
当过点,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时，sin cos sin 4cos sinPQ a RS θθθθθ==⇔=⇔=，此时正方形的面积216(sin )17S PQ θ==。
同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时，365S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时，19653S =. 8．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A中的元素个数为( B )．A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 20162 答案：B.解答：由已知得20162015(21)25n n m ++=，因为,21n n m ++一奇一偶，所以,21n n m ++两者之一为偶数，即为2016201620162201620152,25,25,,25共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A 共有4032个元素.二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ．答案：1-.解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)(f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-⇒+=，所以100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333f f f f f f =+==+=--=-=-10．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．答案：20156048. 解答：1211352,nn n i i i i a a a n n -===-=-+∑∑又10a =，故2*352()n a n n n N =-+∈, 20152015201511111111()823(1)31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048. 11． 已知F 为抛物线25y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时，点M 的坐标为 ． 答案：1(,1)5. 解答：设抛物线的准线为5:4l x=-.过M 作l 的垂线，垂足为,H 则AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时M 的坐标为1(,1)5。
12．若22sin cos 161610xx +=，则cos 4x = .答案：12-. 解答:设2sin 16,116xt t =≤≤，则22cos 1sin 161616xx t-==，代入方程得16102,t t t +=⇒=或8t =，即21sin 4x =或34，所以cos 4x =12-。
13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为 ．答案：(,2)(1,0)-∞-⋃-.解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+；当120a <+<时，32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+； 当021a ≤+≤时，21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+；当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+；当22a +≥时，0,a ≥此时有()(2)f a f a ≥+。
14． 已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -=，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a c ⋅的最大值为 ． 答案：24.解答：,,OA a OB b OC c ===，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=又2,,33AOB ACB ππ∠=∠=此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3sin 5ABC ∠=，则4c o s 5ABC ∠=。
在A C O ∆中，A O CA ∠=∠,由余弦定理得2222cos AC a c a c AOC =+-∠,即8122305a c a c a c ≥-⇒≤，所以c o s 24a c a c A O C ⋅=∠≤，当14arctan 423ACO π∠=+时取“=”，因此a c ⋅的最大值为24.15．设,abZ ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b =答案：1,2ab ==-.解答：首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点（0,2）的直线2y ax =+，与开口向上的抛物线22y x b =+，满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧，因此2a=.又,a b Z ∈，故1,2ab ==-.三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16． 设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围． 参考答案：因为方程()f x x =有两个相异的实根，即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根，所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分即{202(12)810a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立，所以{204(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分解得01a <<.…………………………………………………………………………16分17．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为圆222:(7C x y +=的圆心．(I)求椭圆1C 的方程；(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．参考答案：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距长为c，则c c a⎧=⎪⎨⎪⎩，解得{21a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y，其中A y =联立方程2214xy y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………（1） 所以22116(41)0,k m ∆=-+=即22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分联立方程22(7x y y kx m⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得222(1)2(40k x km x m +++-= (3)所以22216(47)0,k m ∆=--+=即22470k m --+=……………………………（4）…………………………12分（2）-（4）得km =（5）（5）代入（3）得0A x ==………………（6）…………………………16分（6）代入222:(7C x y +=得2A y =±.经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意，这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-.…………18分18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>． 参考答案：证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++， 所以 49492222505011221111()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=……………………8分 又1112n n n n n na b a b a b ++=++， 所以49505011111111124998100i i ia b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑.……………………16分 所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……18分四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由．参考答案：（Ⅰ）由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=， (1)同理可得 222212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分 由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………10分 （Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………15分 假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a . 一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-.由费马小定理知3021(mod31)≡，所以3011(mod31)m a +≡-…………………………20分 另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod31)m a +≡. 这样得到11(mod31)≡-.矛盾.所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………25分附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<<； （2）1221k k k x x x +++>>>；（3）212231k k k x x x +++<<<．记k d 为所有“N 型”排列的个数．(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．参考答案：首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++这些数字，因为必须有2k 个值比它小，而21k x +的值只能取1,2,,1k +这些数字，因为必须有2k 个值比它大。
浙江数学竞赛试题及答案
浙江数学竞赛试题及答案【试题一】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值点。
【答案解析】首先，我们求导数\( f'(x) \)来找到可能的极值点。
对\( f(x) \)求导得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]令\( f'(x) = 0 \)，解得：\[ 3x^2 - 6x = 0 \]\[ x(x - 2) = 0 \]所以，\( x = 0 \) 或 \( x = 2 \)。
接下来，我们分析这两个点的二阶导数\( f''(x) \)来判断极值类型：\[ f''(x) = 6x - 6 \]当\( x = 0 \)时，\( f''(0) = -6 < 0 \)，所以\( x = 0 \)是极大值点。
当\( x = 2 \)时，\( f''(2) = 6 > 0 \)，所以\( x = 2 \)是极小值点。
【试题二】题目：在平面直角坐标系中，点A(-1, 2)，点B(3, 5)，求直线AB的方程。
【答案解析】首先，我们求直线AB的斜率\( k \)：\[ k = \frac{5 - 2}{3 - (-1)} = \frac{3}{4} \]然后，使用点斜式方程求直线AB的方程。
以点A为例：\[ y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1) \]\[ y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} + 2 \]\[ y = \frac{3}{4}x + \frac{11}{4} \]【试题三】题目：解不等式\( |x - 3| + |x + 1| \geq 5 \)。
【答案解析】我们可以通过分类讨论来解这个不等式。
首先，考虑\( x \)在不同区间的情况：1. 当\( x \geq 3 \)时，不等式变为\( (x - 3) + (x + 1) \geq 5 \)，简化得\( 2x \geq 7 \)，所以\( x \geq 3.5 \)。
2015浙江省高等数学竞赛试题(答案)
2015浙江省高等数学竞赛试题答案一、计算题：（每小题14分，满分70分）1．求极限201cos cos 2lim x x xx→-。
解： 0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x xx→+=20sin cos 24cos sin lim 2x x x x xx→+=20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x →+=52=2．求不定积分221(4)x dx x x ++⎰ 解：22111()44x dx x x +=-+⎰222111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)x x dx x x x =-+--++⎰2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=---+3．设1()ln()xf x t x dt =+⎰，求(1)f '的值。
解：令u t x =+211()ln()ln()x xxf x t x dt u du +=+=⎰⎰()2ln 2ln(1)f x x x '=-+ (1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=4．已知()y y x =由方程31xye y +=确定，求0x dy dx= 。
解：2()30xye y xy y y ''++=23xyxy ye y xe y '=-+2033xy xyx ye e y y y='=-=- 因为当0x =时0y = 所以0x y ='=-∞5．求极限 221limnn k kn k→+∞=+∑。
解：222111lim lim 1()nnn n k k kk n k n k n n→+∞→+∞===++∑∑ 由定积分定义知，极限可以变为11220011ln(1)ln 2122x dx x x =+=+⎰二、（满分20分）设数列{}n a 为单调递增的正数列，试讨论极限1/lim n a nn a →∞解：当{}n a 有界时，lim n n a →∞一定存在，设lim n n a a →∞=,则11/lim na ann a a→∞=当{}n a 无界时，lim n n a →∞=+∞，1ln 1/0lim lim lim 1n n n nn na a a a a a n n n n a eee ''→∞→∞→∞====三、（满分20分）已知面积为S 的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V ，求V解： 213V ah π=因为211sin cos 22ah S a θθ== h ⇒== 2)32V ππθ⇒=<<所以当4πθ=时 322max 3V S π=四、求定积分220sin 1cos x xdx x π+⎰ 解： 220sin 1cos x xdx xπ+⎰ 2220sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-=+++⎰⎰ 22sin 1cos x x dx x ππ-+⎰20()sin()1cos ()u x u u du u πππππ=--++−−−→++⎰ 20()sin 1cos u u du u ππ+=+⎰ 因此220sin 1cos x x dx xπ+⎰=2200sin sin 21cos 1cos x x xdx dx x x πππ+++⎰⎰ 20sin 1cos x x dx x π+⎰02()sin()1cos ()t xt t dt t πππππ=---−−−→-+-⎰20()sin 1cos t tdt tππ-=+⎰2200sin sin 1cos 21cos x x xdx dx x x πππ⇒=++⎰⎰20arctan cos 24x πππ=-=所以2220sin 1cos x x dx xππ=+⎰五、（满分20分）证明：23ln(1)(1)23x x x x x +≤-+>- 。
2015年浙江省数学竞赛模拟卷五
2015年浙江省高中数学竞赛模拟卷五一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知{x|x 2-3x-10≤0}∩{x|m+1≤x ≤2m-1} =Φ，则实数m 的取值范围是 （）（A ）2＜m ＜4（B ）m ＜2或m ＞4（C ）21-＜m ＜4 （D ）m ＜21-或m ＞4 2、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且()1+=x f y 为偶函数，若()11=-f ， 则()()=+20142013f f （A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（）3、内直径为2334+，高为20的圆柱形容器中最多可放入直径为2的小球的个数是（A ）30 （B ）33 （C ）36 （D ）39（ ） 4、方程6)5)(2()4)(1(33=-++-+x x x x 的实数解的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）大于25、已知b a ,为正整数，b a ≤，实数x ，y 满足()b y a x y x +++=+4，若x+y 的最大值为40，则满足条件的数对()b a ,的数目为（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）76、球O 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，则面ACD 1截球O 的截面面积为 （A ）6π （B ）3π （C ）6π（D ）3π（ ）7、定义在R 上的函数()x f 是减函数，且函数()x f 的图象关于（2，0）成中心对称，若m ，n 满足不等式()()0321222≤++-++-n n f m m f ，则当41≤≤m 时，mn的取值范围是 （A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,41 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21（D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21（ ）8、已知函数()x x x f 2sin cos =，下列结论中错误的是（）（A ）()x f 的图象关于点（π，0）成中心对称（B ）()x f 的图象关于直线2π=x 成轴对称（C ）()x f 的最大值为23（D ）()x f 是奇函数且是周期函数9、过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ，且与平面ABC 相切，若AD=32，∠BAD=∠CAD=45°，∠BAC=60°，则四面体ABCD 的外接球的半径r 为（A ）2（B ）22（C ）3（D ）32 （）10、已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率为（A ）45 （B ）35 （C ）410 （D ）415（ ）二、填空题（每小题7分，共49分）11、若ba ba+=+222，cb ac b a ++=++2222，则c2的最大值为_____。
2015年高中数学竞赛试题及答案及答案
2015年高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．42．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是． ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④3．设0.50.320.5,log 0.4,cos 3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或25．函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()c o s 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图22（第2题图）2=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组B 组C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数1()11f x x=-+． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.43311．22011 12. 31(,),(1,0),(3,4)22--三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= …………………2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32s in ()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-E F G B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分 ACBB 1A 1C 1FGE )(x fx1O（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r =342. ……1分 由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即13AM =. ……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540k x y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分由222542621k kk -+-=+，得2322621k k -=+，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……11分 当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………13分所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点A 的横坐标取值范围是[]3,6.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由1()11f x x=-+可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11111111()(1)111(11)11x x f x x x x x x x x x x x+-=-===++++++++，……………3分 显然)(1x f x在区间(0,1]上为减函数， ∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）122121212121211111()()111111(11)x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==+++++++++.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即212111(11)2x x x x +++++>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分yO∙MAxl也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
浙江省温州地区2015年初中数学竞赛能力评估检测试卷
温州地区2015年初中数学竞赛能力评估检测试卷（检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容）一、单项选择题（本大题分2小题，每题5分，共10分）1. 关于x 的方程|x 2-2|=m -x 有3个互不相同的解，则m max 为( ).A 、29B 、43C 、49D 、27 2. 已知ABC ∆的两条中线的长分别为5、10.若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为( ).A 、7B 、8C 、14D 、15二、填空题（本大题分16小题，每空5分，共90分）3. 已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，线段AB 的两个端点A (0,2)，B (1,0)分别在y 轴和x 轴的正半轴上，点C 为线段AB 的中点，现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点D .若该抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点E (1,1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，若符合条件的Q 点的个数是4个，则a 的取值范围为 .4. 圣诞老人有44个礼物，分别装在8个袋子中，袋子中礼物的个数各不相同，最多的有9个.现要从中选出一些袋子，将其中的所有礼物恰好平均分给8个同学(每个同学至少分得一个礼物)，那么共有 种不同的选择.5. 方程xyz+xy+xz+yz+x+y+z =2012的非负整数解有 组.6. 已知在平面直角坐标系中有如下36条直线：y =18x +17,y =17x +16,…,y =2x +1, y=x ,y =-x ,y =-2x +1,…,y =-17x +16,y =-18x +17，那么由这些直线相交所构成的交点有 .7. 如图，反比例函数xk y =的图象经过点(-1,22-)，点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP .在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 . 8. 如图，抛物线)0(2≠+=a c ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，ABC ∆为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H .现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，若存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与POE ∆全等，则点Q 的坐标为 .9. 在ABC ∆中，AB =10，AD 是BC 边上的高，已知AD=BD ，点H 、O 分别是ABC∆第7题第8题 第3题的垂心和外心，则HO 的最小长度为 .10. 方程x 3+Ax 2+Bx +C =0的系数A ,B ,C 为整数，|A |<10，|B |<10，|C |<10，且1是方程的根，那么这种方程总共有 个.11. 某同学用纸剪凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪一个，剪出的多边形共有95条边，那么所剪的多边形中的内角是直角的个数最多是 个.12. 设a ,b 为实数，那么a 2+ab +b 2-a -b 的最小值是 .13. 已知a a 14501450-++，其中a 是正整数，那么所有使得x 为整数的a的取值之和为 .14. 摆出一个单位正方形，至少需要4根单位长的木棍，那么摆出18个单位正方形最少需要 根单位长的木棍.15. 已知正整数a ,b ,c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．16. 三个正方体粘在一起构成的几何体如图所示，其中上面正方体的下底面正方形的四个顶点分别是下面正方体上底面正方形的三等分点.如果最下面正方体的棱长为9，那么这个几何体的表面积是 .17. 黑板上写有1,2,…,2013这2013个数，某人擦去黑板上的任意n 个数，要使得剩下的数中至少有两个数的和是2的幂次，则 n 最大是 .18. 设x ,y 是正实数，则x +y +xy y x 11-+-的最小值为 . 19. 今有2013个碗，排成一行.小明首先从左边开始, 在第一个碗里放入一枚硬币，接着每隔一个放入一枚；然后从右边开始，在第一个碗里放入一枚硬币，接着每隔2个放入一枚；最后再从左边开始，在第一个碗里放入一枚硬币，接着每隔4个放入一枚.那么从左向右数，有3枚硬币的碗，第一个是第 个，最后一个是第 个.20. 有n 个人在网上购物，n >2.已知，任意三个人中有两人买有同一种类的商品，没有三个人买有同一种类的商品.若他们中的甲和乙两人各买了四种商品，但没有买同一种类的商品，则n 的最大值是 .当n 最大时，这n 个人一共最少买了 种商品.三、分析解答题（本大题分5小题，分值依次为12分、10分、8分、10分、10分，共50分）21. (12分)全国初中数学竞赛共有14道题(5道选择题，5道填空题，4道解答题)，满分150分，其中选择题和填空题每题答对得7分，答错得0分，没有其他分值；解答题每题20分，步骤分只能是0、5、10、15、20分，没有其他分值，则所有可能得到的不同分值共有多少个？22. (10分)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线第7题 CA B EBD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠，AC 的延长线与ABD ∆的外接圆交于点F .证明：DFE AFB ∠=∠．23. (8分)在ABC ∆中，已知∠ABC =∠BAC =70°，P 为三角形内一点，∠P AB =40°，∠PBA =20°.证明：P A+PB=PC .24. (10分)某公司的工作人员每周都要工作5天连续休息2天，而公司要求每周从周一至周四，每天都有25人上班；从周五至周日，每天都有30人上班.那么该公司至少需要多少名工作人员？若最少n 个工作人员的工号1~n ，请按工号编出人员的排班表.25、(10分)设n 是整数，如果存在整数x ,y ,z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n第22题具有性质P.在1,5,2013,2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.参 考 答 案一、单项选择题(本大题分2小题，每题5分，共10分) 题目 1 2答案 C C二、填空题(本大题分16小题，每空5分，共90分)3、415431+>-<a a 或 4、31 5、27 6、326 7、2-2， 8、），（2126（6,3）（10,12）），（146144±±9、5 10、270 11、90 12、31- 13、158 14、 45 15、 36 16、766 17、1003 18、2 19、21；2001 20、10；20三、分析解答题(本大题分5小题，分值依次为12分、10分、8分、10分，10分，共50分)21、(12分)【解】(4分+6分+2分=12分)22、(10分)【解】(2分+3分+2分+3分=10分)证明：由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠(2分) 又A 、B 、F 、 D 四点共圆，∴BDC ABD AFD ∠=∠=∠，∴ECD ∆∽DAF ∆(5分)，∴ED CD AB DF AF AF==(7分)， 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，∴EDF ∆∽BAF ∆，故DFE AFB ∠=∠(10分)23、(8分)【解】(解法多种，酌情给分)24、(10分)【解】(暂无解答，征求答案)25、(10分)【解】取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .(5分)为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++222()()x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①(4分) 不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+；如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+；由此可知，形如31k +或32k +或9k (k 为整数)的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . (8分)若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P .(10分)。
六年级下册数学2015竞赛试题及答案
2015年春六年级下册数学竞赛试题校名： 班级 ： 姓名： 得分：一、仔细想，认真填。
(每空2分，计30分) 1、化简比是运用( )的基本性质，解比例是运用( )的基本性质。
2、( )是正数和负数的分界点。
3、小明刚开始的位置在0处。
如果小明从0点向东行5米，表示为+5米，那么小明现在-8米处，说明他是向_______行_____米。
如果小明从0点先向东行5米，又向西行8米，这时小明的位置在____米处。
4、如果3x=4y ，那么x ：y= ： 。
5、一个圆柱的侧面展开得到一个长方形，长方形的长是9.42厘米，宽是3厘米，这个圆柱体的侧面积是 平方厘米，表面积是 平方厘米。
6、79的分数单位是（ ），再增加（ ）个这样的单位正好是最小的质数。
7、把一张长方形纸对折再对折，每份占这张纸的（ ）。
8、98和42的最大公因数是（ ）；4，6和8的最小公倍数是（ ）。
二、小法官在线。
(每题2分，计10分)(正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”)1、圆柱的体积是圆锥的3倍。
( )2、如果圆锥的体积等于圆柱体积1/3，圆柱与圆锥一定等底等高。
( )3、如果3a=5b ，那么a ：b=5：3。
( )4、圆柱的侧面展开图不是长方形就是正方形。
( )5、-8小于-4，所以最大的负数是-1。
( )三、精挑细选。
(每题2分，计10分)(将正确答案的序号填在后面的括号里)。
1、圆柱的底面半径和高都乘3，它的体积应乘( )A 、3B 、6C 、 9D 、272、压路机滚筒滚动一周能压多少路面是求滚筒的 ( )A 、表面积B 、侧面积C 、体积3、做一个圆柱形的通风管,至少需要铁皮的面积是求圆柱( )。
A 、侧面积B 、侧面积加一个底面面积C 、表面积4、用一正方形纸围成一圆柱形(接口处忽略不算),这个圆柱的什么相等。
( )A 、底面直径和高B 、底面周长和高C 、底面积和侧面积5、一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有( )水。
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点()2,1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m >3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( )．A ．36 B ． 12C ． 33D ．63 4．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为( )． A ． 1 B ．54 C ． 75D ． 2 5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( )．A ．12 B ． 13 C ． 14 D ． 156. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ )．A ．32-B ．512-C ．940-D ．1160- 7． 若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( )． A ．1617 B ． 365 C ． 265 D ． 196538．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A第3题图MC 1B 1D 1A 1C D AB中的元素个数为( )．A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ．10．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．11． 已知F 为抛物线25y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时，点M 的坐标为 ． 12．若22sin cos 161610xx+=，则cos 4x = .13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为 ．14． 已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -=，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a c ⋅的最大值为 ．15．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b = 三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16． 设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．17．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，右焦点为圆222:(3)7C x y -+=的圆心．(I)求椭圆1C 的方程；(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>．四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，213221n n n a a a +=+-，*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由．附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<<； （2）1221k k k x x x +++>>>；（3）212231k k k x x x +++<<<．记k d 为所有“N 型”排列的个数．(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．。
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“2,a b =是“曲线2222:1(,,0)x y C a b R ab a b+=∈≠经过点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必邀条件2.已知一个角大于120 的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++,则实数m 的取值范围是A.(1,)+∞B.3(1,)2 C.3(,3)2D.(3,)+∞ 3.在正方体1111ABCD A BC D -中,M 为1BB 的中点,则二面角1M CD A --的余弦值为B.124.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则22a b a b ++的最大值为 A.1 B.54 C.75D.2 5.已知等腰直角PQR ∆的三个顶点分别在等腰直角ABC ∆的三条边上,记,PQR ABC ∆∆的面积分别为,PQR ABC S S ∆∆,则PQR ABC S S ∆∆的最小值为 A.12 B.13 C.14D.15 6.已知数列{}n a 的通项*,(1)(21)(1)n nx a n N x x nx =∈+++ ,若1220151a a a +++< ,则实数x 等于A.32-B.512- C.940- D.1160- 7.若过点(1,0),(2,0),(4,0),(8,0)P Q R S 作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能．．．等于 A.1617 B.365 C.265 D.196538.若集合2015*{(,)|(1)(2)()10,,}A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈ ,则集合A 中的元素个数为A.4030B.4032C.22015D.22016二、填空题:本大题共7小题,第9题至第14题每小题7分,第15题8分,共50分,请将答案填在题后的横线上.9.已知函数()f x 满足:(1)(1)0,(2)(2)f x f x f x f x ++-=+=-且2()13f =,则1000()3f = 10.若数列{}n a 的前n 项和32*,n S n n n N =-∈,则20151182i ia i ==+-∑ 11.已知点F 为抛物线25y x =的焦点,点(3,1),A M 为抛物线上的动点,当||||MA MF +取最小值时,点M 的坐标是12.若22sin cos 161610x x +=,则cos 4x = 13.设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+,其中m i n {,,x y z 表示,,x y z 中的最小者,若(2)()f a f a +>,则实数a 的取值范围是14.已知向量,a b 的夹角为,||5,3a b π-= ,向量,c a c b --的夹角为2,||3c a π-= 则c a ⋅ 的最大值是15.设,a b Z ∈,若对任意0x ≤,都有2(2)(2)0ax x b ++≤,则a = b =三、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分16分)设,a b R ∈,函数2()(1)2f x ax b x =++-,若对任意实数b ,方程()f x x =有两个相异的实数根,求实数a 的取值范围17(本小题满分18分) 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>右焦点为圆222:(7C x y +=的圆心. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线12,C C 都只有一个公共点,记直线l 与圆2C 的公共点为A ,求点A 的坐标.18(本小题满分18分)已知数列{},{}n n a b 满足:*1111110,0,,,n n n n n na b a a b b n N b a ++>>=+=+∈证明:505020a b +>.四、附加题:本大题共2小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19(本小题满分25分)已知数列{}n a 满足:*111,3.n n a a a n N +==+∈(Ⅰ)证明:数列{}n a 是正整数数列;(Ⅱ)是否存在*m N ∈,使得2015|m a ,并说明理由.20(本小题满分25分)设k 为正整数,称数字1~(31)k +的排列1231,,,k x x x + 为“N 型的”如果这些数满足:(1)121k x x x +<<< ; (2)1221k k k x x x +++>>> ; (3)212231k k k x x x +++<<< .记k d 为所有“N 型的”排列的个数.(Ⅰ)求12,d d 的值;(Ⅱ)证明:对任意正整数,k k d 均为奇数.。
2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)
2015年浙江省高中数学竞赛试卷说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。
（2）考试不允许携带计算机或计算器。
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）1、“a=2，是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b+=∈≠经过点1)”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）A.m>1B.1<m<32C. 32<m<3D.m>33、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）B.124、若实数a ，b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）A.1B.54C.75D.25、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQRABCS S ∆∆的最小值为（ ）A.12B.13C.14D.156、已知数列{a n }的通项a n =(1)(21)(1)nxx x nx +++，n ∈N *，若a 1+a 2+…+a 2015<1，则实数x 等于（ ）A.32-B.5-C.9-D.11-7、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 （ ） A.1617B.365C.265D.196538、若集合A={(m ，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m ∈Z ， n ∈N *}，则集合A 的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分）9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f(23)=1，则f(10003)=10、若数列{a n }的前n 项和S n =n 3－n 2，n ∈N *，则20151182ii a i =+-∑＝ 11、已知F 为抛物线y 2=5x 的焦点，点A(3，1)，M 是抛物线上的动点。
浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(8)及答案
2015年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表说明：题型及考点分布按照《2015考试说明》参考样卷。
说明1、本试卷的命题方向和命题意图主要从以下几点为出发点：（1）、强化主干知识，强化知识之间的交叉，渗透和综合：基础知识全面考，重点知识重点考，注意信息的重组及知识网络的交叉点。
（2）、淡化特殊技巧，强调数学思想方法。
考查与数学知识联系的基本方法、解决数学问题的科学方法。
（3）、深化能力立意，突出考察能力与素质，对知识的考察侧重于理解和运用。
淡化繁琐、强调能力，提倡学生用简洁方法得出结论。
（4）、控制难度. “易︰中︰难=3︰5︰2” .（5）、新增知识考查力度及所占分数比例可略超课时比例。
基础题象“会考”，压轴题似“竞赛”.2、试卷结构与2015年样卷保持一致⑴题型结构为， 8道选择、7道填空、5道解答的结构；⑵赋分设计为，选择每题5分、填空题单空体每题4分，多空题每题6分，解答题共74分；⑶考查的内容，注重考查高中数学的主干知识：函数，三角函数和解三角形，立体几何，解析几何，数列等。
3、立足基础，突出主干命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。
对基础知识的考查主要集中在小题上，具体知识点分布在集合、向量、直线与圆、数列、函数图像、函数性质、线性规划、三视图、三角函数、圆锥曲线性质、空间角等内容上，而且小题的考查直接了当，大部分是直接考查单一知识点，试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。
注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念。
4、试题难度适中，层次分明试卷在三种题型中体现出明显的层次感，选择题、填空题、解答题，层层递进。
试卷的入口题和每种题型的入口题较好的把握了难度。
试卷对较难的解答题利用分步给分的设计方法，在化解难度的同时，又合理区分不同层次的考生。